小学数学图形世界著名数学难题猜想汇总

2020年11月12日发(作者：段去惑)
1、费尔马大定理
费尔马大定理起源于三百多年前，挑战人类3个世纪，多次震惊全世界 ，耗尽人类众多
最杰出大脑的精力，也让千千万万业余者痴迷。终于在1994年被安德鲁·怀尔斯攻克 。古
希腊的丢番图写过一本著名的“算术”，经历中世纪的愚昧黑暗到文艺复兴的时候，“算术”
的残本重新被发现研究。 1637年，法国业余大数学家费尔马（Pierre de Fremat）在“算
术”的关于勾股数问题的页边上，写下猜想：x^n＋ y^n ＝z^n 是不 可能的（这里n大于2；
x，y，z，n都是非零整数)。此猜想后来就称为费尔马大定理。费尔马还写 道“我对此有绝
妙的证明，但此页边太窄写不下”。一般公认，他当时不可能有正确的证明。猜想提出后 ，
经欧拉等数代天才努力，200年间只解决了n＝3,4,5,7四种情形。1847年，库木尔创立 “代
数数论”这一现代重要学科，对许多n（例如100以内）证明了费尔马大定理，是一次大飞
跃。 历史上费尔马大定理高潮迭起，传奇不断。其惊人的魅力，曾在最后时刻挽救自
杀青年于不 死。他就是德国的沃尔夫斯克勒，他后来为费尔马大定理设悬赏10万马克（相
当于现在160万美元多 ），期限1908－2007年。无数人耗尽心力，空留浩叹。最现代的电脑
加数学技巧，验证了400 万以内的N，但这对最终证明无济于事。1983年德国的法尔廷斯
证明了：对任一固定的n，最多只有 有限多个x，y，z振动了世界，获得费尔兹奖（数学界
最高奖）。 历史的新转机发生在1986 年夏，贝克莱·瑞波特证明了:费尔马大定理包含
在“谷山丰—志村五朗猜想 ” 之中。童年就痴迷于 此的怀尔斯，闻此立刻潜心于顶楼书房
7年，曲折卓绝，汇集了20世纪数论所有的突破性成果。终于在 1993年6月23日剑桥大
学牛顿研究所的“世纪演讲”最后，宣布证明了费尔马大定理。立刻震动世 界，普天同庆。
不幸的是，数月后逐渐发现此证明有漏洞，一时更成世界焦点。这个证明体系是千万个深 奥
数学推理连接成千个最现代的定理、事实和计算所组成的千百回转的逻辑网络，任何一环节
的 问题都会导致前功尽弃。怀尔斯绝境搏斗，毫无出路。1994年9月19日，星期一的早晨，
怀尔斯在 思维的闪电中突然找到了迷失的钥匙：解答原来就在废墟中！他热泪夺眶而出。怀
尔斯的历史性长文“模 椭圆曲线和费尔马大定理”1995年5月发表在美国《数学年刊》第
142卷，实际占满了全卷，共五 章，130页。1997年6月27日，怀尔斯获得沃尔夫斯克勒
10万马克悬赏大奖。离截止期10年 ，圆了历史的梦。他还获得沃尔夫奖(1996.3），美国国
家科学家院奖（1996.6），费尔兹 特别奖（1998.8）。
2、四色问题
四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种 颜色就能使具有共同边界的国家着上不同
的颜色。”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重叠 的区域，每一个区域总可以
用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同 的数字。”（右图）
这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一 点或有限多点，
就不叫相邻的。因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。 四色猜想的提出来自 英
国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，
发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家
都被着上不同 的颜色。”这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟
格里斯决心试一试。兄弟二 人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作
没有进展。 1852年10月23 日，他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师、著名数
学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个 问题的途径，于是写信向自己的好友、著名
数学家汉密尔顿爵士请教。汉密尔顿接到摩尔根的信后，对四 色问题进行论证。但直到1865
年汉密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。 1872年，英国 当时最著名的数学家凯利
正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题 。世界上许
多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878～1880年两年间，著名的律师 兼数
学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四
色猜想从此也就解决了。 肯普的证明是这样的：首先指出如果没有一个国家包围其他
国家，或没有 三个以上的国家相遇于一点，这种地图就说是“正规的”（左图）。如为正规地
图，否则为非正规地图（ 右图）。一张地图往往是由正规地图和非正规地图联系在一起，但
非正规地图所需颜色种数一般不超过正 规地图所需的颜色，如果有一张需要五种颜色的地
图，那就是指它的正规地图是五色的，要证明四色猜想 成立，只要证明不存在一张正规五色
地图就足够了。 肯普是用归谬法来证明的，大意是如果有一张 正规的五色地图，就会
存在一张国数最少的“极小正规五色地图”，如果极小正规五色地图中有一个国家 的邻国数
少于六个，就会存在一张国数较少的正规地图仍为五色的，这样一来就不会有极小五色地图的国数，也就不存在正规五色地图了。这样肯普就认为他已经证明了“四色问题”，但是后
来人们发 现他错了。 不过肯普的证明阐明了两个重要的概念，对以后问题的解决提供
了途径。第一个概念是 “构形”。他证明了在每一张正规地图中至少有一国具有两个、三个、
四个或五个邻国，不存在每个国家 都有六个或更多个邻国的正规地图，也就是说，由两个邻
国，三个邻国、四个或五个邻国组成的一组“构 形”是不可避免的，每张地图至少含有这四
种构形中的一个。 肯普提出的另一个概念是“可约”性 。“可约”这个词的使用是来自
肯普的论证。他证明了只要五色地图中有一国具有四个邻国，就会有国数 减少的五色地图。
自从引入“构形”，“可约”概念后，逐步发展了检查构形以决定是否可约的一些标准 方法，
能够寻求可约构形的不可避免组，是证明“四色问题”的重要依据。但要证明大的构形可约，需要检查大量的细节，这是相当复杂的。 11年后，即1890年，在牛津大学就读的年
仅2 9岁的赫伍德以自己的精确计算指出了肯普在证明上的漏洞。他指出肯普说没有极小五
色地图能有一国具 有五个邻国的理由有破绽。不久，泰勒的证明也被人们否定了。人们发现
他们实际上证明了一个较弱的命 题——五色定理。就是说对地图着色，用五种颜色就够了。
后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁， 但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌
似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。 进入20世纪以来，科学家们
对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年，美国著名 数学家、哈佛大学
的伯克霍夫利用肯普的想法，结合自己新的设想；证明了某些大的构形可约。后来美国 数学
家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从22国推
进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进
到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。 高速数字计算机的发明，促使更多数学家对
“四色问题 ”的研究。从1936年就开始研究四色猜想的海克，公开宣称四色猜想可用寻找
可约图形的不可避免组 来证明。他的学生丢雷写了一个计算程序，海克不仅能用这程序产生
的数据来证明构形可约，而且描绘可 约构形的方法是从改造地图成为数学上称为“对偶”形
着手。 他把每个国家的首都标出来，然后把 相邻国家的首都用一条越过边界的铁路连
接起来，除首都(称为顶点)及铁路(称为弧或边)外，擦掉其 他所有的线，剩下的称为原图的
对偶图。到了六十年代后期，海克引进一个类似于在电网络中移动电荷的 方法来求构形的不
可避免组。在海克的研究中第一次以颇不成熟的形式出现的“放电法”，这对以后关于 不可
避免组的研究是个关键，也是证明四色定理的中心要素。 电子计算机问世以后，由于
演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。美国伊利诺
大学哈肯在1 970年着手改进“放电过程”，后与阿佩尔合作编制一个很好的程序。就在1976
年6月，他们在美 国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100
亿判断，终于完成了四色 定理的证明，轰动了世界。 这是一百多年来吸引许多数学家
与数学爱好者的大事，当两位数学家将 他们的研究成果发表的时候，当地的邮局在当天发出
的所有邮件上都加盖了“四色足够”的特制邮戳，以 庆祝这一难题获得解决。 “四色
问题”的被证明仅解决了一个历时100多年的难题，而且成为数 学史上一系列新思维的起点。
在“四色问题”的研究过程中，不少新的数学理论随之产生，也发展了很多 数学计算技巧。
如将地图的着色问题化为图论问题，丰富了图论的内容。不仅如此，“四色问题”在有效 地
设计航空班机日程表，设计计算机的编码程序上都起到了推动作用。 不过不少数学家
并 不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。直到现在，
仍由不少数学家 和数学爱好者在寻找更简洁的证明方法。
3、哥德巴赫猜想
史上和质数有关的数学猜想中，最著名的当然就是“哥德巴赫猜想”了。 1742年
6月7日，德国数学家哥德巴赫在写给著名数学家欧拉的一封信中，提出了两个大胆的猜想：
一、任何不小于6的偶数，都是两个奇质数之和； 二、任何不小于9的奇数，都是三
个奇质数之和。 这就是数学史上著名的“哥德巴赫猜想”。显然 ，第二个猜想是第一个
猜想的推论。因此，只需在两个猜想中证明一个就足够了。 同年6月30日，欧拉在给
哥德巴赫的回信中， 明确表示他深信哥德巴赫的这两个猜想都是正确的定理 ，但是欧拉当
时还无法给出证明。由于欧拉是当时欧洲最伟大的数学家，他对哥德巴赫猜想的信心，影响
到了整个欧洲乃至世界数学界。从那以后，许多数学家都跃跃欲试，甚至一生都致力于证明
哥德 巴赫猜想。可是直到19世纪末，哥德巴赫猜想的证明也没有任何进展。证明哥德巴赫
猜想的难度，远远 超出了人们的想象。有的数学家把哥德巴赫猜想比喻为“数学王冠上的明
珠”。 我们从6＝3＋3 、8＝3＋5、10＝5＋5、……、100＝3＋97＝11＋89＝17＋83、……
这些具体的例 子中，可以看出哥德巴赫猜想都是成立的。有人甚至逐一验证了3300万以内
的所有偶数，竟然没有一 个不符合哥德巴赫猜想的。20世纪，随着计算机技术的发展，数
学家们发现哥德巴赫猜想对于更大的数 依然成立。可是自然数是无限的，谁知道会不会在某
一个足够大的偶数上，突然出现哥德巴赫猜想的反例 呢？于是人们逐步改变了探究问题的方
式。 1900年，20世纪最伟大的数学家希尔伯特，在国 际数学会议上把“哥德巴赫猜想”
列为23个数学难题之一。此后，20世纪的数学家们在世界范围内“ 联手”进攻“哥德巴赫
猜想”堡垒，终于取得了辉煌的成果。 20世纪的数学家们研究哥德巴赫猜 想所采用的
主要方法，是筛法、圆法、密率法和三角和法等等高深的数学方法。解决这个猜想的思路，< br>就像“缩小包围圈”一样，逐步逼近最后的结果。 1920年，挪威数学家布朗证明了定
理 “9＋9”，由此划定了进攻“哥德巴赫猜想”的“大包围圈”。这个“9＋9”是怎么回事呢？
所谓“ 9＋9”，翻译成数学语言就是：“任何一个足够大的偶数，都可以表示成其它两个数之
和，而这两个数 中的每个数，都是9个奇质数之积。” 从这个“9＋9”开始，全世界的数学
家集中力量“缩小包围圈”，当然最后的目标就是“1＋1”了。 1924年，德国数学家
雷德马赫证明了定理“7＋7”。很快，“6＋6”、“5＋5”、“4＋4” 和“3＋3”逐一被攻陷。1957
年，我国数学家王元证明了“2＋3”。1962年，中国数学家潘 承洞证明了“1＋5”，同年又
和王元合作证明了“1＋4”。1965年，苏联数学家证明了“1＋3 ”。 1966年，我国著名
数学家陈景润攻克了“1＋2”，也就是：“任何一个足够大的偶数， 都可以表示成两个数之和，
而这两个数中的一个就是奇质数，另一个则是两个奇质数的积。”这个定理被 世界数学界称
为“陈氏定理”。 由于陈景润的贡献，人类距离哥德巴赫猜想的最后结果“1＋1” 仅有
一步之遥了。但为了实现这最后的一步，也许还要历经一个漫长的探索过程。有许多数学家
认为，要想证明“1＋1”，必须通过创造新的数学方法，以往的路很可能都是走不通的。
编辑本段世界七大数学难题
美国麻州的克雷（Clay）数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣 布
了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。 其
中有一个已被解决(庞加莱猜想),还剩六个.（庞加莱猜想，已由俄罗斯数学家格里戈里·佩
雷尔曼破 解。我国中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学兼职教授曹怀东做了证明的
封顶工作。） 整个计算机科学的大厦就建立在图灵机可计算理论和计算复杂性理论的基
础上, 一旦证明P=NP ,将是计算机科学的一场决定性的突破,在软件工程实践中,将革命
性的提高效率.从工业,农业,军事 ,医疗到生活,软件在它的各个应用域,都将是一个飞跃.
P=NP吗? 这个问题是著名计算机科学家(1982年图灵奖得主)斯蒂文·考克（StephenCook ）
于1971年发现并提出的. “千年大奖问题”公布以来， 在世界数学界产生了强烈反响。< br>这些问题都是关于数学基本理论的，但这些问题的解决将对数学理论的发展和应用的深化产
生巨大 推动。认识和研究“千年大奖问题”已成为世界数学界的热点。不少国家的数学家正
在组织联合攻关。 可以预期， “千年大奖问题” 将会改变新世纪数学发展的历史进程。
一、Ｐ（多项式时间）问题对ＮＰ（nondeterministic polynomial time，非确定多项式时间）
问题 在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促 不安，你想知道这
一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附 近角
落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果
没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。
生成问题的一 个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例
子。与此类似的是，如果某 人告诉你，数１３，７１７，４２１可以写成两个较小的数的乘
积，你可能不知道是否应该相信他，但是 如果他告诉你它可以因式分解为３６０７乘上３８
０３，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对 的。不管我们编写程序是否灵巧，判
定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而 需要花费大量时间来求
解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克于１９７１ 年陈述的。
二、霍奇(Hodge)猜想 二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强 有力的办
法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来
推广；最 终导致一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行
分类时取得巨大的进展 。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某
种意义下，必须加上某些没有任何几 何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这
种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件 实际上是称作代数闭链的几何部件的(有
理线性)组合。 三、庞加莱(Poincare)猜想 如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮
带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动 收缩为一个点。另一方面，
如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断 橡皮带或者轮
胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。
大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球
面( 四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从
那时起，数学家 们就在为此奋斗。 在2002年11月和2003年7月之间，俄罗斯的数学
家格里戈里·佩雷尔 曼在发表了三篇论文预印本，并声称证明了几何化猜想。 在佩雷
尔曼之后，先后有3组研究者发表 论文补全佩雷尔曼给出的证明中缺少的细节。这包括密西
根大学的布鲁斯·克莱纳和约翰·洛特；哥伦比 亚大学的约翰·摩根和麻省理工学院的田刚；
以及理海大学的曹怀东和中山大学的朱熹平。 200 6年8月，第25届国际数学家大会
授予佩雷尔曼菲尔兹奖。数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加 莱猜想。 四、黎
曼(Riemann)假设 有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特 殊性质，例如，2、3、
5、7……等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用 。在所有自然
数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1 866)观
察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$$的性态。著名的黎曼 假
设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,00 0,000
个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。
五、杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口 量子物理的定律是以经典力学的牛顿 定
律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量




子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系 。基于杨－米尔斯方
程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗 克哈
文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严
格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的
不可见性的解 释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在
这一问题上的进展需要在物 理上和数学上两方面引进根本上的新观念。 六、纳维叶－
斯托克斯(Navier- Stokes)方程的存在性与光滑性 起伏的波浪跟随着我们的正在湖中
蜿蜒穿梭的小船，湍急 的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，
无论是微风还是湍流，都可以通过 理解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预
言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它 们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作
出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程 中的奥秘。 七、贝赫
(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想 数学家总是被诸如x2+y2=z2那样的代
数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一 方程给出完全的解答，但是对于
更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇指出， 希尔伯特第十问题
是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个 阿贝
尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数
z (s)在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多
个 有理点(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。
编辑本段有待破解的数学难题
除了上述著名数学难题外，还有以下著名数学难题有待破解。 Abc猜想 考拉
兹猜想 周氏猜测(梅森素数分布猜测) 阿廷猜想(新梅森猜想) 哥德巴赫猜
想 孪素数猜想 克拉梅尔猜想 哈代－李特尔伍德第二猜想 六空间理论