数学计算机题库 高考数学试题库全集及参考答案

2020年11月12日发(作者：党复)
高考数学试题库用参考答案
1.(2012北京,18,13分)已知函数f(x)=ax< br>2
+1(a>0),g(x)=x
3
+bx.
(1)若曲线y=f (x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;
(2)当a2
=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1]上的最大值.
2.(2012安徽,19,13分)设函数f(x)=ae
x
+
(1)求f (x)在[0,+∞)内的最小值;
+b(a>0).
(2)设曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y=x,求a,b的值.
3.(2012重庆,16,13分)设f(x)=aln x++x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线垂
直于y轴.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的极值.
4. (2012大纲全国,20,12分)设函数f(x)=ax+cos x,x∈[0,π].
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设f(x)≤1+sin x,求a的取值范围.
5.(2012湖北,17,12分)已知向量a=(cos ωx-sin ωx,sin ωx),b=(-cos ωx-sin ωx,2cos
. ωx),设函数f(x)=a·b+ λ(x∈R)的图象关于直线x=π对称,其中ω,λ为常数,且ω∈
（1）求函数f(x)的最小正周 期
（2）若y=f(x)的图像经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围
6.(201 2湖北,18,12分)已知等差数列{a
n
}前三项的和为-3,前三项的积为8.
(1)求等差数列{a
n
}的通项公式;
(2)若a
2
, a
3
,a
1
成等比数列,求数列{|a
n
|}的前n项和.
8.(2012河北高三模拟，21，12分)设函数f(x)=x
4
+bx
2
+cx+d,当x=t
1
时, f(x)有极小值. (1)
若b=-6时,函数f(x)有极大值,求实数c的取值范围;
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(2)在(1)的条件下,若存在实数c,使函数f(x)在闭区 间[m-2,m+2]上单调递增,求实数m的取值
范围;
(3)若函数f(x)只有一个极 值点,且存在t
2
∈(t
1
,t
1
+1),使f '(t< br>2
)=0,证明:函数g(x)=f(x)-x
2
+t
1
x在
区间(t
1
,t
2
)内最多有一个零点.
9. (20 12沈阳高三模拟，21,12分)已知椭圆+=1(a>b>0)与x轴、y轴的正半轴分别交于
A、 B两点,原点O到直线AB的距离为
(Ⅰ)求椭圆的方程;
,该椭圆的离心率为.
(Ⅱ)是否存在过点P的直线l与椭圆交于M,N两个不同的点,使=4成立?若存在,求出
l的方程 ;若不存在,说明理由.
10.(2013高考仿真试题一，20,12分)已知抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点为F,过点F作直线l
与抛物线交于A,B两点,抛物线的准线与 x轴交于点C.
(1)证明:∠ACF=∠BCF;
(2)求∠ACB的最大值,并求∠ACB取得最大值时线段AB的长.
11.(2013 高考仿真试题二，20，12分)已知中心在原点O,焦点在x轴上,离心率为
过点.
的椭圆
(1)求椭圆的方程;
(2)设不过原点O的直线l与该椭圆交于P,Q两点 ,满足直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比
数列,求△OPQ面积的取值范围.
12. (2013高考仿真试题三，20,12分)已知圆x
2
+y
2
=1过椭圆+ =1(a>b>0)的两焦点,与椭
圆有且仅有两个公共点,直线y=kx+m与圆x
2
+y
2
=1相切,与椭圆+=1相交于A,B两点. 记
λ=·,且≤λ≤.
(1)求椭圆的方程;
(2)求k的取值范围;
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(3)求△OAB的面积S的取值范围.
13. (2013高考仿真试题五，21,12分)已知函数f(x)=aln x+x
2
-(1+a)x,其中a∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若f(x)≥0对定义域内的任意x恒成立,求实数a的取值范围;
(3)证明:对于任意正整数m,n,不等式++…+>恒成立.
14.(2012浙江绍兴一中高三十月月考,20,10分）已知
(e是自然常数）.
,,其中
（Ⅰ）求的单调性和极小值；
（Ⅱ）求证：在上单调递增；
（Ⅲ）求证： .
15. (2012江西省临川一中、师大附中联考，20,13分）已知函数
a∈R．
（1）若a＝－4，求函数f(x)的单调区间；
（2）求y＝f(x)的极值点（即函数取到极值时点的横坐标）．
16. (2012北京海淀区高三11月月考，19,14分）已知函数
，
．
（Ⅰ）若在处取得极大值，求实数的值；
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（Ⅱ）若，直线都不是曲线的切线，求的取值范围；
（Ⅲ）若，求在区间上的最大值．
17.(2012湖北省黄冈中学高三11月月考，21, 14分）已知函数在
上为增函数，且，，．
（1）求的值；
（2）当时，求函数的单调区间和极值；
（3）若在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围．
18.（2013湖北黄冈市高三三月质量检测，22,14分）设.
（Ⅰ）若对一切恒成立，求的最大值.
（Ⅱ）设
若对任意的
，且
， 直线AB的斜率恒大于常数，求
是曲线
的取值范围；
上任意两点，
（Ⅲ）求证：.
答案

理数1.(1)f '(x)=2ax,g'(x)=3x
2
+b.
因为曲线y=f(x)与曲线y= g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以f(1)=g(1),且f
'(1)=g'(1).
即a+1=1+b,且2a=3+b.
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解得a=3,b=3.
(2)记h(x)=f(x)+g(x). 当b=a
2
时,h(x)=x
3
+ax
2
+a
2
x+1,
h'(x)=3x
2
+2ax+a
2
.
令h'(x)=0,得x
1
=-,x
2
=-.
a>0时,h(x)与h'(x)的情况如下:
-∞,
x
-
h'(x)
h(x)
+
↗

所以函数h(x)的单调递增区间为和

0

-
-
-
-,
-

0

↘

;单调递减区间为
-,
+∞
+
↗
.
当-≥-1,即0函数h(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,h(x)在 区间(-∞,-1]上的最大值为h(-1)=a-a
2
.
当-<-1,且-≥-1,即2函数h(x)在区间
为h=1. < br>内单调递增,在区间上单调递减,h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值
当-<-1,即a> 6时,函数h(x)在区间
上单调递增.
内单调递增,在区间内单调递减,在区间
又因h-h(-1)=1-a+a
2
=(a-2)
2
>0,
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所以h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为h=1. 2.(1)f '(x)=ae
x
-,
当f '(x)>0,即x>-ln a时, f(x)在(-ln a,+∞)上递增;
当f '(x)<0,即x<-ln a时, f(x)在(-∞,-ln a)上递减.
(i)当00, f(x)在(0,-ln a)上递减,在(-ln a,+∞)上递增,从而f(x)在[0,+∞)上的最小
值为f(-ln a)=2+b;
(ii)当a≥1时,-ln a≤0, f(x)在[0,+∞)上递增,从而f(x)在[0,+∞)上的最小值为f(0)=a++b.
(2)依题意f '(2)=ae
2
-=,解得ae
2
=2或ae< br>2
=-(舍去).
所以a=,代入原函数可得2++b=3,即b=.
故a=,b=. 3.(1)因f(x)=aln x++x+1,故f '(x)=-+.
由于曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线垂直于y轴,故该切线斜率为0,即f '(1)=0,从而a-+=0,
解得a=-1.
(2)由(1)知
f(x)=-ln x++x+1(x>0),
f '(x)=--+=
=.
令f '(x)=0,解得x
1
=1,x
2
=-因x
2=-不在定义域内,舍去.
当x∈(0,1)时, f '(x)<0,故f(x)在(0,1)上为减函数;
当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0,故f(x)在(1,+∞)上为增函数.
故f(x)在x=1处取得极小值f(1)=3. 4.(1)f '(x)=a-sin x. (2分)
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(i)当a≥1时,f '(x)≥0,且仅当a=1,x=时, f '(x)=0,所以f(x)在[0,π]上是增函数;
(ii)当a≤0时, f '(x)≤0,且仅当a=0,x=0或x=π时, f '(x)=0,所以f(x)在[0,π]上是减函数;
(iii)当01
=arcsin a,x
2
=π-arcsin a.
当x∈[0,x
1
)时,sin x0, f(x)是增函数;
当x∈(x
1
,x
2
)时,sin x>a, f '(x)<0, f(x)是减函数;
当x∈(x
2
,π]时,sin x0, f(x)是增函数. (6分)
(2)由f(x)≤1+sin x得f(π)≤1,aπ-1≤1,所以a≤.
令g(x)=sin x-x,则g'(x)=cos x-.
当x∈时,g'(x)>0,
当x∈时,g'(x)<0.
又g(0)=g=0,所以g(x)≥0,
即x≤sin x. (9分)
当a≤时,有f(x)≤x+cos x.
(i)当0≤x≤时,x≤sin x,cos x≤1,
所以f(x)≤1+sin x;
(ii)当≤x≤π时, f(x)≤x+cos x=1+-sin≤1+sin x.
综上,a的取值范围是
ωx+λ
. (12分) 5. (1)因为f(x)=sin
2
ωx-cos
2
ωx+2sin ωx·cos
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=-cos 2ωx+sin 2ωx+λ
=2sin+λ.
由直线x=π是y=f(x)图象的一条对称轴,可得sin=±1,
所以2ωπ-=kπ+(k∈Z),即ω=+(k∈Z).
又ω∈,k∈Z,所以k=1,故ω=.
所以f(x)的最小正周期是.
(2)由y=f(x)的图象过点,
得f=0,
即λ=-2sin
即λ=-.
=-2sin=-,
故f(x)=2sin-,
由0≤x≤,有-≤x-≤,
所以-≤sin≤1,
得-1-≤2sin-≤2-,
故函数f(x)在上的取值范围为[-1-,2-]. 6. (1)设等差数列{a
n
}的公差为d,则
a
2
=a
1
+d,a
3
=a
1
+2d,由题意得
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解得或
所以由等差数列通项公式可得a
n
=2-3(n-1)=-3n+5或a
n
=-4+3(n-1)=3n-7.
故a
n
=-3n+5或a
n
=3n-7.
(2)当a< br>n
=-3n+5时,a
2
,a
3
,a
1
分别 为-1,-4,2,不成等比数列;
当a
n
=3n-7时,a
2
, a
3
,a
1
分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.
故|a
n
|=|3n-7|=

记数列{|a
n
|}的前n项和为S
n
.
当n=1时, S
1
=|a
1
|=4;当n=2时,S
2
=|a
1
|+|a
2
|=5;
当n≥3时,S
n
=S
2< br>+|a
3
|+|a
4
|+…+|a
n
|=5+(3× 3-7)+(3×4-7)+…+(3n-7)
=5+=n
2
-n+10.
当n=2时,满足此式,
综上,S
n
= 7.(1)当n=k∈N
+
时,S
n
=-n
2
+kn取最大值,即
8=S
k
=-k
2
+k
2
=k
2
,故k
2
=16,因此k=4,
从而a
n
=S
n
-S
n-1
=-n(n≥2).
又a
1
=S
1
=,所以a
n
=-n.
(2)因为b
n
==,
T
n
=b
1
+b
2
+…+b
n
=1+++…++,
所以T
n
=2 T
n
-T
n
=2+1++…+-=4--=4-. 8.(1)因为f(x)=x
4
+bx
2
+cx+d,
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所以f '(x)=x
3
-12x+c. 设h(x)=x
3
-12x+c,(2分)
由题意知,方程h(x)=0有三个互异的实根,∵h'(x)=3x
2
-12,令h '(x)=0,得x=±2.
x
h'(x)
h(x)
所以
(-∞,-2)
+
增
-2
0
c+16(极大值)
故-16分)
(-2,2)
-
减
2
0
c-16(极小值)
(2,+∞)
+
增
(2)存在c∈(-16,16),使f '(x)≥0,即x
3
-12x≥-c,
所以x
3
-12x>-1 6,即(x-2)
2
(x+4)>0,(*)
在区间[m-2,m+2]上恒成立. (6分)
所以[m-2,m+2]是不等式(*)解集的子集,
所以或m-2>2,即-2或m>4. (8分)
(3)证明:由题设,可得存在α,β∈R,使f '(x)=x
3
+2bx+c < br>=(x-t
1
)(x
2
+αx+β),且x
2
+αx +β≥0恒成立. (9分)
又f '(t
2
)=0,且在x=t
2
两侧同号,
所以f '(x)=(x-t
1
)(x-t
2
)
2
. (10分)
另一方面,g'(x)=x
3
+2bx+c-(x-t
1
)=x3
+(2b-1)x+t
1
+c=(x-t
1
)[(x-t2
)
2
-1].
因为t
12,
且
t2-t 1<1,
所以
-11-t22<0.

所以0<(x-t
2
)
2
<1,所以(x-t
2
)
2
-1<0,而x-t1
>0,
所以g'(x)<0,所以g(x)在(t
1
,t
2
)内单调递减.
从而g(x)在(t
1
,t
2
)内最多有一个零点. (12分) 9.(Ⅰ)由题意得,直线AB的方程为
bx+ay-ab=0(a>b>0),(1分)
由=及=,得a=2,b=1. (3分)
所以椭圆的方程为+y
2
=1. (4分)
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(Ⅱ)当直线l的 斜率不存在时,M(0,-1),N(0,1),易知符合条件,此时直线l的方程为x=0. (6分)
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+,
代入+y
2
=1得 (9+36k
2
)x
2
+120kx+64=0.
由Δ=14 400k
2
-256(9+36k
2
)>0,解得k
2
>.
设M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2< br>),则x
1
+x
2
=-,①
x
1
x
2
=
由=4
,②(9分)
得x
1
=4x
2
,③(10分)
由①②③消去x
1
,x
2
,得=,
即=1,无解.
综上,存在符合条件的直线l,且其方程为x=0. (12分) 10.(1)证明:由题设知,F,C,
设A(x
1
,y
1
),B (x
2
,y
2
),直线l的方程为x=my+,
代入抛物线方程y
2
=2px,得y
2
-2pmy-p
2
=0.
则y
1
+y
2
=2pm,y
1
y
2
=-p
2
. (4分)
不妨设y
1
>0,y
2
<0,则
tan∠ACF=====,
tan∠BCF=-=-,
∴tan∠ACF=tan∠BCF,又∠ACF,∠BCF∈(0,π),
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∴∠ACF=∠BCF. (8分)
(2)如 (1)所设y
1
>0,tan∠ACF=
,∠ACB=2∠ACF取最大值,
≤=1,当且仅当y
1
=p时取等号,此时∠ACF取最大值
并且A,B,|AB| =2p. (12分)
失分警示:(1)不能准确地得出∠ACF与∠BCF的正切值.
(2)没有注意到∠ACF取得最大值时,y
1
=p. 11.(1)由题意可设椭圆方程为
+=1(a>b>0),
则解得
所以椭圆方程为+y
2
=1. (4分)
(2)由题意可知,直线l的斜率存在且不为0,OP,OQ的斜率存在,
故可设直线l的方 程为y=kx+m(m≠0且m≠±1),P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
),
由消去y得(1+4k
2
)x
2
+8kmx+4(m
2
-1)=0,
Δ=64k
2
m2
-16(1+4k
2
)(m
2
-1)=16(4k
2
-m
2
+1)>0,
且x
1
+x
2
=,x
1
x
2
=.
故y
1
y
2
=(kx
1
+m)(kx
2< br>+m)=k
2
x
1
x
2
+km(x
1
+x
2
)+m
2
.
因为直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,
所以·==k
2
,
即+m
2
=0,
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又m≠0,所以k
2
=,即k=±.
又m≠±1,且Δ>0,∴0
2<2
且
m2
≠
1.

又S
△
OPQ
=|x
1
-x
2
||m|=|m|=,所以S
△
OPQ
的取值范围为(0,1). (12分) 失分警示:根据直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列求出k的值,从而用m表示出
S
△
OPQ
. 12.(1)由题意知2c=2,c=1.
因为圆与椭圆有且只有两个公共点,从而b=1,故a=,
所以所求椭圆方程为+y
2
=1. (3分)
(2)因为直线l:y=kx+m与圆x
2
+y
2
=1相切,
所以原点O到直线l的距离为=1,即m
2
=k
2
+1. (5分)
由得(1+2k
2
)x
2
+4kmx+2m
2
-2 =0.
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y< br>2
),则x
1
+x
2
=,x
1
x
2
=. (7分)
λ=·=x
1
x
2
+y
1
y
2
=(1+k
2
)x
1
x
2
+km( x
1
+x
2
)+m
2
=,由≤λ≤,得≤k
2≤1,
即k的取值范围是∪. (9分)
(3)|AB|
2
=(x< br>1
-x
2
)
2
+(y
1
-y
2)
2
=(1+k
2
)[(x
1
+x
2
)
2
-4x
1
x
2
]
=2-,由≤k
2
≤1,得≤|AB|≤. (11分)
设△OAB的AB边上的高为d,则S=|AB|d=|AB|,
所以≤S≤. (12分)
失分警示:(1)没有将几何关系转化为代数式;(2)计算时不细心或不耐心. 13.f
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'(x)=+x-(1+a)==.
(1)当a≤0时,若0则f '(x)<0,若x>1,则f '(x)>0,故此时函数f(x)的单调递减区间是(0,1),单调
递增区间是(1,+∞);
当0时,随着x的变化, f '(x),f(x)的变化情况如下表:
x
f '(x)
f(x)
(0,a)
+
单调递增
a
0
极大值
(a,1)
-
单调递减
1
0
极小值
(1,+∞)
+
单调递增
所以函数f(x)的单调递增区间是(0,a),(1,+∞),单调递减区间是(a,1).
当a=1时,f '(x)=≥0,函数f(x)的单调递增区间是(0,+∞);
当a>1 时,同理可得,函数f(x)的单调递增区间是(0,1),(a,+∞),单调递减区间是(1,a). (4分)
(2)由于f(1)=--a,显然当a>0时, f(1)<0,此时f(x)≥0不是恒 成立的;当a≤0时,根据(1)知,函
数f(x)在区间(0,+∞)上的极小值,也是最小值,为f (1)=--a,此时只要f(1)≥0即可,解得a≤-,
故实数a的取值范围是. (7分)
(3)证明:由(2)得,当a=-时, f(x)=-ln x+x
2
-·x≥0,当且仅当x=1时等号成立,即ln x≤x
2
-x,
当x>1时,可以变换为>=,(9分)
在上面不等式中分别令x取m+1,m+2,…,m+n,
然后不等式两边再相加得
+
+…+
+…+
=-=
>
.
++…+=+
所以++…+>. (12分)
失分警示:(1)忽略a=1的情形;(2)在证明第(3)问时,没有注意到(2)的结论. 14.（Ⅰ）函
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数的定义域是，，
令，解得；
令，解得.
当变化时，的变化如下表所示：


-

1
0 +


0


↘ 极小值 ↗

由表知，函数
------（4分）
单调递减区间是，单调递增区间是，的极小值为.
（Ⅱ）函数的定义域是，，
当时，，∴，
∴在上是增函数. ------（7分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知函数在上的最小值为，
∴，，
由（Ⅱ）知函数在上的最大值是，
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∴，
即不等式成立. ------（10分） 15.（1）函数的定义域是
.，
，……..3分
令，解得；令，解得.
所以函数的单调递增区间为（-1,3），单调递减区间为（3,+∞）. ……….5分
（2）函数的定义域是，
.
，
此时函数在定义域上是减函数，不存在极值点. ……..7分
当时，关于的方程
令，解得，………………9分
则，
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若，则，
令，解得；令，解得，或.
当变化时，的变化如下表所示：



-
↘

0

+
↗

0

-
↘

极小值 极大值
由表知，函数的极小值点；极大值点是.
……………..11分
若，，
令，解得；令，解得.
当变化时，的变化如下表所示：



+
↗

0

-
↘

极大值
由表知，函数的极大值点是，不存在极小值点.
……………..12分
综上所得，当时，函数不存在极值点；当时，函数的极小值点
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，极大值点是；当时，函数的极大值点是
，不存在极小值点. ……………..13分 16.（Ⅰ）
，………………2分
令，解得，，
令，解得或；令，解得.
当变化时，，随的变化情况如下表：




增

0


减

0


增

极大值 极小值
………………4分
由表知，函数在处取得极大值，
所以. ………………5分
（II），………………6分
因为，直线都不是曲线的切线，
所以对成立，………………7分
则只要的最小值，
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所以. ………………8分
(III) ，，
因为所以
当时，对成立，在R上是增函数，
所以当时，取得最大值；………………9分
当时，在时，，是增函数，
在时，，是减函数，
所以当时，取得最大值；………………10分
当时，在时，，单调递减，
所以当时，取得最大值；………………11分
当时，在时，，是减函数，
在时，，是增函数，
又，
当时，在取得最大值，
当时，在取得最大值，
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当时，在，处都取得最大值.
综上所得，
当或时，取得最大值；
当时，在，处都取得最大值；
当时，在取得最大值；
当时，取得最大值. ………………14分 17.（1）
，
又函数在上为增函数，∴，即恒成立，
∵，∴，∴在上恒成立，
即在上恒成立，
又在的最大值是1，∴，
又，
∴仅有. ……………………4分
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（2）∵，∴，，
∴，
令，解得，
令，解得；令，解得.
∴函数的单调递增区间是，单调递减区间为.
当变化时，、的变化情况如下表：



+


0




极大值
由表知函数
值. ……………………9分
的极大值，不存在极小
（3）由（1）知，则，.
令
,
，
当时，
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，
∵，∴，，
∴恒有，
∴此时不存在使得，
即此时不存在使得成立；
当时，，
又，∴，，
∴在上恒成立，
∴在上是增函数，
∴，
又在
立，
上至少存在一个，使得成立，即恒成
∴必有，
∴，解得，
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综上所得，的取值范围为
． ……………………14分 18.（Ⅰ）∵f（x）=e
x
-a
（x+1），
∴f′（x）=e
x
-a，
∵a＞0，f′（x）=e
x
-a=0的解为x=lna．
∴f（x）
min
=f（lna）=a-a（lna+1）=-alna，
∵f（x）≥0对一切x∈R恒成立，
∴-alna≥0，∴alna≤0，∴a
max
=1．
（Ⅱ）设是任意的两实数，且
，

，故，
不妨令函数，则上单调递增.
.
，恒成立.
=
.

故
.
……9分
（Ⅲ）由（1） 知e
x
≥x+1，取x=, 得1- 即 .
累加得
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(

故存在正整数a=2．使得. 19.（Ⅰ）
.
由的判别式
①当即时，恒成立，则在单调递增
②当时，在恒成立，则在单调递增
③当时，方程的两正根为
则在单调递增，
单调递增
单调递减，
综上，当时，只有单调递增区间
当时，单调递增区间为，
单调递减区间为
（Ⅱ）即时，恒成立
当时，在单调递增 ∴当时，满足条件
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当时，在单调递减
则在单调递减
此时不满足条件
故实数的取值范围为.
（Ⅲ）由（2）知，在恒成立.
令 则 ，
∴.
又，
∴
∴
(x) =0, 解得x=0.
. 20.(Ⅰ) 因为f ' (x) =(r+1) (1+x)
r
-(r+1) =(r+1) [(1+x)
r
-1], 令f '
当-1< x< 0时, f ' (x) < 0, 所以f(x) 在(-1,0) 内是减函数;
当x> 0时, f ' (x) > 0, 所以f(x) 在(0, +∞) 内是增函数.
故函数f(x) 在x=0处取得最小值f(0) =0.
(Ⅱ) 由(Ⅰ), 当x∈(-1, +∞) 时, 有f(x) ≥f(0) =0, 即
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(1+x)
r+1
≥1+(r+1) x, 且等号当且仅当x=0时成立,
故当x> -1且x≠0时, 有
(1+x)
r+1
> 1+(r+1) x. ①
在①中, 令x=(这时x> -1且x≠0), 得
上式两边同乘n
r+1
, 得(n+1)
r+1
> n
r+1
+n
r
(r+1),
> 1+.
即n
r
< . ②
当n> 1时, 在①中令x=-(这时x> -1且x≠0), 类似可得n
r
>
且当n=1时, ③也成立.
综合②, ③得
. ③
< n
r
< . ④
(Ⅲ) 在④中, 令r=, n分别取值81,82, 83, …, 125, 得
(8-8) < < (8-8),
(8-8) < < (8-8),
(8-8) <
……
< (8-8),
(12-12) < < (12-12).
将以上各式相加, 并整理得
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(12-8) < S< (12-8).
代入数据计算, 可得(12-8) ≈210.2, (12-8) ≈210.9. 由[S]的定义, 得[S]=211.
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