沉组词：带电粒子在电场中的运动知识点总结

2020年11月10日发(作者：祖观)
带电粒子在电场中的运动知识点精解

1．带电粒子在电场中的加速
这 是一个有实际意义的应用问题。电量为q的带电粒子由静止经过电势差为U
的电场加速后，根据动能定理 及电场力做功公式可求得带电粒子获得的速度大小为

可见，末速度的大小与带电粒子本身的性质(qm)有关。这点与重力场加速重物
是不同的。
2．带电粒子在电场中的偏转
如图1-36所示，质量为m的负电荷-q以初速度v0平行两 金属板进入电场。设
两板间的电势差为U，板长为L，板间距离为d。则带电粒子在电场中所做的是类似
平抛的运动。

(1)带电粒子经过电场所需时间(可根据带电粒子在平行金属板方向做匀速直线
运动求)

(2)带电粒子的加速度(带电粒子在垂直金属板方向做匀加速直线运动)

(3)离开电场时在垂直金属板方向的分速度

(4)电荷离开电场时偏转角度的正切值

3．处理带电粒子在电场中运动问题的思想方法
(1)动力学观点
这类问题基本上 是运动学、动力学、静电学知识的综合题。处理问题的要点是
要注意区分不同的物理过程，弄清在不同物 理过程中物体的受力情况及运动性质，
并选用相应的物理规律。
能用来处理该类问题的物理规 律主要有：牛顿定律结合直线运动公式；动量定
理；动量守恒定律。
(2)功能观点
对于有变力参加作用的带电体的运动，必须借助于功能观点来处理。即使都是
恒力作用问题，用功能观 点处理也常常显得简洁。具体方法常用两种：
①用动能定理。
②用包括静电势能、内能在内的能量守恒定律。
【说明】 该类问题中分析电荷受力情况时，常涉及“重力”是否要考虑的问
题。一般区分为三种情况：
①对电子、质子、原子核、(正、负)离子等带电粒子均不考虑重力的影响；
②根据题中给出 的数据，先估算重力mg和电场力qE的值，若mg<忽略重力；
③根据题意 进行分析，有些问题中常隐含着必须考虑重力的情况，诸如“带电
颗粒”、“带电液滴”、“带电微粒” 、“带电小球”等带电体常常要考虑其所受
的重力。总之，处理问题时要具体问题具体分析。
【例1】 空间有一区域宽广的电场，场强大小始终不变且处处相等，但方向
可以改变。第1 秒内场强方向如图1-37所示，θ=37°。有一个带电质点以某一水
平初速度从A点开始沿x轴运动 ，1秒末场强方向突然改为竖直向上，此时A质点
恰好达到坐标原点O。已知AO=3.75米，求第2 秒末该质点所达位置的坐标(g取10
米秒2)。

【分析思路】 带电质点第1 秒内沿x轴作直线运动，由直线运动的条件可知，
第1秒内该质点所受合外力一定与x轴在同一直线上， 由此可判断出该质点带正电，
且其所受电场力的竖直分量与重力平衡，水平分力提供加速度，故质点做匀 减速运
动。到达O点时，由于电场变为竖直向上，则知此时合力变为竖直向上，质点将开
始做匀 加速直线运动或类似平抛运动。到底做何种运动取决于质点到这O点时的速
度。
【解题方法】 物体做直线运动的条件、牛顿第二定律及运动学公式。
【解题】 ∵第1秒内质点沿x轴做直线运动 ，∴质点所受重力与电场力的合
力与x轴在一条直线上，质点只有带正电荷。其受力如图1-38，则

Fsinθ=ma
Fcosθ-mg=0
由以上两式解得第1秒内的加速度
a=gtg37°=7.5ms2

A点的速度vA=7.5ms。
由vt-v
0
=at得质点在O点速度
v0=v
A
-at=7.5-7.5×1=0
所以从1秒末开始质点必沿y轴向上做匀加速直线运动。第2秒内物体的加速
度

质点向上运动的距离

即第2秒末物体的坐标为(0，1.25m)。
【例2】 在真空中质量为m、电量为q的带电粒子束连续地射入相距为d的
两平行金属板之 间，当两板不带电时，粒子束将沿极板中线射出，通过两极板的时
间为T。现将如图1-39所示的随时 间而变化的电场加在极板上，电场强度的最大值
为E，变化周期也为T。求这些粒子离开电场时，垂直于 两极板方向位移的最大值和
最小值。

【分析思路】 带电粒子在电场中平行两极 板的方向做匀速直线运动，故带电
粒子在两金属板间的运动时间与是否存在电场无关，总等于T。在电场 力作用下，
带电粒子沿电场力方向做匀加速直线运动，由电场随时间的变化规律可知，不管粒
子 在什么时刻进入，加速时间总等于

向的分速度总是相同的，垂直于两极板方向的位移大小仅 取决于匀速运动时垂
直极板方向的分速度的大小。显然，当带电粒子于nT时刻进入电场时，匀速运动时
垂直极板方向分速度最大，从而在垂直极板方向位移

n为非负整数)。
【解题方法】 运动的合成与分解、牛顿第二定律及匀变速直线运动的位移公
式。
【解题】 带电粒子在电场中平行两极板的方向作匀速直线运动，故带电粒子
在两金属板中运 动时间与电场存在无关，均为T。

况下出电场时在垂直于极板方向位移最小。最小位移

当带电粒子恰在nT(n=0，1，2，…)时刻进入电场，此种情况下出电场时垂直
两极板方向位移最大。最大位移

【例3】 如图1-40所示，质量为m、带电量为+ q的小球从距地面高h处以
一定的初速度v0水平抛出，在距抛出点水平距离为l处，有
< br>能无碰撞地通过管子，可在管子上方整个区域里加一场强方向向左的匀强电场。
求：(1)小球的 初速度v0；(2)电场强度E的大小；(3)小球落地时的动能。

【分析思路】 带正 电的小球逆着电场线方向进入匀强电场，其在水平方向作
匀减速直线运，在竖直方向做自由落体运动。当 小球离开电场恰能无碰撞地通过管
子，意味着小球刚进入管口的瞬间水平方向的速度为零。小球从开始到 落地，整个
过程中在竖直方向上一直做自由落体运动，可用运动学或动能定理求小球落地时的
动 能。
【解题方法】 运动的合成与分解、自由落体运动的规律及动能定理。
【解题】 在电场中小球的运动可看成水平方向的匀减速运动和竖直方向自由
落体运动的合成。
(1)从 抛出点到管口小球运动的时间可由竖直方向的分运动—自由落体运动求
出。设时间为t，则有


水平方向上小球做匀减速运动，则有


(2)在水平方向上应用牛顿第二定律有
Eq=ma


(3)解法一：
在全过程中对小球应用动能定理得

所以小球落地时的动能

解法二：
小球在竖直方向上一直做自由落体运动，且小球着地时的速度是竖直向下的，


所以物体落地时的动能
由自由落体运动的规律知

【例4】 如图1-4 1(a)所示，长为l、相距为d的两平行金属板与一电压变
化规律如图1-41(b)所示的电源相连 (图中未画出电源)。有一质量为m、带电荷为-q
的粒子以初速度v0从板中央水平射入电场，从飞入 时刻算起，A、B两板间的电压
变化规律恰好如图(b)所示，为使带电粒子离开电场时的速度方向平行 于金属板，问：
(1)交变电压周期需满足什么条件？(2)加速电压值U0的取值范围是什么？

【分析思路】 带电粒子离开电场时，速度方向平行于金属板，这说明带电粒
子活 电场力方向未获得速度。由题意可知，它在电场中的运动时间只能是电压变化
周期的整数倍，即在一个周 期内，前半个周期粒子竖直方向的速度从零增加至vy，
后半个周期再从vy减少至零，但必须注意到粒 子在竖直方向一直朝着一个方向运
动，先加速后减速，再加速

【解题方法】 运动的合成与分解、牛顿第二定律及运动学公式。
【解题】 (1)带电粒子穿越电场所需时间

由于粒子出电场时速度方向平行于金属板所以
t=nT

(2)竖直方向上带电粒子在一个周期内的位移

带电粒子在n个周期内的位移





【例5】 如图1-42(a)所示，真空室 中电极K发出的电子(初速度为零)经过
U0=1000V的加速电场后，由小孔S沿两水平金属板A、 B间的中心线射入，A、B板
长l=0.20m，相距d=0.020m，加在A、B两板间的电压u随 时间t变化的u-t图线如
图1-42(b)所示。设A、B两板间的电场可以看作是均匀的，且两板外 无电场。在每
个电子通过电场区域的极短时间内，电场可视作恒定的。两板右侧放一记录圆筒，
筒的左侧边缘与极板右端距离b=0.15m，简绕其竖直轴匀速转动，周期T=0.20S，筒
的周长 S=0.20m，筒能接收到通过A、B板的全部电子。

(1)以t=0时(见图(b)此 时u=0)电子打到圆筒记录纸上的点作为xy坐标系的原
点，并取y轴竖直向上，试计算电子打到记录 纸上的最高点的y坐标和x坐标(不计
重力作用)。
(2)在给出的坐标纸(如图(c))上定量地画出电子打到记录纸上的点形成的图
线。
【分析思路】 本题要分为加速、偏转、放大和扫描四个阶段。
加速阶段：从电极K发出的 电子的初速度为0，设经加速电场后由小孔S沿中
心线射入A、B两水平金属板的初速度为v0，则由能 量关系得

其中m、e分别为电子的质量和电量，U0为加速电压。
偏转阶段：电 子以v0沿A、B两水平金属板的中心线射入后，由于受到垂直于
A、B板的匀强电场作用，电子将发生 偏转，偏转的情况既与A、B间电场强度有关，
又与入射速度v0有关。题图(b)给出了加在A、B两 板间的电压u随时间变化的u-t
图线从所给的u-t图线可以看出，加在A、B两板间的电压u是依锯 齿形规律随时间
变化的，不是恒定电场。但题目说明“A、B间的电场可看作是均匀的，且两板外无电场。在每个电子通过电场区域的极短时间内，电场可视作恒定”。故在计算各个
时刻电子在穿越电 场区域产生偏转时，电场可作为恒定电场来处理。因而电子在A、
B间是做抛物线运动：沿中心线方向， 电子做匀速运动，速度为v0；沿垂直中心线
方向，电子做匀加速运动，初速度为零，加速

则电子在穿越A、B间的电场区域之前就要落到A或B板上而不能从A、B间的
电场区射出，极 限电压uc由电子射出A、B间电场时的极限偏转


由①、②两式联立求得极限电压

以题给数据代入，得uc=20V，这个结果说明 只有在A、B两板间的电压u小于
极限电压uc=20V时，才有电子从A、B间的电场区域射出。
放大阶段：电子刚从A、B两板间的电场区域射出时，最大偏转为

B板一段距离b 处。这样，电子打在记录圆筒上的偏转距离就被放大了，与极
限电压相应的电子射出A、B两板间电场区 时的y方向分速度

射出电场区后，电子做匀速直线运动，它打到记录圆筒上的偏转，即打到 记录
纸上的最大y坐标可由下式求得

由①、③、④式及题给数据可求得

扫描阶段：如果记录电子偏转的工具是一个不动的固定记录屏，则不同时刻的
电子打在屏的记录 纸上的位置是在一条与竖直方向平行的直线上。也就是说，在固
定屏上记录到的是一条与y轴(即竖直方 向)平行的直线痕迹。为了能显示出不同时
刻电子的偏转情况，我们用一绕竖直轴匀速转动的记录圆筒来 代替固定的记录屏。
由于圆筒的匀速转动，不同时刻打到圆筒的记录纸上的x坐标是不同的。若取x轴< br>与竖直的转动轴垂直，以t=0时电子打到圆筒记录纸上的点作为xy坐标系的原点，
则t时刻打 到记录圆筒上的x坐标为

其中T为记录圆筒的转动周期，S为记录圆筒的周长。
从题中图(b)中可以看出，加在A、B两板间的电压u随时间t是做周期性变化
的，周期T0=0.1 S，在每个周期T0内，只有电压u小于极限电压uc=20V的时候才
有电子射出。因此在每个周期T 0内，只有在开始一段时间间隔Δt内有电子通过A、
B两板间的电场区，根据题给条件，记录圆筒能接 收到通过电场区的全部电子，因
此在每个周期T0内，只有在开始一段时间Δt内有电子打到记录纸上从 题图(b))可
以看出这段时间Δt等于

其中um是加在A、B两板间的最大偏转电压。
为了求出电子在记录圆筒上的记录纸上打出的 痕迹，我们先讨论电子打在记录
纸上的最低点的坐标。题给的偏转电压具有周期性，故最低点不止一个， 根据题中
关于坐标原点与起始记录时刻的规定，以及加在A、B两板间的偏转电压u与时间t
的 关系曲线可知第一个最低点的x，y坐标为
x1L=0cm
y1L=0cm
第二个最低点的坐标为

y2L=0cm
第三个最低点的x，y坐标为

由于记录圆筒的周长S=20cm，所以每三个最低点已与第一个最低点重合，即记
录纸上记录到的电子打到痕迹的最低点只有两点，它们的坐标分别为(0，0)和(10，
0)。 同样可求痕迹最高点的坐标，显然痕迹最高点相应于偏转电压为uc的偏转点，
因此第一个最高点的 x，y坐标为

第二个最高点的x，y坐标为

y2H=2.5cm < br>第三个最高点也与第一个最高点重合，即记录纸上记录到电子打到痕迹的最高
点也只有两点，它们 的坐标分别为(2，2.5)和(12，2.5)。
对于介于0到极限值uc之间的偏转电压u，在记 录纸上记录到电子痕迹的偏转
量y，由图1-43中可得到


式中Δ、vy分别是电子射出电场区时沿竖直方向的偏转量和分速度：

以①、⑨、⑩式代入⑧式，并化简即得到记录纸上的偏转量y等于

可见由于电子在A、B两板间的匀强电场中沿竖直方向的加速度

的电子沿竖直方向 的偏转量y与该电子射入A、B两板间的电场时，加在A、B
两板间的偏转电压u成正比，这样就得出结 论，在偏转电压的每个周期内，电子在
记录纸上形成的痕迹是一条连接该周期内的最低点和最高点的直线 。
从上面的分析可以看出，本题涉及的电子通过加速电场和偏转电场等内容都是
学生熟悉的， 有新意的地方在于，把常见的固定电子接收屏改为转动的记录圆筒，
加进了扫描因素，这样就构成了一个 情境较新的题目，需要灵活地运用所学知识，
独立地进行分析讨论。
【解题方法】 运动的合成与分解、牛顿第二定律、运动学公式、较强的空间
想象能力。
【解题】 (1)计算电子打到记录纸上的最高点的坐标
设v0为电子沿A、B板的中心线射入电场时的初速度，则

电子在中心线方向的运动为匀速度运动，设电子穿过A、B板的时间为t0，则

电子在垂直于A、B板方向的运动为匀加速直线运动。对于恰能穿过A、B板的
uc应满足

联立①、②、③式解得

此电子从A、B板射出时沿y方向的分速度为

以后，此电子做匀速直线运动，它打到记录纸上的最高点，设纵坐标为y，由
1-42可得

由以上各式解得

从题图给的u-t图线可知，加于两板电压u的周期T 0=0.10S，u的最大值
um=100V，因为uc＜um，在一个周期T0内，只有开始的一段时 间Δt内有电子通过
A、B板

因为电子打在记录纸上的最高点不止一个，根据题中 关于坐标原点与起始记录
时刻的规定，第一个最高点的x坐标为

第二个最高点的x坐标

第三个最高点的x坐标

由于记录圆筒 的周长为20cm，所以第三个已与第一个最高点重合，即电子打到
记录纸上的最高点只有两个，它们的 x坐标分别由⑧和⑨表示。
(2)电子打到记录纸上所形成的图线，如图1-44所示。
电子，在它通过时加在两板间的电压
图