小学数学教材教法五年级数学资料

2020年11月11日发(作者：蒲敏功)
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北师大版五年级上册期末知识点汇总

第一单元 小数除法

1、除数是整数的小数除法计算法则：

除数 是整数的小数除法，按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数
点对齐;如果除到被除数的 末尾仍有余数，就在余数后面添0再继续除。

2、除数是小数的小数除法计算法则：

除数是小数的除法，先移动除数的小数点，使它变成整数;除数的小数点向右移动几
位，被除数 的小数点也向右移动几位(位数不够的，在被除数末尾用0补足)，然后
按照除数是整数的小数除法进行 计算。

3、 在小数除法中的发现：

①当除数大于1时，商小于被除数。

如：3.5÷5=0.7

②当除数小于1时，商大于被除数。

如：3.5÷0.5=7

4、小数除法的验算方法：

①商×除数=被除数(通用)

②被除数÷商=除数

5、商的近似数：

根据要求要保留的小数位 数，决定商要除出几位小数，再根据“四舍五入”法保留一
定的小数位数，求出商的近似数。例如：要求 保留一位小数的，商除到第二位小数
可停下来;要求保留两位小数的，商除到第三位小数停下来……如此 类推。

6、循环小数问题：

A、小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。如，0.37、1.4135等。

B、小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。如5.3… 7.145145…等。
< br>C、一个数的小数部分，从某位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这
样的小数叫做循 环小数。(如5.3… 3.12323… 5.7171…)

D、一个循环小数的小数部分，依次不断重复的数字，叫做小数的循环节。(如5.333…
的循环节是3， 4.6767…的循环节是67， 6.9258258…的循环节是258)

7、用简便方法写循环小数的方法：

只写一个循环节，并在这个循环节的首位和末位上面记一个小圆点。

只有一个数字循环节的，就在这个数字上面记一个小圆点

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有两位小数循环的，就在这两位数字上面，记上小圆点

有三位或以上小数循环的，在首位和末位记上小圆点

8、除法中的变化规律：

①商不变性质：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数( 0除外)，商不变。

②除数不变，被除数扩大，商随着扩大。 被除数不变，除数缩小，商扩大。

③被除数不变，除数缩小，商扩大。

第二单元 轴对称和平移

1.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的 图形能够完全重合，这个
图形就是轴对称图形，那条直线就叫做对称轴。两图形重合时互相重合的点叫做 对
应点，也叫对称点。

2.轴对称图形的性质：对应点到对称轴的距离相等，对应点连线垂直于对称轴。

3.轴对称图形具有对称性。

4轴对称图形的法：

（1）找出所给图形的关键点，如图形的顶点、相交点、端点等；

（2）数出或量出图形关键点到对称轴的距离；

（3）在对称轴的另一侧找出关键点的对称点；

（4）按照所给图形的顺序连接各点，就画出所给图形的轴对称图形。

5.平移的定 义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运
动称为平移。

6.平移的基本性质：

（1）平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。

（2）经过平移，对应线段，对应角分别相等；对应点所连的线段平行且相等。

7.平移图形的画法：

（1）确定平移的方向与距离。

（2）将关键点按所需方向平移所需距离。

（3）按原来图形的连接方式依次连接各对应点并标上相应字母。

8.运用旋转设计图案的方法：

（1）选好基本图案；

（2）根据所选的基本图案确定旋转点；

（3）确定旋转度数；

（4）依次沿每次旋转后的基本图形的边缘画图。

9.运用对称设计图案的方法：

（1）先选好基本图案；

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（2）依据基本图案的特点定好对称轴；

（3）画出基本图形的对称图形

第三单元 倍数和因数

1.认识自然数和整数，联系乘法认识倍数与因数。

像0，1，2，3，4，5，6，…这样的数是自然数。

像-3，-2，-1，0，1，2，3，…这样的数是整数。

我们只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。

倍数与因数是相互依存的关系，要说清谁是谁的倍数，谁是谁的因数。

补充知识点：

一个数的倍数的个数是无限的。因数个数是有限的。

一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身；

一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

2，5的倍数的特征

2的倍数的特征：个位上是0，2，4，6，8的数是2的倍数。

5的倍数的特征：个位上是0或5的数是5的倍数。

偶数和奇数的定义：

是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。

能判断一个数是不是2或5的倍数。能判断一个非零自然数是奇数或偶数。

补充知识点：

既是2的倍数，又是5的倍数的特征：个位上是0的数既是2的倍数，又是5的倍
数。

3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

同时是2和3的倍数的特征：个位上的数是0，2，4，6，8，并且各个数位上的数
字的和是3的倍数 的数，既是2的倍数，又是3的倍数。

同时是3和5的倍数的特征：个位上的数是0或5，并 且各个数位上的数字的和是
3的倍数的数，既是3的倍数，又是5的倍数。

同时是2 ，3和5的倍数的特征：个位上的数是0，并且各个数位上的数字的和是3
的倍数的数，既是2和5的倍 数，又是3的倍数。

6的倍数的特征：既是2的倍数又是3的倍数的数。

9的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是9的倍数，这个数就是9的倍数。

找因数

在1～100的自然数中，找出某个自然数的所有因数。方法：运用乘法算式 ，思考：
哪两个数相乘等于这个自然数。

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补充知识点：

一个数的因数的个数是有限的。其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

找质数

理解质数与合数的意义。

一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。

一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫作合数。

1既不是质数也不是合数。

判断一个数是质数还是合数的方法：

一般来说，首先可以用“2，5，3的倍数的特征”判断这个数是否有因数2，5，3；如
果还无法判断 ，则可以用7，11等比较小的质数去试除，看有没有因数7，11等。
只要找到一个1和它本身以外的 因数，就能肯定这个数是合数。如果除了1和它本
身找不到其他因数，这个数就是质数。

数的奇偶性

运用“列表”“画示意图”等方法发现规律：

小船最 初在南岸，从南岸驶向北岸，再从北岸驶回南岸，不断往返。通过“列表”“画
示意图”的方法会发现“ 奇数次在北岸，偶数次在南岸”的规律。

能够运用上面发现的数的奇偶性解决生活中的一些简单问题。

通过计算发现奇数、偶数相加奇偶性变化的规律：

偶数＋偶数=偶数 奇数＋奇数=偶数

偶数＋奇数=奇数 偶数－偶数=偶数

奇数－奇数=偶数 偶数－奇数=奇数

奇数－偶数=奇数 偶数 × 偶数=偶数

偶数 × 奇数=偶数 奇数 × 奇数=奇数

第四单元 多边形面积

比较图形的面积

借助方格纸，能直接判断图形面积的大小。

平面图形面积大小的比较有多种方法：

根据图形面积的大小，可以直接进行比较；可 以借助参照物进行比较；可以运用重
叠的方法进行比较；借助方格，利用数方格的的方法进行比较；直接 计算面积后再
进行比较等。

图形面积相同，其形状可以是不同的。

补充知识点：

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确定一个图形面积的大小，不仅 是根据图形的形状，更重要的是根据图形所占格子
的多少来确定。

地毯上的图形面积

根据地毯上所给图案探求不规则图案面积的计算方法。

直接通过数方格的方法，得出答案的面积。

将图案进行“化整为零”式的计算，即根 据图案的特点，将整体的图案分割为若干个
相同面积的小图案，通过求小图案的面积，得出整个图案的面 积。

采用“大面积减小面积”的方法，即通过计算相关图形的面积，得到所求的面积。

补充知识点：

在解决问题时，策略和方法是多种多样的。

动手做

认识平行四边形、三角形与梯形的底和高。

从平行四边形 一边的某一点到对边画垂直线段，这条垂直线段就是平行四边形的高，
这条对边是平行四边形的底。
三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。

从梯形的两条平行线中的一条上的某一点到对边画垂直线段，这条垂直线段就是梯
形的高，这条对边就是 梯形的底。

高和底的关系是对应的。

用三角板画出平行四边形的高的方法：

把三角板的一条直角边与平行四边形的一条边 重合，让三角板的另一条直角边过对
边的某一点。

从这一点沿着三角板的另一条直角 边向它的对边画垂线，这条垂线（从点到垂足）
就是平行四边形一条边上的高。

注意 ：从一条边上的任意一点可以向它的对边画高，也可以从另一条边上的任意一
点向它的对边画高。

用三角板画出三角形的高的方法：

把三角板的一条直角边对准三角形的一个顶点，另一条直角边与这个顶点的对边重
合。

从这个顶点沿着三角板的另一条直角边向它的对边画垂线，这条垂线（从顶点到垂
足）就是三角 形形一条边上的高。

用三角板画梯形的高的方法：

用同样的方法，画出梯形两条平行线之间的垂直线段，就是梯形的高。

平行四边形的面积

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平行四边形的面积=拼成的长方形的面积

长方形的长就是平行四边形的底；长方形的宽就是平行四边形的高。

因此：平行四边形面积=底×高

如果用S表示平行四边形的面积，用a和h分别表示 平行四边形的底和高，那么，
平行四边形的面积公式可以写成：

S=ah

运用平行四边形的面积计算公式计算相关图形的面积并解决一些实际问题。

补充知识点：

当平行四边形的底和高相同时，其面积也是相同的。

三角形的面积

三角形面积=两个相同三角形拼成的平行四边形的面积÷2

三角形的底和高，也就是平行四边形的底和高。

因此：

三角形面积

=平行四边形的面积÷2

=底×高÷2
< br>如果用S表示三角形的面积，用a和h分别表示三角形的底和高，那么，三角形的
面积公式可以写 成：

S=ah÷2

运用三角形的面积公式，计算相关图形的面积，解决实际问题。

补充知识点：

决定三角形面积的大小的因素不是图形的形状，而是三角形的底与高的 长度，只要
底和高相同，不同形状的三角形的面积也是相同的。

梯形的面积

梯形面积=两个相同梯形拼成的平行四边形的面积÷2

梯形的上底与下底的和就是平行四边形的底，梯形的高就是平行四边形的高。

因此：

梯形面积

=平行四边形面积÷2

=底×高÷2

=（上底+下底）×高÷2

如果用S表示梯形的面 积，用a和b分别表示梯形的上底和下底，用h表示梯形的
高，那么，梯形的面积公式可以写成：

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S=(a+b)h÷2

运用梯形面积的计算公式，解决相应的实际问题。

补充知识点：

决定梯形面积的大小的因素不是图形的形状，而是梯形的上、下底之和与高的长度，
只要上下底的和与高 相同，不同形状的梯形的面积也是相同的。

第五单元 分数的意义

分数的再认识

在具体情境中，进一步认识分数。分数对应的“整体”不同，分数所表 示的部分的大
小或具体数量也不一样，也就是分数具有相对性。

真分数与假分数

理解真分数、假分数、带分数的意义。

像12、 14、23、34，…这样的分数叫作真分数。特点：分子都比分母小；分数
值小于1。

像 32、33、54、94，…这样的分数叫作假分数。特点：分子比分母大，或者分
子与分 母相等；分数值大于或等于1。

像 ，这样的分数叫作带分数。特点：由整数和真分数两部分组成的；分数值大于1。

带分数的读法：读作：二又四分之一。

★补充知识点：

分子是分母倍数的假分数可以化成整数。

分子不是分母倍数的假分数可以化成带分数。

分数与除法

理解分数与除法的关系：被除数÷除数=（除数不为0）。

分数的分母不能是0。因 为在除法中，0不能做除数，因此根据分数与除法的关系，
分数中的分母相当于除法中的除数，所以分母 也不能是0。

运用分数与除法的关系解决实际问题。用分数来表示两数相除的商。

根据分数与除法的关系把假分数化成带分数的方法：

用分子除以分母，把所得的商写 在带分数的整数位置上，余数写在分数部分的分子
上，仍用原来的分母作分母。

把带分数化成假分数的方法：

将整数与分母相乘的积加上原来的分子作分子，分母不变。

分数基本性质

理解分数的基本性质：

分数的分子和分母都乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

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联系分数与除法的关系以及“商不变”的规律，来理解分数的基本性质。
分子相当于被除数，分母相当于除数，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除
外），商不变。因 此分数的分子和分母都乘或除以相同的数（0除外），分数的大
小也是不变的。

运用分数的基本性质，把一个分数化成指定分母（或分子）而大小不变的分数。

找最大公因数

理解公因数和最大公因数的意义。

几个数公有的因数是这几个数的公因数，其中最大的一个是它们的最大公因数。

找两个数的公因数和最大公因数的方法：

1、列举法：运用找因数的方法先分别找到 两个数各自的因数，再找出两个数的因数
中相同的因数，这些数就是两个数的公因数；再看看公因数中最 大的是几，这个数
就是两个数的最大公因数。

补充知识点：

其他找最大公因数的方法：

2、找两个数的公因数和最大公因数，可以先找出两个数 中较小的数的因数，再看看
这些因数中有哪些也是较大的数的因数，那么这些数就是这两个数的公因数。 其中
最大的就是这两个数的最大公因数。

例如：找15和50的公因数和最大公因数：

可以先找出15的因数：1，3，5， 15。再判断4个数中，哪几个也是50的因数，
只有1和5，1和5就是15和50的公因数。5就是 它们的最大公因数。

3、如果两个数是不同的质数，那么这两个数的公因数只有1。

4、如果两个数是连续的自然数（0除外），那么这两个数的公因数只有1。

5、如果两个数具有倍数关系，那么较小的数就是这两个数的最大公因数。

6、短除法

偶数与所有奇数的最大公因数是1；一个数与它的的倍数的最大公因数是它本身。

约分

理解约分的含义：

把一个分数的分子、分母同时除以公因数，分数的值不变，这个过程叫做约分。

理解最简分数的含义：

像13这样分子、分母公因数只有1了，不能再约分了，这样的分数是最简分数。

掌握约分的方法：

约分的方法一般有两种，一种是用两个数的公因数一个一个去除， 另一种是直接用
两个数的最大公因数去除。

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补充知识点：

比较分数大小时，分母相同的、分子相同的可以直接比较，有些时候分 子分母都不
相同可以采用约分后进行比较的方法。例如：○

找最小公倍数

理解公倍数和最小公倍数的含义。

两个数公有的倍数叫做这两个数的公倍数，其中最小的一个，叫做最小公倍数。

找两个数的公倍数和最小公倍数的方法：

1、先找出两个数各自的倍数（限制一定的 范围内），再找出公有的倍数，找出两个
数公有的倍数，看看这些公倍数中最小的是几，这个数就是两个 数的最小公倍数。

两个数公倍数的个数是无限的，因此只有最小公倍数没有最大的公倍数。

补充知识点：

其他找公倍数和最小公倍数的方法：

2、找两个数 的公倍数和最小公倍数，可以先找出两个数中较大的数的倍数（限制一
定的范围内），再看看这些倍数中 有哪些也是较小的数的倍数，那么这些数就是这
两个数的公倍数。其中最小的就是这两个数的最小公倍数 。

例如：找6和9的公倍数和最小公倍数。（50以内）可以先找出9的倍数（50以
内）有：9，18，27，36，45，再从这些数中找出6的倍数18，36，18和36就是
6和 9的公倍数，18是最小公倍数。

3、如果两个数是不同的质数，那么这两个数的最小公倍数是两个数的乘积。

4、如 果两个数是连续的自然数（0除外），那么这两个数的最小公倍数是两个数的
乘积。

5、如果两个数具有倍数关系，那么较大的数就是这两个数的最小公倍数。

6、短除法求最小公倍数

分数的大小

理解通分的含义：

把分母不相同的分数化成和原来分数相等、并且分母相同的分数，这个过程叫作通
分。

★通分的两个要点：和原来分数相等；分母相同。

■分数大小比较：

同分母分数相比较，分子越大分数越大。

同分子分数相比较，分母越小分数越大。

分子分母都不相同的分数相比较的方法：

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用 通分的方法把分母不相同的分数化成和原来分数相等、并且分母相同的分数，再
比较大小。（把两个分数 化成分子相同的分数，再比较大小）

补充知识点：

通分一般以最小公倍数作分母。

第六单元 组合图形的面积

组合图形面积

了解组合图形：

有几个简单的图形拼出来的图形，我们把它们叫做组合图形。

计算组合图形的面积的方法是多种多样的。一般运用的方法是“分割法”和“添补法”。
分割法，即将这个图形分割成几个基本的图形。分割图形越简洁，其解题的方法也
将越简单，同时又 要考虑分割的图形与所给条件的关系。

添补法，即通过补上一个简单的图形，使整个图形变成一个大的规则图形。

运用所学的知识，解决生活中组合图形的实际问题。

能正确估计不规则图形面积的大小。

能用数格子的方法，计算不规则图形的面积。

估计、计算不规则图形面积的内容主要 是以方格图作为北京进行估计与计算的，所
以借助方格图能帮助建立估计与计算不规则图形面积的方法。

鸡兔同笼

知识点：借助“鸡兔同笼”这个载体经历列表、尝试和不断调整 的过程，从中体会出
解决问题的一般策略—列表。

点阵中的规律

知识点：能在观察活动中，发现点阵中隐含的规律，体会到图形与数的联系。

在“点 阵中的规律”的活动中，通过观察前后图形中点的变化规律，推理出后续图形
中点的数量。

第七单元 可能性

摸球游戏（用分数表示可能性的大小）

知识点：用分数表示可能性的大小。

客观事件中，“不可能”出现的现象用数据表示 为“可能性是0”，客观事件中，“一定能”
出现的现象用数据表示为“可能性是1”，当可能性是相等 的时候，用数据表述是“12”。

逐步体会到数据表示的简洁性与客观性。

知识点：运用分数表示可能性的大小，能自主地设计一些活动方案。

对实际生活中的事件与现象，能运用可能性的知识进行合理的解释。


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北师大版五年级下册知识要点预习

第一单元 分数加减法


一、分数的意义

1、分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做
分数。

2、分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数叫做分数单位。

二、分数与除法的关系，真分数和假分数

1、分数与除法的关系：除法中的被除数相当于分数的分子，除数相等于分母。

2、真分数和假分数：

① 分子比分母小的分数叫做真分数，真分数小于1。

② 分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数大于1或等于1。

③ 由整数部分和分数部分组成的分数叫做带分数。

3、假分数与带分数的互化：

① 把假分数化成带分数，用分子除以分母，所得商作整数部分，余数作分子，分母
不变。

② 把带分数化成假分数，用整数部分乘以分母加上分子作分子，分母不变。

三、分数的基本质

分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小 不变，这叫做分
数的基本性质。

四、分数的大小比较

① 同分母分数，分子大的分数就大，分子小的分数就小；

② 同分子分数，分母大的分数反而小，分母小的分数反而大。

③ 异分母分数，先化成同分母分数（分数单位相同），再进行比较。（依据分数的
基本性质进行变化）

五、约分（最简分数）

1、最简分数：分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。

2、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。（并
不是一定要把分数化成与它相等的最简分数才叫约分；但一般要约到最简分数为
止）

注意：分数加减法中，计算结果能约分的，一般要约分成最简分数。

六、分数和小数的互化：

1、小数化分数：将小数化成分母是10、100、100 0…的分数，能约分的要约分。
具体是：看有几位小数，就在1后边写几个0做分母，把小数点去掉的部 分做分子，
能约分的要约分。

2、分数化小数：用分子除以分母，除不尽的按要求保留几位小数。（一般保留三位
小数。）

如果分母只含有2或5的质因数，这个分数能化成有限小数。如果含有2或5以外
的 质因数，这个分数就不能化成有限小数。

3、分数和小数比较大小：一般把分数变成小数后比较更简便。

七、分数的加法和减法

1、分数方程的计算方法与整数方程的计算方法一致，在计算 过程中要注意统一分数
单位。

2、分数加减混和运算的运算顺序和整数加减混和运算 的运算顺序相同。在计算过程，
整数的运算律对分数同样适用。

3、同分母分数加、减法 ：同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加减，计
算的结果，能约分的要约成最简分数。

4、异分母分数加、减法：异分母分数相加、减，要先通分，再按照同分母分数加减
法的方法进行计算；或者先根据需要进行部分通分。根据算式特点来选择方法。





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1、认识长方体、正方体，了解各部分的名称。

(1) 表面平平的部分称为面；两面相交便形成了一条棱；而三条棱又交于一点，这个
点叫作顶点。

(2) 左面的面叫左面，右面的面叫右面，上面的面叫上面，下面的面叫下面（或叫底
面）， 前面的面叫前面，后面的面叫后面。

(3) 长方体有12条棱，这12条棱中有4条长、 4条宽和4条高。正方体的12条棱
的长度都相等。


（4）正方体是特殊的长方体。因为正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体。

（5）长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4=长×4+宽×4+高×4

长方体的宽=棱长总和÷4-长-高

长方体的长=棱长总和÷4-宽-高

长方体的高=棱长总和÷4-宽-长

正方体的棱长总和=棱长×12

正方体的棱长=棱长总和÷12

2、展开与折叠 (正方体展开共11种)

第一类：1—4—1 型 6个


第二类：2—3—1 型 3个


第三类： 2—2—2 型（楼梯形）1个


第四类：3-3 型 1个


注意：（1）田字型与凹字型的全错。

（2）正方体展开至少和最多都只剪开7条棱。

3、长方体的表面积

（1）表面积的意义：是指六个面的面积之和。

（3）长方体的

表面积=长×宽×2 +长×高×2 +宽×高×2

=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2

（4）正方体的表面积=棱长×棱长×6

4、露在外面的面

（1）在观察中，通过不同的观察策略进行观察。

如：一种是看每个纸箱露在外面的面，再加到一起；

另一种是分别从正面、上面、侧 面进行不同角度的观察，看每个角度都能看到多少
个面，再加到一起。

例如：如图，4个棱长都是10厘米的正方体堆放在墙角处，露在外面的面积是多少？


解：首先应找出有多少个面露在外面：

如果用法一的方法来找：3+1+2+3=9（个）；

如果用法二的方法来找：从上 面看有3个面，从右侧面看有2个面，从正面看有4
个面，共有3+2+4=9（个）。

因为每个面都是面积相等的正方形，所以露在外面的面积=10×10×9=900（厘米2）

答：露在外面的面积一共是900平方厘米。

（2）发现并找出堆放的正方体的个数与露在外面的面的面数的变化规律。

（3）求露在外面的面的面积=棱长×棱长×露在外面的面的个数。










第二单元 长方体（一）

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分数乘法（一）知识点：

(1)理解分数乘整数的意义：分数乘整数意义同整数乘法 意义相同，就是求几个相同
加数的和的简便运算。

(2)分数乘整数的计算方法： 分母不变，分子和整数相乘的积作分子。能约分的要约
成最简分数。

(3)计算时，应该先约分再计算。

分数乘法（二） 知识点 ：

(1) 整数乘分数的意义：求一个数的几分之几是多少。

(2) 理解打折的含义。例如：九折，是指现价是原价的十分之九。

补充知识点：

① 打几折就是指现价是原价的百分之几，例如八五折，是指现价是原价的百分之八
十五。

现价=原价×折扣

原价=现价÷折扣

折扣=现价÷原价

② 买一赠一打几折： 出一个的钱拿两个货品，即 1除以2等于零点五，五折

买三赠一打几折： 出三个的钱拿四个货品，即 3除以4等于零点七五，七五折

分数乘法（三） 知识点：

1、分数 乘分数的计算方法：分子相乘做分子，分母相乘做分母，能约分的可以先约
分。（结果是最简分数。）

2、比较分数相乘的积与每一个乘数的大小：

① 真分数相乘积小于任何一个乘数；

② 真分数与假分数相乘积大于真分数小于假分数。

③ 乘数乘以<1的数，积<乘数；

乘数乘以=1的数，积=乘数；

乘数乘以>1的数，积>乘数；

3、求一个数的几分之几是多少，用乘法 。（即已知整体和部分量相对应的分率，求
部分量，用乘法）

4、倒数

（1）如果两个数的乘积是1，那么我们称其中一个数是另一个数的倒数。倒数是对
两个数来说 的，并不是孤立存在的。

（2）当互为倒数的两个数分别作为长方形的长和宽时，长方形的面积是1。

（3）1的倒数仍是1；0没有倒数。0没有倒数，是因为0不能作除数。

（4） 求一个数的倒数的方法：把这个数的分子、分母调换位置；其中整数可以看
成分母是1的分数。






















第三单元 分数乘法

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一、体积与容积概念

体积：物体所占空间的大小叫作物体的体积。（从外部测量）

容积：容器所能容纳入体的体积叫做物体的容积。（从内部测量）

注意：①同一个容 器，体积大于容积；当容器壁很薄时，容积近等于体积。如果容
器壁忽略不计时，容积等于体积。

②几个物体拼在一起时，它们的体积不发生改变（它们占空间的大小没有发生变化）

二、体积单位

1、认识体积、容积单位

常用的体积单位：立方米（m?）、立方分米（dm?）、立方厘米（cm?）

常用的容积单位：升、毫升，1升=1立方分米、1毫升=1立方厘米

2、感受1立方米、1立方分米、1立方厘米以及1升、1毫升的实际意义：

① 手指头、苹果、火柴盒体积较小，可用cm?作单位

② 西瓜、粉笔盒体积稍大，可以用dm?作单位

③ 矿泉水瓶、墨水瓶可以用毫升作单位

④热水瓶等较大盛液体容器、冰箱可以用升作单位

⑤我们饮用的自来水用“立方米”作单位

三、长方体的体积

1、长方体、正方体体积的计算方法

①长方体的体积=长×宽×高，长用a表示， 宽用b表示，高用h表示，体积用V
表示，体积可表示为V=abh

②正方体的体积=棱长×棱长×棱长，如果棱长用a表示，体积可表示为V=a?=a×
a×a

长方体（正方体）的体积=底面积×高 V=Sh

补充知识点：长方体的体积=横截面面积×长


2、能利用长方体（正方体）的体积及其他两个条件求出问题。

如：长方体的高=体积÷长÷宽

长=体积÷高÷宽 宽=体积÷高÷长

注意：计算体积时，单位一定要统一；

表面积与体积表示的意义不一样，单位不同，无法比较大小。

四、体积单位的换算 认识体积、容积单位。

常用的体积单位有：立方厘米（cm?）、立方分米（dm?） 、立方米（m?）。

常用的容积单位有：升（L）、毫升（m L）

知识点：

1、体积、容积单位之间的进率：相邻体积、容积单位间进为1000

1米?=1000分米? 1分米?=1000厘米?

1升=1分米? 1毫升=1厘米? 1升=1000毫升

2、体积、容积单位之间的换算方法：

体积、容积单位之间的换算，由高级单位化成 低级单位乘进率，由低级单位化成高
级单位除以进率

五、有趣的测量

1、不规则物体体积的测量方法：

一般都是把不规则物体的体积转化成可通过测量计 算的水的体积（注意液面是“升
高了”还是“升高到”）

注意：在测量体积较小的不 规则物体的体积时，要先测量出一定数量物体的体积，
再算出一个物体的体积

2、不规则物体体积的计算方法：现在液体体积减去原来液体体积










第四单元 长方体（二）

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第五单元 分数除法


一、分数除法（一）

分数除以整数的意义及计算方法。分数除以整数，就是求这个数的几分之几是多少。

分数除以整数（0除外）等于乘这个数的倒数。

二、分数除法（二）
< br>1、一个数除以分数的意义和基本算理：一个数除以分数的意义与整数除法的意义相
同；一个数除 以分数等于乘这个数的倒数。

2、一个数除以分数的计算方法： 除以一个数（0除外）等于乘这个数的倒数。

3、比较商与被除数的大小。

除数小于1，商大于被除数；

除数等于1。商等于被除数；

除数大于1，商小于被除数。

三、分数除法（三）

1、列方程“求一个数的几分之几是多少”的方法：

（1）解方程法：设未知数， 这里的单位“1”未知，所以设单位“1”为x，再根据
分数乘法的意义列出等量关系式解这个方程。

（2）算术方法：用部分量除以它所占整体的几分之几（ 对应量÷对应分率=标准量）

2、判断单位“1”：

①一般来说，某个数的几分之几，“某个数”就是单位“1”

②数比谁多几分之几或少几分之几，“比”字后面的数量就是单位“1”

③谁是谁的几分之几，“是”字后面的数量就是单位“1”

四、倒数

1、理解倒数的意义： 如果两个数的乘积是1，那么我们称其中一个数是另一个数
的倒数。倒 数是对两个数来说的，并不是孤立存在的。

2、求倒数的方法：把这个数的分子和分母调换位置。

3、1的倒数仍是1；0没有倒数。（0没有倒数，是因为在分数中，0不能做分母。）


第六单元 确定位置


确定位置（一）知识点

1、 认识方向与距离对确定位置的作用。

2、 能根据方向和距离确定物体的位置。

3、 能描述简单的路线图。

确定位置（二）知识点

了解确定物体位置的方法。

能根据平面图 确定图中任意两地的相对位臵（以其中一地为观察点，度量另一地所
在方向以及两地的距离）

1、数对：一般由两个数组成。 作用：数对可以表示物体的位置，也可以确定物体
的位置。

2、行和列的意义：竖排叫做列，横排叫做行。

3、数对表示位置的方 法：先表示列，再表示行。用括号把代表列和行的数字或字母
括起来，再用逗号隔开。例如：在方格图（ 平面直角坐标系）中用数对（3，5）表
示（第三列，第五行）

（1）在平面直角坐 标系中X轴上的坐标表示列，y轴上的坐标表示行。如：数对（3,2）
表示第三列，第二行。

（2）数对（X，5）的行号不变，表示一条横线，（5，Y）的列号不变，表示一条
竖线。（ 有一个数不确定，不能确定一个点）

4、两个数对，前一个数相同，说明它们所表示物体位置在同一列上。

如：（2，4）和（2，7）都在第2列上。

5、两个数对，后一个数相同，说明它们所表示物体位置在同一行上。

如：（3，6）和（1，6）都在第6行上。

6、图形平移变化规律：

（1）图形向左平移，行数不变，列数减去平移的格数。 图形向右平移，行数不变，
列数加上平移的格数。

（2） 图形向上平移，列数不变，行数加上平移的格数。 图形向下平移，列数不变，
行数减去平移的格数。


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1、列方程解应用题的步骤：

（1）找到题中的等量关系式

（2）解设所求量为x

（3）根据等量关系式列出相应的方程

（4）解答方程，注意计算结果不带单位

（5）检验做答

2、在有多个未知数量的应用题中，通常应将1倍数设为x，举例如下：

例：爸爸的 年龄是儿子年龄的4倍，父子俩年龄之和为40，求父亲和儿子的年龄各
是多少岁？

解：首先根据题意找出等量关系式：爸爸年龄+儿子年龄=40

因为儿子年龄是1倍 数，所以：设儿子年龄为x岁，那么爸爸年龄就是4x，代入等
量关系式得：





爸爸年龄为：4x=4×8=32(岁)

答：爸爸的年龄为32岁，儿子的年龄为8岁。

3、相遇问题涉及到的公式：

路程=速度×时间

时间=路程÷速度

相距距离=速度和×相遇时间


第八单元 数据的表示和分析


1、条形统计图

优点：很容易看出各种数量的多少。

注意：画条形统计图时，直条的宽窄必须相同。

取一个单位长度表示数量的多少要根据具体情况而确定；

复式条形统计图中表示不同 项目的直条，要用不同的线条或颜色区别开，并在制图
日期下面注明图例。

2、折线统计图

用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把 各点用线段顺
次连接起来。

优点：不但可以表示数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。

注意 ：折线统计图的横轴表示不同的年份、月份等时间时，不同时间之间的距离要
根据年份或月份的间隔来确 定。

3、扇形统计图

用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。

优点：很清楚地表示出各部分同总数之间的关系。


第七单元 用方程解决问题