卸载英文：三阶幻方的讲解

2020年11月11日发(作者：庞蕴)
三阶幻方的讲解
在3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1～ 9这9
个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，通常
这样的图 形叫做三阶幻方。
如果是在4×4（四行四列）的方格中进行填数，就要不重不漏地在4×4方< br>格中填上16个连续的自然数，并且使方格的每行、每列及每条对角线上的四个
自然数之和均相等 ，这样填出的图形就叫做四阶幻方。
幻方实际上就是一种填数游戏，它不仅限于三阶、四阶，还有五阶，六
阶，……，直到任意阶。
一般地，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复也不遗漏地填上n×n个
连续的自然数 （注意，这n×n个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占
1格，并使排在每一行、每一列以及每 条对角线上的n个自然数的和都相等，我
们把这个相等的和叫做幻和，n叫做阶，这样排成的数的图形叫 做n阶幻方。

这里我们主要学习三阶幻方。
例1 用1～9这九个数编排一个三阶幻方。

分析与解先求幻和再添数！

雪帆提示：先求总和，看看有几个幻和，常把中间数填入中间

先用a，b，c，…，i分别填入图1的九个空格内，以代表应填的数，如图2。
（1） 审题首先我们应知道幻和是多少才好进行填数。同时我们可以看到图
2中e是一个很关键的数，因为它分 别要与第二行、第二列以及两条对角线上的
另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方 中四个角上的数：
a，c，g，i，它们各自都要参加一行、一列及一条对角线的求和运算。如果e以及四个角上的数被确定之后，其他的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。
（2）求幻和
幻和=（1+2+3＋4＋5+6＋7＋8＋9）÷3
=45÷3
=15
（3）选择解题突破口
突破口显然是e，在图2中，
因为a＋e+i=b＋e＋h=c＋e＋g=d＋e＋f=15，
所以（a＋e＋i）+（b+e+h）＋（c＋e+g）＋（d+e＋f）
=15+15＋15＋15=60，
也就是：（a＋b+c+d＋e＋f+g＋h＋i）＋3×e=60。
因为a＋b＋c＋d＋e＋f＋g＋h＋i=45，
所以45+3×e=60
所以3×e=60-45
e=5
也就是说，图1中的中心方格中应填5，请注意，这个数正好是1～9这九
个数中正中间的数。
（4）四个角上的数a，c，g，i的特点
先从a开始讨论：a是奇数还是偶数。
如果a为奇数，因为a＋i=10，所以i也是奇数。因为a＋d＋g=15，所以d
与g 同是奇数或同是偶数。分两种情况：
①当d、g都是奇数时，因为d＋e＋f=15，g＋h＋i =15，其中e，i都是奇
数，所以f，h也只能是奇数。这样在图1中应填的数有a，d，e，f，g ，h，i
这七个奇数，而1～9这九个数中只有五个奇数，矛盾。说明d，g不可能为奇数。
②当d，g为偶数时，因为d＋f=10，g＋h＋i=15，c＋g=10，因为i为奇数，
所以f， h，c只能是偶数，这样就有c，d，f，g，h五个偶数，而1～9这九个
数中只有四个偶数，矛盾。 说明d，g都是偶数也不行。
所以a不能是奇数，那么只能是偶数，于是由a+i=10知，i也是偶数。
用同样的方法可以得到c，g也只能是偶数。也就是说，图1中四个角上的
数都应填偶数。
（5）试验填数排出幻方
因为e=5，a，c，g，i是偶数，所以a的范围有2，4，6，8四 个数，根据
幻和等于15进行试验：
当a=2时，i=8，c可填4，6。若c=4，则 有g=6，b=9，d=7，f=3，h=1；若
c=6，则有g=4，b=7，d=9，f=1，h= 3，这样填出两个三阶幻方。
当a=4，6，8时，请同学们自己用上面的方法进行试验填数，作为练习。
用1～9这九个数编排的三阶幻方有八个，如图3所示。

说明：在上面图形中给出的用 1～9这九个数编排的八个三阶幻方中的任何
一个，都可以对它上面的数字进行适当的对调与旋转，从而 得到其余七个图形。
因此，我们把这八个图形给出的八个幻方算作是同一种三阶幻方。

例2 如下图的3×3的阵列中填入了1～9的自然数，构成了大家熟知的三阶幻
方。现在另有 一个3×3的阵列，请选择九个不同的自然数填入九个方格中，使
得其中最大者为20，最小者大于5， 且每一横行、每一竖行及每条对角线上三个
数的和都相等。

分析与解 所给的三阶 幻方中填入的是1～9这九个不同的自然数，其中最大的为
9，最小的为1，要使新编制的幻方中最大数 为20，而9＋11=20，因此，如果在
所给幻方中各数都增加11，就能构成一个新幻方，并且满足 最大数为20，最小
数大于5。


例3 请编出一个三阶幻方，使其幻和为24。
分析与解 根据题意，要使三阶幻方的幻和为24，所以中心 数必为24÷3=8。那
么与8在一条直线上的各个组的其余两个数的和为16。
1+15=16 2+14=16 3+13=16 4+12=16 5+11=16 6+10=16 7+9=16
按上述条件填出并调整可得到一个三阶幻方，其幻和为24（如图7）。

例4 在图8中的A，B，C，D处填上适当的数，使其成为一个三阶幻方。

分析与解 从第一行和对角线可得，
A＋7＋D=A＋10＋6
7＋D=16
D=9
这样幻和=9＋15＋6=30
从第一行中可求出
A=30-（7＋9）=14；
从第二行中可求出B=30-（10＋15）=5；
从第三行中可求出C=30-（11+6）=13。
例5 在3×3的阵列中，第一行第三列的位置上 填5，第二行第一列的位置上填
6，如图9。请你在其他方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方 向的三
个数之和均为36。

分析与解 为了叙述方便，我们将其余格内的数用字母表示，如图10。
因为幻和为36，所以可求出中心数为：
36÷3=12，即C=12。
从第二行中可求出D=36-（6＋12）＝18；
从对角线中可求出E＝36-（5＋12）=19；
从第一列中可求出A=36-（6＋19）=11；
从第一行中可求出B=36-（11＋5）=20；
从第二列中可求出F=36-（20+12）＝4；
从第三列中可求出G=36-（5＋18）=13。
得到的三阶幻方如图11。


从上面的例题我们不难看出：要填出一个三阶幻方，中心数起着至关重要的作
用 。利用幻和=中心数×3这个关系式，在已知幻和的情况下，可先求出中心数；
在已知中心数的情况下， 可求出幻和，以便其他数的求出。
三阶幻方， 幻和为15
是最简单的幻方 由1,2,3,4,5,6,7,8,9
九个数字组成的一个 三行三列的 矩阵
其对角线 横行 纵向 的数字 的和都为为15
想：1+9=10，2+8=10，3+7=1 0，4+6=10。这每对数的和再加上5都等于15，可确定中
心格应填5，这四组数应分别填在横、 竖和对角线的位置上。先填四个角，若填两对奇数，
那么因三个奇数的和才可能得奇数，四边上的格里已 不可再填奇数，不行。若四个角分别填
一对偶数，一对奇数，也行不通。因此，判定四个角上必须填两对 偶数。对角线上的数填好
后，其余格里再填奇数就很容易了。
解：
上面是 最简单的幻方，也叫三阶幻方。相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟”
背上有美妙的图案，史称 “洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方。
南宋数学家杨辉概括其构造方法为：“九子斜排。上下对易，左右相更。四维突出。”
公式
S=n(n ^2+1) 2
其中n为幻方的阶数，所求的数为S