2012全国高考数学卷世界7大数学题

2020年11月11日发(作者：萧甘牛)
世界7大数学题
世界七大数学难题
这七个“千年大奖问题”是： NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、
黎曼假设、杨－米尔斯理论、纳卫尔－斯托可方程、BSD猜想
千年大奖问题
美国麻州的克雷（Clay）数学研究所于2000年5月24日在巴黎法 兰
西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千年数学难题”的每
一个悬赏一百万美元 。
其中有一个已被解决(庞加莱猜想),还剩六个.（庞加莱猜想，已由俄
罗斯数学家 格里戈里·佩雷尔曼破解。我国中山大学朱熹平教授和旅美数
学家、清华大学兼职教授曹怀东做了证明的 封顶工作。）
“千年大奖问题”公布以来， 在世界数学界产生了强烈反响。这些问
题 都是关于数学基本理论的，但这些问题的解决将对数学理论的发展和应
用的深化产生巨大推动。认识和研 究“千年大奖问题”已成为世界数学界
的热点。不少国家的数学家正在组织联合攻关。 可以预期， “千年大奖
问题” 将会改变新世纪数学发展的历史进程。
P问题对NP问题
在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，
你想知道这一大厅中是否有你已经认 识的人。你的主人向你提议说，你一
定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向 那里
扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必
须环顾整个大厅， 一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问
题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多 得多。这是这种一般现
象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数１３，７１７，４２
１可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如
果他告诉你它可以因式分解为３ ６０７乘上３８０３，那么你就可以用一
个袖珍计算器容易验证这是对的。人们发现，所有的完全多项式 非确定性
问题，都可以转换为一类叫做满足性问题的逻辑运算问题。既然这类问题
的所有可能答 案，都可以在多项式时间内计算，人们于是就猜想，是否这
类问题，存在一个确定性算法，可以在多项式 时间内，直接算出或是搜寻
出正确的答案呢？这就是著名的NP=P？的猜想。 不管我们编写程序是否 灵
巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示
而需要花费大量时间 来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之
一。它是斯蒂文·考克于１９７１年陈述的。
霍奇(Hodge)猜想
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世界7大数学题
二十世纪的数学 家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基
本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的 形状通过把维数不断
增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使
得 它可以用许多不同的方式来推广；最终导致一些强有力的工具，使数学
家在对他们研究中所遇到的形形色 色的对象进行分类时取得巨大的进展。
不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某 种意义
下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射
影代数簇这种特 别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称
作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。
庞加莱(Poincare)猜想
如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可 以既不扯断它，
也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想
象同样 的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带
或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一 点的。我们说，苹果表面是“单连
通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球 面
本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距
离的点的全体)的 对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学
家们就在为此奋斗。
在200 2年11月和2003年7月之间，俄罗斯的数学家格里戈里·佩雷
尔曼在发表了三篇论文预印本，并声 称证明了几何化猜想。
在佩雷尔曼之后，先后有3组研究者发表论文补全佩雷尔曼给出的证明中缺少的细节。这包括密西根大学的布鲁斯·克莱纳和约翰·洛特；哥伦
比亚大学的约翰·摩根和 麻省理工学院的田刚；以及理海大学的曹怀东和
中山大学的朱熹平。
2006年8月， 第25届国际数学家大会授予佩雷尔曼菲尔兹奖。数学界
最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。
黎曼(Riemann)假设
有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例 如，2、3、
5、7……等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要
作用。 在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然
而，德国数学家黎曼(1826~18 66)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心
构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s)的性态。著名的黎曼假 设断言，方程z(s)=0
的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000 ,000
个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许
多奥秘带来光 明。
杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口
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世界7大数学题
量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示
了在基本粒子物理与几何对 象的数学之间的令人注目的关系。基于杨－米
尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履 行的高能实验
中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如
此，他们 的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，
被大多数物理学家所确认、并且在他们 的对于“夸克”的不可见性的解释
中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实 。
在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。
纳维叶－斯托克斯方程的存在性与光滑性
起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小 船，湍急的气流跟随
着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还
是 湍流，都可以通过理解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释
和预言。虽然这些方程是19世纪 写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑
战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维 叶－斯托
克斯方程中的奥秘。
贝赫和斯维讷通－戴尔猜想
数学家总是被诸如 x2+y2=z2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题
着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解 答，但是对于更为复杂的方
程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整
数解。当解是一个阿贝尔簇 的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有
理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1 附近的性态。特别是，
这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)，相
反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。


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