数学必修二课后习题答案第一讲什么是数学

2020年11月11日发(作者：夏御带)
数学通史
目录
序 言
第一篇 6世纪前的数学
第1章 古代数学
1.1 古代文明
1.2 计数
1.3 算术计算
1.4 线性方程
1.5 初等几何
1.6 天文计算
1.7 平方根
1.8 毕达哥拉斯定理
1.9 二次方程 第2章 希腊数学的开始
2.1 最早的希腊数学
2.2 柏拉图时期
2.3 亚里士多德
2.4 欧几里得与《原本》
2.5 欧几里得的其他著作 第3章 阿基米德与阿波罗尼乌斯
3.1 阿基米德和物理学
3.2 阿基米德和数值计算
3.3 阿基米德与几何
3.4 阿波罗尼乌斯之前的圆锥曲线研究
3.5 阿波罗尼乌斯的圆锥曲线论第4章 古希腊时代的数学方法
4.1 托勒密之前的天文学
4.2 托勒密与《大成》
4.3 实用数学第5章 希腊数学的晚期
5.1 尼可马科斯和初等数论
5.2 丢番图和希腊代数
5.3 帕普斯与分析
第二篇 中世纪的数学：500-1400
第6章 中世纪的中国和印度
6.1 中世纪的中国数学简介
6.2 观测的数学和天文学
6.3 不定分析
6.4 解方程
6.5 中世纪印度数学介绍
6.6 印度三角学
6.7 印度对不定方程的研究
6.8 代数与组合学
6.9 印度－阿拉伯十进位值制数表
第7章 伊斯兰数学
7.1 十进制算术
7.2 代数
7.3 组合数学
7.4 几何学
7.5 三角学 第8章 中世纪的欧洲数学
8.1 几何学和三角学
8.2 组合学
8.3 中世纪的代数
8.4 运动的数学
插入章 世界各地的数学
Ⅰ.1 14世纪转折时期的数学0
Ⅰ.2 美洲、非洲以及太平洋地区的数学第三篇 早期近代数学：1400-1700
第9章 文艺复兴时期的代数
9.1 意大利的算图学家
9.2 法国、德国、英国和葡萄牙的代数
9.3 三次方程的求解
9.4 韦达和斯蒂文的工作第10章 文艺复兴时期的数学方法
10.1 透视学
10.2 地理和航海
10．3 天文学和三角学
10．4 对数
10．5 运动学第1l章17世纪的几何、代数和概率
11．1 解析几何
11．2 方程理论
11．3 初等概率论
11．4 数论
11．5 射影几何第12章 微积分的开端
12．1 切线和极值
12．2 面积和体积
12．3 幂级数
12．4 曲线求长法和基本定理
12．5 伊萨克·牛顿
12．6 戈特弗里德·威廉·莱布尼茨
12．7 第一批微积分教科书第四篇 近代数学：1700一2000
第13章 18世纪的分析学
13．1 微分方程
13．2 微积分学课本
13．3 重积分
13．4 偏微分方程：波动方程
13．5 微积分学的基础第14章 18世纪的概率、代数和几何
14．1 概率论
14．2 代数与数论
14．3 几何学
14．4 法国大革命与数学教育
14．5 美洲的数学发展第15章 19世纪的代数
15．1 数论
15．2 解代数方程
15．3 群和域——结构研究的开始
15．4 符号代数
15．5 矩阵和线性方程组第16章 19世纪的分析
16．1 分析的严谨性
16．2 分析的算术化
16．3 复分析
16．4 向量分析
16．5 概率论与统计学第17章 19世纪的几何学
17．1 微分几何学
17．2 非欧几里得几何
17．3 射影几何
17．4 n维几何
17．5 几何基础第18章 20世纪的数学
18．1 集合论：问题和悖论
18．2 拓扑学
18．3 代数方面的新思想
18．4 计算机及其应用

第一讲 6世纪前的数学
一． “什么是数学？”
数学本身是一个历史的概念，数学的内涵 随着时代的变化而变化，给数学下
一个一劳永逸的定义是不可能的。我们在这里就从历史的角度来谈谈“ 什么是数
学”这个问题。
公元前6世纪前，数学主要是关于“数”的研究。这一时期在古 埃及、巴比伦、
印度与中国等地区发展起来的数学，主要是计数、初等算术与算法，几何学则可
以看作是应用算术。从公元前6世纪开始，希腊数学的兴起，突出了对“形”的研
究。数学于是成为了关 于数与形的研究。
公元前4世纪的希腊哲学家亚里士多德将数学定义为“数学是量的科学。”（其中“量”的涵义是模糊的，不能单纯理解为“数量”。）
直到16世纪，英国哲学家培根 将数学分为“纯粹数学”与“混合数学”。在17
世纪，笛卡儿认为：“凡是以研究顺序和度量为目的科 学都与数学有关。”在19
世纪，根据恩格斯的论述， 数学可以定义为：“数学是研究现实世界的空间形式
与数量关系的科学。”
从20世纪8 0年代开始，学者们将数学简单的定义为关于“模式”的科学：“数
学这个领域已被称为模式的科学， 其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的
抽象世界中所观察到的结构和对称性。”

二．数与形的概念的产生
人类在蒙昧时代就已具有识别事物多寡的能力。原始人在采 集、狩猎等生产
活动中首先注意到一只羊与许多羊、一头狼与整群狼在数量上的差异。通过一只
羊与许多羊、一头狼与整群狼的比较，就逐渐看到了一只羊、一头狼、一条鱼、
一棵树等等之间存在着某 种共通的东西（即它们的单位性）。当对数的认识变得
越来越明确时，人们感到有必要以某种方式来表达 事物的这一属性，于是导致了
记数。

古代的记数方法：
1. 手指计数：利用两只手的十个手指。亚里士多德指出：十进制的广泛
采用，只不过是我们绝大多数人生来 具有10个手指这一事实的结果。
2. 石子记数：在地上摆小石子，但记数的石子堆很难长久保存。
3. 结绳记数：在一根绳子 上打结来表示事物的多少。比如今天猎到五头
羊，就以在绳子上打五个结来表示；约定三天后再见面，就 在绳子上打三个结，
过一天解一个结；等等。
秘鲁的印加族人（印第安人中的一部分）古 时（公元前1500年前）每收进
一捆庄稼，就在绳上打个结，用来记录收获的多少。
中国古代文献《周易 系辞下》有“上古结绳而治”之说。“结绳而治”即结绳
记数或结绳记事。
结绳记数这种方法，不但在远古时候使用，而且一直在某些民族中沿用下来。
宋朝人在一本 书中说：“鞑靼无文字，每调发军马，即结草为约，使人传达，急
于星火。”这是用结草来调发军马，传 达要调的人数。
其他如藏族、彝族等，虽都有文字，但在一般不识字的人中间都还长期使用
这种方法。中央民族大学就收藏着一副高山族的结绳，由两条绳子组成：每条上
有两个结，再把两条绳 结在一起。
4. 刻痕记数：1937年在维斯托尼斯（摩拉维亚）发现一根40万年前的
幼狼前肢骨，7英寸长，上面有55道很深的刻痕。这是已发现的用刻痕方法计
数的最早资料。 直到今天，在欧、亚、非大陆的某些地方，仍然有一些牧人用在
棒上刻痕的方法来计算他们的牲畜。

直到距今大约五千年前，终于出现了书写记数以及相应的记数系统。我们介
绍几 种古老文明的早期记数系统。（按时代顺序）
1. 古埃及的象形数字（公元前3400年左右）
2. 巴比伦楔形文字（公元前2400年左右）
3. 中国甲骨文数字（公元前1600年左右）
4. 希腊阿提卡数字（公元前500年左右）
5. 中国筹算数码（公元前500年左右）
6. 印度婆罗门数字（公元前300年左右）
7. 玛雅数字（？）

而我们现代广泛使用的是阿拉伯数字。其实，这些阿拉伯数字并不是阿拉伯
人发明创造的，而是发源于古 印度，后来被阿拉伯人掌握、改进，并传到了西方，
西方人便将这些数字称为阿拉伯数字。以后，以讹传 讹，世界各地都认同了这个
说法。

与数的概念形成一样，人类最初的几何知识 也是他们从对形的直觉中萌发出
来的，例如，不同种族的人都注意到了圆月和挺拔的松树在形象上的区别 。几何
学便是建立在对这类从自然界提取出来的“形”的总结的基础之上。例如，一个平
面只不 过是一片平地的表面，而一条直线则是拉紧了的一段绳子，来自希腊文的
英文Hypotenuse（斜 边、弦）原先的意思就是“拉紧”。同样，三角形、圆、正方
形、长方形等一系列几何形式的概念也来自 于人们的观察和实践。
在不同的地区，几何学的这种实践来源方向不尽相同。
1. 古埃及几何学：正如古罗马历史学家希罗多德所指出的，埃及的几何
学是“尼罗河的馈赠”。一年一度的 尼罗河洪水冲毁了某个人的土地，那么他就必
须向法老报告所受的损失。法老会派专人来测量所失去的土 地，再按相应的比例
减税。这样一来，几何学就产生并发展起来了。这类专门负责测量事物的人有专门的名称，叫做“司绳”。
2. 巴比伦人的几何学：也是源于实际的测量，它的重要 特征是其算术性
质，至少在公元前1600年，他们就已熟悉长方形、直角三角形和等腰三角形和
某些梯形的面积计算。
3. 古印度几何学：起源与宗教实践密切相关，公元前8世纪至 5世纪形
成的所谓“绳法经”，便是关于祭坛与寺庙建造中的几何问题及其求解法则的记
载。
4. 古代中国几何学：起源更多地与天文观测相联系。中国最早的数学经
典《周髀 算经》（至晚在公元前2世纪成书）事实上是一部讨论西周初年天文测
量中所用数学方法的著作。
第二讲 中世纪的数学（公元500-1000年）
一、欧洲中世纪的数学
中世 纪开始于公元476年西罗马帝国灭亡，约结束于15世纪。这一千年的
历史大致可以分为两段。十一世 纪之前常称为黑暗时代，这时西欧在基督教神学
和烦琐哲学的教条统治下，人们失去了思想自由，生产墨 守成规，技术进步缓慢，
数学停滞不前。十一世纪以后情况稍有好转。
希腊文化通过罗马人传 到中世纪的很少，这大部分体现在博伊西斯(约480～
524)的著作中。他的《算术原理》大体上是 新毕达哥拉斯学派数学家尼科马霍斯
《算术入门》的译本，但若干精彩的命题均被删去。博伊西斯的《几 何》取材于
欧几里得《几何原本》，但却完全没有证明，因为他认为证明是多余的。
公元52 9年，东罗马帝国皇帝查士丁尼勒令关闭雅典的学校，严禁研究和传
播数学。数学发展再一次受到沉重的 打击。此后数百年，值得称道的数学家屈指
可数，而且多是神职人员。
号称博学多才的比德是 英国的僧侣学者，终生在修道院度过。他的本领是会
算复活节(每年过春分月圆后的第一个星期日)的日 期，和用手指来计算。稍后的
阿尔昆也是著名的英国神学家。781年左右，接受查理曼大帝的聘请，到 法兰克
王国担任宫廷教师和顾问。他所编的算术书，现在看来是相当粗浅的。热尔贝原
是兰斯的 大主教，后被选为教皇，改名西尔威斯特二世。他热心提倡学术，对推
动“四艺”(音乐、几何、算术、 天文)的学习有一定的功劳。
十字军远征(1096～1291)使欧洲人接触到阿拉伯国家所保有古 代文化宝藏。
他们将大量的阿拉伯文书籍译成拉丁文。于是希腊、印度和阿拉伯人创造的文化，
还有中国的四大发明便传到了欧洲。意大利地处东西方交通的要冲，逐渐成为新
的经济和文化中心。 < br>12、13世纪欧洲数学界的代表人物是斐波那契，他向欧洲人介绍了印度-阿
拉伯数码和位值制 记数法，以及各种算法在商业上的应用。中国的盈不足术和《孙
子算经》的不定方程解法也出现在斐波那 契的书中。此外他还有很多独创性的工
作。14世纪的法国主教奥尔斯姆引入了分指数记法和坐标制的思 想，后者是从
天文、地理经纬度到近代坐标几何的过渡。英国大主教布雷德沃丁的算术、几何、
力学的著作影响也很大。欧洲第一本系统的三角学作者是雷格蒙塔努斯。
文艺复兴以后，人类摆脱了中世纪束缚思想的精神枷锁，迎接了一个新时代到
来。
二、中国中世纪的数学
中世纪时期的中国数学基本上可以分成两个阶段：隋唐时期（581—907）
和宋元时期（960—1368）。 隋唐时期，中国建立了数学教育制度，同时在中外
数学交 流方面也达到了一个高峰。宋元时期，数学水平大为提高，出现了被称为
宋元数学大家的秦九韶、李冶、 杨辉、朱世杰，以及其他著名学者刘益、贾宪、
沈括等人。这一时期的成就，如珠算、天元术、四元术、 大衍求一术等，代表了
中国古典数学的最高成就。
中国的数学教育有悠久的历史，据 史籍记载，周代就开始有了数学教育。但
是，直到隋唐时代才建立了数学教育制度。隋代存在的时间虽然 不长（581—618），
但却建立了最高学府——国子寺，并在国子寺里设立了明算学。国子寺相当于 现
今的国立大学，明算学相当于现今的数学系。国子寺在中国开创了高等数学教育
机构，并设置 算学博士2 人，算助教2 人，从事数学教育工作。国子寺招收学
生一般在80 人左右。到了唐代， 在隋代数学教育的基础上，进一步发展了数学
教育。唐初在最高学府——国子监里增设六个专科，即明经 、进士、秀才、明法、
明字及明算六科。出于教学的需要，李淳风等人奉勅注释并校订了十部数学书，< br>作为明算科的教科书。根据史料记载，这十本书是《九章》、《海岛算经》、《孙子
算经》、《五 曹算经》、《张邱建算经》、《周髀》、《五经算术》、《缀术》、《辑古算经》
和《夏侯阳算经》。这 十部数学书称为“十部算经”，是明算科学生的主要教科书。
学习期间，有的学生还兼学《数术记遗》和 《三等数》。明算科的学制年限为7 年，
学习期满后要进行考试，要求“明数造术，详明术理，然后为 通”。考试合格的人
员将交给吏部录用，给予九品以下的官级。
隋唐设立了算学主要 是因为赋税量和名目的增加，对算学的社会需要越来越
大。但是统治者解决这一需要的方法不是提高算学 的社会地位，用物质利益诱导
知识层投身于算学，而是使算学职业化、技艺化。算学的设立，就是把计算 职业
化的一种措施。把算学推入“吏”这个社会阶层，从而导致士大夫与算学的进一步
分离。例 如汉代大儒巨卿刘向、郑玄、张衡等人都通晓数学；南北朝的一些算学
名家如何承天、祖冲之等也大多兼 通儒术。然而自隋唐以后，算学名家却大多非
僧即道，或是太史局专职官员，如僧一行、付仁均、李淳风 等人，很少是名儒巨
宦了。算学的设立，最大功绩在于满足了社会对算学日益增加的需求，为社会的许多部门培养了专业书计人员，从而对于数学——尤其实用数学的普及起了积极
作用。不过，这些专 职人员大多是所谓“俗吏”，社会地位不高，从事的工作也是
一些琐屑偎杂的简单计算，无需高深的数学 理论，更缺乏深入钻研的精神。因此，
南北朝时圆周率的计算已经很进步，但是直到明代，“周三径一、 方五斜七”的歌
诀仍被一些算学著作津津乐道地重复着。由此可见，官设算学校对算学的发展所
起作用是很有限的。
这一时期，中国与周边国家的学术交流十分繁荣。中国数学原著通过佛教 僧
侣传入朝鲜，朝鲜还仿照隋唐数学教育制度，建立了国学（后改为大学监）。日
本采取的数学 教育制度，也是仿照唐制。而且唐代随使船来中国留学的日本学生
及僧侣有十余批，共约2000 人。 乘商船求学的有二三十批，人数更多。其中有
不少人就是专门来学习历法和数学的。此外，印度的一些数 学知识也于这一时期
传入中国，如印度数码、正弦数值表等。同时，有人发现印度古代数学与中国古代数学有很多相似之处，甚至有个别部分完全一样。就时间上来说，其相似之处
一般晚于中国的记载 。因此，有人怀疑印度古代数学可能也受到过中国古代数学
的某些影响。前苏联著名数学家哥尔门果洛夫 指出：“中国数学和希腊、罗马、
印度、中亚和中世纪欧洲的关系还很少研究，但这种关系是存在的。不 少国家的
数学手稿上，算题和数据恰恰与中国的原著相同。”由此可见，中国数学对世界
数学的 发展也有突出的贡献。