两圆相交面积公式最新-杨辉三角小学数学 精品

2020年11月8日发(作者：汤显祖)
杨辉三角
人教版小学数学五年级下期第115页第10题，涉及著名的“杨辉三角”，
对此，教参中已有所介绍。为了提高学生的学习兴趣，加深对“杨辉三角”的
理解，增强学生的民族自 豪感和爱国热情，下面推荐一个有趣的数学游戏。
老师出示一张图(有条件的可以使用多媒体)：





宣布：“现在和同学们玩一个有趣的数学游戏。 请一位同学在这个图的最
下面一行6个圆圈里任意各填一个一位数，我随即在顶端那个圆圈里写一个数。然后，大家按照图中的连线，算出最下面那行相邻两个圆圈里的数的和，
填入上一行的圆圈里。 自下而上照这样进行下去，直到算出顶端那个圆圈里应
该填的数，一定跟我已经填好的数一样。哪位同学 愿意试一试？”
等那位同学把最下面一行的6个数填好以后，老师迅速算出左起第三、四
两个 数的和的10倍，加上第二、五两个数的和的5倍，再加上第一、六两个
数，得数就是顶端那个圆圈里应 该填的数。
比如，从左到右，学生所填的数是4、1、8、6、2、3，老师就应该填10
× (8＋6)＋5×(1＋2)＋(4＋3)＝140＋15＋7＝162。
这是为什么呢？原来，“杨辉三角”中的数是有规律的。
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5

10 10

5 1
规律是：自上而下，每个圆圈里的数等于与它相连的，上一行圆圈里的数
的和。比如，第三行中间圆圈里的数之所以是2，就因为与它相连的第二行两
个圆圈里的数都是 1，1＋1＝2。依此类推。
游戏相当于把上面的过程倒回去，所以要把圆圈里的数分别乘上1、5、
10、10、5、1。
等玩过两三次以后，学生一定会急于知道老师是怎样做到未卜先知的，甚
至有些爱动脑筋的学生，已经 在开始探求其中的奥秘了。这时，可以启发学生
用学过的“用字母表示数”的方法，看看最下面那行所填 的6个数，在整个计
算过程中究竟各用了几次。
设：第六行所填的6个数依次为A、B、C、 D、E、F。第五行就是A＋B、B
＋C、C＋D、D＋E、E＋F；第四行就是A＋2B＋C、B＋2 C＋D、C＋2D＋E、D＋
2E＋F；第三行就是A＋3B＋3C＋D、B＋3C＋3D＋E、C＋3 D＋3E＋F；第二行就
是A＋4B＋6C＋4D＋E、B＋4C＋6D＋4E＋F；顶端的数就是A＋ 5B＋10C＋10D
＋5E＋F，即10(C＋D)＋5(B＋E)＋(A＋F)。从而得出前面所总 结出的方法。
“杨辉三角”在数学中有着重要作用，同时又具有直观形象的特点，对于
培养学 生的思维能力很有好处，值得给学生提供一个加深印象的机会。
杨辉三角
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5

10 10

5 1
1 6

15 20 15

6 1
1 7

21 35 35 21

7 1


……
中还隐藏着许多奥秘：
请看这些斜线上的数：
自然数
1
三角形数

1 1
四面体数
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5

10 10 5 1
1 6

15 20 15

6 1
1 7

21 35 35

21

7 1
……
一、自然数：1，2，3，4，…
求前 n个自然数的和，无需使用公式，答案就在第n个自然数的左下方。
比如，前4个自然数的和，就在第4 个自然数4的左下方，是10。前5个自
然数的和，就在第5个自然数5的左下方，是15。依此类推。
二、三角形数：1，3，6，10，…
三角形数就是可以用点“排”成三角形的数。最顶端1 个点，下一排2
个点，再下一排3个点，再下一排4个点，5个点，6个点……所以，三角形
数 依次是1，1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，……即1，3，6，10，…
求前 n个三角形数的和，无需使用公式，答案就在第n个三角形数的左下
方。比如，前4个三角形数的和，就 在第4个三角形数10的左下方，是20。
前5个三角形数的和，就在第5个三角形数15的左下方，是 35。依此类推。
三、四面体数：1，4，10，20，…
四面体数就是可以用三角形数“ 垒”成四面体的数。最顶端1个点，下一
层3个点，再下一层6个点，再下一层10个点，15个点，2 1个点……所以，
四面体数依次是1，1＋3＝4，1＋3＋6＝10，1＋3＋6＋10＝20，…… 即1，4，
10，20，…
求前n个四面体数的和，无需使用公式，答案就在第n个四面体数 的左下
方。比如，前3个四面体数的和，就在第3个四面体数10的左下方，是15。
前4个四 面体数的和，就在第4个四面体数20的左下方，是35。依此类推。
最让人感到意外的是，“杨辉三 角”竟然还与“菲波那契数列”有着密切
的关系。请看下图：（图中的斜线可以一直画下去）



1

1 1

1 2 1
1 3 3 1
1

4 6 4 1
1 5

10 10 5 1
1 6

15 20 15 6 1
1 7

21 35 35

21

7 1
1 8

28 56 70 56

28

8 1
……
斜线上数的和，依次是1，1，1＋1＝2，1＋2＝3，1＋3＋1＝5，1＋4 ＋3
＝8，1＋5＋6＋1＝13，1＋6＋10＋4＝21，1＋7＋15＋10＋1＝34，……
1，1，2，3，5，8，13，21，34，……不正是菲波那契数列吗？
“杨辉三角 ”真称得上是一个数学宝藏，它的这些奇妙之处都是后来陆续
被发现的，究竟其中还隐藏着那些奥秘，仍 然是一个未知数。发掘宝藏，需要
兴趣和毅力，也许新的发现正在向你招手呢！