心有余悸的意思：随机抽样教案(绝对经典)

2020年11月11日发(作者：雷绍康)
第十章 统计与统计案例

第1节 随机抽样
【最新考纲】 1.理解随 机抽样的必要性和重要性；2.会用简单随机抽样方法从总体中
抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法 .会用随机抽样的基本方法解决一些简单的实际
问题.
【高考会这样考】 1.考查随机抽样 方法及有关计算，特别是分层抽样是近几年的考查
热点；2.在解答题中与概率有关的问题结合进行考查 ．
要 点 梳 理
1.简单随机抽样
(1)定义：设一个总体含有N个个体，从 中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，
如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相 等，就把这种抽样方法叫做简单随
机抽样.
(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法.
2.系统抽样
(1)定 义：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定
出的规则，从每一部分 抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样.
(2)系统抽样的操作步骤
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本.
①先将总体的N个个体编号；
N N
②确定分段间隔k，对编号进行分段，当
n
(n是样本容量)是整数时，取k＝n
；
③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；
④按照一 定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k
得到第3个个体编号 (l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本.
3.分层抽样
(1)定义：在抽样时， 将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽
取一定数量的个体，将各层取出的个体 合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样.
(2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样.
[友情提示]
1.三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，
体现了 这三种抽样方法的客观性和公平性.若样本容量为n，总体容量为N，每个个体被
n
抽到的概率 是
N
.
2.系统抽样抽取的个体编号从小到大成等差数列.
基 础 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关.( )
(2)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样.( )
(3)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.( )
(4)要从1 0 02个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，
这样对被剔除者不公平 .( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200
名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是( )
A.总体
C.样本的容量


B.个体
D.从总体中抽取的一个样本
解析 由题目条件知，5 000名居民的阅读时间的全体是总体；其中1名居民的阅读时间
是个体；从5 000名居民某天的阅 读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽
取的一个样本，样本容量是200.
答案 A
3.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显 著差
异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )
A.抽签法
C.分层抽样法


B.系统抽样法
D.随机数法
解析 因为总体由有明显差异的几部分构成，所以用分层抽样法.故选C.
答案 C
4.从2 017名学生中选取50名学生参加全国数学竞赛，若采用以下方法选取：先用简单
随机抽样法从2 017名学生中剔除17名学生，剩下的2 000名学生再按系统抽样的方法
抽取，则每名学生入选的概率( )
A.不全相等 B.均不相等
1
D.都相等，且为
40

50
C.都相等，且为
2 017

M
解析 从N个个体中抽取M个个体，则每个个体被抽到的概率都等于
N
.
答案 C
5.从300名学生(其中男生180人，女生120人)中按性别用分层抽样的方法抽取50人参
加 比赛，则应该抽取男生人数为________.
3
解析 因为男生与女生的比例为180∶ 120＝3∶2，所以应该抽取男生人数为50×＝
3＋2
30.
答案 30
错误!
题型分类 深度解析
考点一 简单随机抽样及其应用
【例1】 (1)下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为( )
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本.
②盒子里共有80个零件，从中选出5个零 件进行质量检验.在抽样操作时，从中任意拿
出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里.
③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验.
④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的 随机数表选取5个
个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个
数字，则选出来的第5个个体的编号为( )

A.08 B.07 C.02 D.01
解析 (1)①不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的， 而不是有限的；
②不是简单随机抽样.因为它是有放回抽样；③不是简单随机抽样.因为这是“一次性” 抽
取，而不是“逐个”抽取；④不是简单随机抽样.因为不是等可能抽样.故选A.
(2)从 第1行第5列和第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为08，02，14，07，
01，所以 第5个个体编号为01.
答案 (1)A (2)D
规律方法 1.简单随机抽样是从含有 N(有限)个个体的总体中，逐个不放回地抽取样本，
且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相 等.
2.一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是号签是否易搅匀，
一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.而随机数表法适用于总体中个体数
较多的情形： 随机数表法的操作要点：编号，选起始数，读数，获取样本.
【变式练习1】 (1)下面的抽样方法是简单随机抽样的是( )
A.在某年明信片销售活动中，规定每100万张 为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定
号码的后四位为2709的为三等奖
B.某车间包装 一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是
否合格
C.某学校 分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改
革的意见
D.用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验
(2)利用简单随机抽样，从n个个体 中抽取一个容量为10的样本.若第二次抽取时，余下
1
的每个个体被抽到的概率为
3
，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( )
1
A.
4

1
B.
3

5
C.
14

10
D.
27

解析 (1)选项A，B是系统抽样，C项是分层抽样，D是简单随机抽样.
91
(2)依题意，得＝
3
，解之得n＝28.
n－1
1 05
故每个个体在抽样过程中被抽到的概率P＝
28
＝
14
.
答案 (1)D (2)C
考点二 系统抽样及其应用
【例2】 (1某学校采用 系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生
做视力检查.现将800名学生从1到 800进行编号.已知从33～48这16个数中抽到的数
是39，则在第1小组1～16中随机抽到的 数是( )
A.5 B.7 C.11 D.13
(2)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：
若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成
绩在区间[ 139，151]上的运动员人数是________.
解析 (1)把800名学生分成50组，每 组16人，各小组抽到的数构成一个公差为16的等
差数列，39在第3组.
所以第1组抽到的数为39－32＝7.
(2)依题意，可将编号为1～35号的35个数据 分成7组，每组有5个数据，从每组中抽取
一人.
成绩在区间[139，151]上共有20个数据，分在4个小组内，每组抽取1人，共抽取4人.
答案 (1)B (2)4
N
规律方法 1.如果总体容量N能被样本容量n整除， 则抽样间隔为k＝
n
，否则，可随机
地从总体中剔除余数，然后按系统抽样的方法抽样 ，特别注意，每个个体被抽到的机会
n
均是.
N
2.系统抽样中依次抽取的 样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样
本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的 通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样
本号码.
【变式练习2】 (1)为规范学校办学 ，某省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查.抽
到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号 ，用系统抽样的方法抽取一个容量为
4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还 有一位同学的编号应是
( )
A.13 B.19 C.20 D.51 < br>(2)(2018·湖北重点中学适应模拟)某校高三年级共有30个班，学校心理咨询室为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到30，现用系统抽样的方法抽取5个班进行
调查，若抽 到的编号之和为75，则抽到的最小的编号为________.
解析 (1)由系统抽样的原理知， 抽样的间隔为52÷4＝13，故抽取的样本的编号分别为7，
7＋13，7＋13×2，7＋13×3 ，即7号，20号，33号，46号.
∴样本中还有一位同学的编号为20.
30
(2)系统抽样的抽取间隔为
5
＝6.设抽到的最小编号为x，
则x＋(6＋x)＋(12＋x)＋(18＋x)＋(24＋x)＝75，所以x＝3.
答案 (1)C (2)3
考点三 分层抽样及其应用
【例3】 (1)某工厂生产甲、乙、丙、 丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，
100件，为检验产品的质量，现用分层 抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检
验，则应从丙种型号的产品中抽取________件 .
(2)某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人).

高一
高二
篮球组
45
15
书画组
30
10
乐器组
A
20
学校要对这三个小组的活 动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个
兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组 被抽出12人，则a的值为________.
解析 (1)因为样本容量n＝60，样本总体N＝200＋400＋300＋100＝1 000，所以抽取比
n603
例为
N
＝
1000
＝
50
.
3
因此应从丙种型号的产品中抽取300×
50
＝18(件).
1230
(2)由分层抽样得＝，解得a＝30.
45＋15120＋a
答案 (1)18 (2)30
规律方法 1.分层抽样中分 多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样
本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且 互不重叠.
2.进行分层抽样的相关计算时，常用到的两个关系
(1)
样本容量n该层抽取的个体数
＝；
总体的个数N该层的个体数
(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.
【变式练习3】 (1)某 校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查
教师的身体状况，在抽取的样本中，青 年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为
( )
类别 人数
老年教师
中年教师
青年教师
合计
A.90 B.100
900
1 800
1 600
4 300
C.180 D.300
(2)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一 个容
量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品
总数为________件.
x320
解析 (1)设该样本中的老年教师人数为x，由题意及分层抽样的特点得
900
＝
1 600
，故x
＝180.
801
(2)由题设，抽样比为＝.
4 80060
x
设甲设备生产的产品为x件，则＝50，∴x＝3 000.
60
故乙设备生产的产品总数为4 800－3 000＝1 800.
答案 (1)C (2)1 800

课后练习
A组(时间：25分钟)
一、选择题
1.为了了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生 进行调
查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男
女 生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )
A.简单随机抽样
C.按学段分层抽样
B.按性别分层抽样
D.系统抽样
解析 不同的学段在视力状况上有所差异，所以应该按照学段分层抽样.
答案 C
2.为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，
则分段的间隔为( )
A.50 B.40 C.25 D.20
1 000
解析 根据系统抽样的特点分段间隔为＝25.
40
答案 C
3.下列抽样试验中，适合用抽签法的为( )
A.从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验
B.从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
D.从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验
解析 因为A，D中总体的个 体数较大，不适合用抽签法；C中甲、乙两厂生产的产品
质量可能差别较大，因此未达到搅拌均匀的条件 ，也不适合用抽签法；B中总体容量和
样本容量都较小，且同厂生产的产品可视为搅拌均匀了.
答案 B
4.(一题多解)某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生 的学习情况，用分
层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则 n
为( )
A.100 B.150 C.200 D.250
703 500
解析 法一 由题意可得＝
1 500
，解得n＝100.
n－70
701
法二 由题意，抽样比为＝，总体容量为3 500＋1 500＝5 000，
3 50050
1
故n＝5 000×
50
＝100.
答案 A
5.在一个容量为N的总体中抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样 和分
层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p
1
，p< br>2
，p
3
，则
( )
A.p
1
＝p
2
＜p
3

C.p
1
＝p
3
＜p
2



B.p
2
＝p
3
＜p
1

D.p
1
＝p
2
＝p
3

解析 由随机抽样的知识知，三种抽样中，每个个体被抽到的概率都相等，故选D.
答案 D
6.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534
石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )
A.134石 B.169石 C.338石 D.1 365石
28
解析 由随机抽样的含义，该批米内夹谷约为
254
×1 534≈169(石).
答案 B
7.将参加英语口语测试的1 000名学生编号为00 0，001，002，…，999，从中抽取一个
容量为50的样本，按系统抽样的方法分为50组，如 果第一组编号为000，001，002，…，
019，且第一组随机抽取的编号为015，则抽取的第 35个编号为( )
A.700 B.669 C.695 D.676
解析 由题意可知，第一组随机抽取的编号l＝15，
N1 000
分段间隔数k＝
n
＝
50
＝20，由题意知抽出的这些号码是以15为首项，20为公差的等
差数列，则抽取的第35个编号为15＋(35－1)×20＝695.
答案 C
8.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、
丁四个社 区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96
人.若在甲、乙、丙、 丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个
社区驾驶员的总人数N为( )
A.101 B.808 C.1 212 D.2 012
121
解析 甲社区每个个体被抽到的概率为＝，样本容量为12＋21＋25＋43＝101 ，所以
968
101
四个社区中驾驶员的总人数N＝
1
＝808.
8
答案 B
二、填空题
9.某校高一年级有900名学生，其中女生40 0名.按男女比例用分层抽样的方法，从该年
级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数 为________.
45
解析 设男生抽取x人，则有
900
＝
答案 25
10.从编号为0，1，2，… ，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样
本，若编号为28的产品在样本中，则该 样本中产品的最大编号为________.
80
解析 由系统抽样知，抽样间隔k＝
5
＝16，
x
，解得x＝25.
900－400
因为样本中含编号为28的产品，
则与之相邻的产品编号为12和44.
故所取出的5个编号依次为12，28，44，60，76，即最大编号为76.
答案 76
11.在距离央视春晚直播不到20天的时候，某媒体报道，由六小龄童和郭富城合演的《猴
戏 》节目被毙，为此，某网站针对“是否支持该节目上春晚”对网民进行调查，得到如下
数据：
网民态度
人数(单位：人)
支持
8 000
反对
6 000
无所谓
10 000
若采用分层抽样的方法从中抽取48人 进行座谈，则持“支持”态度的网民抽取的人数为
________.
8 0001
解析 持“支持”态度的网民抽取的人数为48×＝48×
3
＝16.
8 000＋6 000＋10 000
答案 16
12.从编号为001，002 ，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知
样本中编号最小的两个编号分别为 007，032，则样本中最大的编号应该为________.
解析 根据系统抽样的定义可知样本 的编号成等差数列，令a
1
＝7，a
2
＝32，d＝25，所
以7＋ 25(n－1)≤500，所以n≤20，最大编号为7＋25×19＝482.
答案 482
B组(时间：10分钟)
13.福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01，02，… ，33的33个个体组成，某彩
民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从 随机数表第1
行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为( )
49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
A.23 B.09 C.02 D.17
解析 从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右 依次选取两个数字，则选
出的6个红色球的编号依次为21，32，09，16，17，02，故选出的 第6个红色球的编号
为02.
答案 C
14.某工厂的三个车间在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质
量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从第一、二、三车间抽取的产品数分别为a，
b，c，且a， b，c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为( )
A.800 B.1 000 C.1 200 D.1 500
解析 因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.
a＋ b＋c
1
所以
3
＝b.所以第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的
3
.根据分层抽样的性质，
11
可知第二车间生产的产品数占总数的，即为×3 600＝1 200.
33
答案 C
15.采用系统抽样方法从960人中抽取3 2人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，
960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法 抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落
入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451 ，750]的人做问卷B，其余的人做问卷
C.则抽到的人中，做问卷B的人数为________.
960
解析 由系统抽样的特点，知抽取号码的间隔为
32
＝30，抽取的号 码依次为9，39，69，…，
939.落入区间[451，750]的有459，489，…，729 ，这些数构成首项为459，公差为30的
等差数列，设有n项，显然有729＝459＋(n－1)× 30，解得n＝10.所以做问卷B的有10
人.
答案 10
16.一个总体中有 90个个体，随机编号0，1，2，…，89，依从小到大的编号顺序平均
分成9个小组，组号依次为1 ，2，3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，
规定：如果在第1组随机抽取的号码为 m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k
的个位数字相同，若m＝8，则在第8组中抽取的号码 是________.
解析 由题意知m＝8，k＝8，则m＋k＝16，也就是第8组抽取的号码个 位数字为6，十
位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.
答案 76