数学初中题中国古代数学史

2020年11月12日发(作者：严学群)
古代数学萌芽
一、古代数学的萌芽原始公社末期，私有制和货物交换产生以后，数与形的 概念有了进
一步的发展，仰韶文化时期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符号。到原始公社末期，
已开始用文字符号取代结绳记事了。
商代中期，在甲骨文中已产生一套十进制数字和记 数法，其中最大的数字为三万；与此
同时，用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、丙寅、等60个名 称来记60天的日期；在
周代，又把以前用阴、阳符号构成的八卦表示八种事物发展为六十四卦，表示6 4种事物。
公元前一世纪的《》提到西周初期用矩测量高、深、广、远的方法，并举出勾股形 的
勾三、股四、弦五以及环矩可以为圆等例子。《礼记·内则》篇提到西周贵族子弟从九岁开始
便要学习数目和记数方法，他们要受礼、乐、射、驭、书、数的训练，作为“六艺”之一的数
已经开始成 为专门的课程。
春秋战国之际，筹算已得到普遍的应用，筹算记数法已使用十进位值制，这种记 数法对
世界数学的发展是有划时代意义的。这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用，在数学上
亦有相应的提高。
战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，尤其是对于正名和一些命题的争 论直接与数
学有关。名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同，他们提出“矩不方，规< br>不可以为圆”，把“大一”（无穷大）定义为“至大无外”，“小一”（无穷小）定义为“至小无内”。< br>还提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等命题。
而墨家则认为名来源于物，名可以 从不同方面和不同深度反映物。墨家给出一些数学定
义。例如圆、方、平、直、次（相切）、端（点）等 等。
墨家不同意“一尺之棰”的命题，提出一个“非半”的命题来进行反驳：将一线段按一半一
半地无限分割下去，就必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半”就是点。
名 家的命题论述了有限长度可分割成一个无穷序列，墨家的命题则指出了这种无限分割
的变化和结果。名家 和墨家的数学定义和数学命题的讨论，对中国古代数学理论的发展是很
有意义的。
二、古代数学体系形成
是封建社会的上升时期，经济和文化均得到迅速发展。中国古代数 学体系正是形成于这
个时期，它的主要标志是算术已成为一个专门的学科，以及以《》为代表的数学著作 的出现。
《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结，就其数学成就
来说，堪称是世界。

古代数学发展

魏、晋时期出现的 玄学，不为汉儒经学束缚，思想比较活跃；它诘辩求胜，又能运用逻
辑思维，分析义理，这些都有利于数 学从理论上加以提高。吴国注《周髀算经》，汉末魏初
撰《九章算术》注，魏末晋初撰《九章算术》注、 《九章重差图》都是出现在这个时期。赵
爽与刘徽的工作为中国古代数学体系奠定了理论基础。
东晋以后，中国长期处于战争和南北分裂的状态。祖冲之的工作就是经济文化南移以
后， 南方数学发展的具有代表性的工作，他们在刘徽注《九章算术》的基础上，把传
统数学大大向前推进 了一步。他们的数学工作主要有：计算出圆周率在～3.1415927之间；
提出原理；提出二次与三 次方程的解法等。

古代数学繁荣
960年，北宋的建立结束了割据的局 面。北宋的农业、手工业、商业空前繁荣，科学技
术突飞猛进，火药、指南针、印刷术三大发明就是在这 种经济高涨的情况下得到广泛应用。
1084年秘书省第一次印刷出版了《算经十书》，1213年鲍擀 之又进行翻刻。这些都为数学
发展创造了良好的条件。
从11～14世纪约300年期 间，出现了一批著名的数学家和数学著作，如的《黄帝九章
算法细草》，的《议古根源》，秦九韶的《数 书九章》，的《测圆海镜》和《益古演段》，的《详
解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》，的《算 学启蒙》《四元玉鉴》等，很多领域都达
到古代数学的高峰，其中一些成就也是当时世界数学的高峰。

中国数学发展的高峰

唐朝亡后，五代十国仍是军阀混战的继续，直 到北宋王朝统一了中国，农业、手工业、
商业迅速繁荣，科学技术突飞猛进。从公元十一世纪到十四世纪 〔宋、元两代〕，筹算数学
达到极盛，是中国古代数学空前繁荣，硕果累累的全盛时期。这一时期出现了 一批著名的数
学家和数学著作，列举如下：贾宪的《黄帝九章算法细草》〔11世纪中叶〕，刘益的《议 古
根源》〔12世纪中叶〕，秦九韶的《数书九章》〔1247〕，李冶的《测圆海镜》〔1248〕和 《益
古演段》〔1259〕，杨辉的《详解九章算法》〔1261〕、《日用算法》〔1262〕和《杨 辉算法》
〔1274-1275〕，朱世杰的《算学启蒙》〔1299〕和《四元玉鉴》〔1303〕等 等。宋元数学在很
多领域都达到了中国古代数学，也是当时世界数学的巅峰。其中主要的工作有：
公元1050年左右，北宋贾宪（生卒年代不详）在《黄帝九章算法细草》中创造了开任
意 高次幂的“增乘开方法”，公元1819年英国人霍纳（william george horner）才得出 同样的
方法。贾宪还列出了二项式定理系数表，欧洲到十七世纪才出现类似的“巴斯加三角”。（《黄< br>帝九章算法细草》已佚）
公元1088—1095年间，北宋沈括从“酒家积罂”数与“ 层坛”体积等生产实践问题提出了
“隙积术”，开始对高阶等差级数的求和进行研究，并创立了正确的求 和公式。沈括还提出“会
圆术”，得出了中国古代数学史上第一个求弧长的近似公式。他还运用运筹思想 分析和研究
了后勤供粮与运兵进退的关系等问题。
公元1247年，南宋秦九韶在《数 书九章》中推广了增乘开方法，叙述了高次方程的数
值解法，他列举了二十多个来自实践的高次方程的解 法，最高为十次方程。欧洲到十六世纪
意大利人菲尔洛（scipio del ferro）才提出三次方程的解法。秦九韶还系统地研究了一次同余
式理论。
公元1 248年，李冶（李治，公元1192一1279年）著的《测圆海镜》是第一部系统论
述“天元术”（ 一元高次方程）的著作，这在数学史上是一项杰出的成果。在《测圆海镜·序》
中，李冶批判了轻视科学 实践，以数学为“九九贱技”、“玩物丧志”等谬论。
公元1261年，南宋杨辉（生卒年代不 详）在《详解九章算法》中用“垛积术”求出几类
高阶等差级数之和。公元1274年他在《乘除通变本 末》中还叙述了“九归捷法”，介绍了筹
算乘除的各种运算法。公元1280年，元代王恂、郭守敬等制 订《授时历》时，列出了三次
差的内插公式。郭守敬还运用几何方法求出相当于现在球面三角的两个公式 。
公元1303年，元代朱世杰（生卒年代不详）著《四元玉鉴》，他把“天元术”推广为“四
元术”（四元高次联立方程），并提出消元的解法，欧洲到公元1775年法国人别朱（etienne
bezout）才提出同样的解法。朱世杰还对各有限项级数求和问题进行了研究，在此基础上得
出了高次差的内插公式，欧洲到公元1670年英国人格里高利（james gregory）和公元1676
一1678年间牛顿（issac newton）才提出内插法的一般公式。
公元十四世纪中国人民已使用珠算盘。在现代计算机出现之前，珠算盘是世界上简便而
有效的计算工具。
中国数学的衰落与日用数学的发展
这一时期指十四世纪中叶明王朝建立到明末的1582 年。数学除珠算外出现全面衰弱的
局面，当中涉及到中算的局限、十三世纪的考试制度中已删减数学内容 、明代大兴八段考试
制度等复杂的问题，不少中外数学史家仍探讨当中涉及的原因。
明 代最大的成就是珠算的普及，出现了许多珠算读本，及至程大位的《直指算法统宗》
〔1592〕问世， 珠算理论已成系统，标志着从筹算到珠算转变的完成。但由于珠算流行，筹
算几乎绝迹，建立在筹算基础 上的古代数学也逐渐失传，数学出现长期停滞。[1]