3b胆吗中奖公式三角函数公式及常见题型.docx

2020年11月8日发(作者：支璞)






三角函数背诵

一、基本公式


1、角度与弧度、三角函数值

0°

30°

角度

弧度
























45°


















60°






90°

0

0

6

1

2

4






3

3


2

2

2

2

2





1















2

1

2

1

cos





1

3



0



















2




0


















3

3

不存在


2.三角函数在各象限内的正负

口诀“一全正 , 二正弦 ,三正切 ,四余弦 .”

+

—

+

—

—

—

+




—+





+

+

—

sin

3.同角三角函数基本关系式

平方关系：
sin
2


cos


tan
（
cot

）

cos
2


1


商的关系： tan

sin

cos

例题：
1、已知
sin














12

13

，并且


是第二象限角，求
cos ,tan .


2、已知
sin


2 cos
，求（

1）

sin

5sin

4 cos

2 cos

⑵
2sin


2
2 sin coscos ．


2








4.诱导公式

口诀：“奇变偶不变，符号看象限。 ”

sin( )


sin

sin(2



cos(

) cos(


) cos

) cos(

2

) sin(

) cos(
11
9

tan(


)

)

.

)




tan

例： 1.化简：



2

cos(

) sin(3

) sin(


2. 已知 tan(


) 3,


求：
2cos(

)
)

3sin(

的值。
4cos(

)

sin(2

)

3.若 cos α＝
2
，α是第四象限角，求
3

2



sin(

2

)

sin(

3

) cos(

3 )
的值．
cos(

) cos(

) cos(

4 )









































































二、三角函数的性质

（1）三角函数的图象及性质


y

sin x


y

tan x



数


y

函


cos x




图

y


y



y



3



3





2


象
o
2

2

x


o

2
x
3

o

2

2
x


2


2


定

义

x | x k

,k Z

域

R

R

2




值

域


[ 1,1]

[ 1,1]


奇

R


偶




性


奇函数

偶函数

奇函数

有

界



性


sin x

1

cosx 1


无界函数

最


小




正




周

期


2



2


增区间



2k

, 2k


单


2

2

增区间

2k

, 2k


调

(k


Z )





区

减区间

(k

Z)



2k

,2k
3

减区间

2k

, 2k

间


2

2



增区间 k

,k


(k

Z )


(k


Z)


2

2


(k Z )

对

称



x k

( k Z )

x k (k

Z )


轴

2

无对称轴





















































对

中




称

心

k

k

,0 k


Z





,0 k Z

2



k

2





,0 k Z

x


2k





k

2

1;

k

2

1







Z 时，
x

y
Z 时，

2k

max

k

Z

时，

1;

2k 1

1





最值
y
max







x

2k


x

y
k

Z 时，




无最值







min


y








min

（2）其它变换：

(

0, A

0)

y

A sin x

函



y A cos x




y A tan

x


数






x | x

2k

2



2

, k Z

定 义 域



R



R




值









域



[

A, A]



[

A, A]













k k


Z

时是奇函数 ,


k

2


k


Z


时 是


k

2


k


Z

时 是 偶

奇函数 ,






是偶函数。


k



k

Z

时










R

奇 偶 性

函数。

有 界 性


最 小 正


周








k k Z
时是奇函数无
界函数



Asin



x




A


Acos


x



A




2











2







期






2k




2k



增区间

4k

2



2

,

4k




2

2





















单


调



区




(k

Z)

4k


减区间




增区间




,






(k Z)





间








2

2

4k


3

2

,


2





(k Z)

减区间







增区间






2k2








,2k

2

2

2k


2k

,


k





2




k

Z

(k Z )


(k Z)

x

2k

2

(k Z )





x

对 称 轴



2




无对称轴


k



2k



对

中

称

心

,0 k Z

2

2

,0

k

Z



k

2

2



,0 k

Z








4k

x


2

2

A;

k


2k

Z 时， x


k Z 时，

)

k Z


最值
y
max


4k

x

2

A

2


k


y
max
A;

(2k

Z 时， x

时， y
min

无最值

y













min

A

三、图像平移变换

1、先相位变换

周期变换


振幅变换（先平移后伸缩）

：把
y

向右（

： 把
y


y sin x


y sin

x


sin x
图象上所有的点向左（

0

）平移


个单位。


0
） 或

y

sin



x


sin

x

图 象 上 各 点 的 横 坐 标 伸 长


（
0

1
）或缩短（

1
）到原来的

1
倍 ,

纵坐标不变。


y A sin x




：把
y

sin x

图象上各点的纵坐标伸长

（
A 1
）或缩短（

0

横坐标不变。

2、先周期变换

相位变换

A 1
）到原来的

A 倍 ,

振幅变换（先伸缩后平移）




y sin x

y sin x
：把
y sin x
图象上各点的横坐标伸长（

或缩短（

0

1
）

1
）到原来的

1

倍 ,纵坐标不变。











y sin x

：把
y

sin x
图象上所有的点向左（

0
）或向右

（

0
）平移

个单位 .

y A sin x



： 把
y

sin x

图 象 上 各 点 的 纵 坐 标 伸 长 （
A

1
） 或 缩 短

（
0 A 1
）到原来的

A 倍 ,横坐标不变。

例：



1.
函

数

y 3sin(2x


的图象可以看成把
3sin 2 x

的图象向

______
平

移


3


_____个单位得到；

2.把函数 y sin(2x

)的 图象向右平移

个单位，再把所得图象

上各点

4

8


的横坐标缩短到原来的

1
，则所得图象的函数为

____________ ；



2


四、三角恒等变换

1、两角和与差的三角函数公式：


sin(

)

sin cos

cos

sin


,

cos(

) cos

cos msin sin

tan(

)

tan

tan

。


1 mtan



tan


2、二倍角公式


sin 2

2sin cos

；


cos2

cos
2

sin
2


2cos
2

1

1

2sin
2

；


tan 2

2 tan




1

tan
2


3、降幂公式


sin
2

1
1


cos 2

;cos
2

1

cos2

;sin cos

sin 2



2


2


2


4.化一公式（辅助角公式）


a sin

b cos

a
2

b
2
(

a

sin

b

cos

)


a
2

b
2


a
2

b
2



a
2

b
2
sin(


)



cos
a



,sin

b




其中：



a
2

b
2


a
2

b
2















































,













































例：1 设函数

f (x)


3 cos
2

x

sin x cos x

























3
2


















，求

f ( x)
的最小正周期和单调递增


区间



















2.已知函数

f (x)

2cos
2
x 2sin x cos x 1( x R,

0)
的最小正周期是

2

（1）求
f ( x)
的解析式















（2）当
x

[0, ]
时，求

f ( x)
的最值

12

五、解三角形










1． 内角和定理：

在
ABC
中，
A


B

C

；
sin( A B)


sin C
；

cos(A B)
cosC

cos

A

B

2

sin
C









2


2． 面积公式 :
S

ABC


1
2

b

ab sin C


1
bc sin A

=

ca sin B

2


2

1
3．正弦定理：在一个三角形中 ,各边和它的所对角的正弦的比相等.

形式一：

a




c

sin C






2R
(解三角形的重要工具

)





sin A sin B


a

b

c

2R sin A

2R sin B

2Rsin C

形式二：





(边角转化的重要工具 )



4.余弦定理： 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余
弦的积的两倍 ..

形式一：
a
2

b
2

c
2

2bc cos A

a
2

2ca cos B
(解三角形的重要工具

)

b
2

c
2








c
2

a
2

b
2

2ab cosC

b
2

c
2

a
2



形式二：
cosA




；
cosB





c
2


a
2

2ca


b
2

；





cosC=

a
2

b
2


c
2



2bc







2ab






例题：

1、在 △ ABC 中， bcosA＝
a
cosB，试判断三角形的形状 .

方法 1：利用余弦定理将角化为边 .

2
∵bcosA＝
a
cosB

∴

b
b




c
2

a
2

a

a
2

c
2
b
2

2bc


2ac

∴
a
2









∴
b
2

c
2

a
2

a
2

c
2

b
2


b
2



∴
a b











故此三角形是等腰三角形 .



方法 2 ：利用正弦定理将边转化为角 .


∵ bcosA＝
a
cosB 又 b＝ 2RsinB，
a
＝ 2RsinA
∴ 2RsinBcosA＝ 2RsinAcosB ∴sinAcosB－ cosAsinB＝0
∴ sin（ A－ B）＝ 0 ∵ 0＜ A，B＜ π， ∴ － π＜ A－ B＜ π
∴ A－ B＝ 0，即 A＝B 故三角形是等腰三角形

.

2、在
△

ABC
中
，

cos A




5

，
cos B

3
．







13

5


（ Ⅰ）
求
sinC
的值
；（ Ⅱ）
设
BC

5 ，
求
△ ABC
的面积．

六、向量

1、概念：

特别提醒：













1)

2)

3)

4)




模：向量的长度叫向量的模，记作

| a| 或 | AB |.




零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作

0；零向量的方向不确定 .


单位向量：长度为 1

个长度单位的向量叫做单位向量.

共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线

量）


相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量

.

uuur

.（平行向



5)

2．向量的线性运算

uuur uuur

①、向量的加法： （首尾相接，起点指向终点）







ABBC
AC


（ 1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法

.

（ 2）法则： ____三角形法则 _______， _____平行四边形法则


______

②、向量的减法： （起点相同，连接终点，箭头指向被减向量）

uuur uuur

uuur


AB AC CB

（ 1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法

（ 2）法则： ____三角形法则 _______

③、实数与向量的积：

（ 1）定义：实数
λ
与向量 a 的积是一个向量，记作

.



λ
a，规定：

|
λ
a|=|
λ
|| a|.

当
λ
＞











0 时，
λ
a 的方向与 a 的方向相同；当
λ
＜0 时，
λ
a 的方向与 a 的方向相反；当
λ
=0 时，
λ
a
与 a 平行 .

（ 2）运算律：
λ
（
μ
a） =（
λμ
） a， （
λ
+
μ
） a=
λ
a+
μ
a，
λ
（ a+b） =
λ
a+
λ
b .
3．
平面向量的坐标运算

r

r

r

r


（1） 若
a

( x
1
, y
1
)
，
b

( x
2
, y
2
)
，则

a

b
=
( x
1
x
2
, y
1
y
2
)
，


r r

a b
=
( x
1


r

a

x
2
, y
1
y
2
)


x
1
2

y
1
2


两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差

uuur

（2） 若
A( x
1

, y
1

)
，
B( x
2

, y
2

)
，则
AB

x
2

x
1
, y
2
y
1

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标

r

（3）若
a


r

(x, y)
和实数

，则
a ( x,


y)


实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标


（4）．向量平行的充要条件的坐标表示：设


a
=(x
1
, y
1
)

，

b

=(x
2
, y
2
)

其中
b
a








a
∥

b

(

b 0

)的充要条件是

x
1

y
2

x
2
y
1

0
（外积等于内积）


4、平面向量数量积












（1）．两个非零向量夹角的概念

已知非零向量
a
与

b

，作

OA

＝
a
，
OB

＝

b

，则

_∠A
Ｏ
B＝

θ
（０≤

θ
≤

π
）叫
a
与

b

的夹角 .


特别提醒：

向量
a
与向量

b

要同起点。


（2） ．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量

数量 |
a
||

b
|cos__

叫

a

与
b
的数量积，记作

a
与

b

，它们的夹角是

θ
，则

a
b

，即有
a
b


= |
a
||
b
|cos （定义式）

a b

x
1
x
2
y
1
y
2

（坐标式）


（3）、向量垂直的判定：设

a ( x
1
, y
1
)
，
b

（4） .两向量夹角的余弦（


(x
2
, y
2
)
，则
a b


x
1
x
2

y
1
y
2
0

0


）





cos =

a b

| a | | b |


x
1
x
2

y
1
y
2


2 2 2 2








x
1





y
1




x
2


y
2

例题：


1．
判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.



①向量
AB
与
CD
是共线向量，则

A、 B、 C、 D 四点必在一直线上；




②单位向量都相等；

③任一向量与它的相反向量不相等；

④四边形 ABCD是平行四边形的充要条件是

AB
＝
DC
⑤模为 0 是一个向量方向不确定的充要条件；⑥
共线的向量，若起点不同，则终点一定不同

.
2．
下列命题正确的是（

）

A.
ａ
与
ｂ
共线，
ｂ
与
ｃ
共线，则
ａ
与 c 也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点

C.向量
ａ
与
ｂ
不共线，则
ａ
与
ｂ
都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量不平行

3.若 A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4)

则
AB
2
BC
=

4. 已 知
a， b，c
为
△ ABC
的 三 个 内 角
A，B，C
的 对 边
m ( 3， 1)， n

(cos A，sin A)
．若

m

n
，且
acosB

b cos A

c sin C
，则角
的大小分别为（

）


A．
ππ
，

B．
2

ππ
C．
ππ
，

，

D．
ππ
，

6

3

3

6

3

6

3

3


5、
已知
r

a
，
r




2 b3 a
，与
r


r
的夹角为



o
，求



b


120


r r


；（

）
r
2
r
2

r r

）（
r r

r r


；（ ）（



）
；
（4）a b

1 a b


2 a b

3

2a b a 3b


6、已知：A、B、C 是

ABC
的内角，

a,b,c

分别是其对边长， 向量
m

3,cos

， 向 量
A， B
A 1
，
































































（）









n

cos

2

A ,1
，

m

n
.求角

A

的大小；