向量叉乘：植树问题公式审批稿

2020年11月9日发(作者：杜瑞兰)





植树问题公式
YKK standardization office【 YKK5AB- YKK08- YKK2C- YKK18】


植树问题公式
单边植树（两端都植） ：距离÷间隔长 +1=棵数
单边植树（只植一端） ：距离÷间隔长=棵数
单边植树（两端都不植） ：距离÷间隔长－ 1=棵数
双边植树（两端都植）：（ 距离÷间隔长+1）×2=棵数
双边植树（只植一端）：（ 距离÷间隔长）×2=棵数
双边植树（两端都不植）：（ 距离÷间隔长-1）×2=棵数
循环植树： 距离÷间隔数=棵数
解释：1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:
⑴ 在非封闭线路的两端都要植树,那么:
株数=段数+1=全长÷株距+1 全长=株距×(株数－1) 株距=全长÷(株数
－1)
⑵ 在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:
株数=段数=全长÷株距 全长=株距×株数 株距=全长÷株数
⑶ 在非封闭线路的两端都不要植树,那么:
株数=段数－1=全长÷株距－1 全长=株距×(株数+1) 株距=全长÷(株数+1)
2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下
株数=段数=全长÷株距 全长=株距×株数 株距=全长÷株数
3、如果植树路线的两边与两端都植树，那么植树的棵数应 比要分的段数多
1，再乘二，即：棵树=（段数+1）×2。
二、在封闭线路上植树，棵数与段数相等，即：棵数=间隔数。
三、在正方形线路上植树，如果每个顶点都要植树。则棵数=（每边的棵
数－1）×边数。
例1 长方形场地：一个长84米，宽54米的长方形苹果园中，苹果树的株距是2
米，行距是 3米．这个苹果园共种苹果树多少棵？
解： 解法一： ①一行能种多少棵？84÷2=42(棵)．| ②这块地能种
苹果树多少行？54÷3=18(行)． ③这块地共种苹果树多少棵？42×
18=756(棵)． 如果株距、行距的方向互换，结果相同： (84÷3)×(54
÷2)=28×27=756(棵)．
解法二： ①这块地的面积是多少平方米呢？ 84×54=4536(平方


米)． ②一棵苹果树占地多少平方米呢？ 2×3=6(平方米)． ③这块地
能种苹果树多少棵呢？ 4536÷6=756(棵)．
当长方形土地的长、宽分别能被株距、行距整除时，可用上述两种
方法中的任意一种来解；当长方形土地的长、宽不能被株距、行距整除
时，就只能用第二种解法 来解．
但有些问题从表面上看，并没有出现“植树”二字，但题目实质上是
反映封闭线段 或不封闭线段长度、分隔点、每段长度三者之间的关系。
锯木头问题就是典型的不封闭线段上，两头不植树问题。所锯的段数
总比锯的次数多一。
上楼梯问题，就是把每上一层楼梯所需的时间看成一个时间间隔，那
么： 上楼所需总时间 =（终点层—起始层）×每层所需时间。
而方阵队列问题，看似与植树问题毫不相干，实质上都是植树问题
例2 直线场地：在一 条公路的两旁植树，每隔3米植一棵，植到头还剩3棵；
每隔2.5米植一棵，植到头还缺少37棵，求 这条公路的长度。
解法一：（代数解法） 设一共有x棵树 【（x-3）2-1】X3=
【（x+37）2-1】X2.5 x=205 公路长:【（205-3）2-1】X3=300 得:
公路长度为300米
解法二：（算术解法） 这道题可以用解盈亏问题的思路来考虑：首先，
我们在两边起点处各栽下一棵 树，这两棵树与路长没有关系，以后每栽下
一棵树，不论栽在哪一侧，植树的路线（不是路）就增加一个 间距，为了
简单起见，我们按单侧植树来考虑。当按3米的间距植树时，最后剩下3
棵，也就是 说植树的路线要比路长出3个间距，3×3=9米，当按2.5米的
间距植树时，最后还缺37棵树，也 就是说植树的路线比路短了37个间
距，2.5×37=92.5米，两次相差9+92.5=101. 5米，两次植树的间距相差
是3－2.5=0.5米，据此可以求出树的棵数：（不包括起点的2棵）
101.5÷0.5=203（个） 知道了树的棵数，就可以求出植树路线的长度


了： 3×（203－3）=600（米） 或2.5×（203+37）=600（米） 因为
是双侧植树，所以路长为： 600÷2=300（米） 综合算式为： 3×
〔（3×3+2.5×37）÷（3－2.5）－3 〕÷2=300（米） 或2.5× 〔（3
×3+2.5×37）÷（3－2.5）+37 〕÷2=300（米） 答：（略）
例3 圆形场地（难题）：有一个圆形花坛，绕它走一圈是120米。如果在花坛
周围每隔6米 栽一株丁香花，再在每相邻的两株丁香花之间等距离地栽2
株月季花。可栽丁香花多少株？可栽月季花多 少株？每2株紧相邻的月季
花相距多少米 解： 解：根据棵数=全长÷间隔可求出栽丁香花的株数：
120÷6=20 （株） 由于是在每相邻 的2株丁香花之间栽2株月季花，丁
香花的株数与丁香花之间的间隔数相等，因此，可栽月季花： 2×20=40
（株） 由于2株丁香花之间的2株月季花是紧相邻的，而2株丁香花之
间的 距离被2株月季花分为3等份，因此紧相邻2株月季花之间距离为：
6÷3=2（米） 答：可栽丁香花20株，可栽月季花40株，2株紧相邻月
季花之间相距2米。
例4 例4 在圆形水池边植树，把树植在距离岸边均为3米的圆周上，按弧长
计算，每隔2米植一棵树，共 植了314棵。水池的周长是多少米？（适于
六年级程度） 解：先求出植树线路的长。植树线路是一个圆的周长，这
个圆的周长是： 2×314=628（米） 这个圆的直径是： 628÷3.14=200
（米） 由于树是植在距离岸边均为3米的圆周上，所以圆形水池的直径
是： 200-3×2=194（米） 圆形水池的周长是： 194×3.14=609.16
（米） 综合算式： （2×314÷3.14-3×2）×3.14 =（200-6）×3.14
=194×3.14 =609.16（米）


例5 小明家门前有一条10米长的水沟，在沟的一侧每隔2米栽一棵树，一共
可栽几棵？（两端都植树） 按常规解法，答案应该是6（10÷2+1）棵，
同理，如果小光家门前也有一段10米长的水沟，同样 可以栽6棵，也就是
两家一共可以栽12棵，这并看不出有什么不妥。但是，当小明与小光家是
邻居时，我们再计算一下：两家的水沟总长是20米，20÷2+1=11(棵)，也
就是两家一共可以 栽11棵树，结果比上次计算少了一棵（本人称之为“邻
里冲突”），这是因为在端点处有两棵树“重合 ”了，这两棵树的间距为
0，与题中要求间距2米不符，因此，可以看出两端植树是不妥当的。但如果两端都不植树，又会出现公共点没有树邻近的两棵树间距4米的情况，
仍与题意不符。那么一端植 树又会怎样呢？这种要求是无法实现的，因为
当一方在与邻家相接的端点上植上树后，就会使邻家地段两 端都有树存
在，还是不合题意。因此，要求在端点上植树（或不植树）都会出现矛
盾，这样的计 算方法也不能正确的反映出各个数量间的关系。数学是一门
严谨的科学，出题者固然可以任意给定条件， 但用不同的计算方法得出的
结果应该是相同的，当计算结果出现矛盾时，应该找出问题的原因所在，不能简单的用“两树重合”来解释解释。 再按照“棵树=段数”的方法计
算一下： 小明家可栽树：10÷2=5（棵） 小光家可栽树：10÷2=5
（棵） 两家一共可栽树10棵。 当两家是邻居时，可栽树：（10+10）
÷2=10(棵) 两次计算结果相同，因此可以说这种计算方法才能正确的反
映出各个数量之间的关系。 为什么说常规 的解法不够正确呢？那是因为
在常规解法中，只考虑了植树路段为一家独有的情况，多栽或少栽一棵都< br>不会出现“争议”，也就无法判定栽法是否妥当。然而当植树路段为多家


共 有时就会出现一方或双方将树栽到了公共端点上的情况，从理论上讲这
是不正确的。相对于“路边加一” ，“楼间减一”也无道理，因为完全可
以按“间距2米”栽下5棵而不是4棵树，至于端点处的两棵树与 楼相距
只有1米的情况，与题意并不矛盾： 1、要求“间距2米”可以认为每棵
树需要2米 的生长空间，端点的树和中间的树同样都具有2米的空间；
2、如果把“楼”也看做“树”而使间距 不足，那么则是因为“他”将树栽
倒了公共端点上而侵占了“我”的空间，“我”并没有栽错。（点击图 片
可放大）