数学 美形形色色的数学黑洞电子教案

2020年11月12日发(作者：许林枫)




形形色色数黑洞的学
形形色色的数学黑洞

湖南新化县教师进修学校（417600） 肖乐农

你听说过黑洞吗？1939年，美国物理学家奥本海默和斯奈德设想，如果恒星
的质 量保持不变并不断地收缩下去，那么，恒星的密度就会越来越大，引力随距
离的减少而迅速增大，直至大 到任何物质都不能从中跑出去，甚至光都被牢牢吸
住。光都出不来了，人们看到的只能是一片“漆黑”， 这就是黑洞。
黑洞有两个特征：一是它里面的东西出不来；二是外面的东西一旦进入它的
圈子 ，就被拉进去。第二个特征将你吸引进去，第一个特征则使你陷入洞中无法
逃脱。
在数学中， 也存在着很多各式各样的黑洞。下面，让我们一起来领略一下“数
学黑洞”的风光吧！
1、西西弗斯串
在希腊神话中，科林斯国王西西弗斯被罚将一块巨石推到一座山上，但无论< br>他怎样努力，这块石头总是在到达山顶之前不可避免地滚下来，于是他只得重新
去推，永无休止。
在数学中同样的事情也可能发生。开始时任意取一个数字串，中华人民共和
国成立于1949年 10月1日，我们就取1949101吧，数出这个数字串中的偶数个
数、奇数个数及这个数的所有位数 的总数。1949101中有2个偶数，5个奇数，
是7位数，用这3个数字组成下一个数字串257。 对257重复进行上面的程序，
得到123。对123再重复这个程序，得到的还是123。这时，你会 意识到，反复
使用这个程序，一旦得到123就再也出不来了。对于这个程序以及数字“宇宙”来
说，数123就是一个数学黑洞。
每一个数最后都得到123吗？我们用一个比较大的数试试看。例 如
397932384626433832795028841，这是圆周率π序列中的前38个数字，它是一个质数。这个数中的偶数、奇数、及数位个数分别为18、20和38，
将这三个数合起 来得到182038。对182038重复这个程序得到426，再重复这个
程序得到303，最后一次 重复程序得到123。你看，又跌进了123这个黑洞！
这个西西弗斯串是怎样起作用的呢？数学家解 释是很大的输入得到较小的输
出，这样便使一个无限的宇宙缩小为一个可控制的有限的宇宙。
2、6174和395
前苏联的科普作家高基莫夫在他的著作《数学的敏感》一书中，提到了 一个
奇妙的四位数6174，并把它列作“没有揭开的秘密”。不过，近年来，由于数学爱
好者 的努力，已经开始拨开浓雾，逐步见天日了。
6174有什么奇妙之处？
请随便写出一个四 位数，这个数的四个数字有相同的也不要紧，但不准这四
个数完全相同，例如3333、7777等都应 该排除。
写出四位数后，要把它整理一下，其办法是：把这个数中的各位数字按大到
小的顺序 和从小到大的顺序重新排列，将得到由这四个数字组成的四位数中的最
大者和最小者，两者相减，就得到 另一个四位数（如果数位不足，就在前面添0
补足四位）。将组成这个四位数的四个数字施行同样的变换 ，又得到一个最大的
数和最小的数，两者相减，……这样循环下去，一定在经过若干次（最多7次）变< br>换之后，得到6174。
例如，开始时我们取数8208，重新排列后最大数为8820，最小 数为0288，
8820-0288=8532；对8532重复以上过程：8532-2358=61 74。这里，经过两步变
换就掉入6174这个“黑洞”里。（这里，0288也得看成一个四位数。）
再如，我们开始取数2187，按要求进行变换：
8721-1278=7443 →7443-3447=3996 →9963-3699=6264
→6642-2466=4176 →7641-1467=6174。
这里，经过五步变换就掉入了“黑洞”—— 6174。
拿由1、4、6、7这四个数字组成 的任意四位数来说，都只需一步：7641-
1467=6174，就掉入“黑洞”再也出不来了。 < br>所有的四位数都会掉入6174这个黑洞，不信者可以取一些数进行验证。验
证之后，你不得不感 叹6174的引力之大。
由这个四位数黑洞我们自然会想到：是否存在类似的其它位数的黑洞呢？显< br>然，存在类似黑洞的前提是，必须有类似6174的数，即这个数等于重排它的各
个数码的最大数 与最小数的差。在三位数中找到了495，你看：954-459=495，得
到的仍然是495。 < br>495这个黑洞有多大的引力呢？也就是说它能把多少个三位数吸到这个黑洞
中来呢？其实，49 5的吸引力与6174一样大！它能把除三个数码一样的三位数以
外的所有三位数都吸到495这个黑洞 中来，并且最多不超过6步。如果不信，你
可以试试。
四位数与三位都找到了具有强大吸引力 的黑洞。遗憾的是，人们在两位、五
位、六位、七位数、……中竟然找不到类似6174和495这样的 数，自然也就不存
在这些数位的类似的黑洞了。
3、如来佛手掌
《西游记》里的孙 悟空是一个神通广大、本领高超的人物，他能七十二变，
还会腾云驾雾，一个筋斗可翻出十万八千里外。 但不管他怎样变幻，一蹦有多
远，总还是落在如来佛的掌心里，难以逃脱。
这当然只是一个神话故事。但是，数学家发现，这样的现象竟然也会在数学
的变幻中出现。 < br>我们随便选一个数，比如选人们认为很吉利的数168（一路发！）吧。如果
把这个数的每一位数 字都平方，然后相加，即
1
2
+6
2
+8
2
=1+36+64=101。
这样一来，原来的数就变为101；接下来将101这个数的每一位数字都平
方，并相加，即1
2
+0
2
+1
2
=1+0+1=2，……按照这种变换不断 重复，就能得到：
4→16→37→58→89→145→……
算着算着，有的读者也许会 不耐烦起来：“这不是一个无底洞吗？恐怕算到
明天也算不完！”不要太性急，只要你耐心地算下去，不 要多久，就会出现奇迹
的。结果是：
168→101→2→4→
16→37→58



你看，这些数字像孙悟空一样，跌进了如来佛的手掌——旋涡黑洞，再 也出
不来了！有的读者可能会说：“这莫非是偶然现象，碰巧如此吧？”那么，就请再
选一个数 好了。
不妨再用较大的数试一试，如十位数2710859643，10个数字都用上了，但
算的结果仍然是进了如来佛的手掌——旋涡黑洞：
2710859643→285→93→90→81→65→61→
37→58→89



↑ ↓
4 89
↑ ↓
20←42←145
↑ ↓
16 145
↑ ↓
4←20←42
但也请读者注意，有些数按照上述法则进行变换的话，则是以“1”为归 宿的，
例如去年的年份数2003，变换的情况就是：
2003→13→10→1→…… < br>变到1以后，按照规则进行下去，以后一直是1、
1、1、……，好像一旦掉进“洞”里，就再也 出不来了。
除了1这个特殊的结果外，其余的结果都无一例外
地在转圈子——卷入右面的旋涡黑洞。
4、自恋性数字
在《圣经》约翰福音第21章中说，耶稣和他的门徒在太巴列海成功地进行< br>了一次捕鱼活动。当他们把网拉上来时发现，那网得的鱼有153条。
《圣经》中出现的数，如 果不是整百整千的话，古人认为该数是有神秘的意
义的。153的神秘在哪里呢？请看：
153 =1
3
＋5
3
＋3
3
， 1
3
＋5
3
＋3
3
=153。
把153各个数位上的数字的三次方相加，其和仍然是153。你看，它还真有其特
别之处！
如果一个n位自然数，它的各个数位上的数字的n次方之和等于这个自然
数，就称这个自然数为 n位自恋数。
显然，153是一个三位自恋数。人们已经发现，三位的自恋数有四个，除
15 3以外，还有370，371，407。即有：
3
3
+7
3
+0< br>3
=370；3
3
+7
3
+1
3
=371； 4
3
+0
3
+7
3
=407。
如果反复地求一个 数的各个数位上的数学的三次方之和，会出现什么结果
呢？对于这种运算来说，三位自恋数显然是黑洞， 因为一旦进入了它们，就再也
16→37→58
↑ ↓
4 89
↑ ↓
20←42←145
出不去了。问题是它们有多大的吸引 力，即通过这种运算，它们能把多少个三位
数吸进它们的怀抱呢？
我们来试试看。先取486吧：
4
3
+8
3
+6
3
=792 →7
3
+9
3
+2
3
=1080 →1
3
+0
3
+8
3
+0
3
=513 →5
3
+1
3
+3
3
=153。
经过4步进入了153黑洞。
再取878试试：
8
3
+7
3
+8
3
=1367 →1
3
+3
3
+6
3
+7
3
=587 →5
3
+8
3
+7
3
=980
→9
3
+8
3
+0
3
=1241 →1
3
+2
3
+4
3
+1
3
=74 →7
3
+4
3
=407。
经过6步进入407黑洞。
还取415试试：
4
3
+1
3
+5
3
=190 →1
3
+9
3
+0
3
=730 →7
3
+3
3
+0
3
=370。
经过3步进入了370黑洞。
由此看来，这几个黑洞的吸引力还蛮大，但到底有多大，还需要深入探究一
下。
我们 注意到,一个自然数a与它的三次方a
3
除以3余数相同。于是，把三位
自恋数按除以 3所得余数进行分类，我们有结论：
153能被3整除，能跌入153这个黑洞的都是能被3整除的数；
370除以3余1，能跌入370这个黑洞的都是除以3余1的数；
371与407除以3都余2，能跌入371与407这两个黑洞的都是除以3余2
的数。 < br>上面的结论反过来未必成立。事实上，所有的能被3整除的自然数必须跌入
153这个黑洞；所有 的除以3余2的自然数必然跌入371或407这两个黑洞；而
除以3余1的自然数，只有一部分跌入3 70这个黑洞，另一部分跌入了类似于“如
来佛手掌”的旋涡黑洞。
我们举两个除以3余1但没有跌入370的例子：
先取103：1
3
+0
3
+3
3
=28 →2
3
+8
3
=520 →5
3
+2
3
+0
3
=133 →1
3
+3
3
+3
3
=55 →
5
3+5
3
=250→2
3
+5
3
+0
3
=133，……可以看出，从第3次运算起，结果进入133、55、
250的旋涡。
再取127：1
3
+2
3
+7
3
=352 →3
3
+5
3
+2
3
=160 →1
3
+6
3
+0
3
=217 →2
3
+ 1
3
+7
3
=352，……
走一步就进入了352、160、217 这个旋涡。
5、考拉兹猜想
有些黑洞已经被证明了，有些还没有被证明，只是猜测它是个黑 洞。因为它
悬而未决，所以只能称为猜想，考拉兹猜想即是一例。
事情始于上个世纪的三十年 代，德国汉堡的一名学生洛萨赫·考拉兹发现了一
个奇怪的现象：任意写下一个自然数，如果是奇数，则 将它乘以3并加1；如果
是偶数，则将它除以2。对结果反复施行这样的变换之后，会出现一个有趣的现
象，似乎数字掉进了一个“无底洞”，最后总是出现：
4，2，1；4，2，1；4，2，1；……
我们先取个偶数12试试：
12→6→3→10→5→16→8→4→2→
1→4

再取个奇数15试试：
15→46→23→70→35→106→53→160→80→40 →20→10→5→16→8→4→2
→


↖↙
2
1→4
↖↙
2
你会发现，无论取什么数，最后总会在4，2，1中循环，掉入了数字黑洞。
由于这种现象最 早是考拉兹发现的，人们把它称为考拉兹猜想。现在，这个
猜想还有一些其他名字。1960年，日本数 学家角谷静夫将这个问题介绍到日本，
所以日本称为角谷猜想。美国数学科普大师马丁·加德纳把这个猜 想称为“冰雹猜
想”，这是因为在运算过程中，算出的数字忽大忽小，就像云中的小水
1→4
↖↙
滴，受的气流冲击，忽高忽低，遇冷结冰，最后变为冰雹落地一样，
2
最后总会变成1，进入黑洞。


考拉兹猜想的魅力就在于数字飘忽不定。 比如27，它初看上去貌不惊人，但
在变换过程中，上下变化异常剧烈，到77步时升达峰顶9232， 又经过34步跌入
谷底1，全程竟达111步
250504，最终经过170步


一个自然数，经过K步变换跌入1，那么这个K是否有最大值呢？没有！最
直接的说 明是2
K
需要经过K次变换才能变为1，而对这个K没有限制。同理，因
为27需要1 11步变为1，所以54就需要112步，108需要113步，2
K
×27需要
（K +111）步。
目前还没有人能够证明考拉兹猜想。据说日本东京大学的米田信夫对2
40< br>（大
约相当于 1.1万亿）以下所有的自然数用电
一反例。但是，自然数有无穷多个，靠验算
引所有自然数的

子计算机进行了验算，无
1→4
↖↙
跌入谷底1，进入黑洞。
2
之多。再比如703，到82步时竟然达到
1→4
↖↙
是验算不完的。是否是吸
2

黑洞，这个世界级的难题期待着有人揭开谜底。