lnx图像：空间点到直线的距离公式

2020年11月11日发(作者：柯一鹗)

平面点到直线距离
点(x
0
, y
0
)，直线：A*x+B*y+C=0，距离d。
d=|A*x
0
+B*y
0
+C|√(A*A+B*B)

空间点到平面距离
点(x
0
, y
0
, z
0
)，平面：A*x+B*y+C*z+D=0，距离d。
d=|A*x
0
+B*y
0
+C*z
0
+D|√(A*A+B*B+C*C)

空间点到直线距离
点(x
0
, y
0
, z
0
)，直线L（点向式参数方程）：
(x-x
l
)m=(y-y
l
)n=(z-z
l
)p=t。 (1)
式(1)的注释：点(x
l
, y
l
, z
l
)是直线上已知的一点，向量(m, n, p)为直线
的方向向量，t为参数方程的参数。
空间直线的一般式方程（两个平面方程联立） 转换为点向式方程的方
法，请参考《高等数学》空间几何部分。
设点(x
0
, y
0
, z
0
)到直线L的垂点坐标为(x
c
, y
c
, z
c
)。因为垂点在直线
上，所以有：
(x
c
-x
l
)m=(y
c
-y
l
)n=(z
c
-z
l
)p=t (2)
式(2)可变形为：
x
c
=m*t+x
l
, y
c
=n*t+y
l
, z
c
=p*t+z
l
. (3)
且有垂线方向向量(x
0
-x
c
, y
0
-y
c
, z
0
-z
c
)和直线方向向量(m, n, p)的数
量积等于0，即：


m*(x
0
-x
c
)+n*(y
0
-y
c
)+p*(z
0
-zc
)=0 (4)
把式(3)代入式(4)，可消去未知数“x
c
, y
c
, z
c
”，得到t的表达式：
t=[m*(x
0
-x
l)+n*(y
0
-y
l
)+p*(z
0
-z
l
)](m*m+n*n+p*p) (5)
点(x
0
, y
0
, z
0
)到直线的距离d就是该点和垂点(x
c
, y
c
, z
c
)的距离：
d=√[(x
0
-x< br>c
)^2+(y
0
-y
c
)^2+(z
0
- z
c
)^2] (6)
其中x
c
, y
c
, z
c
可以用式(3)和式(5)代入消去。