数学书八年级上册答案世界七大数学难题与Hilbert的23个问题

2020年11月11日发(作者：邢德海)
世界七大数学难题与Hilbert的23个问题

继上文《数学家的猜想 错误》提到的七大数学难题和大
卫·希尔伯特23个数学难题，今天我们就来详细了解下。
世界七大数学难题，这七个“千年大奖问题”是：
NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、 黎曼假设、杨－米
尔斯理论、纳卫尔－斯托可方程、BSD猜想。千年大奖问题
美国麻州 的克雷（Clay）数学研究所于2000年5月24
日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的 大事：对
七个“千年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。 其中有
一个已被解决(庞加莱 猜想),还剩六个.（庞加莱猜想，已由俄
罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼破解。我国中山大学朱熹平教
授和旅美数学家、清华大学兼职教授曹怀东做了证明的封顶
工作。） “千年大奖问题”公布以来， 在世界数学界产生
了强烈反响。
这些问题都是关于数学基本理 论的，但这些问题的解决将对
数学理论的发展和应用的深化产生巨大推动。认识和研究“千
年大 奖问题”已成为世界数学界的热点。不少国家的数学家正
在组织联合攻关。 可以预期， “千年大奖问题” 将会改变新
世纪数学发展的历史进程。01庞加莱猜想1904年，法国数
学家亨利·庞加莱（Henri Poincaré）在提出这个猜想：'任何
一个单连通的，封闭的三 维流形一定同胚于一个三维的球面。
'
换一种简单的说法就是：一个闭的三维流形就是一个没 有边
界的三维空间；单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可
以连续的收缩成一点，或者说在 一个封闭的三维空间，假如
每条封闭的曲线都能收缩成一点，这个空间就一定是一个三
维圆球。
懵逼中
为了大家便于理解庞加莱猜想，有人给出了一个十分形象的
例子：假如在一个 完全封闭（足够结实）的球形房子里，有
一个气球（皮是无限薄的），现在我们将气球不断吹大，到最后，气球的表面和整个房子的墙壁是完全贴住，没有缝隙。
面对这个看似十分简单的猜想，无数位 数学家前仆后继，绞
尽脑汁，甚至是倾其一生都没能证明这个猜想。希腊数学家
帕帕奇拉克普罗 斯直到临终前都在为庞加莱猜想的证明而
努力，最后只能把一叠厚厚的手稿交给了一位数学家朋友保管。
直到2003年，俄罗斯的数学家格里戈里·佩雷尔曼十分大胆
地将他花费了8年时 间的研究成果，上传到专门刊登学术论
文的网站上，说自己已经证明庞加莱猜想。2005年10月，< br>佩雷尔曼的证明终于通过了专家的验证，他成为了“千禧年数
学大奖”的第一位也是至今唯一一位 获奖人。（其他6个还没
解决）02霍奇猜想英国数学家道格拉斯·霍奇(Douglas
H odge）在国际数学大会上提出了这个猜想：“在非奇异复射
影代数簇上，任一霍奇类是代数闭链类的 有理线性组合。”
霍奇猜想集中体现了现代数学发展中抽象特征在滚雪球般
扩大的趋势，霍奇 猜想的解决将在数学三大分支（分析、拓
扑、代数几何）之间找到某种基本的内在联系。
霍奇 猜想是代数几何里的一个重大问题，不过，到现在对于
这个问题的解决几乎是没有什么进展。03黎曼猜 想在1900
年在国际数学大会上希尔伯特提出的23个数学问题中的第
8个问题就是黎曼假设 ，而经历了100年，还是没有人能解
决，于是，在2000年千年数学大会上克雷研究所再次将黎曼猜想提出来，将其列为世界七大难题之一。
关于黎曼猜想的提出，也是十分有趣。1859年， 德国数学
家黎曼（Riemann）被选为了柏林科学院的通信院士。黎曼
对柏林科学院给予他 的这一份崇高的荣誉表示非常感激，而
为了表达自己的感激之情，他决定将自己的一篇论文献给柏
林科学院。
这篇论文就是《论小于给定数值的素数个数》，研究的就是
数学家们一直很感兴 趣的一个问题——素数的分布。黎曼将
素数的分布问题归结为函数的问题，认为有一个特殊的函数
（黎曼ζ函数），使其取值为零的一系列的特殊的点（黎曼ζ
函数的非平凡零点）决定着素数分布的细 致规律。
不过，“懒人”黎曼的这篇论文仅仅只有8页，里面的内容极
为简练，惜字如金得让 好几代数学家为之“吐血”。
黎曼列出了黎曼ζ函数的一些重要性质，而估计是关于这些
性质 的证明在黎曼眼里根本不是事儿，所以，在这些性质的
后面，都静悄悄地跟着一个让数学家抓狂的“证明 从略”。。。
（黎曼表示只是想让其他数学家练练手）
幸运的是，在黎曼去世后的一百多年里 ，世界上最优秀的数
学家已经成功证明了黎曼的这些断言，而且在探索的过程中，
许多新的数学 分支也由此产生。唯有一个断言至今都还没有
解决，而且黎曼也明确表明了这个命题自己也无法证明，这
就是黎曼猜想：关于黎曼ζ函数的那些非平凡零点，它们都
分布在一个带状区域上（已被证明） ，黎曼猜测它们全都位
于该带状区域正中央的一条直线上（临界线），这就是所谓
的黎曼猜想。
黎曼猜想是当今数学界最重要、最期待解决的数学难题。它
与众多的数学命题有密切关联。 < br>据统计，在当今数学文献中以黎曼猜想(或其推广形式)的成
立为前提的数学命题就已经超过10 00多条。如果黎曼猜想
被证明，所有那些数学命题就全都可以荣升为定理；反之，
如果黎曼猜 想被否证，则那些数学命题中起码有一部分将成
为陪葬。04BSD猜想贝赫(Birch)和斯维讷通 -戴尔
(Swinnerton-Dyer)猜想是指：对有理数域上的任一椭圆曲线，
其L函 数在1的化零阶等于此曲线上有理点构成的阿贝尔
（Abel）群的秩。在2012年，中国数学家田野 在浦港工大
作了关于BSD猜想的报告，连续用5个多小时来证明了“存
在无数个同余数”，震 惊全场。
而该领域泰斗剑桥大学教授约翰·科茨（JohnCoates）也给
予了高度的评 价：虽然这并不是完美的答案，但是对于解决
BSD猜想确实是一个巨大的飞跃。05NP-C问题在一 个周六
的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你
想知道这一大厅中是否有你已 经认识的人。你的主人向你提
议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不
费一秒 钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。
然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大 厅，一个
个地审视每一个人，看是否有你认识的人。这样就会浪费很
多时间。所有的完全多项式 非确定性问题，都可以转换为一
类叫做满足性问题的逻辑运算问题。既然这类问题的所有可
能答 案，都可以在多项式时间内计算。人们于是就猜想，是
否这类问题，存在一个确定性算法，可以在多项式 时间内，
直接算出或是搜寻出正确的答案呢?
这就是斯蒂文·考克于1971年提出的NP= P?的猜想（到底是
NP等于P，还是NP不等于P）。
NP（Non- deterministic Polynomial）是多项式复杂程度的非
确定性问题。而如果任何 一个NP问题都能通过一个多项式
时间算法转换为某个NP问题，那么这个NP问题就称为NP
完全问题（Non-deterministic Polynomial complete
pro blem）。NP完全问题是NP类中“最难”的问题，也就是说
它们是最可能不属于P类的。这是因为 任何NP中的问题可
以在多项式时间内变换成为任何特定NP完全问题的一个特
例。属于计算机 科学理论的一个基本概念。
NP完全问题排在了百万美元大奖的首位，出现在了纯粹科
学研究 ，通信、交通运输、工业设计和企事业管理部门，社
会军事、政治和商业的斗争等各个领域，但是除了运 用穷举
法求解（计算的时间随问题的复杂程度成指数的增长，很快
就会变得不可计算。）之外， 人们还没发现有价值的求解方
法。06杨-米尔斯理论1954年，物理学家杨振宁和R.L.米
尔斯提出了规范场理论，即杨-米尔斯理论(Yang-Mills)，理
论中出现的杨-米尔斯方程 是一组数学上未曾考虑到的极有
意义的非线性偏微分方程。他们发现，量子物理揭示了在基
本粒 子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。
而基于杨-米尔斯方程的预言也已经被全世界范围内 的高能
实验所证明。然而，已经被大多数物理学家所确认，并且在
他们的对于'夸克'的不可见 性的解释中应用的'质量缺口'假设，
从来没有得到一个数学上令人满意的证实。07N-S方程斯托< br>克斯
纳维叶-斯托克斯(Navier-Stokes)方程是指描述粘性不可压
缩流 体动量守恒的运动方程。是由纳维于1821年以及斯托
克斯于1845年分别建立的，在直角坐标系中 ，其矢量形式
为＝－?p＋ρF＋μΔv，式中ρ为流体密度，p为压强，u为
速度矢量，F为 作用于单位质量流体的彻体力，?为哈密顿算
子 ，Δ为拉普拉斯算子。N-S方程反映了粘性流体流动 的基
本力学规律，在流体力学中有十分重要的意义。它描述了大
量对学术和经济有用的现象的物 理过程。它们可以用于建模
天气，洋流，管道中的水流，星系中恒星的运动，翼型周围
的气流。 它们也可以用于飞行器和车辆的设计，血液循环的
研究，电站的设计，污染效应的分析等等。
它是一个非线性偏微分方程，求解非常困难和复杂，目前只
有在某些十分简单的流动问题上能求得精确解 ；但在有些情
况下，可以简化方程而得到近似解。
数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过
理解N- S方程的解，来对它们进行解释和预言。
直到现在，关于N- S方程的存在性与光滑性的奥秘，人类还
在继续探索中。。。
Hilbert提出的23个问题
大卫·希尔伯特（David Hilbert，186 2年1月23日－1943
年2月14日），德国数学家，是19世纪和20世纪初最具影
响力 的数学家之一。他在数学上的领导地位充分体现于：
1900年,在巴黎的国际数学家大会提出的一系 列问题（希尔
伯特的23个问题）为20世纪的许多数学研究指出方向。希
尔伯特23个问题及 其解决情况：
1． 连续统假设
1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的
基数，这就是著名的连续统假设。
1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛--
弗伦克尔集合论公理系统的无矛 盾性。
1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛-- 伦克尔集
合论公理是彼此独立的。
因此，连续统假设不能在策梅洛-- 弗伦克尔公理体系内证明
其正确性与否。希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。
2． 算术公理的相容性 欧几里得几何的相容性可归结为算
术公理的相容性。
希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。
1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。
1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了
算术公理的相容性。
1988年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容
性问题尚未解决。 3． 两个等底等高四面体的体积相
等问题
问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们 不可分解
为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。M.W.德恩
1900年即对此问题给 出了肯定解答。 4． 两点间以直
线为距离最短线问题
此问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多，因而需增
加某些限制条件。
1973年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，
问题获得解决。 《中国大 百科全书》说，在希尔伯特
之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但
问题并未 解决。 5.一个连续变换群的李氏概念，定义这
个群的函数不假定是可微的 这个问题简称连续群的解析性，
即：是否每一个局部欧氏群都有一定是李群？
中间经冯·诺伊 曼（1933，对紧群情形）、邦德里雅金（1939，
对交换群情形）、谢瓦荚（1941，对可解群 情形）的努力，
1952年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决，得到了完全
肯定的结果。 6.物理学的公理化
希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是
概率和力学。
1933年 ，苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化。
后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功。但 是物理
学是否能全盘公理化，很多人表示怀疑。 7.某些数的无
理性与超越性
1934年，A.O.盖尔方德和T.施奈德各自独立地解决了问题
的后半部分，即对于任意代数数α ≠0 ，1，和任意代数无理
数β证明了αβ 的超越性。 8.素数问题 包括黎曼猜想、
哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。
一般情况下的黎曼猜想仍待解决。哥德巴赫 猜想的最佳结果
属于陈景润（1966），但离最解决尚有距离。
目前孪生素数问题的最佳结果也属于陈景润。 9．在任
意数域中证明最一般的互反律
该问题已由日本数学家高木贞治（1921）和德国数学家E.
阿廷（1927）解决。 10． 丢番图方程的可解性
能求出一个整系数方程的整数根，称为丢番图方程可解。
希尔伯特问，能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个
丢番图方程的可解性？
1970年，苏联的IO.B.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望
的算法不存在。 11． 系数为任意代数数的二次型
H.哈塞（1929）和C.L.西格尔（1936，1951）在这个问题
上获得重要结果。 12． 将阿贝尔域上的克罗克定理推
广到任意的代数有理域上去
这一问题只有一些零星的结果，离彻底解决还相差很远。
13． 不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程
七次方程 的根依赖于3个参数a、b、c，即x=x （a，b，c）。
这个函数能否用二元函数表示出来？苏联 数学家阿诺尔德
解决了连续函数的情形（1957），维士斯金又把它推广到了
连续可微函数的 情形（1964）。但如果要求是解析函数，则
问题尚未解决。 14． 证明某类完备函数系的有限性
这和代数不变量问题有关。1958年，日本数学家永田雅宜
给出了反例。 15． 舒伯特计数演算的严格基础
一个典型问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线
能和这四条直线都相交？
舒伯特给出了一个直观解法。希尔伯特要求将问题一般化，
并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方 法，它和代数
几何学不密切联系。但严格的基础迄今仍未确立。
16． 代数曲线和代数曲线面的拓扑问题
这个问题分为两部分。前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝
曲线的最大数目。后半部分要求讨论 的极限环的最大个数
和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式.
苏联的彼得罗夫斯基曾 宣称证明了n=2时极限环的个数不超
过3，但这一结论是错误的，已由中国数学家举出反例（1979 ）。
17． 半正定形式的平方和表示
一个实系数n元多项式对一切数组(x1,x2,...,xn) 都恒大于或
等于0，是否都能写成平方和的形式？
1927年阿廷证明这是对的。 18． 用全等多面体构造
空间
由德国数学家比勃马赫（1910）、荚因哈特（1928）作出部
分解决。 19． 正则变分问题的解是否一定解析
对这一问题的研究很少。C.H.伯恩斯坦和彼得罗夫斯基等得
出了一些结果。 20． 一般边值问题
这一问题进展十分迅速，已成为一个很大的数学分支。目前
还在继续研究。 21． 具有给定单值群的线性微分方程
解的存在性证明
已由希尔伯特本人（1905）和H.罗尔（1957）的工作解决。
22． 由自守函数构成的解析函数的单值化
它涉及艰辛的黎曼曲面论，1907年P.克伯获重要突破，其
他方面尚未解决。 23． 变分法的进一步发展出
这并不是一个明确的数学问题，只是谈了对变分法的一般看
法。20 世纪以来变分法有了很大的发展。
这23问题涉及现代数学大部分重要领域，推动了20世纪数
学的发展。基于MATLAB对希尔伯特矩阵的实现
在MATLAB中，生成希尔伯特矩阵的函数是hilb(n)。
使用一般方法求逆会因为原始 数据的微小扰动而产生不可
靠的计算结果。MATLAB中，有一个专门求希尔伯特矩阵的
逆的 函数invhilb(n)，其功能是求n阶的希尔伯特矩阵的逆矩
阵。 例1 求4阶希尔伯特矩阵及其逆矩阵。命令如下：
format rat %以有理形式输出
H=hilb(4)
K=invhilb(4)
运行结果如下
H = 1 12 13 14 12 13 14 15 13 14 15
16 14 15 16 17
K = 16 -120 240 -140 -120 1200 -2700 1680
240 -2700 6480 -4200 -140 1680 -4200
2800-------------------------------------
有资料[06年文献]，显示希尔伯特23个问题大部已经解决，
但仍有以下13个问题仍是悬而未决。1、问题1连续统假设。
全体正整数（被称为可数集）的基数和实数集合（被称为连
续统）的基数c之间没有其它基数。
背景：1938年奥地利数学家哥德尔证明此假设在集合论公
理系统，即策莫罗- 佛朗克尔公理系统里，不可证伪。
1963年美国数学家柯恩证明在该公理系统，不能证明此假
设是对的。
所以，至今未有人知道，此假设到底是对还是错。2、问题2
算术公理相容性。
背景：哥德尔证明了算术系统的不完备，使希尔伯特的用元
数学证明算术公理系统的无矛盾性的想法破灭 。
3、 问题7 某些数的无理性和超越性。
5、 问题8 素数问题。
6、 问题11 系数为任意代数数的二次型。
背景：德国和法国数学家在60年代曾取得重大进展。
7、 问题12 阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代数有理域
上的推广。
背景：此问题只有些零散的结果，离彻底解决还十分遥远。
8、 问题13 仅用二元函数解一般7次代数方程的不可能性。
背景：1957苏联数学家解决了连续函数情形。如要求是解
析函数则此问题尚未完全解决。
9、 问题15 舒伯特计数演算的严格基础。
背景： 代数簌交点的个数问题。和代数几何学有关。
10、 问题16 代数曲线和曲面的拓扑。
要求代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。和微分方程的
极限环的最多个数和相对位置。
11、 问题18 用全等多面体来构造空间。
无限个相等的给定形式的多面体最紧密的排列问题，现在仍
未解决。
12、 问题20 一般边值问题。
偏微分方程的边值问题，正在蓬勃发展。
13、 问题23 变分法的进一步发展。 参考资料：CSDN博
客 JULY