初2数学上册世界七大数学难题

2020年11月11日发(作者：孙竹生)


世界七大数学难题


1、费尔马大定理
费 尔马大定理起源于三百多年前，挑战人类3个世纪，多次震惊全世界，耗尽人类
众多最杰出大脑的精力， 也让千千万万业余者痴迷。终于在1994年被安德鲁·怀
尔斯攻克。古希腊的丢番图写过一本著名的算 术，经历中世纪的愚昧黑暗到文艺
复兴的时候，算术的残本重新被发现研究。
1637年，法国业余大数学家费尔马(Pierre de Fremat)在算术的关于勾股数问< br>题的页边上，写下猜想：x^n+y^n=z^n是不可能的(这里n大于2；x，y，z，n都
是非零整数)。此猜想后来就称为费尔马大定理。费尔马还写道我对此有绝妙的证
明，但此页边太窄写不 下。一般公认，他当时不可能有正确的证明。猜想提出
后，经欧拉等数代天才努力，200年间只解决了 n=3,4,5,7四种情形。1847年，库
木尔创立代数数论这一现代重要学科，对许多n(例如1 00以内)证明了费尔马大
定理，是一次大飞跃。
历史上费尔马大定理高潮迭起，传奇不断。 其惊人的魅力，曾在最后时刻挽救自杀
青年于不死。他就是德国的沃尔夫斯克勒，他后来为费尔马大定理 设悬赏10万马
克(相当于现在160万美元多)，期限1908-2007年。无数人耗尽心力，空留 浩叹。
最现代的电脑加数学技巧，验证了400万以内的N，但这对最终证明无济于事。
198 3年德国的法尔廷斯证明了：对任一固定的n，最多只有有限多个x，y，z振动
了世界，获得费尔兹奖 (数学界最高奖)。
历史的新转机发生在1986年夏，贝克莱·瑞波特证明了：费尔马大定理包含在谷
山丰-志村 五朗猜想之中。童年就痴迷于此的怀尔斯，闻此立刻潜心于顶楼书房7
年，曲折卓绝，汇集了20世纪数 论所有的突破性成果。终于在1993年6月23日
剑桥大学牛顿研究所的世纪演讲最后，宣布证明了费 尔马大定理。立刻震动世
界，普天同庆。不幸的是，数月后逐渐发现此证明有漏洞，一时更成世界焦点。 这
个证明体系是千万个深奥数学推理连接成千个最现代的定理、事实和计算所组成的
千百回转的 逻辑网络，任何一环节的问题都会导致前功尽弃。怀尔斯绝境搏斗，毫
无出路。1994年9月19日， 星期一的早晨，怀尔斯在思维的闪电中突然找到了迷
失的钥匙：解答原来就在废墟中！他热泪夺眶而出。 怀尔斯的历史性长文模椭圆
曲线和费尔马大定理年5月发表在美国《数学年刊》第142卷，实际占满了
全卷，共五章，130页。1997年6月27日，怀尔斯获得沃尔夫斯克勒10万马克悬


赏大奖。离截止期10年，圆了历史的梦。他还获得沃尔夫奖(1996.3)，美国国家< br>科学家院奖(1996.6)，费尔兹特别奖(1998.8)。
2、四色问题
四色 问题的内容是：任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上
不同的颜色。用数学语言表示 ，即将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个
区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记， 而不会使相邻的两个区域得到
相同的数字。右图)
这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是 公共的。如果两个区域只相遇于一点或
有限多点，就不叫相邻的。因为用相同的颜色给它们着色不会引起 混淆。
四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一
家 科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：看来，每幅地图都可以
用四种颜色着色，使得有共 同边界的国家都被着上不同的颜色。这个现象能不能
从数学上加以严格证明呢?他和在大学读书的弟弟格 里斯决心试一试。兄弟二人为
证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。 < br>1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师、著名数学家
德·摩尔根， 摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、
著名数学家汉密尔顿爵士请教。汉密 尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论
证。但直到1865年汉密尔顿逝世为止，问题也没有能够解 决。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于
是四 色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四
色猜想的大会战。1878 ~1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别
提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了 四色定理，大家都认为四色猜想从此也就
解决了。
肯普的证明是这样的：首先指出如果没有一 个国家包围其他国家，或没有三个以上
的国家相遇于一点，这种地图就说是正规的左图)。如为正规地图 ，否则为非正
规地图(右图)。一张地图往往是由正规地图和非正规地图联系在一起，但非正规地
图所需颜色种数一般不超过正规地图所需的颜色，如果有一张需要五种颜色的地
图，那就是指它的正规 地图是五色的，要证明四色猜想成立，只要证明不存在一张
正规五色地图就足够了。
肯普是用 归谬法来证明的，大意是如果有一张正规的五色地图，就会存在一张国数
最少的极小正规五色地图，如果 极小正规五色地图中有一个国家的邻国数少于六
个，就会存在一张国数较少的正规地图仍为五色的，这样 一来就不会有极小五色地
图的国数，也就不存在正规五色地图了。这样肯普就认为他已经证明了四色问题
，但是后来人们发现他错了。


不过肯普的证明阐明了两个重要的概念， 对以后问题的解决提供了途径。第一个概
念是构形。他证明了在每一张正规地图中至少有一国具有两个、 三个、四个或五
个邻国，不存在每个国家都有六个或更多个邻国的正规地图，也就是说，由两个邻
国，三个邻国、四个或五个邻国组成的一组构形是不可避免的，每张地图至少含
有这四种构形中的一个 。
肯普提出的另一个概念是可约性。可约这个词的使用是来自肯普的论证。他证
明了只要五色 地图中有一国具有四个邻国，就会有国数减少的五色地图。自从引入
构形，可约概念后，逐步发展了检查 构形以决定是否可约的一些标准方法，能
够寻求可约构形的不可避免组，是证明四色问题的重要依据。但 要证明大的构形
可约，需要检查大量的细节，这是相当复杂的。
11年后，即1890年，在 牛津大学就读的年仅29岁的赫伍德以自己的精确计算指
出了肯普在证明上的漏洞。他指出肯普说没有极 小五色地图能有一国具有五个邻国
的理由有破绽。不久，泰勒的证明也被人们否定了。人们发现他们实际 上证明了一
个较弱的命题--五色定理。就是说对地图着色，用五种颜色就够了。后来，越来越
多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容
易的题目，其实是一个 可与费马猜想相媲美的难题。
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法 在进行。
1913年，美国著名数学家、哈佛大学的伯克霍夫利用肯普的想法，结合自己新的
设 想；证明了某些大的构形可约。后来美国数学家富兰克林于1939年证明了22国
以下的地图都可以用 四色着色。1950年，有人从22国推进到35国。1960年，有
人又证明了39国以下的地图可以 只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。看来
这种推进仍然十分缓慢。
高速数字计算机的 发明，促使更多数学家对四色问题的研究。从1936年就开始
研究四色猜想的海克，公开宣称四色猜想 可用寻找可约图形的不可避免组来证明。
他的学生丢雷写了一个计算程序，海克不仅能用这程序产生的数 据来证明构形可
约，而且描绘可约构形的方法是从改造地图成为数学上称为对偶形着手。
他把 每个国家的首都标出来，然后把相邻国家的首都用一条越过边界的铁路连接起
来，除首都(称为顶点)及 铁路(称为弧或边)外，擦掉其他所有的线，剩下的称为原
图的对偶图。到了六十年代后期，海克引进一 个类似于在电网络中移动电荷的方法
来求构形的不可避免组。在海克的研究中第一次以颇不成熟的形式出 现的放电法
，这对以后关于不可避免组的研究是个关键，也是证明四色定理的中心要素。
电子 计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了
对四色猜想证明的进程。美 国伊利诺大学哈肯在1970年着手改进放电过程，后
与阿佩尔合作编制一个很好的程序。就在1976 年6月，他们在美国伊利诺斯大学
的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断 ，终于完成了四
色定理的证明，轰动了世界。


这是一百多年来吸引许多 数学家与数学爱好者的大事，当两位数学家将他们的研究
成果发表的时候，当地的邮局在当天发出的所有 邮件上都加盖了四色足够的特制
邮戳，以庆祝这一难题获得解决。
四色问题的被证明仅解决了 一个历时100多年的难题，而且成为数学史上一系列
新思维的起点。在四色问题的研究过程中，不少新 的数学理论随之产生，也发展
了很多数学计算技巧。如将地图的着色问题化为图论问题，丰富了图论的内 容。不
仅如此，四色问题在有效地设计航空班机日程表，设计计算机的编码程序上都起
到了推动 作用。
不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书
面证 明方法。直到现在，仍由不少数学家和数学爱好者在寻找更简洁的证明方法。
3、哥德巴赫猜想
史上和质数有关的数学猜想中，最著名的当然就是哥德巴赫猜想了。
1742年6月7日，德 国数学家哥德巴赫在写给著名数学家欧拉的一封信中，提出
了两个大胆的猜想：
一、任何不小于6的偶数，都是两个奇质数之和；
二、任何不小于9的奇数，都是三个奇质数之和。
这就是数学史上著名的哥德巴赫猜想。显然 ，第二个猜想是第一个猜想的推论。
因此，只需在两个猜想中证明一个就足够了。
同年6月3 0日，欧拉在给哥德巴赫的回信中，明确表示他深信哥德巴赫的这两个
猜想都是正确的定理，但是欧拉当 时还无法给出证明。由于欧拉是当时欧洲最伟大
的数学家，他对哥德巴赫猜想的信心，影响到了整个欧洲 乃至世界数学界。从那以
后，许多数学家都跃跃欲试，甚至一生都致力于证明哥德巴赫猜想。可是直到1 9
世纪末，哥德巴赫猜想的证明也没有任何进展。证明哥德巴赫猜想的难度，远远超
出了人们的 想象。有的数学家把哥德巴赫猜想比喻为数学王冠上的明珠。
我们从6=3+3、8=3+5、10= 5+5、…、100=3+97=11+89=17+83、…这些具体的例子
中，可以看出哥德巴赫猜 想都是成立的。有人甚至逐一验证了3300万以内的所有
偶数，竟然没有一个不符合哥德巴赫猜想的。 20世纪，随着计算机技术的发展，
数学家们发现哥德巴赫猜想对于更大的数依然成立。可是自然数是无 限的，谁知道
会不会在某一个足够大的偶数上，突然出现哥德巴赫猜想的反例呢?于是人们逐步
改变了探究问题的方式。


1900年，20世纪最伟大的数学家希尔伯特，在国 际数学会议上把哥德巴赫猜想
列为23个数学难题之一。此后，20世纪的数学家们在世界范围内联手进 攻哥
德巴赫猜想堡垒，终于取得了辉煌的成果。
20世纪的数学家们研究哥德巴赫猜想所采用 的主要方法，是筛法、圆法、密率法
和三角和法等等高深的数学方法。解决这个猜想的思路，就像缩小包 围圈一样，
逐步逼近最后的结果。
1920年，挪威数学家布朗证明了定理，由此划定了进攻 哥德巴赫猜想的
大包围圈。这个是怎么回事呢?所谓，翻译成数学语言就是：任何一
个足够大的 偶数，都可以表示成其它两个数之和，而这两个数中的每个数，都是9
个奇质数之积。从这个开始，全世 界的数学家集中力量缩小包围圈，当然
最后的目标就是了。
1924年，德国数学家雷德马赫 证明了定理。很快，、、和
逐一被攻陷。1957年，我国数学家王元证明了。1962年，中国数学家
潘承洞证明了，同年又和王元合作证明了。1965年，苏联数学家证明
了。
196 6年，我国著名数学家陈景润攻克了，也就是：任何一个足够大的偶
数，都可以表示成两个数之和，而这 两个数中的一个就是奇质数，另一个则是两个
奇质数的积。这个定理被世界数学界称为陈氏定理。 由于陈景润的贡献，人类距离哥德巴赫猜想的最后结果仅有一步之遥了。但
为了实现这最后的一步， 也许还要历经一个漫长的探索过程。有许多数学家认为，
要想证明，必须通过创造新的数学方法，以往的 路很可能都是走不通的。
编辑本段世界七大数学难题美国麻州的克雷(Clay)数学研究所于200 0年5月24日
在巴黎法兰西学院宣
布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个千年数学难题的每一个悬赏一百万美
元。
其 中有一个已被解决(庞加莱猜想),还剩六个.(庞加莱猜想，已由俄罗斯数学家格
里戈里·佩雷尔曼破 解。我国中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学兼职教
授曹怀东做了证明的封顶工作。)
整个计算机科学的大厦就建立在图灵机可计算理论和计算复杂性理论的基础上,
一旦证明P= NP,将是计算机科学的一场决定性的突破,在软件工程实践中,将革命性
的提高效率.从工业,农业, 军事,医疗到生活,软件在它的各个应用域,都将是一个飞
跃.


P=N P吗?这个问题是著名计算机科学家(1982年图灵奖得主)斯蒂文·考克
(StephenCook )于1971年发现并提出的.
千年大奖问题公布以来，在世界数学界产生了强烈反响。这些问题都是 关于数学
基本理论的，但这些问题的解决将对数学理论的发展和应用的深化产生巨大推动。
认识 和研究千年大奖问题已成为世界数学界的热点。不少国家的数学家正在组织
联合攻关。可以预期，千年大 奖问题将会改变新世纪数学发展的历史进程。
一、P(多项式时间)问题对NP(nondeterministic polynomial time，非确定多项
式时间)问题
在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到 局促不安，你想知道这一
大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点 盘
附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确
的。然而， 如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个
人，看是否有你认识的人。生成问题 的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要
多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如 果某人告诉你，数
13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他， 但
是如果他告诉你它可以因式分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算
器容 易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用
内部知识来验证，还是没有 这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和
计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考 克于1971年陈述的。
二、霍奇(Hodge)猜想
二十世纪的数学家们发现了研究复杂 对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在
怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断 增加的简单几何营造块
粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推
广；最终导致一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对
象进行分类时 取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得
模糊起来。在某种意义下，必须加上 某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断
言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作 霍奇闭链的部件实际
上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。
三、庞加莱(Poincare)猜想
如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可 以既不扯断它，也不让它离
开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带 以适
当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它
收缩到一 点的。我们说，苹果表面是单连通的，而轮胎面不是。大约在一百年以
前，庞加莱已经知道，二维球面本 质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四


维空间中与原点有单位距离的点的 全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困
难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。
在20 02年11月和2003年7月之间，俄罗斯的数学家格里戈里·佩雷尔曼在发表
了三篇论文预印本，并 声称证明了几何化猜想。
在佩雷尔曼之后，先后有3组研究者发表论文补全佩雷尔曼给出的证明中缺少 的细
节。这包括密西根大学的布鲁斯·克莱纳和约翰·洛特；哥伦比亚大学的约翰·摩
根和麻省 理工学院的田刚；以及理海大学的曹怀东和中山大学的朱熹平。
2006年8月，第25届国际数学家 大会授予佩雷尔曼菲尔兹奖。数学界最终确认佩
雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。
四、黎曼(Riemann)假设
有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例 如，2、3、5、7…等
等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然 数
中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼
(1826~186 6)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数
z(s$$的性态。著名的黎曼假设 断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线
上。这点已经对于开始的1,500,000, 000个解验证过。证明它对于每一个有意义的
解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。
五、杨-米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口
量子物理的定律是以经典力学的 牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立
的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理 揭示了在基本粒子物理与
几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨-米尔斯方程的预言已经在如下 的
全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧
洲粒子物理 研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方
程没有已知的解。特别是，被大多 数物理学家所确认、并且在他们的对于夸克的
不可见性的解释中应用的质量缺口假设，从来没有得到一个 数学上令人满意的证
实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。
六、纳维叶-斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性
起伏的波浪跟 随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代
喷气式飞机的飞行。数学家和物理学 家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理
解纳维叶-斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。 虽然这些方程是19世纪
写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展， 使
我们能解开隐藏在纳维叶-斯托克斯方程中的奥秘。


七、贝赫(Birch)和斯维讷通-戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想
数学家 总是被诸如x2+y2=z2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几
里德曾经对这一方程给 出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困
难。事实上，正如马蒂雅谢维奇指出，希尔伯 特第十问题是不可解的，即，不存在
一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔 簇的点时，贝
赫和斯维讷通-戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限
多个有理点 (解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。
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