七年级上册数学作业本答案解析数学中考史上十大难题

2020年11月11日发(作者：赖俊达)

解析数学中考史上十大难题
原题：25.已知△ABC，分别以AB、BC、CA 为边向外作等边△ABD、等边△BCE、等边△ACF。
（1） 如图1，当△ABC是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论；



（2） 如图2，当△ABC中只有∠ACB=60°时，请你证明S△ABC与S△AB D的和等于S△BCE与
S△ACF的和。






题目简要分析：这道题目之所以才位例第10为完全是因为第一问太简单了。对 于第二问在我们平时教学过
程中很少遇见面积等的问题，尤其是面对这种面积和等的问题，不仅缺少一些 直接的定理去支持这些结论，
且缺少一些必要的手段和方法去证明，平时练习也相对少一些，故本题第二 问得分率很低。关于第二问本
文提供3种解法，仅供参考。

解法一：
解题思路：观察AF∥BC，在△ABC中利用平行四边形构造一个三角形面积等于S△ACF，证明余下部分< br>面积等于S△BCE即可（很容易能观察出△DAM≌△BAC≌△EMC，剩余部分DBEM是平行四边 形，对
角线平分面积）

解：（1）AB=CE,AC=BE,AF=BE，S△ABC=S△ABD等等
（2）过A作AM∥FC交BC于M，连结DM、EM。



∵∠ACB=60°，∠CAF=60°，
∴∠ACB=∠CAF
∴AF∥MC
∴四边形AMCF是平行四边形.
又∵FA=FC，
∴四边形AMCF是菱形.
∴AC=CM=AM，且∠MAC=60°，且
S△MAC= S△ACF
在△BAC与△EMC中，
CA=CM，∠ACB=∠MCE，CB=CE,
∴△BAC≌△EMC.
∴AB=ME
又∵AB=DB
∴DB=ME
又∵∠DAM=∠DAB+∠BAM，
∠BAC=∠CAM+∠BAM且∠DAB=∠CAM=60°
∴∠DAM=∠BAC，
在△DAM与△BAC中，
AD=AB, ∠DAM=∠BAC,AM=AC
∴△DAM≌△BAC
∴DM=BC
又∵BC=BE
∴DM=BE
∴四边形DBEM是平行四边形
∴S△BDM= S△BEM
由上所述∴△DAM≌△EMC
∴S△DAM= S△EMC
∴S△BDM+ S△DAM+ S△MAC=
S△BEM+ S△EMC+ S△ACF
即S△ABC+S△ABD=S△BCE+S△ACF


所用知识点：图形的分割能力，平行四边形面积，旋转，全等
本题需要有类比的思想，面积和 等于面积和，证明方法可类似于线段和等于线段和。可先证明部分相等，
再证明剩余部分相等。

解法二：
解题思路：观察AF∥BC，AC∥BE利用平行线间等积去转换S△ACF.和 S△BCE 转换后能够发现较明
显的图形旋转。
连结BF，DC，AE



∵∠DAC=∠DAB+∠BAC,
∠BAF=∠CAF+∠BAC,且
∠DAB=∠CAF=60°
∴∠DAC=∠BAF
在△DAC与△BAF中
AD=AB, ∠DAC=∠BAF,AC=AF
∴△DAC≌△BAF
∴S△DAC= S△BAF
又∵∠ACB=60°，∠CAF=60°，
∴∠ACB=∠CAF
∴AF∥BC
∴S△BAF= S△ACF
∴S△DAC= S△ACF
同理可证：S△DBC= S△CBE
∵∠DBC=∠DBA+∠ABC,
∠EBA=∠CBE+∠ABC,且∠DBA
=∠CBE=60°
∴∠DBC =∠EBA
在△DBC与△ABE中
BD=AB, ∠DBC =∠EBA,BC=BE
∴△DBC≌△ABE

∴S△DBC= S△ABE
又∵∠ACB=60°，∠CBE=60°，
∴∠ACB=∠CBE
∴AC∥BE
∴S△ABE= S△CBE
∴S△DBC = S△CBE
∴S△DAC+ S△DBC= S△ACF+
S△CBE
即S△ABC+S△ABD=S△BCE+S△ACF

所用知识点：图形的分割能力，旋转，全等，平行线间三角形等积转换
请注意：平行线间三角形等积转换是分割图形很重要的思想

解法三：
解题思路：由结论可知分别是4个三角形面积和，设两边AC、BC长度，利用夹角是特殊角可算出第三边
AB长度，利用都是等边三角形，用边长强行表示出各三角形面积，余下就是代数整理过程。
解：过点A作AG⊥BC交BC于点G，过点C作CH⊥AF交于点H,设在△ABC中,BC=a，
A C=b，







< br>所用知识点：三角函数计算，三角形面积计算（尤其是对等边三角形面积结论要很熟悉哦），建议各位同学
能记忆等边三角形面积计算公式S= a
2
（a为边长，在选择和填空题方面可直接应用，比较方面）

由本题我们可以联想到：
2005年本题出现后，旋转一个古老的专题又再一次在以后的考试 中活跃起来，关于面积转换和分割在近几
年考试和练习中也越来越多。现针对于旋转和面积转换分割问题 列举出一些常规试题。
（一）旋转
1.2009年石景山区数学二模第25题
如图①，四边形ABCD中，AB＝CB，∠ABC＝60°，∠ADC＝120°，请你猜想线段DA、DC之 和与
线段BD的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图②，四边形ABCD中，AB＝BC ，∠ABC＝60°，若点P为四边形ABCD内一点，且∠APD＝120°，
请你猜想线段PA、P D、PC之和与线段BD的数量关系，并证明你的结论。




解题思路：第一问是一个典型的截长补短或者旋转的题目。连接AC就能构造等边三角形，就能旋转。第
二问，多条线段关系，一定先利用各种条件尽量转化为三条线段，再求解。发现第二问条件类似于第一问，关键条件120°位置转变，可以利用第一问结论去构造图形，转换PA+PD为一条线段。
解：(1)如图①，延长CD至E，使DE＝DA．连结AC，


∵∠ADC＝120°
∴∠ADE=60°
∴△EAD是等边三角形．
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD
∠CAE=∠DAE+∠CAD
∠BAC=∠DAE=60°
∴∠BAD=∠CAE

∴在△BAD和△CAE中
BA=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE
∴△BAD≌△CAE．
∴BD=CE= DE＋CD=AD＋CD
(2)如图②，在四边形ABCD外侧作正三角形AB' D，连结
B'C，AC





∵四边形AB' DP符合(1)中条件，
∴B' P＝AP＋PD
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD
∠CA B'=∠DAB' +∠CAD
∠BAC=∠DAB' =60°
∴∠BAD=∠CA B'
在△ADB和△A B'C中
AB=AC, ∠BAD=∠CAB' ,AD= A B'
△ADB≌△A B'C
B'C＝DB
(i)若满足题中条件的点P在 B'C上，
则 B'C＝PB'＋PC．
∴ B'C＝AP＋PD＋PC
∴BD＝PA＋PD＋PC
(ii)若满足题中条件的点P不在 B'C上，
∵ B'C＜PB＋PC
∴ B'C＜AP＋PD＋PC
∴BD＜PA＋PD＋PC
综上，BD≤PA＋PD＋PC。
所用知识点：旋转，截长补短，构造前一问图形，三角形三边关系，全等。
请注意：在几何问 题中第二问常常用到第一问的结论。要善于去构造第一问的图形或结论去帮助解决较难
的第二问。

2. 如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证 ：CD=BE，△AMN是
等边三角形。
（1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置 时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说
明理由；
（2）当△AD E绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求
出当AB=2A D时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由。







解题思路：本题是典型的旋转题目，条件中有较多等 边三角形，伴随等边三角形的旋转，图中各点连线构
成的三角形也在旋转，通过全等后，注意利用全等结 论“边等”和“角等”的转换，本题应该可以轻松破
解。












所用知识点：旋转，勾股定理，相似比与面积比关系
请注意：全等后的结论一定要多利用，多 与之前已有的条件相结合，尤其是角，这样方面我们去导角，从
而进行下一次的转换

3.如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．
（1）求证：CE＝CF；
（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图2，在直角梯形ABC D中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且
∠DCE＝ 45°，BE＝4，求DE的长．





解题思路：（1）典型SAS全等

（2）利用第一问结论，转化条件后，再用一次全等
(3) 利用（1）(2)中结论，构造图1，利用线段长度放在RT△中计算






所用知识点：旋转，勾股定理
本题相对前两 题较简单，但是前两题中所用到的，“多利用前面问题的结论，多构造前面问题图形”“全
等后的结论的 利用，与已知条件相结合”在这道题目中都有所展现。

（二）平行线间等积转化
如图ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米，求△CDF的面积。






解题思路：明显△ADE与△ CDF不全等，故不考虑全等证明。图中有多组平行线，可以构造平行线间三
角形等积转化
提 示：S
△
ADE
=S
△
AEC
=S
△
AF C
=S
△
DFC
=4平方厘米

（解法二：分别以AE ,DC为底强行构造出S
△
ADE
和S
△
DFC
的表达式， 利用相似去计算表达式相等，同学们
可自行完成）

(三) 操作能力平分面积

（1）（08年西城一模）如图：梯形纸片ABCD，AD∥BC， ，设AD=a，BC=b
请你设计两种方法，只需用剪刀剪一次就将梯形纸片ABCD分割成面积相等 的两部分，画出设计的图形并
简要说明理由。





解题思路：①直接构造梯形面积一半S=14（a+b）h，利用高h不变，构造底=12 （a+b）的三角形；
②将梯形转化为面积相等的平行四边形，利用过平行四边形对称中心的直线平分 平行四边形面积，从而平
分梯形面积。

解：方法一：如图①，取BM=（a+b ）2，连接AM．AM把梯形纸片ABCD分成面积相等的两部分．
方法二（如图②）：1.取DC的中点G，过G作EF∥AB，交BC于点F，交AD的延长线于点E．
2.连接AF，BE，相交于点O．
3.过O任作直线MN，分别与AD，BC相交于点N、M，沿
MN剪一刀即把梯形纸片ABCD分成面 积相等的两部分．






（2）. 已知四边形ABCD，在AD上求一点P，使BP平分四边形ABCD的面积（四边形ABCD
是任意的 ）






解题思路：因为在AD上找 一点，可以将四边形ABCD转化为面积以AD所在直线为底的面积相等的三角
形，通过中线平分三角形 面积，从而平分四边形面积。


解：如图
1).连结BD ，过C作CE∥BD交AD的延长线于E
2).连结BE ，则四边形ABCD的面积等于三角形ABE的面积
3).取AE的中点P ，连结BP 即可。(中线平分三角形的面积)

后语：


1. 关 于旋转问题，永远是初三考试中常考问题，在这类问题中常有很明显的条件出现，比如等腰三角形，
等边 三角形，正方形等等，需要同学做题时常观察，要心细。这类题目的解法相对较单一，只要能观察出
旋转 后续全等转换等应该不是难事。
2.纵观现今的中考真题或各区初三期末考试或者是一二模考试，对面 积的问题考察的越来越频繁，考察的
方向越来越多样化，题目出得越来越“活”，需要自己动手操作的题 目越来越多。这类题目常常需要注意
整体面积不变去构造边长或图形的旋转，翻折等，还要善于构造平行 线，利用等积去转换问题。
3.再难的题目不管是处于22、23、24或25题，请注意这些题目的 第一问或者前两问往往都比较简单或者
难度一般，但是这些问题里面往往提示或者暗示了后续问题的一个 思考方向。要学会善于利用他们去解决
问题。