转折关联词有哪些-工程管理硕士含金量
《天体密度和质量的计算》
一、计算题
1.
如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上
P
点沿水平方向以初速度
抛出一个小球，测得小球经时间
t
落到斜坡上另一点Q
，斜面的倾角为
，已
知该星球半径为
R
，万有引力常量为
G
，求：
该星球表面的重力加速度；
该星球的密度；
人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的周期
T
2.
如图所示，火箭栽着宇宙探测器飞向某行星，火箭内平台上还放有测试仪器
火箭
从地面起飞时，以加速度
竖直向上做匀加速直线运动
为地面附近的重力加速
度
，已知地球半径为
R
．
到某一高度时，测试仪器对平台的压力是刚起飞时压力的
，求此时火箭离地
面的高度
h
．
探测器与箭体分离后，进入行星表面附近的预定轨道，进行一系列科学实验和
第1页，共27页
测量，若测得探测器环绕该行星运动的周期为
，试问：该行星的平均密度为多少？
假定行星为球体，且已知万有引力恒量为
3.
飞船沿半径为
R
的圆周绕地球运动，其周期为T
，如果飞船要返回地面，可在轨道
上的某一点
A
处，将速率降低到适当 数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的特殊椭
圆轨道运动，椭圆和地球表面在
B
点相切 ，如图所示，如果地球半径为
，万有引
力常量
G
已知，
求
地球的密度
飞船由
A
点到
B
点所需的时间。
4.
我国月球探测计划嫦娥 工程已经启动，“嫦娥
1
号”探月卫星也已发射。设想嫦娥
1
号登月飞船贴近 月球表面做匀速圆周运动，飞船发射的月球车在月球软着陆后，
自动机器人在月球表面上沿竖直方向以初 速度
抛出一个小球，测得小球经时间
t
落回抛出点，已知该月球 半径为
R
，万有引力常量为
G
，月球质量分布均匀。求：
月球表面的重力加速度；
月球的密度；
月球的第一宇宙速度。
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在一固定的竖直光滑圆轨道内部有一质量为
m
5.
宇航员在月球表面完成下面的实验：
的小球
可视为质点
，如图所示
当在最高点给小球一瞬间的速度
v
时，刚好能使小球在竖直平面内做完整的圆周运动。已知圆弧的轨道半径为
r
，月球的半径为
R< br>，
引力常量为
求：
若在月球表面上发射一颗环月卫星，所需最小发射速度为多大？
月球的平均密度为多大？
轨道半径为
2R
的环月卫星周期为多大？
6.
已知某星球半径为
R，若宇航员随登陆舱登陆该星球后，在此星球表面某处以速度
竖直向上抛出一个小球，小球能上升的最大高度为
，
不考虑星球自
转的影响，引力常量为
。
求星球表面的自由落体加速度和该星球的质量；
在登陆前，宇宙飞船绕该星球 做匀速圆周运动，运行轨道距离星球表面高度为
h
，
求卫星的运行周期
T．
7.
宇航员站在一星球表面上高
h
处，以初速度
沿水平方向抛出一个小球，小球落地
时的水平位移为
已知该星球的半径为
R
，不计星球自转，万有引力常量为
G
，求：
该星球表面的重力加速度；
该星球的质量；
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该星球的第一宇宙速度。
8.
如图所示，“嫦娥三号 ”探测器在月球上着陆的最后阶段为：当探测器下降到距离
月球表面高度为
h
时，探测 器速度竖直向下，大小为
v
，此时关闭发动机，探测器
仅在重力
月球对探测器的重力
作用下落到月面
已知从关闭发动机到探测器着地
，引力常量为
G
，忽略月球自转影响，则： 时间为
t
，月球半径为
R
且
月球表面附近重力加速度
g
的大小；
月球的质量
M
．
被宇航员带到月球表面上时重为
已知月球半径为
R
，
9.
一航天仪器在地面上重为
，
引力常量为
G
，地球表面的重力加速度大小为
，求：
月球的密度；
月球的第一宇宙速度和近月卫星
贴近月球表面
的周期．
10.
宇航员站在星球表面，从高
h
处以初速度
水平抛出一个 小球，小球落到星球表面
时，与抛出点的水平距离是
x
，已知该星球的半径为
R
，引力常量为
G
，求该星球
的质量
M
．
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11.
2016
年
8
月
16
日，我国科 学家自主研制的世界首颗量子科学实验卫星“墨子号”
成功发射，并进入预定圆轨道．已知“墨子号”卫 星的质量为
m
，轨道离地面的高
度为
h
，绕地球运行的周期为
T
，地球半径为
R
，引力常量为
求：
“墨子号”卫星的向心力大小；
地球的质量；
第一宇宙速度．
故同一个物体在地球
12.
物体在地球上不同纬度处随地球自转所需向心力 的大小不同，
上不同纬度处重力大小不同，在地球赤道上的物体受到的重力与其在地球两极点受
到的重力大小之比约为
299
：
300
，因此我们通常忽略两者的差异，可认 为两者相
等．而有些星球，却不能忽略．假如某星球因为自转原因，一物体在赤道上的重力
与其 在该星球两极点受到的重力大小之比为
5
：
6
，已知该星球的半径为
R
，
求绕该星球运动的同步卫星的轨道半径
r
；
若已知该星球赤道上的重力加速度大小为
g
，万有引力常量为
G
，求 该星球的密
度
．
13.
某行星的自转周期为
T
，用弹簧测力 计在该行星的“赤道”和“两极”处测同一物
体的重力，弹簧测力计在赤道上的读数比在两极上的读数小
引力常量为
G
，
行星视为球体
．
求行星的平均密度；
第5页，共27页
设想该行星自转角速度加快到某一值时，在“赤道”上的物体会“飘”起来，
求 此时的自转周期．
14.
中国计划在
2017
年实现返回式月球软着陆器对月球进行 科学探测，宇航员在月球
上着陆后，将一个小球从距月球表面高度
h
处自由释放，测得 小球从静止落到月球
上的时间为
t
，不计阻力．已知月球半径为
R
， 万有引力常量为
求：
月球的质量
月
；
如果要在月球上发射一颗绕月球运行的卫星，所需的最小发射速度；
当着陆器绕距月球表面高
H
的轨道上运动时，着陆器环绕月球运动的周期．
15.
“嫦娥一号”卫星在距月球表面高度为
h
处做匀速圆周运动的周期为
T
，已 知月球
半径为
R
，引力常量为
球的体积公式
，其中
R
为球的半径
求：
月球的质量
M
；
月球的密度
；
月球表面的重力加速度
g
．
己知
16.
科学家观测到某一卫星环绕月球做匀速圆周运动，卫星距月球表面的高度为
月球半径 为
R
，月球质量为
M
，引力常量为
G
，忽略月球自转影响． 求：
月球
表面的重力加速度
g
；
该卫星绕月球运行时速度
v
；
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该卫星环绕月球运行的周期
T
．
17.
宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一 小球，经过时间
t
小球落回原处；若它
在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间
小球落回原处．
取地球表面重力加速度
，空气阻力不计，忽略星体和地球的自转
求该星球表面附近的重力加速
；
已知该星球的半径与地球半径之比为
星
：
地
：
2
，求该星球的质量与地球
质量之比
星
：
地
．
已知地球
18.
一颗“北斗”导航卫星在 距地球表面高度为
h
的轨道上做匀速圆周运动，
半径为
R
，引力常量 为
G
，地球表面的重力加速度为
求：
地球的质量
M
；
地球的第一宇宙速度
；
该“北斗”导航卫星做匀速圆周运动的周期
T
．
19.
“嫦娥一号”的成功 发射，为实现中华民族几千年的奔月梦想迈出了重要的一部，
假设“嫦娥一号”在月球的近地轨道上做匀 速圆周运动，绕行周期为
T
，月球的半
径为
R
，万有引力常量为G
。
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求月球的质量
M
；
求月球表面的重力加速度
g
。
20.
我国已经进入全面的 天空活动中，
2016
年
10
月
19
日，神
舟十一 号载人飞船与天宫二号空间实验室成功实现自动交
会对接，再次引起人们对月球的关注．我国发射的“嫦 娥
三号”探月卫星在环月圆轨道绕行
n
圈所用时间为
t
，如图
所示．已知月球半径为
R
，月球表面处重力加速度为
月
，
引力常量为
试求：
月球的质量
M
；
月球的第一宇宙速度
；
“嫦娥三号”卫星离月球表面高度
h
．
21.
已知地球的半径为
R
，地球表面的重力加速度为
g
，引力常量为
G
，
求地球的平均密度
；
假设“ 神舟七号”飞船进入预定轨道后绕地球做匀速圆周运动，运行的周期是
T
，
求飞船绕地 球飞行时离地面的高度
h
．
22.
10
年
10
月
1< br>日，我国“嫦娥二号”探月卫星成功发射。“嫦娥二号”卫星开始绕
地球做椭圆轨道运动，经过若 干次变轨、制动后，最终使它绕月球在一个圆轨道上
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运行。设“嫦娥二号” 距月球表面的高度为
h
，绕月圆周运动的周期为
T
。已知月
球半径为
R
，引力常量为
G
。求：
月球的质量
M
；
月球表面的重力加速度
g
；
若发射一颗绕月球表面做匀速圆周运动的飞船，则其绕月运行的线速度应为多
大。
23.
宇航员到达某行星上，一小球从高为
h
处自由下落，落到星球表面时速度为
，设
行星的半径为
R
、引力常量为
G
，求：
该行星表面的重力加速度大小；
该行星的质量。
24.
天文学家 将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星．双星系统
在银河系中很普遍．利用双星系 统中两颗恒星的运动特征可以推算出它们的总质
量．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固 定点分别做匀速圆周运动，
周期均为
T
，两颗恒星之间的距离为
r
试推算这个双星系统的总质量
引力常量为
< br>研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若
某双星系统中两 星经过一段时间的演化后，两星总质量变为原来的
k
倍，两星间距
变为原来的
n
倍，则此时双星做圆周运动的周期变为原来的多少倍？
第9页，共27页
25.
一 颗卫星以轨道半径
r
绕地球做匀速圆周运动，已知引力常量为
G
，地球半径< br>R
，
地球表面的重力加速度
g
，求：
地球的质量
M
；
该卫星绕地球运动的线速度大小
v
。
26.
火星探测飞行器发送回的信息表 明，探测器关闭发动机后，在离火星表面为
h
的高
度沿圆轨道运行过程中，测得周期为
T
，已知火星半径为
R
，引力常量为
G
．
求火星的密度．
求火星表面的重力加速度．
27.
卡文迪许利用微小量 放大法由实验测出了万有引力常量
G
的数值，因为由
G
的数
值及其它 已知量，就可以计算出地球的质量，卡文迪许也因此被誉为第一个“称量”
地球的人．
若在某次实验中，卡文迪许测出质量分别为
、
相距为
r
的两个小球之间引
力的大小为
F
，求万有引力常量G
；
若已知地球半径为
R
，地球表面重力加速度为g
，万有引力常量为
G
，忽略地球
自转的影响，请推导出地球质量
M
．
第10页，共27页
测得小球经时间
t
落回抛出点，
28.
在月球表面上沿竖直方向以初速度
抛出一个小球，
已知该月球半 径为
R
，万有引力常量为
G
，月球质量分布均匀。求：
月球的密度；
月球的第一宇宙速度。
答案和解析
1.
【答案】解：
设该星球表现的重力加速度为
g
，根据平抛运动规律：
水平方向：
竖直方向：
平抛位移与水平方向的夹角的正切值
得
；
在星球表面有：
，
该星球的密度：
解得
由
；
，可得
，
；
又
，所以
绕星球表面运行的卫星具有最小的周期，即：
该星球表面的重力加速度为
该星球的密度为
；
；
人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的周期
T
为
。
【解析】
根据平抛运动规律列出水平方向和竖直方向的位移等式，结合几何关系求
出重力加速度。
忽略地球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式。根据密度公式求解。
该星球的近地卫星的向心力由万有引力提供，该星球表面物体所受重力等于万有引
力，联立方程 即可求出该星球的第一宇宙速度
v
。
第11页，共27页
处理平抛运动的 思路就是分解。重力加速度
g
是天体运动研究和天体表面宏观物体运动
研究联系的物理 量。
2.
【答案】解：
火箭刚起飞时，以测试仪为研究对象，受地球引力
、平台的支持
力
，有：
根据牛顿第三定律，起飞时测试仪器对平台的压力大小为
．
设火箭离地高为
h
时，平台对测试仪器的支持力为
，则有：
中
G
为万有引力恒量，
M
为地球质量．
在地面附近，有：
，其
则：
于是得到：
设行星质量为
M
，行星平均密度为
，
又有：
得：
．
答
到某一高度时，测试仪器对平台的压力是刚起飞时压力的
，此时火箭离地面的
高度
h
为
．
探测器与 箭体分离后，进入行星表面附近的预定轨道，进行一系列科学实验和测量，
若测得探测器环绕该行星运动 的周期为
，则该行星的平均密度为
．
以测试仪器为研究对象，【解析】根据牛顿第二定律求出某一高 度处的重力加速度，
再由重力等于万有引力，代入数据求解火箭离地面的高度．
现根据万有引力提供向心力，求出行星的质量，再根据密度的定义式，计算密度．
本题中称为黄金代换式，反映了重力加速度与高度的关系，可根据重力
与万有引力推导出来的．
3.
【答案】解：
设地球质量为
M
，飞船质量为m
，飞船沿半径为
R
的圆周绕地球运
动，其周期为
T
， 由牛顿第二定律得：
解得地球的密度为：
；
，地球质量：
，
根据题意得椭圆轨道的半长轴
第12页，共27页
根据开普勒第三定律得：，因为
，
解得：
则飞船由
A
点到
B
点的运动时间为：
。
答：
地球的密度为
；
。
飞船由
A
点到
B
点所需要的时间是
【解析】飞船沿半 径为
R
的圆周绕地球运动，其周期为
T
，根据圆周运动的公式及球体
体积公式即可求出地球的密度；根据开普勒第三定律，结合椭圆轨道半长轴的大小，求
出飞船在椭圆轨道 上的周期，从而求出飞船由
A
点到
B
点所需的时间。
由万有引力提 供向心力将描述圆周运动的参量联系起来是求解的关键，使用开普勒第三
定律求解是难点。
4.
【答案】解：
根据竖直上抛运动的特点可知：
所以：
；
设月球的半径 为
R
，月球的质量为
M
，则：
体积与质量的关系：
联立得：
；
由万有引力提供向心力得：
联立得：
；
答：
月球表面的重力加速度是
月球的密度是
；
；
月球的第一宇宙速度是
。
【解析】
根据竖直上抛运动的特点，求出月球表面的重力加速度；
根据万有引力等于重力
，结合体积、密度与质量的关系即可求出；
根据万有引力提供向心力
求出月球的第一宇宙速度。 < br>该题考查人造卫星的应用，解决本题的关键要建立模型，掌握万有引力等于重力和万有
引力提供向 心力。
第13页，共27页
5.
【答案】解：
小球在最高点重力充当向心力：
月球近地卫星最小发射速度：
又：
解得：
由：
得：
又：
解得：
对该卫星有：
解得：
答：
若在月球表面上发射一颗环月卫星，所需最小发射速度为
月球的平均密度为
轨道半径为
2R
的环月卫星周期为
【解析】
由最小发射速度应是万有引力等于重力，而重力 又充当向心力时的圆周运
动速度，由此可以解得最小发射速度；
由万有引力等于重力解出质量，然后又密度等于质量除以体积可以得到密度；
由万有引力充当向心力的周期表达式，可以得到周期。
6.
【答案】解：
、在星球表面，抛出小球后做竖直上抛运动，
由
可得表面的重力加速度
星球表面的物体受到的重力等于万有引力
可得星球的质量
根据万有引力提供飞船圆周运动的向心力
有飞船的周期为
第14页，共27页
答：
求星球表面的自由落体加速度为，该星球的质量为
；
在 登陆前，宇宙飞船绕该星球做匀速圆周运动，运行轨道距离星球表面高度为
h
，卫
星的 运行周期
T
为
．
【解析】以初速度
竖直上 抛一物体，物体在重力作用下做匀减速直线运动，当物体速
度减为
0
时，物体上升到最 大高度，已知初速度末速度和位移，根据匀变速直线运动的
速度位移关系可以求出该星球表面的重力加速 度
g
，卫星绕星球表面做匀速圆周运动，
重力提供万有引力，据此列式可得卫星运行的 周期．
认清竖直上抛运动的本质，根据匀减速直线运动规律求出物体的重力加速度，注意负号
含义的交代，卫星运行的最小周期根据重力提供圆周运动的向心力列式求解即可．
7.
【答案】解：
近似认为小球受到万有引力恒定，由星球表面物体受 到的重力等于
万有引力可知小球只受重力作用，故小球做平抛运动，那么由平抛运动位移规律可得：
所以，该星球表面的重力加速度为：
；
由星球表面物体受到的重力等于万有引力可得：
所以，该星球的质量为：
；
近地卫星绕星球运动的速度为第一宇宙速度，故由万有引力做向心力可得：
所以有：
；
答：
该星球表面的重力加速度为
该星球的质量为
；
；
。
该星球的第一宇宙速度为
【解析】
根据小球做平抛运动，由位移规律求解；
根据星球表面物体受到的重力等于万有引力求解；
根据近地卫星绕星球运动的速度为第一宇宙速度，由万有引力做向心力求解。
万有引力问题的 运动，一般通过万有引力做向心力得到半径和周期、速度、角速度的关
系，然后通过比较半径来求解，若 是变轨问题则由能量守恒来求解。
8.
【答案】解：
探测器关闭发动机后做竖直下抛运动，有
第15页，共27页
解得：
根据重力等于万有引力，有
得
答：
月球表面附近重力加速度
g
的大小
月球的质量
M
为
；
．
【解析】
根据匀变速直线运动的规律求月球表面的重力加速度
根据重力等于万有引力求月球质量
解决本题的关键是明确探测器的受力情况和运动情况，然后 根据运动学公式和万有引力
定律列方程求解，难度不大．
9.
【答案】解：
在地面上有：
，
在月球表面上有：
月球的质量为：
，
，
联立解得月球的密度为：
．
设月球的第一宇宙速度为
v
，近月卫星的周期为
T
，则
，
，
，
解得
，
．
答：
月球的密度为
；
月球的第一宇宙速度为
，近月卫星
贴近月球表面
的周期为
．
【解析】
根据物体在月球上的重力等于月球对物体的万 有引力求出月球的质量，结
合月球的体积求出月球的密度．
根据重力提供向心力求出月球的第一宇宙速度以及近月卫星的周期．
解决本题的关键掌握万有 引力定律的两个重要理论：
1
、万有引力提供向心力，
2
、万有
引力 等于重力，并能灵活运用．
10.
【答案】解：设星球表面的重力加速度为
g
，
则根据小球的平抛运动规律得：
第16页，共27页
在星球表面的物体受到的重力等于万有引力，有：
联立以上等式得：
答：该星球的质量是
，
．
【解析】要求星球的质量，根据重力等于万有引力，但必须先由平抛运动的规律 求出星
球表面的重力加速度
g
，再联立求解；
平抛运动与万有引力联系的桥梁是重力加速度
运用重力等于万有引力，得到
，
这个 式子常常称为黄金代换式，是求解天体质量常用的方法，是卡文迪许测量地球质量
的原理．
11.
【答案】解：
“墨子号”卫星的角速度
，
“墨子号”卫星的向心力
万有引力提供“墨子号”卫星向心力
解得地球的质量
万有引力提供物体绕地球表面做匀速圆周运动向心力
解得第一宇宙速度
【解析】解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，并能 灵活运用，知道
第一宇宙速度是贴近星球表面做匀速圆周运动的线速度。
根据“墨子号”卫星的周期求出角速度，结合向心力公式求出“墨子号”卫星的向
心力大小；
根据万有引力提供向心力，结合
“墨子号”卫星的轨道半径和周期，求出地球的质
量；
根据万有引力提供向心力得出第一宇宙速度的大小；
12.
【答案】解：
设物体质量为
m
，星球质量为< br>M
，星球的自转周期为
T
，物体在星
球两极时，万有引力等于重力，即 ：
万
极
物体在星球赤道上随星球自转时，向心力由万有引力的一个分力提供，另一个分力就是
重力
赤
，有：
万
赤
因为
赤
极
，
得：
第17页，共27页
该星球的同步卫星的周期等于自转周期
T
，则有：
联立解得：
在星球赤道上，有：
可得：
又因星球的体积：
所以该星球的密度：
答：
绕该星球运动的同步卫星的轨道半径为
36 R
；
若已知该星球赤道上的重力加速度大小为
g
，万有引力 常量为
G
，则该星球的密度为
．
【解析】
物体在星球两极时，万有引力等于重力，即：
万
极
，物体在星
球赤道上随星球自转时，向心力由万有引力的一个分力提供，另一个分力就是重力
赤
，
有：
万
赤
，该星球的同步卫星的周期等于自转周期
T
，则有：
，
结合题目中的条件，计算绕该星球运动的同步卫星的轨道半径
r
．
在星球赤道上，有
的密度．
本题要知道物体在星球两极时，万有引力等于重力，物体在星球赤道上随星球自转时，
万
赤
，
向心力由万有引力的一个分力提供，另一个分力就是重力
赤
，有关系：
这两个关系是解题的关键．
，解出该星球的质量，再根据密度的定义式计算星球
13.
【答案】解：
放在行星两极处的物体，其万有引力等于重力，即
，赤道上的物体有万
有引力提供其向心力及重力，即在赤道上，把物 体所受到的万有引力分解为自转所需的
向心力和重力。
则
所以该行星的质量为
第18页，共27页
行星的平均密度为
对物体原来有
当物体飘起时，万有引力提供向心力，
有
由
得：
【解析】解决此类问题的关键是找 到物体和卫星做圆周运动所需要的向心力的来源，并
结合万有引力定律解决问题。
在两极，因物体随行星自转半径为零，无需向心力，其万有引力等于重力，在赤道
上，我们把物 体所受到的万有引力分解为自转向心力和重力。
物体飘起相当于行星的表面发射一颗环 绕表面的卫星，其轨道半径近似等于星体半
径
R
，由万有引力充当向心力可解的卫星的 周期。
14.
【答案】解：
设月球表面的重力加速度为
g
，由自由落体运动可得：
得：
着陆器在月球表面所受的万有引力等于重力，有：
得：
月
月
月
卫星绕月球表面运行，有：
联立得：
由牛顿第二定律有：
月
联立得：
； 答：
月球的质量
月
如果要在月球上发射一颗绕月球运行的卫星，所需的最小发射速度为
；
当着陆器绕距月球表面高
H
的轨道上 运动时，着陆器环绕月球运动的周期为
第19页，共27页
．
【解析】
根据自由落体运动的知识求出月球表面的重力加速度．根据万有引力等于
重力求出月球的质量．
以最小速度发射的卫星将贴着月球的表面运行，轨道半径等于月球的半径．根据万
有引力提供向心力求出最小的发射速度．
根据万有引力提供向心力求着陆器环绕月球运动的周期．
解决本题的关键掌握万有引力等于重力，以及万有引力提供卫星做圆周运动的向心力．
15.
【答案】解：
根据万有引力提供向心力得，
，
解得月球的质量
．
月球的密度
．
月球表面万有引力等于重力，根据
又
，
．
．
解得
答：
月球的质量
M
为
月球的密度
为
；
；
月球表面的重力加速度
g
为
．
【解析】
根据万有引力提供向心力，结合嫦娥一号卫星的周期和轨道半径求出月球
的质量．
根据月球的质量以及月球的体积求出月球的密度．
根据万有引力等于重力求出月球表面的重力加速度．
解决本题的关键掌握万有引力定律的两个 重要理论：
1
、万有引力等于重力，
2
、万有引
力提供向心力，并能 灵活运用．
16.
【答案】解：
设月球表面有一质量为
的物体，忽略月球自转影响
则月球表面的物体所受万有引力等于重力，有：
解得：
设卫星的质量为
m
，由万有引力提供向心力，则有：
第20页，共27页
解得：
对卫星，由万有引力提供向心力，则有：
解得：
答：
月球表面的重力加速度为
；
该卫星绕月球运行时速度为
绕月球运行的周期为
。
；
该卫星环
【解析】本题考查了万有引力定律的应用，知道万有引力提供向心力、万有引力等于重
力是解题的关键， 应用万有引力公式与牛顿第二定律可以解题。
月球表面的物体受到的万有引力等于重力，据此求出月球表面的重力加速度；
由万有引力提供向心力，列出表达式，即可求解运行时速度
v
；
由万有引力提供向心力，列出表达式，即可求解运行的周期
T
；
17.
【答案】解：
小球竖直上抛后做匀变速直线运动，取竖直向上为正方向，根据运
动学规律有：
；
，
代入数据解得：
．
忽略星体和地球的自转，表面的物体受到的万有引力等于重力，有：
所以有
，
，
解得：
星
：
地
：
10
．
【解析】本题主要考查万有引力定律，解决本题的关键 掌握万有引力等于重力这一重要
理论，并能灵活运用，该理论运用比较广泛，所以将
称为“黄金代换式”．
根据速度时间公式求出重力加速度之比，从而得出星球表面附近的重力加速度大小；
根据万有引力等于重力，结合重力加速度之比、半径之比求出星球质量和地球质量
之比．
18.
【答案】解：
在地球表面重力与万有引力相等有：
第21页，共27页
可得地球的质量
第一宇宙速度是近地卫星运行的速度，根据万有引力提供圆周运动向心力有：
可得第一宇宙速度
该“北斗”导航卫星的轨道半径
据万有引力提供圆周运动向心力有：
代入
可得
【解析】万有引力应用问题主要从以下两点入 手：一是地球表面重力与万有引力相等，
二是万有引力提供圆周运动向心力。
在地球表面重力与万有引力相等，据此由地球半径和表面的重力加速度和万有引力
常量求得地球的质量；
第一宇宙速度就是绕地球表面运行的卫星的线速度，由万有引力提供圆周运动向心
力求得；
根据万有引力提供圆周运动向心力求得该“北斗”导航卫星的周期。
19.
【答案】解：
设月球质量为
M
，“嫦娥一号” 的质量为
m
，根据万有引力定律和
牛顿第二定律，对“嫦娥一号”绕月飞行的过程有
解得
设月球表面的重力加速度为
g
，
有万有引力定律可得：
解得：
，
答：
月球的质量
M
为；
月球表面的重力加速度
g
为
。
求月球表面的重力加速度为
．
【解析】能正确根据卫星运动时的向心力由 万有引力提供和量球表面的重力和万有引力
相等列式求解有关质量、重力加速度问题。
根据万有引力提供向心力求出月球的质量；
在月球表面，月球对物体的万有引 力等于月球表面的重力，由此列式得出月球表面
的重力加速度
g
。
20.
【答案】解：
表面处引力等于重力，有：
月
第22页，共27页
得：
月
第一宇宙速度为近地卫星运行速度，由万有引力提供向心力得：
所以月球第一宇宙速度为：
月
卫星做圆周运动，由万有引力提供向心力得：
卫星周期为：
轨道半径
，解得：
答：
月球的质量
M
为
月
，
月
；
月球的第一宇宙速度
为
月
；
“嫦娥三号”卫星离月球表面高度
h
为
月
【解析】
根据月球表面物体重力等于万有引力求出月球的质量
M
；
根据万有引力提供向心力求第一宇宙速度；
根据万有引力提供向心力列式，由题意求出周期，联列即可求解；
本题要掌握万有引力提供向 心力和重力等于万有引力这两个重要的关系，要能够根据题
意选择恰当的向心力的表达式．
21.
【答案】解：
设地球的质量为
M
，对于在地面处质量为
m
的物体有：
又因为：
由
两式解得：
设飞船的质量为
，则：
由
两式解得：
答：
地球的平均密度是
；
假设“神舟七号”飞船进入预定轨道后绕地球做匀速圆周运动，运行的周期是
T
，
飞船 绕地球飞行时离地面的高度是
．
【解析】根据万有引力提供向心力求解中心天体
地球
的质量．
根据万有引力等于重力列出等式，联立求解．
解决本题的关键掌握万有引力等于重力和万有引 力提供向心力这两个理论，并能灵活运
第23页，共27页
用．
22.
【答案】解：
研究“嫦娥一号”绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心
力，列出等式：
，得：
；
忽略月球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式：
月球表面：
，得：
；
根据
。
，解得：
【解析】关键是掌握万有引力问题的两个着手点：一是万有引力提供圆 周运动向心力，
二是星球表面重力与万有引力相等。
根据万有引力提供圆周运动向心力求中心天体月球的质量
M
；
在月球表面重力与万有引力相等求月球表面的重力加速度；
根据月球表面重力与万有引力相等，提供圆周运动向心力，求月球的第一宇宙速度。
23.
【答案】解：
由题意知：小球做自由落体运动，
，
解得：
；
所受到的重力等于物体与行星间的万有引力，
，
对行星表面的任一物体
设行星质量为
M
，则：
解得行星的质量：
。
【解析】本题考查了利用万有引力定律和自由落体运动，求 星球表面重力加速度和天体
质量，基础题。
利用小球做自由落体运动的规律求星球表面重力加速度；
利用，求行星质量。
设两颗恒星的质量分别为
、
，
，【答案】解：做圆周运动的半径分别为
、角速
24.
度分别为
，
根据题意有
根据万有引力定律和牛顿定律，有：
第24页，共27页
联立以上各式解得：
根据角速度与周期的关系知：
联立
式解得：
，
设
的轨道半径为
，
的轨道半径为
两星之间的距离为
l
．
由于它们之间的距离恒定，因此双星在空间的绕向一 定相同，同时角速度和周期也都相
同．由向心力公式可得：
对
：
对
：
----
----
又因为
，
由
式可得
所以当两星总质量变为
kM
，两星之间的距离变为原来的
n
倍，
圆周运动的周期
即
此时双星做圆周运动的周期变为原来的
倍
答：
这个双星系统的总质量是
；
此时双星做圆周运动的周期变为原来的
倍．
【解析】
这是一个双星的问题，两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀 速
圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，两颗恒星有相同的角速度和周期，
结合牛 顿第二定律和万有引力定律解决问题．
双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同 的角速度，根据牛顿第二定律分别
对两星进行列式，来求解．
本题是双星问题，与卫星绕地球 运动模型不同，两颗星都绕同一圆心做匀速圆周运动，
关键抓住条件：相同的角速度和周期．
地球表面的物体受到的万有引力等于它受到的重力，【答案】解：即：
25.< br>地球质量为：
，
；
卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
解得：
，
第25页，共27页
【解析】
地球表面的物体受到的万有引力等于它受到的重力，据此求出地球质量。
万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，应用牛顿第二定律可以求出卫星的线速度。
本题考查 了求地球质量、卫星的线速度问题，考查了万有引力定律的应用，应用万有引
力公式与牛顿第二定律可以 解题。
26.
【答案】解：
探测器绕火星飞行时，万有引力提供圆周运动向心力有：
解得火星的质量
根据密度公式可知，火星的密度
火星表面重力与万有引力相等有：
火星表面的重力加速度
答：
火星的密度为
；
火星表面的重力加速度为
．
【解析】
根据万有引力提供圆周运动向心力，求得中心天体火星的密度，根据密度
公式求解火星的密度；
根据万有引力等于重力，由火星的质量和半径求得表面的重力加速度即可．
万 有引力问题着手点主要从以下两方面：一是星球表面重力与万有引力相等，二是万有
引力提供圆周运动向 心力．不难属于基础题．
27.
【答案】解：
根据万有引力定律可得：
所以，万有引力常量为：
；
地 球表面质量为
m
的物体重力等于万有引力，故有：
所以，地球质量为：
；
答：
若在某次实验中，卡文迪许测出质量分别为
、
相距为
r
的两个小球之间引
力的大小为
F
，则万有引力常量G
为
；
若已知地球半径为
R
，地球表面重力加速度为
g
，万有引力常量为< br>G
，忽略地球自转
的影响，那么地球质量
M
为
．
【解析】
由万有引力定律求解；
根据地球表面物体重力等于万有引力求解．
万有引力问题的运动，一般通过万有引力做向心力 得到半径和周期、速度、角速度的关
系，然后通过比较半径来求解，若是变轨问题则由能量守恒来求解．
第26页，共27页
28.
【答案】解：
根据竖直上抛运动的特点可知：
所以：
设月球的半径为
R
，月球的质量为
M
，则：
体积与质量的关系：
联立得：
由万有引力提供向心力得：
联立得：
答：
月球的密度是
；
月球的第一宇宙速度
。
【解析】根据竖直上抛运动的特 点，求出月球表面的重力加速度；根据万有引力等于重
力结合体积、密度与质量的关系即可求出；
根据万有引力提供向心力，求出月球的第一宇宙速度。
该题考查人造卫星的应用，解决本题的 关键要建立模型，掌握万有引力等于重力和万有
引力提供向心力。
第27页，共27页
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