大学数学建模义务教育小学数学课程标准(2011年版)

2020年11月12日发(作者：奚元龄)
义务教育小学数学课程标准（2011年版）

目 录

第一部分 前 言. 1
一、课程性质. 1
二、课程基本理念. 2
三、课程设计思路. 4
第二部分 课程目标. 9
一、总目标. 9
二、学段目标. 10
第三部分 内容标准. 16
第一学段（1~3年级）. 16
一、数与代数. 16
二、图形与几何. 18
三、统计与概率. 19
四、综合与实践. 20
第二学段（4~6年级）. 20
一、数与代数. 20
二、图形与几何. 23
三、统计与概率. 25
四、综合与实践. 26
第三学段（7~9年级）. 26
一、数与代数. 26
二、图形与几何. 31
三、统计与概率. 40
四、综合与实践. 42
第四部分 实施建议. 43
一、教学建议. 43
二、评价建议. 54
三、教材编写建议. 62
四、课程资源开发与利用建议. 70
附 录. 75
附录1 有关行为动词的分类. 75
附录2 内容标准及实施建议中的实例. 78

第一部分 前言

数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学与人类发展和社 会进步息息相关，随着现代信
息技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。 数学作为对于客
观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然科学和技术科学的基础，而且 在
人文科学与社会科学中发挥着越来越大的作用。特别是20世纪中叶以来，数学与计算机技
术 的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展。
数学是人类文化的重要组成部分， 数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。作
为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学 教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需
要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的理性思维和创 新能力方面的不可替代的作
用。
一、课程性质
义务教育阶段的数学课程是培养公民 素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性。数学
课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能；培 养学生的抽象思维和推理能力；培养学生
的创新意识和实践能力；促进学生在情感、态度与价值观等方面 的发展。义务教育的数学课
程能为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础。


二、课程基本理念
1．数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适 应学生个性发展
的需要，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。 < br>2．课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的
结果， 也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。课程内容的选择要贴近学生的实
际，有利于学生体验 与理解、思考与探索。课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果
的关系；要重视直观，处理好直观 与抽象的关系；要重视直接经验，处理好直接经验与间接
经验的关系。课程内容的呈现应注意层次性和多 样性。
3．教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。
数学教学活动应激发学 生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性
思维；要注重培养学生良好的数学学 习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。
学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程 。除接受学习外，动手实践、自
主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和 空间经历观察、实
验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。
教师教学应该以学生的认知发展 水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因
材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与 学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主
动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技 能、数学思想和方法，获得基本
的数学活动经验。
4．学习评价的主要目的是为了全面了解学 生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进
教师教学。应建立目标多元、方法多样的评价体系。评价 既要关注学生学习的结果，也要重
视学习的过程；既要关注学生数学学习的水平，也要重视学生在数学活 动中所表现出来的情
感与态度，帮助学生认识自我、建立信心。
5．信息技术的发展对数学教 育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响。数学
课程的设计与实施应根据实际情况合理地运 用现代信息技术，要注意信息技术与课程内容的
整合，注重实效。要充分考虑信息技术对数学学习内容和 方式的影响，开发并向学生提供丰
富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工 具，有效地改进教与
学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去。



三、课程设计思路
义务教育阶段数学课程的设计，充分考虑本阶段学生 数学学习的特点，符合学生的认知规律
和心理特征，有利于激发学生的学习兴趣，引发数学思考；充分考 虑数学本身的特点，体现
数学的实质；在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验， 使学生体验
从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。
按以上思路具体设计如下。
（一） 学段划分
为了体现义务教育数学课程的整体性 ，统筹考虑九年的课程内容。同时，根据学生发展的生
理和心理特征，将九年的学习时间划分为三个学段 ：第一学段（1~3年级）、第二学段（4~6
年级）、第三学段（7~9年级）。

（二） 课程目标
义务教育阶段数学课程目标分为总目标和学段目标，从知识技能、数学思考 、问题解决、情
感态度等四个方面加以阐述。
数学课程目标包括结果目标和过程目标。结果目 标使用“了解、理解、掌握、运用”等术语
表述，过程目标使用“经历、体验、探索”等术语表述（术语 解释见附录1）。
（三） 课程内容
在各学段中，安排了四个部分的课程内容：“数与代数 ”“图形与几何”“统计与概率”“综合
与实践”。
“综合与实践”内容设置的目的在于培 养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题，培
养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生 的活动经验，提高学生解决现实问题的
能力。
“数与代数”的主要内容有：数的认识，数的表 示，数的大小，数的运算，数量的估计；字
母表示数，代数式及其运算；方程、方程组、不等式、函数等 。
“图形与几何”的主要内容有：空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量；图
形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；运用坐标描述图形的位
置和运动。
“统计与概率”的主要内容有：收集、整理和描述数据，包括简单抽样、整理调查数据、绘
制统 计图表等；处理数据，包括计算平均数、中位数、众数、极差、方差等；从数据中提取
信息并进行简单的 推断；简单随机事件及其发生的概率。
“综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学 习活动。在学习活动中，学
生将综合运用“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等知识和方法解决 问题。“综合与
实践”的教学活动应当保证每学期至少一次，可以在课堂上完成，也可以课内外相结合。
在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、
运 算能力、推理能力和模型思想。为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别
注重发展学生的 应用意识和创新意识。
数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感 有助于学生
理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。
符号意识主要是指 能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以
进行运算和推理，得到的结论具 有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学
表达和进行数学思考的重要形式。
空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；
想象出物体的 方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图
形等。
几何直观 主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简
明、形象，有助于探索解 决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，
在整个数学学习过程中都发挥着重要 作用。
数据分析观念包括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据
问题的背 景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到
的数据可能不同，另一 方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。
运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算 的能力。培养运算能力有助于学生
理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。
推理 能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习
和生活中经常使用 的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事
实出发，凭借经验和直觉，通过 归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包
括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括 运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑
推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，合情推理用 于探索思路，发现结论；演绎推
理用于证明结论。
模型思想的建立是学生体会和理解数学与外 部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程
包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学 符号建立方程、不等式、函数等表
示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。 这些内容的学习有助
于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。
应用意识有 两个方面的含义，一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的
现象，解决现实世界中的 问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关
的问题，这些问题可以抽象成数学问题 ，用数学的方法予以解决。在整个数学教育的过程中
都应该培养学生的应用意识，综合实践活动是培养应 用意识很好的载体。

创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的 过程之中。学生自己发
现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜 想和规律，
并加以验证，是创新的重要方法。创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育< br>的始终。






第二部分 课程目标

一、总目标
通过义务教育阶段的数学学习，学生能：
1. 获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本
活动经验。
2. 体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方
式 进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。
3. 了解数学的价值，提高学习数 学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，
具有初步的创新意识和实事求是的科学态度。
总目标从以下四个方面具体阐述：
知识技能●经历数与代数的抽象、运算与建模等过程，掌握数与代数的基础知识和基
本技能。
●经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程，掌握图形与几何的基
础知识和基本技能。
●经历在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问题、获取信息的过程，掌握统
计与概率的基础知识和基本技能。
●参与综合实践活动，积累综合运用数学知识、技能和方法等解决简单问题的数学活
动经验。
数学思考●建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形
象思维与抽象思维。
●体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受随机现象。
●在 参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推
理能力，清晰地表达自己 的想法。
●学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。
问题
解决●初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实
际问题，增强应用意识，提高实践能力。
●获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新
意识。
●学会与他人合作交流。
●初步形成评价与反思的意识。
情感态度●积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。
●在数学学习过程中，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
●体会数学的特点，了解数学的价值。
●养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯，形成实事求是的科学
态度。

总目标的这四个方面，不是相互独立和割裂的，而是一个密切联系、相互交融的有机整体。
在课 程设计和教学活动组织中，应同时兼顾这四个方面的目标。这些目标的整体实现，是学
生受到良好数学教 育的标志，它对学生的全面、持续、和谐发展有着重要的意义。数学思考、
问题解决、情感态度的发展离 不开知识技能的学习，知识技能的学习必须有利于其他三个目
标的实现。


二、学段目标
第一学段（1~3年级）
知识技能
1．经历从日常生活中 抽象出数的过程，理解万以内数的意义，初步认识分数和小数；理解
常见的量；体会四则运算的意义，掌 握必要的运算技能；在具体情境中，能进行简单的估算。
2．经历从实际物体中抽象出简单几何体和平 面图形的过程，了解一些简单几何体和常见的
平面图形；感受平移、旋转、轴对称现象；认识物体的相对 位置。掌握初步的测量、识图和
画图的技能。
3．经历简单的数据收集、整理、分析的过程，了解简单的数据处理方法。
数学思考
1．在运用数及适当的度量单位描述现实生活中的简单现象，以及对运算结果进行估计的过
程中，发展 数感；在从物体中抽象出几何图形、想象图形的运动和位置的过程中，发展空间
观念。

2．能对调查过程中获得的简单数据进行归类，体验数据中蕴涵着信息。
3. 在观察、操作等活动中，能提出一些简单的猜想。
4．会独立思考问题，表达自己的想法。
问题解决
1．能在教师的指导下，从日常生活中发现和提出简单的数学问题，并尝试解决。
2．了解分析问题和解决问题的一些基本方法，知道同一个问题可以有不同的解决方法。
3．体验与他人合作交流解决问题的过程。
4．尝试回顾解决问题的过程。
情感态度
1．对身边与数学有关的事物有好奇心，能参与数学活动。
2．在他人帮助下，感受数学活动中的成功，能尝试克服困难。
3．了解数学可以描述生活中的一些现象，感受数学与生活有密切联系。
4．能倾听别人的意见，尝试对别人的想法提出建议，知道应该尊重客观事实。

第二学段（4~6年级）
知识技能
1．体验从具体情境中抽象出数的过程，认识万 以上的数；理解分数、小数、百分数的意义，
了解负数；掌握必要的运算技能；理解估算的意义；能用方 程表示简单的数量关系，能解简
单的方程。
2．探索一些图形的形状、大小和位置关系，了解 一些几何体和平面图形的基本特征；体验
简单图形的运动过程，能在方格纸上画出简单图形运动后的图形 ，了解确定物体位置的一些
基本方法；掌握测量、识图和画图的基本方法。
3．经历数据的收 集、整理和分析的过程，掌握一些简单的数据处理技能；体验随机事件和
事件发生的等可能性。
4．能借助计算器解决简单的应用问题。
数学思考
1．初步形成数感和空间观念，感受符号和几何直观的作用。
2．进一步认识到数据中蕴涵着信息，发展数据分析观念；感受随机现象。
3．在观察、实验 、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比
较清楚地表达自己的思考过程与 结果。
4. 会独立思考，体会一些数学的基本思想。
问题解决
1．尝试从日常生活中发现并提出简单的数学问题，并运用一些知识加以解决。
2．能探索分析和解决简单问题的有效方法，了解解决问题方法的多样性。
3．经历与他人合作解决问题的过程，尝试解释自己的思考过程。
4．能回顾解决问题的过程，初步判断结果的合理性。
情感态度
1．愿意了解社会生活中与数学相关的信息，主动参与数学学习活动。
2．在他人的鼓励和引导下，体验克服困难、解决问题的过程，相信自己能够学好数学。
3．在运用数学知识和方法解决问题的过程中，认识数学的价值。
4．初步养成乐于思考、勇于质疑、实事求是等良好品质。

第三学段（7~9年级）
知识技能
1．体验从具体情境中抽象出数学符号的过程， 理解有理数、实数、代数式、方程、不等式、
函数；掌握必要的运算（包括估算）技能；探索具体问题中 的数量关系和变化规律，掌握用
代数式、方程、不等式、函数进行表述的方法。
2．探索并掌 握相交线、平行线、三角形、四边形和圆的基本性质与判定，掌握基本的证明
方法和基本的作图技能；探 索并理解平面图形的平移、旋转、轴对称；认识投影与视图；探
索并理解平面直角坐标系，能确定位置。
3．体验数据收集、处理、分析和推断过程，理解抽样方法，体验用样本估计总体的过程；
进一 步认识随机现象，能计算一些简单事件的概率。
数学思考
1．通过用代数式、方程、不等式 、函数等表述数量关系的过程，体会模型的思想，建立符
号意识；在研究图形性质和运动、确定物体位置 等过程中，进一步发展空间观念；经历借助
图形思考问题的过程，初步建立几何直观。
2．了解利用数据可以进行统计推断，发展建立数据分析观念；感受随机现象的特点。
3．体 会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活
动中，发展合情推理 与演绎推理的能力。
4．能独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。
问题解决
1．初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方
法等解决简 单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。
2．经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的 过程，体验解决问题方法的多样性，
掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。
3．在与他人合作和交流过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论。
4．能针对他人所提的问题进行反思，初步形成评价与反思的意识。
情感态度
1．积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。
2．感受成功的快乐，体验独自克服困 难、解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备
学好数学的信心。
3．在运用数学表述和 解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体
会数学的价值。
4．敢于 发表自己的想法、勇于质疑，养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯，形
成实事求是的科学态度 。







第三部分 内容标准
第一学段（1~3年级）

一、数与代数
（一）数的认识
1. 在现实情境中理解万以内数的意义，能认、读、写万以内的数，能用数表示物体的个数
或 事物的顺序和位置。
2. 能说出各数位的名称，理解各数位上的数字表示的意义；知道用算盘可以表示多位数（参
见例1）。
3. 理解符号＜，＝，＞的含义，能用符号和词语描述万以内数的大小（参见例2）。
4. 在生活情境中感受大数的意义，并能进行估计（参见例3）。
5. 能结合具体情境初步认识小数和分数，能读、写小数和分数。
6. 能结合具体情境比较两个一位小数的大小，能比较两个同分母分数的大小。
7. 能运用数表示日常生活中的一些事物，并能进行交流（参见例4）。

（二）数的运算
1. 结合具体情境，体会整数四则运算的意义（参见例5）。
2. 能熟练地口算20以内的加减法和表内乘除法，能口算百以内的加减法和一位数乘除两位
数。
3. 能计算三位数的加减法，一位数乘三位数、两位数乘两位数的乘法，三位数除以一位数
的除法。
4．认识小括号，能进行简单的整数四则混合运算（两步）。
5. 会进行同分母分数（分母小于10）的加减运算以及一位小数的加减运算。
6. 能结合具体情境进行估算，并会解释估算的过程（参见例6）。
7. 经历与他人交流各自算法的过程。
8. 能运用数及数的运算解决生活中的简单问题，并能对结果的实际意义作出解释（参见例
7）。

（三）常见的量
1. 在现实情境中，认识元、角、分，并了解它们之间的关系。
2. 能认识钟表，了解24时记时法；结合自己的生活经验，体验时间的长短（参见例8）。
3. 认识年、月、日，了解它们之间的关系。
4. 在现实情境中，感受并认识克、千克、吨，能进行简单的单位换算。
5. 能结合生活实际，解决与常见的量有关的简单问题。

（四）探索规律
探索简单的变化规律（参见例9，例10）。

二、图形与几何
（一）图形的认识
1. 能通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体。
2. 能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体（参见例11）。
3. 能辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形。
4. 通过观察、操作，初步认识长方形、正方形的特征。
5. 会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图。
6. 结合生活情境认识角，了解直角、锐角和钝角。
7. 能对简单几何体和图形进行分类（参见例21）。

（二）测量
1. 结合生活实际，经历用不同方式测量物体长度的过程，体会建立统一度量单位的重要性。
2. 在实践 活动中，体会并认识长度单位千米、米、厘米，知道分米、毫米，能进行简单的
单位换算，能恰当地选择 长度单位（参见例12）。
3. 能估测一些物体的长度，并进行测量。
4. 结合实例认识周长，并能测量简单图形的周长（参见例13），探索并掌握长方形、正方形
的周长公式。
5. 结合实例认识面积，体会并认识面积单位厘米2、分米2、米2，能进行简单的单位换算。
6. 探索并掌握长方形、正方形的面积公式，会估计给定简单图形的面积（参见例14）。

（三）图形的运动
1. 结合实例，感受平移、旋转、轴对称现象（参见例15）。
2. 能辨认简单图形平移后的图形（参见例16）。
3. 通过观察、操作，初步认识轴对称图形。

（四）图形与位置
1. 会用上、下、左、右、前、后描述物体的相对位置。
2. 给定东、南、西、北四个方向中的一个方向 ，能辨认其余三个方向，知道东北、西北、
东南、西南四个方向，会用这些词语描绘物体所在的方向（参 见例17）。

三、统计与概率
1. 能根据给定的标准或者自己选定的标准 ，对事物或数据进行分类，感受分类与分类标准
的关系（参见例18）。
2. 经历简单的数 据收集和整理过程，了解调查、测量等收集数据的简单方法，并能用自己
的方式（文字、图画、表格等） 呈现整理数据的结果（参见例19）。
3. 通过对数据的简单分析，体会运用数据进行表达与交流的作用，感受数据蕴涵信息（参
见例20）。

四、综合与实践
1．通过实践活动，感受数学在日常生活中的作用，体验能够运 用所学的知识和方法解决简
单问题，获得初步的数学活动经验。
2.在实践活动中，了解要解决的问题和解决问题的办法。
3.经历实践操作的过程，进一步理解所学的内容。
（参见例21，例22，例23）

第二学段（4~6年级）
一、数与代数
（一）数的认识
1. 在具体情境中，认识万以上的数，了解十进制计数法，会用万、亿为单位表示大数。
2. 结合现实情境感受大数的意义，并能进行估计（参见例24）。
3. 会运用数描述事物的某些特征，进一步体会数在日常生活中的作用（参见例25）。
4. 知道2，3 ，5的倍数的特征，了解公倍数和最小公倍数；在1~100的自然数中，能找出
10以内自然数的所有 倍数，能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数。
5. 了解公因数和最大公因数；在1~1 00的自然数中，能找出一个自然数的所有因数，能找
出两个自然数的公因数和最大公因数。
6. 了解自然数、整数、奇数、偶数、质（素）数和合数。
7. 结合具体情境，理解小数 和分数的意义,理解百分数的意义（参见例26）；会进行小数、
分数和百分数的转化（不包括将循环小 数化为分数）。
8. 能比较小数的大小和分数的大小。
9．在熟悉的生活情境中，了解负数的意义，会用负数表示日常生活中的一些量。

（二）数的运算
1．能计算三位数乘两位数的乘法，三位数除以两位数的除法。
2．认识中括号，能进行简单的整数四则混合运算（以两步为主，不超过三步）。
3．探索并 了解运算律（加法的交换律和结合律、乘法的交换律和结合律、乘法对加法的分
配律），会应用运算律进 行一些简便运算。
4．在具体运算和解决简单实际问题的过程中，体会加与减、乘与除的互逆关系。
5．能分别进行简单的小数、分数（不含带分数）加、减、乘、除运算及混合运算（以两步
为主 ，不超过三步）。
6．能解决小数、分数和百分数的简单实际问题。
7.在具体情境中，了 解常见的数量关系：总价=单价×数量、路程=速度×时间，并能解决简
单的实际问题。
8．经历与他人交流各自算法的过程，并能表达自己的想法。
9．在解决问题的过程中，能选择合适的方法进行估算（参见例27，例28）。
10．能借助计算器进行运算，解决简单的实际问题，探索简单的规律（参见例29）。

（三）式与方程
1．在具体情境中能用字母表示数。
2．结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示。
3. 能用方程表示简单情境中的等量关系（如3x+2＝5，2x-x＝3），了解方程的作用。
4．了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程。

（四）正比例、反比例
1．在实际情境中理解比及按比例分配的含义，并能解决简单的问题。
2．通过具体情境，认识成正比例的量和成反比例的量。
3．会根据给出的有正比例关系的数 据在方格纸上画图，并会根据其中一个量的值估计另一
个量的值（参见例30）。
4．能找出生活中成正比例和成反比例关系量的实例，并进行交流。

（五）探索规律
探索给定情境中隐含的规律或变化趋势（参见例31，例32）。

二、图形与几何
（一）图形的认识
1．结合实例了解线段、射线和直线。
2．体会两点间所有连线中线段最短，知道两点间的距离。
3．知道平角与周角，了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系。
4．结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系。
5．通过观察、操作，认识平行四边形、梯形和圆，知道扇形，会用圆规画圆。
6．认识三角形，通过观察、操作，了解三角形两边之和大于第三边、三角形内角和是180°。
7．认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。
8．能辨认从不同方向（前面、侧面、上面）看到的物体的形状图（参见例33）。
9．通过 观察、操作，认识长方体、正方体、圆柱和圆锥，认识长方体、正方体和圆柱的展
开图。

（二）测量
1．能用量角器量指定角的度数，能画指定度数的角，会用三角尺画30°，45 °，60°，90°
角。
2．探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式，并能解决简单的实际问题。
3．知道面积单位：千米2、公顷。
4．通过操作，了解圆的周长与直径的比为定值，掌握圆 的周长公式；探索并掌握圆的面积
公式，并能解决简单的实际问题。
5．会用方格纸估计不规则图形的面积（参见例34）。
6．通过实例了解体积（包括容积） 的意义及度量单位（米3、分米3、厘米3、升、毫升），
能进行单位之间的换算，感受1米3、1厘米 3以及1升、1毫升的实际意义。
7．结合具体情境，探索并掌握长方体、正方体、圆柱的体积和表面 积以及圆锥体积的计算
方法，并能解决简单的实际问题。
8．体验某些实物（如土豆等）体积的测量方法（参见例35）。

（三）图形的运动
1．通过观察、操作等活动，进一步认识轴对称图形及其对称轴，能在方格 纸上画出轴对称
图形的对称轴；能在方格纸上补全一个简单的轴对称图形。
2．通过观察、操 作等，在方格纸上认识图形的平移与旋转，能在方格纸上按水平或垂直方
向将简单图形平移，会在方格纸 上将简单图形旋转90°（参见例36）。
3．能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小。 < br>4．能从平移、旋转和轴对称的角度欣赏生活中的图案，并运用它们在方格纸上设计简单的
图案。

（四）图形与位置
1．了解比例尺；在具体情境中，会按给定的比例进行图上距离与实际距离的换算。
2．能根据物体相对于参照点的方向和距离确定其位置。
3．会描述简单的路线图（参见例37）。
4．在具体情境中，能在方格纸上用数对（限于正 整数）表示位置，知道数对与方格纸上点
的对应（参见例38）。

三、统计与概率
（一）简单数据统计过程
1．经历简单的收集、整理、描述和分析数据的过程（可使用计算器）。
2．会根据实际问题设计简单的调查表，能选择适当的方法（如调查、试验、测量）收集数
据。
3．认识条形统计图、扇形统计图、折线统计图；能用条形统计图、折线统计图直观、有效
地表 示数据（参见例39）。
4．体会平均数的作用，能计算平均数，能用自己的语言解释其实际意义（参见例39）。
5 ．能从报纸杂志、电视等媒体中，有意识地获得一些数据信息，并能读懂简单的统计图表
（参见例40） 。
6．能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测，并能进行交流（参见例39和例41）。

（二）随机现象发生的可能性
1．结合具体情境，了解简单的随机现象；能列出 简单的随机现象中所有可能发生的结果（参
见例42）。
2．通过试验、游戏等活动，感受随 机现象结果发生的可能性是有大小的，能对一些简单的
随机现象发生的可能性大小作出定性描述，并能进 行交流（参见例42）。

四、综合与实践
1. 经历有目的、有设计、有步骤、有合作的实践活动。
2．结合实际情境，体验发现和提出问题、分析和解决问题的过程。
3．在给定目标下，感受针对具体问题提出设计思路、制定简单的方案解决问题的过程。
4. 通过应用和反思，进一步理解所用的知识和方法，了解所学知识之间的联系，获得数学
活动经验。
（参见例43，例44，例45，例46）



第四部分 实施建议

一、教学建议
教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。
数学教学应根据具体的教学内容，注 意使学生在获得间接经验的同时也能够有机会获得直接
经验，即从学生实际出发，创设有助于学生自主学 习的问题情境，引导学生通过实践、思考、
探索、交流等，获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、 基本活动经验，促使学生主动
地、富有个性地学习,不断提高发现问题和提出问题的能力、分析问题和解 决问题的能力。
在数学教学活动中，教师要把基本理念转化为自己的教学行为,
处理好教 师讲授与学生自主学习的关系，注重启发学生积极思考；发扬教学民主，当好学生
数学活动的组织者、引 导者、合作者；激发学生的学习潜能，鼓励学生大胆创新与实践；创
造性地使用教材，积极开发、利用各 种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材；关注学
生的个体差异，有效地实施有差异的教学，使每个 学生都得到充分的发展；合理地运用现代
信息技术，有条件的地区，要尽可能合理、有效地使用计算机和 有关软件，提高教学效益。
1. 数学教学活动要注重课程目标的整体实现
为使每 个学生都受到良好的数学教育，数学教学不仅要使学生获得数学的知识技能，而且要
把知识技能、数学思 考、问题解决、情感态度四个方面目标有机结合，整体实现课程目标。
课程目标的整体实现需要日积月 累。在日常的教学活动中，教师应努力挖掘教学内容中可能
蕴涵的、与上述四个方面目标有关的教育价值 ，通过长期的教学过程，逐渐实现课程的整体
目标。因此，无论是设计、实施课堂教学方案，还是组织各 类教学活动，不仅要重视学生获
得知识技能，而且要激发学生的学习兴趣，通过独立思考或者合作交流感 悟数学的基本思想，
引导学生在参与数学活动的过程中积累基本经验，帮助学生形成认真勤奋、独立思考 、合作
交流、反思质疑等良好的学习习惯。
例如，关于“零指数”教学方案的设计可作如下考 虑：教学目标不仅要包括了解零指数幂的
“规定”、会进行简单计算，还要包括感受这个“规定”的合理 性，并在这个过程中学会数
学思考、感悟理性精神（参见例81）。

2. 重视学生在学习活动中的主体地位
有效的数学教学活动是教师教与学生学的统一，应体现“以人为本 ”的理念，促进学生的全
面发展。
（1）学生是数学学习的主体，在积极参与学习活动的过程中不断得到发展。
学生获得知识， 必须建立在自己思考的基础上，可以通过接受学习的方式，也可以通过自主
探索等方式；学生应用知识并 逐步形成技能，离不开自己的实践；学生在获得知识技能的过
程中，只有亲身参与教师精心设计的教学活 动，才能在数学思考、问题解决和情感态度方面
得到发展（参见例82）。
（2）教师应成为 学生学习活动的组织者、引导者、合作者，为学生的发展提供良好的环境
和条件。
教师的“组 织”作用主要体现在两个方面：第一，教师应当准确把握教学内容的数学实质和
学生的实际情况，确定合 理的教学目标，设计一个好的教学方案；第二，在教学活动中，教
师要选择适当的教学方式，因势利导、 适时调控、努力营造师生互动、生生互动、生动活泼
的课堂氛围，形成有效的学习活动。
教师 的“引导”作用主要体现在：通过恰当的问题，或者准确、清晰、富有启发性的讲授，
引导学生积极思考 、求知求真，激发学生的好奇心；通过恰当的归纳和示范，使学生理解知
识、掌握技能、积累经验、感悟 思想；能关注学生的差异，用不同层次的问题或教学手段，
引导每一个学生都能积极参与学习活动，提高 教学活动的针对性和有效性。
教师与学生的“合作”主要体现在：教师以平等、尊重的态度鼓励学生积 极参与教学活动，
启发学生共同探索，与学生一起感受成功和挫折、分享发现和成果。
（3）处理好学生主体地位和教师主导作用的关系。
好的教学活动，应是学生主体地位和教师 主导作用的和谐统一。一方面，学生主体地位的真
正落实，依赖于教师主导作用的有效发挥；另一方面， 有效发挥教师主导作用的标志，是学
生能够真正成为学习的主体，得到全面的发展（参见例32，例52 ）。
实行启发式教学有助于落实学生的主体地位和发挥教师的主导作用。教师富有启发性的讲
授；创设情境、设计问题，引导学生自主探索、合作交流；组织学生操作实验、观察现象、
提出猜想、推 理论证等，都能有效地启发学生的思考，使学生成为学习的主体，逐步学会学
习。

3. 注重学生对基础知识、基本技能的理解和掌握
“知识技能”既是学生发展的基础性目标 ，又是落实“数学思考”“问题解决”“情感态度”
目标的载体。
（1）数学知识的教学，应注重学生对所学知识的理解，体会数学知识之间的关联。
学生掌握 数学知识，不能依赖死记硬背，而应以理解为基础，并在知识的应用中不断巩固和
深化。为了帮助学生真 正理解数学知识，教师应注重数学知识与学生生活经验的联系、与学
生学科知识的联系，组织学生开展实 验、操作、尝试等活动，引导学生进行观察、分析，抽
象概括，运用知识进行判断。教师还应揭示知识的 数学实质及其体现的数学思想，帮助学生
理清相关知识之间的区别和联系等。
数学知识的教学 ，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知
识的体系中，注重知识的结构 和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数
学的整体性，体会对于某些数学知识可以从 不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解。
（2）在基本技能的教学中，不仅要使学生掌握技能操 作的程序和步骤，还要使学生理解程
序和步骤的道理。例如，对于整数乘法计算，学生不仅要掌握如何进 行计算，而且要知道相
应的算理；对于尺规作图，学生不仅要知道作图的步骤，而且要能知道实施这些步 骤的理由。
基本技能的形成，需要一定量的训练，但要适度，不能依赖机械的重复操作，要注重训练的
实效性。教师应把握技能形成的阶段性，根据内容的要求和学生的实际，分层次地落实。

4. 感悟数学思想，积累数学活动经验
数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中 ，是数学知识和方法在更高层次上的抽
象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。学生在积极参与 教学活动的过程中，通过
独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。
例如，分类是一种重要的 数学思想。学习数学的过程中经常会遇到分类问题，如数的分类，
图形的分类，代数式的分类，函数的分 类等。在研究数学问题中，常常需要通过分类讨论解
决问题，分类的过程就是对事物共性的抽象过程。教 学活动中，要使学生逐步体会为什么要
分类，如何分类，如何确定分类的标准，在分类的过程中如何认识 对象的性质，如何区别不
同对象的不同性质。通过多次反复的思考和长时间的积累，使学生逐步感悟分类 是一种重要
的思想。学会分类，可以有助于学习新的数学知识，有助于分析和解决新的数学问题。 数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。帮助学生积累数学活动经验是数学教
学的重要 目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果。数学活动经验需要在“做”
的过程和“思考”的 过程中积淀，是在数学学习活动过程中逐步积累的。
教学中注重结合具体的学习内容，设计有效的数学 探究活动，使学生经历数学的发生发展过
程，是学生积累数学活动经验的重要途径。例如，在统计教学中 ，设计有效的统计活动，使
学生经历完整的统计过程，包括收集数据、整理数据、展示数据、从数据中提 取信息，并利
用这些信息说明问题。学生在这样的过程中，不断积累统计活动经验，加深理解统计思想与
方法。
“综合与实践”是积累数学活动经验的重要载体。在经历具体的“综合与实践”问题的 过程
中，引导学生体验如何发现问题，如何选择适合自己完成的问题，如何把实际问题变成数学
问题，如何设计解决问题的方案，如何选择合作的伙伴，如何有效地呈现实践的成果，让别
人体会自己成 果的价值。通过这样的教学活动，学生会逐步积累运用数学解决问题的经验。

5. 关注学生情感态度的发展
根据课程目标，广大教师要把落实情感态度的目标作为己任，努力 把情感态度目标有机地融
合在数学教学过程之中。设计教学方案、进行课堂教学活动时，应当经常考虑如 下问题：
如何引导学生积极参与教学过程？
如何组织学生探索，鼓励学生创新？
如何引导学生感受数学的价值？
如何使他们愿意学，喜欢学，对数学感兴趣？
如何让学生体验成功的喜悦，从而增强自信心？
如何引导学生善于与同伴合作交流，既能理解、尊重他人的意见，又能独立思考、大胆质疑？
如何让学生做自己能做的事，并对自己做的事情负责？
如何帮助学生锻炼克服困难的意志？
如何培养学生良好的学习习惯？
在教育教学活动中，教师要尊重学生，以强烈的责任心，严谨 的治学态度，健全的人格感染
和影响学生；要不断提高自身的数学素养，善于挖掘教学内容的教育价值； 要在教学实践中
善于用本标准的理念分析各种现象，恰当地进行养成教育。

6. 合理把握“综合与实践”的实施
“综合与实践”的实施是以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活 动。它有别于学习具
体知识的探索活动，更有别于课堂上教师的直接讲授。它是教师通过问题引领、学生 全程参
与、实践过程相对完整的学习活动。
积累数学活动经验、培养学生应用意识和创新意识 是数学课程的重要目标，应贯穿整个数学
课程之中。“综合与实践”是实现这些目标的重要和有效的载体 。“综合与实践”的教学，重
在实践、重在综合。重在实践是指在活动中，注重学生自主参与、全过程参 与，重视学生积
极动脑、动手、动口。重在综合是指在活动中，注重数学与生活实际、数学与其他学科、 数
学内部知识的联系和综合应用。
教师在教学设计和实施时应特别关注的几个环节是：问题的 选择，问题的展开过程，学生参
与的方式，学生的合作交流，活动过程和结果的展示与评价等。
要使学生能充分、自主地参与“综合与实践”活动，选择恰当的问题是关键。这些问题既可
来自教材， 也可以由教师、学生开发。提倡教师研制、开发、生成出更多适合本地学生特点
的、有利于实现“综合与 实践”课程目标的好问题。
实施“综合与实践”时，教师要放手让学生参与，启发和引导学生进入角色 ，组织好学生之
间的合作交流，并照顾到所有的学生。教师不仅要关注结果，更要关注过程，不要急于求 成，
要鼓励引导学生充分利用“综合与实践”的过程，积累活动经验、展现思考过程、交流收获
体会、激发创造潜能。
在实施过程中，教师要注意观察、积累、分析、反思，使“综合与实践”的实施 成为提高教
师自身和学生素质的互动过程。
教师应该根据不同学段学生的年龄特征和认知水平 ，根据学段目标，合理设计并组织实施“综
合与实践”活动。

7. 教学中应当注意的几个关系
（1）“预设”与“生成”的关系
教学方案是教师对教 学过程的“预设”，教学方案的形成依赖于教师对教材的理解、钻研和
再创造。理解和钻研教材，应以本 标准为依据，把握好教材的编写意图和教学内容的教育价
值；对教材的再创造，集中表现在：能根据所教 班级学生的实际情况，选择贴切的教学素材
和教学流程，准确地体现基本理念和内容标准规定的要求。
实施教学方案，是把“预设”转化为实际的教学活动。在这个过程中，师生双方的互动往往
会“ 生成”一些新的教学资源，这就需要教师能够及时把握，因势利导，适时调整预案，使
教学活动收到更好 的效果。
（2）面向全体学生与关注学生个体差异的关系
教学活动应努力使全体学生达到课 程目标的基本要求，同时要关注学生的个体差异，促进每
个学生在原有基础上的发展。
对于学 习有困难的学生，教师要给予及时的关注与帮助，鼓励他们主动参与数学学习活动，
并尝试用自己的方式 解决问题、发表自己的看法，要及时地肯定他们的点滴进步，耐心地引
导他们分析产生困难或错误的原因 ，并鼓励他们自己去改正，从而增强学习数学的兴趣和信
心。对于学有余力并对数学有兴趣的学生，教师 要为他们提供足够的材料和思维空间，指导
他们阅读，发展他们的数学才能。
在教学活动中， 要鼓励与提倡解决问题策略的多样化，恰当评价学生在解决问题过程中所表
现出的不同水平；问题情境的 设计、教学过程的展开、练习的安排等要尽可能地让所有学生
都能主动参与，提出各自解决问题的策略， 并引导学生通过与他人的交流选择合适的策略，
丰富数学活动的经验，提高思维水平。
（3）合情推理与演绎推理的关系
推理贯穿于数学教学的始终，推理能力的形成和提高需要一 个长期的、循序渐进的过程。义
务教育阶段要注重学生思考的条理性，不要过分强调推理的形式。 推理包括合情推理和演绎推理。教师在教学过程中，应该设计适当的学习活动，引导学生通
过观察、 尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推
理能力；通过实例使学 生逐步意识到，结论的正确性需要演绎推理的确认，可以根据学生的
年龄特征提出不同程度的要求。

在第三学段中，应把证明作为探索活动的自然延续和必要发展，使学生知道合情推理与演绎
推理是相辅相成的两种推理形式。“证明”的教学应关注学生对证明必要性的感受，对证明
基本 方法的掌握和证明过程的体验。证明命题时，应要求证明过程及其表述符合逻辑，清晰
而有条理（参见例 63）。此外，还可以恰当地引导学生探索证明同一命题的不同思路和方法，
进行比较和讨论，激发学生 对数学证明的兴趣，发展学生思维的广阔性和灵活性。
（4）使用现代信息技术与教学手段多样化的关系
积极开发和有效利用各种课程资源，合理地 应用现代信息技术，注重信息技术与课程内容的
整合，能有效地改变教学方式，提高课堂教学的效益。有 条件的地区，教学中要尽可能地使
用计算器、计算机以及有关软件；暂时没有这种条件的地区，一方面要 积极创造条件改善教
学设施，另一方面广大教师应努力自制教具以弥补教学设施的不足。
在学 生理解并能正确应用公式、法则进行计算的基础上，鼓励学生用计算器完成较为繁杂的
计算。课堂教学、 课外作业、实践活动中，应当根据内容标准的要求，允许学生使用计算器，
还应当鼓励学生用计算器进行 探索规律等活动（参见例28，例51）。
现代信息技术的作用不能完全替代原有的教学手段，其真正 价值在于实现原有的教学手段难
以达到甚至达不到的效果。例如，利用计算机展示函数图像、几何图形的 运动变化过程；从
数据库中获得数据，绘制合适的统计图表；利用计算机的随机模拟结果，引导学生更好 地理
解随机事件以及随机事件发生的概率；等等。在应用现代信息技术的同时，教师还应注重课
堂教学的板书设计。必要的板书有利于实现学生的思维与教学过程同步，有助于学生更好地
把握教学内容 的脉络。

二、评价建议
评价的主要目的是全面了解学生数学学习的过程和结果 ，激励学生学习和改进教师教学。评
价应以课程目标和内容标准为依据，体现数学课程的基本理念，全面 评价学生在知识技能、
数学思考、问题解决和情感态度等方面的表现。
评价不仅要关注学生的 学习结果，更要关注学生在学习过程中的发展和变化。应采用多样化
的评价方式，恰当呈现并合理利用评 价结果，发挥评价的激励作用，保护学生的自尊心和自
信心。通过评价得到的信息，可以了解学生数学学 习达到的水平和存在的问题，帮助教师进
行总结与反思，调整和改进教学内容和教学过程。

1. 基础知识和基本技能的评价
对基础知识和基本技能的评价，应以各学段的具体目标和要 求为标准，考查学生对基础知识
和基本技能的理解和掌握程度，以及在学习基础知识与基本技能过程中的 表现。在对学生学
习基础知识和基本技能的结果进行评价时，应该准确地把握“了解、理解、掌握、应用 ”不
同层次的要求。在对学生学习过程进行评价时，应依据“经历、体验、探索”不同层次的要
求，采取灵活多样的方法，定性与定量相结合、以定性评价为主。
每一学段的目标是该学段结束时学生 应达到的要求，教师需要根据学习的进度和学生的实际
情况确定具体的要求。例如，下表是对第一学段有 关计算技能的基本要求，这些要求是在学
段结束时应达到的，评价时应注意把握尺度，对计算速度不作过 高要求。

表1 第一学段计算技能评价要求
学习内容速度要求
20以内加减法和表内乘除法口算8~10题分
百以内加减法口算3~4题分
三位数以内的加减法笔算2~3题分
两位数乘两位数笔算1~2题分
一位数除两位或三位数的除法笔算1~2题分


教师应允许学生经过较长时间的努力，随着数学知识与技能的积累逐步达到学段目标。在实
施评价时，可以对部分学生采取“延迟评价”[5]的方式，提供再次评价的机会，使他们看
到 自己的进步，树立学好数学的信心。


2. 数学思考和问题解决的评价
数学思考和问题解决的评价要依据总目标和学段目标的要求，体现在整个数学学习过程中。
对 数学思考和问题解决的评价应当采用多种形式和方法，特别要重视在平时教学和具体的问
题情境中进行评 价。例如，在第二学段，教师可以设计下面的活动，评价学生数学思考和问
题解决的能力：
用长为50厘米的细绳围成一个边长为整厘米数的长方形，怎样才能使面积达到最大？
在对学生进行评价时，教师可以关注以下几个不同的层次：
第一，学生是否能理解题目的意思，能否提出解决问题的策略，如通过画图进行尝试；
第二，学生能否列举若干满足条件的长方形，通过列表等形式将其进行有序排列；
第三，在观 察、比较的基础上，学生能否发现长和宽变化时，面积的变化规律，并猜测问题
的结果；
第四，对猜测的结果给予验证；
第五，鼓励学生发现和提出一般性问题，如，猜想当长和宽的 变化不限于整厘米数时，面积
何时最大。
为此，教师可以根据实际情况，设计有层次的问题评 价学生的不同水平。例如，设计下面的
问题：
（1）找出三个满足条件的长方形，记录下长方 形的长、宽和面积，并依据长或宽的长短有
序地排列出来。
（2）观察排列的结果，探索长方 形的长和宽发生变化时，面积相应的变化规律。猜测当长
和宽各为多少厘米时，长方形的面积最大。
（3）列举满足条件的长和宽的所有可能结果，验证猜测。
（4）猜想：如果不限制长方形的长和宽为整厘米数，怎样才能使它的面积最大？
教师可以预 设目标：对于第二学段的学生，能够完成第（1）（2）题就达到基本要求，对于
能完成第（3）（4） 题的学生，则给予进一步的肯定。
学生解决问题的策略可能与教师的预设有所不同，教师应给予恰当的评价。

3. 情感态度的评价
情感态度的评价应依据课程目标的要求，采用适当的方法进行。主要方式有课堂观察、 活动
记录、课后访谈等。
情感态度评价主要在平时教学过程中进行，注重考查和记录学生在不 同阶段情感态度的状况
和发生的变化。
例如，可以设计下面的评价表，记录、整理和分析学生 参与数学活动的情况。这样的评价表
每个学期至少记录1次，教师可以根据实际需要自行设计或调整评价 的具体内容。
表2 参与数学活动情况的评价表
学生姓名： 时间： 活动内容：
评价内容主要表现
参与活动
思考问题
与他人合作
表达与交流


教师可以根据实际情况设计类似的评价表，也可以根据需要设计学生情感态度的综合评价
表。

4. 注重对学生数学学习过程的评价
学生在数学学习过程中，知识技能、数学 思考、问题解决和情感态度等方面的表现不是孤立
的，这些方面的发展综合体现在数学学习过程之中。在 评价学生每一个方面表现的同时，要
注重对学生学习过程的整体评价，分析学生在不同阶段的发展变化。 评价时应注意记录、保
留和分析学生在不同时期的学习表现和学业成就。
例如，可以设计下面 的课堂观察表用于记录学生在课堂中的表现，积累起来，以便综合了解
学生的学习表现以及变化情况。观 察表中的项目可以根据实际需要自行调整，随时记录学生
在课堂教学中的表现。教师可以有计划地每天记 录几位同学的表现，保证每学期每位同学有
3~5次的记录；也可以根据实际情况记录某些同学的特殊表 现，如提出或回答问题具有独特
性的同学、在某方面表现突出的同学、或在某方面需要改进的同学。经过 一段时间的积累，
对于学生平时数学学习的表现，就会有一个较为清晰具体的了解。

表3 课堂观察表
上课时间： 科目： 内容：
学生
项目王
涛李
明陈
虎
课堂参与
提出或回答问题
合作与交流
课堂练习
知识技能的掌握
独立思考
其他


说明：记录时，可以用3表示优，2表示良，1表示一般，等等。

5. 体现评价主体的多元化和评价方式的多样化
评价主体的多元化是指教师、家长、同学及学生本人都可以 作为评价者，可以综合运用教师
评价、学生自我评价、学生相互评价、家长评价等方式，对学生的学习情 况和教师的教学情
况进行全面的考查。例如，每一个学习单元结束时，教师可以要求学生自我设计一个“ 学习
小结”，用合适的形式（表、图、卡片、电子文本等）归纳学到的知识和方法，学习中的收
获，遇到的问题，等等。教师可以通过学习小结对学生的学习情况进行评价，也可以组织学
生将自己的学 习小结在班级展示交流，通过这种形式总结自己的进步，反思自己的不足以及
需要改进的地方，汲取他人 值得借鉴的经验。条件允许时，可以请家长参与评价。
评价方式多样化体现在多种评价方法的运用，包 括书面测验、口头测验、开放式问题、活动
报告、课堂观察、课后访谈、课内外作业、成长记录等等（参 见例83）。在条件允许的地方，
也可以采用网上交流的方式进行评价。每种评价方式都具有各自的特点 ，教师应结合学习内
容及学生学习的特点，选择适当的评价方式。例如，可以通过课堂观察了解学生学习 的过程
与学习态度，从作业中了解学生基础知识与基本技能掌握的情况，从探究活动中了解学生独
立思考的习惯和合作交流的意识，从成长记录中了解学生的发展变化。

6. 恰当地呈现和利用评价结果
评价结果的呈现应采用定性与定量相结合的方式。第一学段的评价应当以描 述性评价为主，
第二学段采用描述性评价和等级评价相结合的方式，第三学段可以采用描述性评价和等级
（或百分制）评价相结合的方式。
评价结果的呈现和利用应有利于增强学生学习数学的自信心 ，提高学生学习数学的兴趣，使
学生养成良好的学习习惯，促进学生的发展。评价结果的呈现，应该更多 地关注学生的进步，
关注学生已经掌握了什么，获得了哪些提高，具备了什么能力，还有什么潜能，在哪 些方面
还存在不足，等等。
例如，下面是对某同学第二学段关于“统计与概率”学习的书面评语：
王小明同学，本学期我 们学习了收集、整理和表达数据。你通过自己的努力，能收集、记录
数据，知道如何求平均数，了解统计 图的特点，制作的统计图很出色，在这方面表现突出。
但你在使用语言解释统计结果方面还存在一定差距 。继续努力，小明！评定等级：B。
这个以定性为主的评语，实际上也是教师与学生的一次情感交流。 学生阅读这一评语，能够
获得成功的体验，树立学好数学的自信心，也知道自己的不足和努力方向。 < br>教师要注意分析全班学生评价结果随时间的变化，从而了解自己教学的成绩和问题，分析、
反思教 学过程中影响学生能力发展和素质提高的原因，寻求改善教学的对策。同时，以适当
的方式，将学生一些 积极的变化及时反馈给学生。

7. 合理设计与实施书面测验
书面测验是考查 学生课程目标达成状况的重要方式，合理地设计和实施书面测验有助于全面
考查学生的数学学业成就，及 时反馈教学成效，不断提高教学质量。
（1）对于学生基础知识和基本技能达成情况的评价，必须准确 把握内容标准中的要求。例
如，对于一元二次方程根与系数关系的考查，内容标准中的要求是“了解”， 并不要求应用
这个关系解决其他问题，设计测试题目时应符合这个要求。
内容标准中的选学内容，不得列入考查（考试）范围。
对基础知识和基本技能的考查，要注重 考查学生对其中所蕴涵的数学本质的理解，考查学生
能否在具体情境中合理应用。因此，在设计试题时， 应淡化特殊的解题技巧，不出偏题怪题。

（2）在设计试题时，应该关注并且体现本标准 的设计思路中提出的几个核心词：数感、符
号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推 理能力、模型思想，以及应用
意识和创新意识。
（3）根据评价的目的合理地设计试题的类型 ，有效地发挥各种类型题目的功能。例如，为
考查学生从具体情境中获取信息的能力，可以设计阅读分析 的问题；为考查学生的探究能力，
可以设计探索规律的问题；为考查学生解决问题的能力，可以设计具有 实际背景的问题；为
了考查学生的创造能力，可以设计开放性问题。
（4）在书面测验中，积极探索可以考察学生学习过程的试题，了解学生的学习过程。

三、教材编写建议
数学教材为学生的数学学习活动提供了学习主题、基本线索和知识结构，是 实现数学课程目
标、实施数学教学的重要资源。
数学教材的编写应以本标准为依据。教材所选 择的学习素材应尽量与学生的生活现实、数学
现实、其他学科现实相联系，应有利于加深学生对所要学习 内容的数学理解。教材内容的呈
现要体现数学知识的整体性，体现重要的数学知识和方法的产生、发展和 应用过程；应引导
学生进行自主探索与合作交流，并关注对学生人文精神的培养；教材的编写要有利于调 动教
师的主动性和积极性，有利于教师进行创造性教学。
内容标准是按照学段制订的，并未规 定学习内容的呈现顺序。因此，教材可以在不违背数学
知识逻辑关系的基础上，根据学生的数学学习认知 规律、知识背景和活动经验，合理地安排
学习内容，形成自己的编排体系，体现出自己的风格和特色。


1. 教材编写应体现科学性
科学性是对教材编写的基本要求。教材 一方面要符合数学的学科特征，另一方面要符合学生
的认知规律。
（1）全面体现本标准提出的理念和目标
教材的编写应以本标准为依据，在准确理解的基础上 ，全面体现和落实本标准提出的基本理
念和各项目标。
（2）体现课程内容的数学实质 教材中学习素材的选择，图片、情境、实例与活动栏目等的设置，拓展内容的编写，以及其
他课程资 源的利用，都应当与所安排的数学内容有实质性联系，有利于提高学生对数学实质
的理解，有利于提高学 生对所学内容的兴趣。

（3）准确把握内容标准要求
本标准对于义务教育 阶段的数学教学内容有明确和具体的目标要求，教材的编写应遵循学生
的认知规律，准确地把握“过程目 标”和“结果目标”要求的程度。例如，关于距离的概念，
在第二学段要求“知道”两点间的距离，在第 三学段要求“理解”两点间距离的意义，“能”
度量两点间的距离。在编写相关内容时，一方面要把握好 “知道”与“理解”“能”之间程
度的差异，另一方面也要注意内容之间的衔接。
（4）教材的编写要有一定的实验依据
教材的内容、实例的设计、习题的配置等，要经过课堂 教学的实践检验，特别是新增的内容
要经过较大范围的实验，根据实践的结果推敲可行性，并不断改进与 完善。

2. 教材编写应体现整体性
教材编写应当体现整体性，注重突出核心 内容，注重内容之间的相互联系，注重体现学生学
习的整体性。
（1）整体体现课程内容的核心
教材的整体设计要体现内容领域的核心。本标准在设计思路中 提出了几个核心词：数感、符
号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型 思想，以及应用
意识和创新意识，它们是义务教育阶段数学课程内容的核心，也是教材的主线。因此，教 材
应当围绕这些核心内容进行整体设计和编排。
例如，在方程、不等式和函数的各部分内容编 排中，应整体考虑模型思想的体现，突出建立
模型、求解模型的过程。
再例如，推理能力包括 合情推理和演绎推理，无论是“数与代数”“图形与几何”还是“统
计与概率”的内容编排中，都要尽可 能地为学生提供观察、操作、归纳、类比、猜测、证明
的机会，发展学生的推理能力。

（2）整体考虑知识之间的关联
教材的整体设计要呈现不同数学知识之间的关联。一些数学知 识之间存在逻辑顺序，教材编
写应有利于学生感悟这种顺序。一些知识之间存在着实质性的联系，这种联 系体现在相同的
内容领域，也体现在不同的内容领域。例如，在“数与代数”的领域内，函数、方程、不 等
式之间均存在着实质性联系；此外，代数与几何、统计之间也存在着一定的实质性联系。

帮助学生理解类似的实质性联系，是数学教学的重要任务。为此，教材在内容的素材选取、
问题 设计和编排体系等方面应体现这些实质性联系，展示数学知识的整体性和数学方法的一
般性。
（3）重要的数学概念与数学思想要体现螺旋上升的原则
数学中有一些重要内容、方法、思想 是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的，
如，分数、函数、概率、数形结合、逻辑推理、模 型思想等。因此，教材在呈现相应的数学
内容与思想方法时，应根据学生的年龄特征与知识积累，在遵循 科学性的前提下，采用逐级
递进、螺旋上升的原则。螺旋上升是指在深度、广度等方面都要有实质性的变 化，即体现出
明显的阶段性要求。
例如，函数是“数与代数”的重要内容，也是义务教育阶段 学生比较难理解和掌握的数学概
念之一，本标准在三个学段中均安排了与函数关联的内容目标，希望学生 能够逐渐加深对函
数的理解。因此，教材对函数内容的编排应体现螺旋上升的原则，分阶段逐渐深化。依 据内
容标准的要求，教材可以将函数内容的学习分为三个主要阶段：
第一阶段，通过一些具体 实例，让学生感受数量的变化过程、以及变化过程中变量之间的对
应关系，探索其中的变化规律及基本性 质，尝试根据变量的对应关系作出预测，获得函数的
感性认识。
第二阶段，在感性认识的基础 上，归纳概括出函数的定义，并研究具体的函数及其性质，了
解研究函数的基本方法，借助函数的知识和 方法解决问题等，使得学生能够在操作层面认识
和理解函数。
第三阶段，了解函数与其他相关 数学内容之间的联系（例如，与方程之间、不等式之间的联
系），使得学生能够一般性地了解函数的概念 。
（4）整体性体现还应注意以下几点
配置习题时应考虑其与相应内容之间的协调性。一方 面，要保证配备必要的习题帮助学生巩
固、理解所学知识内容；另一方面，又要避免配置的习题所涉及的 知识超出相应的内容要求。
教材内容的呈现既要考虑不同年龄学生的特点，又要使整套教材的编写体例、风格协调一致。
数学文化作为教材的组成部分，应渗透在整套教材中。为此，教材可以适时地介绍有关背景
知识，包括数 学在自然与社会中的应用、以及数学发展史的有关材料，帮助学生了解在人类
文明发展中数学的作用，激 发学习数学的兴趣，感受数学家治学的严谨，欣赏数学的优美。
例如，可以介绍《九章算术》、珠算、《 几何原本》、机器证明、黄金分割、CT技术、布丰投
针等。

3. 教材内容的呈现应体现过程性
教材编写不是单纯的知识介绍，学生学习也不是单纯地模仿、练习和记 忆。因此，教材应选
用合适的学习素材，介绍知识的背景；设计必要的数学活动，让学生通过观察、实验 、猜测、
推理、交流、反思等，感悟知识的形成和应用。恰当地让学生经历这样的过程，对于他们理解数学知识与方法、形成良好的数学思维习惯和应用意识，提高解决问题的能力有着重要的
作用。
（1）体现数学知识的形成过程
在设计一些新知识的学习活动时，教材可以展现“知识背景— 知识形成—揭示联系”的过程。
这个过程要有利于激发学习兴趣，理解数学实质，发展思考能力，了解知 识之间的关联。例
如，分数、负数和无理数的引入都可以体现这样的过程。

（2）反映数学知识的应用过程
教材应当根据课程内容，设计运用数学知识解决问题的活动。 这样的活动应体现“问题情境
─建立模型─求解验证”的过程，这个过程要有利于理解和掌握相关的知识 技能，感悟数学
思想、积累活动经验；要有利于提高发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，增 强
应用意识和创新意识。

每一册教材至少应当设计一个适用于“综合与实践”学 习活动的题材，这样的题材可以以“长
作业”的形式出现，将课堂内的数学活动延伸到课堂外，经历收集 数据、查阅资料、独立思
考、合作交流、实践检验、推理论证等多种形式的活动。提倡在教材中设计更为 丰富的“综
合与实践”活动题材，供教师选择。




4. 呈现内容的素材应贴近学生现实
素材的选用应当充分考虑学生的认知水平和活动经验。 这些素材应当在反映数学本质的前提
下尽可能地贴近学生的现实，以利于他们经历从现实情境中抽象出数 学知识与方法的过程。
学生的现实主要包含以下三个方面：

（1）生活现实
在义务教育阶段的数学课程中，许多内容都可以在学生的生活实际中找到背景。
第一学段，学 生所感知的生活面较窄，从他们身边熟悉的、有趣的事物中选取学习素材，容
易激发他们学习数学的兴趣 ，使他们感受到数学就在自己的身边，也易于他们理解相关的数
学知识，体会到数学的作用。
第二学段、第三学段，学生的活动空间有了较大的扩展，他们感兴趣的问题已拓展到客观世
界的许多方面 ，他们逐渐关注来源于自然、社会中更为广泛的现象和问题，对具有一定挑战
性的内容表现出更大的兴趣 。因此，教材所选择的素材应尽量来源于自然、社会中的现象和
问题。如与现实生活有关的图片和图形（ 照片、简单的模型图、平面图、地图等），以使学
生感受到数学的价值和趣味。
（2）数学现实
随着数学学习的深入，学生所积累的数学知识和方法就成为学生的“数学现实 ”，这些现实
应当成为学生进一步学习数学的素材。选用这些素材，不仅有利于学生理解所学知识的内涵 ，
还能够更好地揭示相关数学知识之间的内在关联，有利于学生从整体上理解数学，构建数学
认 知结构。例如，因式分解知识的引入可以借助整数的分解，平行四边形概念的引入可以借
助三角形，等等 。
（3）其他学科现实
数学的许多内容与其他学科知识有着密切的联系，随着学生学习的深 入，其他学科的知识也
就成为学生的“现实”，教材在选择数学学习素材时应当予以关注。

5. 教材内容设计要有一定的弹性
按照本标准要求，教材的编写要面向全体学生，也要考虑 到学生发展的差异，在保证基本要
求的前提下，体现一定的弹性，以满足学生的不同需求，使不同的人在 数学上得到不同的发
展，也便于教师发挥自己的教学创造性。例如：
（1）就同一问题情境提出不同层次的问题或开放性问题。
（2）提供一定的阅读材料，包括史料、背景材料、知识应用等，供学生选择阅读。
（3）习 题的选择和编排突出层次性，设置巩固性问题、拓展性问题、探索性问题等；凡不
要求全体学生掌握的习 题，需要明确标出。
（4）在设计综合与实践活动时，所选择的课题要使所有的学生都能参与，不同的 学生可以
通过解决问题的活动，获得不同的体验。
（5）编入一些拓宽知识或者方法的选学内 容，增加的内容应注重于介绍重要的数学概念、
数学思想方法，而不应该片面追求内容的深度、问题的难 度、解题的技巧。
（6）设计一些课题和阅读材料，引导学生借助算盘、函数计算器、计算机等工具， 进行探
索性学习活动。

6. 教材编写要体现可读性
教材应具备可 读性，易于学生接受，激发学生学习兴趣，为学生提供思考的空间。教材可读
与否，对不同学段的学生具 有不同的标准。因此，教材的呈现应当在准确表达数学含义的前
提下，符合学生年龄特征，从而有助于他 们理解数学。

对于第一学段的学生，可以采用图片、游戏、卡通、表格、文字等多种方 式，直观形象、图
文并茂、生动有趣地呈现素材，提高他们的学习兴趣。
对于第二学段的学生 ，由于他们具备了一定的文字理解和表达能力，所以教材的呈现应在运
用学生感兴趣的图片、表格、文字 等形式的同时，逐渐增加数学语言的比重。
对于第三学段的学生，随着数学学习、语言学习的深入，他 们使用文字和数学符号的能力已
经有了一定程度的发展。教材的呈现可以将实物照片、图形、图表、文字 、数学符号等多种
形式结合起来。

四、课程资源开发与利用建议
数学 课程资源是指应用于教与学活动中的各种资源。主要包括文本资源——如教科书、教师
用书，教与学的辅 助用书、教学挂图等；信息技术资源——如网络、数学软件、多媒体光盘
等；社会教育资源——如教育与 学科专家，图书馆、少年宫、博物馆，报纸杂志、电视广播
等；环境与工具——如日常生活环境中的数学 信息，用于操作的学具或教具，数学实验室等；
生成性资源——如教学活动中提出的问题、学生的作品、 学生学习过程中出现的问题、课堂
实录等。
数学教学过程中恰当的使用数学课程资源，将在很 大程度上提高学生从事数学活动的水平和
教师从事教学活动的质量。教材编写者、教学研究人员、教师和 有关人员应依据本标准，有
意识、有目的地开发和利用各种课程资源。

1. 文本资源
关于教科书、教师用书的开发，参见“教材编写建议”。
学生学习辅助用书主要 是为了更好地激发学生学习数学的兴趣和动力，帮助学生理解所学内
容，巩固相关技能，开拓数学视野， 进而满足他们学习数学的个性化需求。这一类用书的开
发不能仅仅着眼于解题活动和技能训练，单纯服务 于应试。更重要的，还应当开发多品种、
多形式的数学普及类读物，使得学生在义务教育阶段能够有足够 的机会阅读数学、了解数学、
欣赏数学。
教师教学辅助用书主要是为了加深教师对于教学内容 的理解，加强教师对于学生学习过程的
认识，提高教师采用有效教学方法的能力。为此，在编制教学辅助 用书时，提倡以研讨数学
教学过程中的问题为主线，赋予充分的教学实例，注重数学教育理论与教学实践 的有机结合，
使之成为提高教师专业水准的有效读物。

2. 信息技术资源
信息技术能向学生提供并展示多种类型的资料，包括文字、声音、图像等，并能灵活选择与
呈现 ；可以创设、模拟多种与教学内容适应的情境；能为学生从事数学探究提供重要的工具；
可以使得相距千 里的个体展开面对面交流。信息技术是从根本上改变数学学习方式的重要途
径之一，必须充分加以应用。
信息技术资源的开发与利用需要关注三个方面：
其一，将信息技术作为教师从事数学教学实践 与研究的辅助性工具。为此，教师可以通过网
络查阅资料、下载富有参考价值的实例、课件，并加以改进 ，使之适用于自身课堂教学；可
以根据需要开发音像资料，构建生动活泼的教学情境；还可以设计与制作 有关的计算机软件、
教学课件，用于课堂教学活动研究等。
其二，将信息技术作为学生从事数 学学习活动的辅助性工具。为此，可以引导学生积极有效
地将计算器、计算机用于数学学习活动之中，如 ，在探究活动中借助计算器（机）处理复杂
数据和图形，发现其中存在的数学规律；使用有效的数学软件 绘制图形、呈现抽象对象的直
观背景，加深对相关数学内容的理解；通过互联网搜寻解决问题所需要的信 息资料，帮助自
己形成解决问题的基本策略和方法等。
其三，将计算器等技术作为评价学生数 学学习的辅助性工具。为此，应当积极开展基于计算
器环境的评价方式与评价工具研究，如：哪些试题或 评价任务适宜在计算器环境下使用，哪
些不适宜，等等。
总之，一切有条件和能够创造条件的 地区和学校，都应积极开发与利用计算机（器）、多媒
体、互联网等信息技术资源，组织教学研究人员、 专业技术人员和教师开发与利用适合自身
课堂教学的信息技术资源，以充分发挥其优势，为学生的学习和 发展提供丰富多彩的教育环
境和有力的学习工具和评价工具；为学生提供探索复杂问题、多角度理解数学 的机会、丰富
学生的数学视野、提高学生的数学素养；为有需要的学生提供个体学习的机会，以便于教师
为特殊需要的学生提供帮助；为教育条件欠发达地区的学生提供教学指导和智力资源，更有
效地 吸引和帮助学生进行数学学习。
值得注意的是，教学中应有效地使用信息技术资源，发挥其对学习数学 的积极作用，减少其
对学习数学的消极作用。例如，不应在数学教学过程中简单地将信息技术作为缩短思 维过程、
加大教学容量的工具；不提倡用计算机上的模拟实验来代替学生能够操作的实践活动；也不提倡利用计算机演示来代替学生的直观想象，弱化学生对数学规律的探索活动。同时，学校
之间要加 强交流，共享资源，避免相关教学资源的低水平重复，也可以积极引进国外先进的
教育软件，并根据本学 校学生的特点加以改进。


3. 社会教育资源
在数学教学活动 中，应当积极开发利用社会教育资源。例如，邀请有关专家向学生介绍数学
在自然界、科学技术、社会生 活和其他学科发展中的应用，帮助学生体会数学的价值；邀请
教学专家与教师共同开展教学研究，以促进 教师的专业成长。
学校应充分利用图书馆、少年宫、博物馆、科技馆等，寻找合适的学习素材，如，学 生感兴
趣的自然现象、工程技术、历史事件、社会问题、数学史与数学家的故事和其他学科的相关
内容，以开阔学生的视野，丰富教师的教学资源。
报纸杂志、电视广播和网络等媒体常常为我们提供 许多贴近时代、贴近生活的有意义话题，
教师要从中充分挖掘适合学生学习的素材，向学生介绍其中与数 学有关的栏目，组织学生对
某些内容进行交流，以增强学生学习数学的兴趣，提高学生运用数学解决问题 的能力。


4. 环境与工具
教师应当充分利用日常生活环境中 与数学有关的信息，开发成为教学资源。教师应当努力开
发制作简便实用的教具和学具，有条件的学校可 以建立“数学实验室”供学生使用，以拓宽
他们的学习领域，培养他们的实践能力，发展其个性品质与创 新精神，促进不同的学生在数
学上得到不同的发展。


5. 生成性资源
生成性资源是在教学过程中动态生成的，如，师生交互、生生交流过程中产生的新情境、新
问题、新思路、新方法、新结果等。合理地利用生成性资源有利于提高教学有效性。







附 录



附录1 有关行为动词的分类
本标准中有两类行为动词，一类是描 述结果目标的行为动词，包括“了解、理解、掌握、运
用”等术语。另一类是描述过程目标的行为动词， 包括“经历、体验、探索”等术语。这些
词的基本含义如下。
了解：从具体实例中知 道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特征，从具体情境中
辨认或者举例说明对象。
理解：描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系。
掌握：在理解的基础上，把对象用于新的情境。
运用：综合使用已掌握的对象，选择或创造适当的方法解决问题。
经历：在特定的数学活动中，获得一些感性认识。
体验：参与特定的数学活动，主动认识或验证对象的特征，获得一些经验。
探索：独立或与他 人合作参与特定的数学活动，理解或提出问题，寻求解决问题的思路，
发现对象的特征及其与相关对象的 区别和联系，获得一定的理性认识。

说明：在本标准中，使用了一些词，表述与上述术语 同等水平的要求程度。这些词与上述术
语之间的关系如下：
（1）了解
同类词：知道，初步认识。
实例：知道三角形的内心和外心；能结合具体情境初步认识小数和分数。
（2）理解
同类词：认识，会。
实例：认识三角形；会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图。
（3）掌握
同类词：能。
实例：能认、读、写万以内的数，能用数表示物体的个数或事物的顺序和位置。
（4）运用
同类词：证明。
实例：证明定理：两角及其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等。
（5）经历
同类词：感受，尝试。
实例：在生活情境中感受大数的意义；尝试发现和提出问题。
（6）体验
同类词：体会。
实例：结合具体情境，体会整数四则运算的意义。




附录2 内容标准及实施建议中的实例

内容标准
第一学段（1~3年级）

数与代数

例1 用算盘上的算珠表示三位数。
[说明] 算盘是中国的重大发明，体现了十进位值制记数法。使用算盘要注意以下两点：
（1）确定个位。在个位上，一颗下珠表示1，一颗上珠表示5。
（2）确定进位。10个1 是1个10， 在算盘上个位往左进一位；10个10 是100，在算盘
上再往左进一位。
如513， 在算盘上就是


百 十 个
位 位 位
更大的数同样可以表示。
例2 将数50，98，38，10，51排序，用“＞”或“＜ ”表示。用大得多、大一些、小一
些、小得多等语言进一步描述它们之间的关系。
[说明] 符号“＞”或“＜”表述的是数量间的大小关系，希望学生能够理解符号的含义
并能合理使用，这个过程 可以帮助学生建立数感。
让学生将这些数排序，学生可能会有不同的排序方法。例如，先找到最小（大 ）的，然后在
剩余的数中再找到最小（大）的，依次将五个数按从小（大）到大（小）的顺序进行排序；
或者先固定一个数（如50），拿第二个数（98）与之比较，然后取第三个数与前两个数比较，
根据它们之间的大小关系决定位置，这样继续下去，最后将五个数排序。无论学生的出发点
如何，只要 思路清晰、排序正确即可。
对于用语言描述几个数之间的大小关系时，结论是相对的。例如，可以说5 1比50大一些，
98比10大很多；而50比38是大一些，还是大得多，可能会有不同看法，但不应 当出现逻
辑上的混乱，例如，“50比10大一些，50比38大得多”。

例3 1200张纸大约有多厚？你的1200步大约有多长？1200名学生站成做广播操的队形需
要多大的 场地？
[说明] 通过对1200在不同情境中的意义的了解，感受数与生活实际的关系。上述三个问 题
是类似的，可以让学生学会举一反三。
针对问题“1200张纸大约有多厚”，教学中可以作如下设计：
（1）一本数学教科书大约 由50张纸装订而成。可以请学生先观察自己的教科书，感受一本
书的厚度。
（2）将10本 教科书依次叠在一起，每增加一本都请学生感受一次纸张的数量，感受数量由
小增大的过程，建立大数的 表象。
（3）想一想，1200张纸大约有多厚？（如果10本书是500张纸，学生可以想象20本 书是
1000张纸，比20本书还要厚）。请学生描述“这1200张纸叠在一起有多高”，鼓励学生从
不同的角度进行描述。

例4 说出与日常生活密切相关的数及其表达的事情。
[说明]
对小学生来讲，日常生活中用数来表示的例子很多，如，学号、班级人数、身高、 物价、重
量、距离等。教学中要引导学生自己去发现，相互交流，从而体会数的意义和作用。

例5 教室里有6行座位，每行7个，教室里一共有多少个座位？
[说明] 这个例子可以引导学生理解教室中的座位数是6个7的和，可以写成：6×7或7×6。

例6 学校组织987名学生去公园游玩。如果公园的门票每张8元，带8000元钱够不够？
[说明] 本例的目的是希望学生了解在什么样的情境中需要估算，知道“凑整计算”是估算
的一个重要方法。 < br>学生估计的结果可能比实际的结果多一些或者少一些，取决于学生将题中给出的数据加上几
后凑整 还是减去几后凑整。教师要引导学生运用自己的语言解释估算过程。公园门票的价格
是8元，需要将98 7估计成1000，由此得到987与8相乘的结果肯定比8000小，所以带8000
元够了。 学生还可能根据自己生活中的经验，将乘车或者其他消费等都考虑在内，只要学生解释合理，
教师都 可以给予支持。

例7 每条小船限乘4人，18人至少需要租几条船？你认为怎样分配才合适？

例8 估计每分钟脉搏跳动的次数、阅读的字数、跳绳的次数、走路的步数。
[说明] 本例既可以帮助学生 体验1分的长短，又是一个估计问题，需要实际测量，在测量
的基础上进行简单计算。
可以有 三类方法进行实际测量：测量半分钟，然后用测得的数据乘2；测量1分；测量2分，
然后用测得的数据 除以2。对于学有余力的学生，可以引导他们感悟第一种方法省事，但可
能不够准确；第三种方法费事， 但可能更准确一些。帮助学生建立选择策略的思想。

例9 在下列横线上填上合适的数字、字母或图形，并说明理由。
1， 1， 2； 1， 1， 2； ， ， ；
A， A， B； A， A， B； ， ， ；
， ， ； ， ， ； ， ， ；
[说明] 启发学生探索规律。希望学生感悟：对于有规律性的事物，无论是用数字 还是字母
或图形都可以反映相同的规律，只是表达形式不同。

例10 在下面的图1中，描出横排和竖排上两个数相加等于10 的格子，再分别描出相加等
于6，9的格子，你能发现什么规律。

9
8
7
6
5
4
3
2
1
+123456789

图1

[说明] 本例不仅 能帮助学生熟练地进行20以内的加法，并且数值与图形结合，有利于学生
以后学习坐标系、图像等。
根据学生的实际，借助上面的图1可以提出不同的问题。例如，进一步把两个数相加的和是
8的 格子描出来，看一看有什么规律。根据上图判断，出现次数最多的和是几？最少的是几？
教师应根据自己 学生的实际情况灵活地设计教学。如果学生在观察上图或者发现规律中有困
难，教师可以引导学生从简单 的情形入手，比如两个加数先限制在5以内。

图形与几何

李明
王宇
刘欣
赵爽

例11 桌上放着一个茶壶，四位同学从各自的方向进行观察。
图2

请指出下面图3中四幅图分别是哪位同学看到的。
（ ） （ ） （ ） （ ）
图3

例12 一米约相当于 根铅笔长；北京到南京的铁路长约1000 。
[说明] 可以把问题举一反三，让学生了解实际情境中度量单位的意义，学会选择合适的度
量单位，增加学生对测量单位的感知。

例13 测量、计算不规则图形的周长。
[说明] 引导学生用适当的方法尝试测量、计算不规则图形的周长，有利于学生把握图形的
性 质和理解周长的意义，学习解决实际问题的方法。教师可以作如下设计：
（1）可以从简单到复杂。先测量并计算一些由规则图形组合成的图形的周长。
（2）对于圆形或杨树叶形的图，可以运用各种测量工具, 也可以用各种测量方法，鼓励学
生进行尝试。对于树叶的直接测量，可以用下面两种方法：
①滚动。可以在尺子上滚动“树叶”形状的图形，也可以保持“树叶”形状的图形不动，
将尺子滚动进行 测量。
②绕线。先用细线在图形的边缘围一周，再将细线拉直，然后测量细线的长度。
（ 3）测量会有误差。一方面要求学生测量时应当认真，尽量减小误差；一方面启发学生思
考，是不是可以 多测量几次，然后确定一个合适的结果。

例14 测量并计算一张给定正方形纸的面积 ，利用结果估计课桌面的面积；测量步长，利
用步长估计教室的面积。
[说明] 把测量与面积计算有机地结合，让学生体会面积的实际背景和估计长方形面积的方
法。

例15 在下列现象中，哪些是平移现象？哪些是旋转现象?
（1）方向盘的转动； （2）火车车厢的直线运动；
（3）电梯的上下移动； （4）钟摆的运动。

例16 图4中哪些图形通过平移可以互相重合?
图4

例17 图5是一张动物园的示意图，根据图中所标的位置回答下列问题：





● 海洋馆
● 熊猫馆
● 狮虎山
● 大象馆
● 百鸟园
● 猴山
东
北













图5

（1）熊猫馆在猴山的哪个方向上？
（2）大象馆在海洋馆的哪个方向上？
[说明] 可以先从一个固定的观测点出发，描述其他物体的方位，再改变观测点，描述与其
他物体的相对方位。

统计与概率

例18 分别选择三个不同的标准把全班同学分为两类，记录调查结果。
[说明]
比较、排列、分 类等活动是对数据进行初步整理，是学生进行数据分析的开始，也为以后学
习统计与概率和其他方面的数 学知识积累感性经验。教学中应鼓励学生依据分类标准得出结
论，具体可作如下设计：
（1） 教师给出问题后，引导学生讨论不同的分类标准。例如，性别，身高，家到学校的距
离，出生年月，左右 手写字，等等。
（2）当提出的标准较多时，可以分组进行活动，完成调查。
（3）运用自己的方式（文字、图画、表格等）呈现调查结果。

例19 新年联欢会准备买水果，调查班级同学最喜欢吃的水果，设计购买方案。
[说明] 借助学生身边的例 子，体会数据调查、数据分析对于决策的作用。此例可以举一反
三。教学中可作如下设计：
（1）全班同学讨论决定购买方案的原则，可以在限定的金额内考虑学生最喜欢吃的一种或
几种水果，或 者其他的原则。
（2）鼓励学生讨论收集数据的方法。例如，可以采用一个同学提案、赞同举手的方法 ；可
以采取填写调查表的方法；可以全部提案后，同学轮流在自己同意的盒里放积木的方法，等
等。必须事先约定，每位同学最多可以同意几项。
（3）收集并表示数据，参照事先的约定决定购买水果的方案。
要根据学生讨论的实际情况进行灵活处理，购买方案没有对错之分，但要符合最初制定的原
则。

例20 对全班同学的身高进行调查分析。
[说明]
学校一般 每年都要测量学生的身高，这为学习统计提供了很好的数据资源，因此这个问题可
以贯穿第一学段和第二 学段，根据不同学段的学生特点，要求可以有所不同。希望学生把每
年测量身高的数据都保留下来，养成 保存资料的习惯。在第一学段，主要让学生感悟可以从
数据中得到一些信息。教学中可以作如下设计：
（1）指导学生将全班同学的身高进行汇总。
（2）从汇总后的数据中发现信息。比如最高（ 最大值）、最矮（最小值）、相差多少（极差），
大部分同学的身高是多少（众数）等。在讨论过程中， 括号中的有些名词并不需要出现，但
是希望学生体会数据所代表的意义。
（3）在整理中，可 以让学生尝试创造灵活的方法。例如，寻找最高，可以直接比较寻找，
当学生人数比较多时，也可以分组 寻找组内最高，然后在每组的最高中寻找最高；在考虑顺
序问题时，可以参见例18。


综合与实践

例21 图形分类。
如图6所示，桌上散 落着一些扣子，请把这些扣子分类。想一想：应当如何确定分类的标准？
根据分类的标准可以把这些扣子 分成几类？然后具体操作，并用文字、图画或表格等方式把
结果记录下来。











图6

[说明]
本活动适合于本学段的各个年级，可以在要求上有所区分。本活动的目的是希望学 生能够清
楚，分类是要依赖分类标准的，例如，扣子的形状、扣子的颜色或者扣眼的数量都可以作为分类的标准，而在不同的分类标准下分类的结果可能是不同的。本活动将有利于培养学生把
握图形的 特征、抽象出多个图形的共性的能力。另一方面，活动还要求学生运用文字、图画
或表格等方法记录对扣 子进行分类后的结果，这有利于培养学生整理数据的能力。
教师在此活动的教学中可以作如下设计：
（1）教师提出问题，引导学生讨论分类标准。可以启发学生这样思考：先关注一个指标作
为分 类标准，如先关注颜色；在此基础上，再进一步关注两个指标作为分类标准，如进一步
关注颜色和形状； 最后再关注颜色、形状和扣眼数。这样可以避免出现混乱。
（2）根据已经讨论确定的分类标准对学生 分组，引导学生实际操作，合作完成计数；各小
组呈现统计结果。
（3）教师组织学生报告统计结果，引导学生作出评价，帮助学生整理思路。

例22 生活中的轴对称图形。
组织学生分组收集日常生活中常见的图形（如图标），观察 它们是否有对称轴，若有对称轴，
数出或说出有几条对称轴。尝试画出它们的对称轴。在课堂中展示交流 大家的发现，并尝试
设计出一些轴对称图形。
[说明]
这个活动可以鼓励学生 主动观察，设法收集（如可以使用数码相机或现场素描等）。学生可
以结合自己的生活环境发现、找到他 们熟悉的图形对象中隐藏的对称轴，并在交流过程中丰
富自己的经验，如下面的图7：





图7
在交流大家收集到的图形的基础上，教师进一步鼓励学生自己设计轴对称图形，并交流自己
图形所表达的意思。

例23 上学时间。
让学生记录自己在一个星期内每天上学途中所需要的时间，并从这些数据中发现有用的信
息。
[说明]
这个活动适用于二、三年级，有利于培养学生的数据分析意识：知道在现实生活中 ，有许多
问题可以先调查数据，通过对数据的分析得到结论；如果把记录时间精确到分，可能学生每天上学途中需要的时间是不一样的，可以让学生感悟数据的随机性；更进一步，让学生感悟
虽然数据 是随机的，但数据较多时具有某种稳定性，可以从中得到很多信息。
教学中可以作如下设计：
（1）指导学生如何测量时间和作记录，启发学生先设计调查方案。例如，事先调整家里钟
表的时间， 使其和学校钟表的时间保持一致；在调查期间需要保证每天上学途中的行为尽量
一致；作为参照，也可记 录放学回家的时间；等等。在此过程中，培养学生认真做事的习惯。
（2）组织学生展示数据，鼓励学 生从中发现信息。学生得到的信息可以是多方面的：虽然
每天上学途中需要的时间可能是不一样的，但通 过一个星期的调查可以知道“大概”需要多
少时间；可以知道上学途中所需要的最长时间和最短时间等。
（3）组织学生进行交流，比较自己与他人的调查结果，从而获得更多信息：大多数同学上
学途 中所需要的时间，同学中最长的和最短的时间；可以将时间分段，统计每个时间段的学
生人数，得到表格 或者统计图。在此过程中，鼓励学生体会分析调查结果及得到结论的乐趣。

第二学段（4~6年级）

数与代数

例24 如果一个人的寿命是76岁，这个人一生的心跳大约有多少次？光速大约每秒30万千米，光
从太阳 到达地球大约需要多长时间？如果把100万张纸叠加起来，会有珠穆朗玛峰那么高
吗？
[说明]
参见例3。在计算的过程中，要合理利用数的单位和度量单位来减少位数。有些问 题需要学
生自己查找资料，如太阳到地球的距离、珠穆朗玛峰的海拔高度，这样的查找资料活动有利于学生养成调查研究的习惯。

例25
某学校为学生编号，设定末尾用 1表示男生，用2表示女生，例如，200903321表示“2009
年入学的三班的32号同学，该 同学是男生”。那么，201004302表示什么？
[说明]
这个例子可以启发学生思 考，编号提供给我们一些什么信息，比如，一个年级最多有多少个
班，一个班最多有多少名学生。可以引 导学生设计本学校的学生编号方案。还可以启发学生
通过观察学生证的编号估计学校的学生数。

例26 说明 ，0.25和25%的含义。
[说明] 分数、小数和百分数 都是有理数的常用表示方法，但含义是有所不同的。真分数通
常表示部分与整体的关系，如全班同学的
；小数通常表示具体的数量，如一只铅笔0.25元；百分数是同分母（统一标准）的比值，
便 于比较，如去年增长21%、今年增长25%。希望学生能够理解它们的含义，在生活中能
够合理使用。



例27
李阿姨在商店挑选了两袋米、一块牛肉、 一些蔬菜和鱼，营业员告诉她：每袋米35.4元，
一块牛肉14.8元，蔬菜和鱼的价格分别为6.7 元和12.8元。李阿姨带了100元，够付款吗？
[说明]目的是选择合适的方法进行估算。针对这 个问题，进行整数运算已经超过100元了，
所以100元不够。

例28 9.9×6.9比70小吧？ + 比1大吗？
[说明] 与例6一样，应当让学生清楚“凑整计算 ”是估算的一个重要方法，比如，可以把
9.9×6.9凑整成10×7，估算结果比70小； 比 大，所以 + 比1大。

例29 利用计算器计算15×15，25×25，…，95×95，并探索规律。
[说明] 目的是运用计算 器进行计算，从中发现一些有趣的规律。学生可以通过观察结果与
乘数的关系，发现规律。例如
15×15=225=1×2×100+25，
25×25=625=2×3×100+25，
35×35=1225=3×4×100+25，
等等。这个规律在实际运算中也是有用的。

例30 彩带每米售价3.2元，购买2米，3米，…，10米彩带分别需要多少钱？在 方格纸上
把与数对（长度，价钱）相对应的点描出，并且回答下列问题：
（1）所描的点是否在一条直线上？
（2）估计一下买1.5米的彩带大约要花多少元？
（3）小刚买的彩带长度是小红的3倍，他所花的钱是小红的几倍？
[说明]希望学生感受成 正比例关系的一组数对所对应的点在一条直线上，并且能够借助图形
进行数据的估计。
教学中 引导学生在描点之前，先建立下面的表格，有利于直观地理解正比例关系，并为描点
作准备。
长度米01234567…
价钱元03.26.49.612.81619.222.4…


例31 联 欢会上，小明按照3个红气球、2个黄气球、1个绿气球的顺序把气球串起来装饰
教室。你知道第16个 气球是什么颜色吗？
[说明] 希望学生能够通过所给条件，发现规律，进一步了解规律可以借助各种符号表示（参
见例9）。
在解决这个问题时，学生可以有多种方法。例如，用A表示红气球，B表示黄气球，C表
示绿气球，则 按照题意气球的排列顺序可以写成
AAABBCAAABBC…
从中找出第16个字母，由此推出第16个气球的颜色。

例32 一个房间里 有四条腿的椅子和三条腿的凳子共16个，如果椅子腿数和凳子腿数加起
来共有60个，那么有几个椅子 和几个凳子？
[说明] 可以引导学生运用尝试的办法探索规律，得出结果，使学生感受这是数学探索 的一
种有效途径。比如，可以有规律地给出下面的计算过程：
椅子数 凳子数 腿的总数
16 0 4×16=64
15 1 4×15+3×1=63
14 2 4×14+3×2=62
继续计算下去，可以得到椅子数12，凳子数4时， 腿数恰好为60。通过上表可以启发学生
思考：每减少一个椅子就要增加一个凳子，腿的总数就要减少4 -3=1。腿的总数为60时，
需要减少的椅子数是64-60=4，于是椅子数是16-4=12，凳 子数是0+4=4。最后验证一下：
12×4+3×4=60，是正确的。当然，也可以从凳子数的变化 思考：每减少一个凳子就要增加
一个椅子，腿的总数就要增加4-3=1。
对于学有余力的学 生，教师可以鼓励他们进一步用字母代替椅子数与凳子数，得到计算腿的
总数的模型。


图形与几何

例33 观察下图：



图8

请指出从前面、右面、上面看到的相应图形：

（ ） （ ） （ ）
图9
[说明] 可以为学生提供实物，让学生进行实际观察。观察之前也可以先说一说自己的想法，
再实际验证。

例34 图10中每个小方格为1个平方单位，试估计曲线所围部分的面积。
图10
[说明]
要帮助学生养成事先做好规划的习惯，可以根据要估计的精确程度来确定 估计方案，例如，
粗略估计的方案可以为小方格里有图形就记为1，无图形就记为0，然后相加求和；精 细估
计的方案可以为小方格的图形，大于一半的记为1，小于一半的记为0，然后相加求和；也
可以分得更细。让学生通过记录、计算、比较等，体会估计的意义和方法。

例35 测量一个土豆的体积。
[说明]
对于不规则物体的体积的测量问题，可以转化为等体积的 规则物体来测量。例如，准备一个
有刻度的容器，先注入一些水，然后把土豆放入水中，观察水面高度上 升的情况。类似，可
以利用学生熟悉的曹冲称象的故事，让学生体会如何测量不规则物体的体积。

例36 图画还原。
打乱由几块积木或者几幅图画构成的平面画面，请学生还原并利用平移和旋转记录还原步
骤。
图11
[说明]通过实 际操作进一步理解平移和旋转，不仅能增加问题的趣味性，还可以让学生感悟
几何运动也是可以记录的， 体验选取最佳方案的过程。
教学设计时，可关注如下要点：
（1）完成还原积木的任务一定 要从简单到复杂，如图，先打乱四块积木中的下面两块，让
学生尝试思考的过程。学生有了一定经验后， 可以打乱三块或四块积木，让学生继续尝试。
（2）可以分小组进行。为了记录准确，事先要确定每一个步骤的代表符号。
（3）小组活动时，可以先讨论，确定一个大概的还原路线，然后操作验证。
（4）小组成员共同操作，进行比较，验证确定的路线。

例37 描述从学校到家的路线示意图，并注明方向及途中的主要参照物。
[说明] 学生可以用语言描述路线 ，为了交流的方便，学生也可以借助实物模拟路线。教师
还可以进一步鼓励学生画出路线的简单示意图， 并在图中标明方向及主要参照物。

例38 小青坐在教室的第3行第4列，请用数对表 示，并在方格纸上描出来。在同样的规
则下，小明坐在教室的第1行第3列应当怎样表示？
[说明]
需要先在方格纸上标明正整数刻度，希望学生能够把握数对与方格纸上点（行列或 者列行）
的对应关系，并且知道不同的数对之间可以进行比较。这个过程有利于学生将来直观理解直角坐标系。

统计与概率

例39 对全班同学的身高的数据进行整理和分析。
[说明]
在例20中，已经引导学生对全班同 学的身高的数据进行初步分析。在这个学段中，要求学
生结合以前积累的身高数据（参见例20的说明） ，进行进一步的整理，然后进行分析。整理
的目的是为了便于分析，例如，条形统计图有利于直观了解不 同高度段的学生数及其差异；
扇形统计图有利于直观了解不同高度段的学生占全班学生的比例及其差异； 折线统计图有利
于直观了解几年来学生身高变化的情况，预测未来身高变化趋势。学生还可以讨论用什么 数
据来代表全班同学的身高，自己的身高在全班的什么位置。
教学设计时，可以关注如下要点：
（1）组织学生讨论并明确做统计图的基本标准。如果学生 意见不一致，可以根据意见的不
同把学生分组，各自画出统计图后进行比较。
（2）可以把几 年来全班同学平均身高的数据画出折线统计图，让学生与自己身高数据的折
线图进行分析比较。还可以对 男女生的身高数据进行分析和比较。
（3）组织学生讨论用什么数据来代表全班同学的身高，自己的身 高在全班的什么位置。学
生可以用平均身高作为代表，用自己的身高与平均身高进行比较；可以用出现人 数最多的高
度段作为代表（“众数”的意义），用自己的身高与其相比；学生也可能用班级中等水平学生
的身高作为代表（“中位数”的意义），用自己的身高与其相比。学生只要能说出自己的理由
就 可以，但不需要出现“众数”“中位数”的名词。
（4）虽然数据整理和分析的方法可以有所不同，但 要求分析的结论清晰，能够更好地反映
实际背景。

例40 阅读在报纸或者杂志上发表的有统计图的文章，用自己的语言说明统计图所表达的
意思。
[说明] 在实际背景中体会统计图的作用，可以增强趣味性，加深对统计图及其所表示的问
题 的理解。还可以培养学生调查研究的习惯。
教学时，教师可以事先布置作业，也可以确定题目分小组查 阅资料，小组讨论后在课堂分小
组交流。在此基础上，再调查周边的事情（如喜欢读的书籍，喜欢听的歌 曲，等等），得到
数据并作出统计图进行分析。

例41
袋中装有5 个球，4个红球和1个白球。只告诉学生袋中球的颜色为红色和白色，不告诉他
们红球数目与白球数目， 让学生通过多次有放回的摸球，统计摸出红球和白球的数量及各自
所占比例，由此估计袋中红球和白球数 目的情况。
[说明]
借助学生感兴趣的摸球游戏，使学生体会到数据的随机性。一方面， 每次摸出的球的颜色可
能是不一样的，事先无法确定；另一方面，有放回重复摸多次（摸完后将球放回袋 中，摇晃
均匀后再摸），就能发现一些规律。根据学生的不同学段，可以设计如下层次：
（1 ）适合于第二学段。通过摸球，学生发现每次摸出的球的颜色不确定，初步感受数据的
随机性。进一步通 过统计摸出红球和白球的数量，可以估计袋中是白球多还是红球多。在不
确定的基础上，体会规律性。
（2）适合于第三学段。在（1）的基础上，学生可以估计袋中白球数量和红球数量的比，进
一 步体会规律性。教师可以进一步鼓励学生思考：给出了袋中两种颜色球的总数，如何估计
白球和红球各自 的数量。
教学时，教师可以先鼓励学生思考，在不打开袋子的前提下，如何估计袋中红球和白球数量< br>的情况，启发学生想到可以通过摸球得到数据，由数据进行估计。然后，教师组织大家做摸
球活动 ，在摸球的过程中提醒摸球的规则：有放回，尽可能摇匀，并指导学生记录下每次摸
到的颜色。为了保证 试验次数，全班可以分小组进行试验，然后将所有小组的试验数据汇总。
通过统计和比较摸到的红球和白 球的数量，对袋中球的情况进行估计。
实际上，如果袋中装有4个红球和1个白球，可以知道摸到红球 的概率为45（也就是810）。
通过摸球的试验，可以用红球出现的频率来估计概率，显然，摸球的次 数越多，估计的精度
越高。一般情况下，摸球的次数与估计的精度之间的关系是什么呢？通过计算可以得 到：保
证有80%以上的可能使得“摸到红球的频率在710到910之间”，需要摸27次以上；保证
有95%以上的可能使得“摸到红球的频率在710到910之间”，需要摸60次以上。教师不
必会推导这个结论，但知道这个结论，可以使教师更好地理解运用数据进行估计的内涵并进
行有效操作 ，知道通过摸球的数据进行推测并不是毫无道理的“瞎碰”，而是有数学理论保
证的。

例42 将下面这些卡片混在一起，从中任意选取一张卡片，这张卡片可能是什么？







图12

[说明]
希望学生理解，因为是任意选取一张卡片，则每张卡片都可 能被选取，但事先无法确定哪张
卡片一定会被选取（是随机的），每张卡片被选取的可能性是一样大的（ 简单事件）。
如果学生能够很好地理解，则可以进一步提问：这张卡片是船的可能性大呢？还是房子或 者
车的可能性大呢？可以让学生进行实际操作。

综合与实践

例43 绘制学校平面图。
按照确定的比例和方位，绘制校园的平面图，包括围墙、主要建筑、主要活动场所、道路等
等。
[说明]
本活动适用于五、六年级，目的是通过实际操作，让学生更好地理解位置、方向和 比例等基
础知识，掌握测量的方法。因为整个操作比较复杂，建议采用小组活动的形式，这样做既有利于培养学生统筹规划的实践能力，也有利于学生体验团结协作、获得成功的快乐。
教学设计时，可以关注如下要点：
（1）选择测量工具。最简单的测量工具是指南针和皮尺（也可用步长近似测量）。
（2）在 教师的指导下，各小组讨论并形成基本测量方案，组内分工。小组完成实际测量后，
绘制校园平面图。
（3）交流。各小组展示本组绘制的校园平面图，交流绘制的方法和过程（可以用壁报、幻
灯等 形式）。

例44 旅游计划。
某人计划用5天的时间外出旅游，所需费用大概是多少？
[说明]
适用于本学段 的各个年级，要求可以不同。关于目的地和时间，教师可以根据实际情况提出。
这个问题需要学生自己调 查研究，认真制定计划，根据计划计算费用。因此，这是一个灵活
的开放题。为了便于调整计划，可以先 考虑几种方案，然后比较筛选，也可以分小组活动，
分工调查、集体讨论后制定一个统一的计划。
在学生报告结果时，教师应要求学生能对自己和别人的方案进行评价。

例45 象征性长跑。
为了迎接奥运的召开，某小学决定组织“迎接圣火、跑向北京”的象征性长跑活动，学校 向
同学们征集活动方案，请你参与设计，其中要解决的问题有：
（1）调查你所在的学校到北京天安门的距离约有多少千米？
（2）如果一个人每天跑一个“马拉松”，要几天能完成这项长跑？
（3）如果全班用接力方式开展这项活动，请你设计一个合理的活动方案。
（4）全班交流、 展出同学们的不同方案，说明各个方案的特点，同学之间评价方案的优缺
点，推荐本班的最佳活动方案。
[说明]
适用于本学段的各个年级，要求可以不同，可以分小组活动，分工调查关键数据（ 如调查学
校到北京的距离，如果是北京的学校就要改变长跑的目的地，比如可以把目的地改为延安）、< br>学生分组集体讨论后，可以制定一个计划，自主提出适合自己班级特点的“长跑方案”，比
如，可 以给男、女生提出不同的日跑量，提出哪一天跑到“中途某一个城市”，等等。因此，
这是一个灵活的开 放题。教师可以组织学生交流不同方案，同学之间评价不同方案的优缺点，
推荐本班的最佳活动方案，丰 富学生的活动体验。

例46 空间想象与分类计数。
将边长分别为3和4的 正方体的表面刷上红色的漆，再将它分割成边长为1的小正方体。探
求满足下面条件的小正方体的数量规 律。









图13

（1）一面、两面、三面有红颜色的小正方体各有多少个？
（2）将正方体的边长改为5，表 面刷上红色的漆，再将它分割成边长为1的小正方体，一
面、两面、三面有红颜色的小正方体各有多少个 ？
（3）将正方体的边长改为6，结果如何？
（4）分析上面三个问题的求解过程，你能发现什么规律？
[说明]
本活动可 以培养学生空间想象力，帮助学生积累由特殊到一般、寻找规律的数学经验。在逐
渐深入的探讨过程中， 要引导学生把握问题的共性，从而得到一般性的结论。在活动的过程
中，教师应鼓励学生由特例提出新问 题，推动思考的深入，并归纳一般规律。鼓励学生用自
己的语言和数学语言正确地表达他们发现的规律。



第三学段（7~9年级）

数与代数

例47 灾害应对预案。
一次水灾中，大约有20万人的生活受到影响。如果 灾情持续一个月，大约需要筹集多少顶
帐篷？多少吨粮食？
[说明] 解决此问题需要在一定的假设条件下，进行有理数的运算，最后给出估计。
例如，假定一顶帐篷可以住 10个人，需要2万顶；假如要保证一个家庭住一顶帐篷，每个
家庭4口人，需要5万顶。假定平均每人 每天需要0.4千克粮食，可以估计出每天需要的粮
食数，10天需要的和一个月需要的粮食数。

例48 估计 与0.5比哪个大？与1.0比呢？

例49 计算：（1） ；（2） + 。
[说明] 运用二次根式的加、减、乘、除运算法则进行二次根式的 四则运算，根号下仅限于
数，不要求进行根号下含字母的二次根式的四则运算，如 ，2 + 等。

例50 结合实例解释3a。
[说明] 希望学生理解用字母表示的代数式是 有一般意义的。a可以表示数量，例如葡萄的价
格是每千克3元，则3a
表示买a千克的金 额；a可以表示长度，例如，一个等边三角形边长为a，则3a表示这个三
角形的周长，等等。

例51 利用公式证明例29所显示的运算规律。
[说明]在第二学段的学习中已经发现了如下的运算规律：
15×15=1×2×100+25=225，
25×25=2×3×100+25=625，
35×35=3×4×100+25=1225。
观察后，我们猜测：如果用字母a代表一个正整数，则有如下规律：
(a×10+5)2= a( a+1)×100+25。
但这样的猜测是正确的吗？需要给出证明： 。
这是一个由具体数值计算到符号公式表达的过程，即由特殊到一般的过程。可以让学生感悟，
有些问题是可以通过一般性的证明来验证自己所发现的规律，感悟数学的严谨性，增加学习
数学的兴趣 。

例52 在一个房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共16个，如果椅子腿和凳子腿 数加起
来共有60个，有几个椅子和几个凳子？
[说明]这个问题与例32是相同的。事实上 ，这个问题可以用三种方法建立模型。在第二学
段讨论过的方法是基于四则运算，还可以用一元一次方程 的方法或二元一次方程组的方法解
决。启发学生从不同的角度思考同一个问题，有利于学生进行比较，加 深对于模型的理解。
利用一元一次方程解决此问题时，可以引导学生通过具体列表的方式找出规律、建 立方程，
这样利于学生理解方程的意义，体会建模的过程。假设椅子数为a，则凳子数为16-a，把例
32中的表移过来并用字母代替：
椅子数 凳子数 腿的总数
a =16 16-a =0 4a+3(16-a)=64
a =15 16-a =1 4a+3(16-a)=63
a =14 16-a =2 4a+3(16-a)=62
这样，合题意的方程为4a +3(16-a)=60，可以通过尝试的方法，解得a=12，也可以解方程求
解。
对于二 元一次方程组，则可以直接列方程。假设椅子数为a，凳子数为b，可以得到两个方
程a+b=16和4 a+3b=60，用代入法得到4a+3(16-a)=60，求解得到a=12和b=4。
从上面的 讨论可以看到，用四则运算方法，思考最困难，但是结果最直接；用二元一次方程
组的方法，思考最简洁 ，但是计算较繁琐。
在教学过程中，可以结合具体的教学内容使用这个例子，最后进行比较，启发学生思考。

例53 估计方程 的解。
[说明]
估计方程的解，不仅仅在于求解，也有利于 学生直观地探究方程的性质，初步感悟，通过代
入数值进行计算也是求方程解的有效途径。一般来说，如 果把一个数代入方程左边得到的值
为负，把另一个数代入得到的值为正，则在这两个数之间可能有方程的 解。根据这个原理，
用二分法可以估计方程的解。
分析这个一元二次方程，当x的绝对值较大 时，方程的左边必然为正，如-5和3；当x的绝
对值较小时，方程的左边必然为负，如2。那么，在- 5和2之间，以及在2和3之间方程可
能有解。进一步，用同样的道理可以将解的范围缩小，使我们估计 的解尽可能精确，如选-5
和2的中间值-1.5代入方程的左边进行计算，如果得到的值为正，则在- 1.5和2之间有解，
否则在-5和-1.5之间有解。可以借助计算器来完成上述的计算过程。 进一步，教师引导学生用公式法解出方程的解，然后借助计算器求解的近似值，并将得出的
近似值与 前面的估计值进行比较。

例54 小丽去文具店买铅笔和橡皮。铅笔每支0.5元，橡皮 每块0.4元。小丽带了2元钱，
能买几支铅笔、几块橡皮？
[说明] 对于初中的学生，这 个问题是生活常识，但希望学生能通过这个例子学会用数学的
思维方式看待生活中的问题。
这 是一个求整数解的不等式问题，并且问题是开放的，通过列表具体计算，有助于学生直观
理解不等式。
假设买a支铅笔，b块橡皮，可以得到不等式
0.5a + 0.4b 2。
当a = 1时，计算得到b = 3.75，则 b = 3。这样计算，可以建立下面的表格：
a 0 1 2 3 4
b 5 3 2 1 0
金额 2 1.7 1.8 1.9 0
根据上面的表格，小丽可以选择适当的购买方案。

例55
小明的父母出去散步，从家走了20分到一个离家900米的报亭，母 亲随即按原速返回。父
亲在报亭看了10分报纸后，用15分返回家。下面的图形中哪一个表示父亲离家 后的时间与
距离之间的关系？哪一个图形是表示母亲的行走过程？
图14

例56 某书定价8元。如果一次购买10本以上，超过10本部分打八折。分 析并表示购书
数量与付款金额之间的函数关系。
[说明] 这是一个分段函数，函数的三种表 示法均适用于这个例子。一般来说，列表法适用
于变量取值是离散的情况；分段函数应当画图，并且关注 分段点处函数的变化情况。
可以分组讨论三种方法，然后让学生分析比较。

例57
甲乙两地相距20千米。小明上午8：30骑自行车由甲地去乙地，平均车速为8 千米时；小
丽上午10：00坐公共汽车也由甲地去乙地，平均车速为40千米时。分别表示两个人所用
时间与距离的函数关系，并回答谁先到达乙地。
[说明] 问题的要点是同时分析两个函数关 系。可以启发学生用各种方法来解答第二个问题，
在分析、总结学生的解答时，可以把两个函数的图像放 在一起进行直观比较。

例58 温度的计量。
世界上大部分国家都使用摄氏（ ºC），但美、英等国的天气预报仍然使用华氏
（ºF）。两种计量之间有如下对 应：
ºC
ºF325

（1）在平面直角坐标系中描述相应的点，观察这些点是否在一条直线上。
（2）如果两种计量之间的关系是一次函数，请给出该一次函数表达式。
（3）求出华氏0度时摄氏是多少度。
（4）华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能吗？
[说明]
在表中， 两个变量对应数值的差之比是一个常数，所以两个变量之间是一次函数关系。摄氏
从0度开始，设为横坐 标方便。但在求华氏0度对应的摄氏温度时，需要通过函数值来反求
自变量的值。在平面直角坐标系中,
该一次函数的图像与直线y = x的交点处的值就是华氏温度的值与摄氏温度的值相等时的
值。

图形与几何

例59 从一个侧面为正方形的长方体实物中抽象出长方体、长方形、正方形、线段和顶点。
[说明] 学生在 日常生活中见到的物体都是立体的，而在纸上画出的图形都是平面的，这是
一类很重要的抽象。特别是把 物体表面分解，有利于培养学生的空间观念。

例60 证明：两直线平行，则同位角相等。
图15

[说明] 考虑到学生的实际情况，在教学过程中，给出下面证明方法的时间可以酌情处理。
这个证明可以利用反 证法完成，一方面使学生了解结论的证明，另一方面可以帮助学生了解
反证法。如图15所示，我们希望 证明：如果AB∥CD，那么∠1＝∠2。假设∠1≠∠2，过
点O作直线A′B′，使∠EOB′＝∠ 2。根据“两条直线被第三条直线所截，如果同位角
相等，那么两直线平行”这个基本事实，可得A′B ′∥CD。这样，过点O就有两条直线
AB，A′B′平行于CD，这与基本事实“过直线外一点有且仅 有一条直线与这条直线平行”
矛盾，说明∠1≠∠2的假设是不对的，于是有∠1＝∠2。

例61 直观阐述基本事实：两组对应边及其夹角分别相等的两个三角形全等。
[说明] 虽然基本事实是不需要证明的，但是启发学生进行直观分析、探索结论的合理性。





图16-1 图16-2
如图16-1所示，一个三角形由六个元素构成，即三条边和三个角，因此，两个三角形如 果
三条边和三个角分别相等，则这两个三角形全等。问题是，最少几个元素就可以确定三角形
从 而构成全等条件呢？
观察图16-1中的△ABC，如果对图中的边BC“视而不见”，这样，对∠B 和∠C也就“视
而不见”了（如图16-2），此时△ABC的形状和大小并不改变。这就是说，AB， AC两条边
及它们的夹角确定了△ABC的形状和大小，于是可以推断，两边以及这两边的夹角可以确< br>定一个三角形。因此，可以认同“两边及其夹角分别相等的两个三角形全等”这个基本事实。
另 外，也可以用图形运动（叠合）的方法确认“两边及其夹角分别相等的两个三角形全等”
这个结论。

对于基本事实“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”的直观分析可以借助下面的图< br>17-1和图17-2。


图17-1 图17-2

可以进一步引导学生思考，为什么“三个角分别相等的两个三角形全等”不能成为基本事实。
对于以上事实的认可，也可以从六个元素中的一个出发，即由少到多进行考虑，通过画图探
索出需要几个 元素即可确定一个三角形。

例62 根据性质对平行四边形、矩形、菱形、正方形分类
[说明]
在第一和第二学段都讨论过分类的问题，通过分类有助于学生把握问题本质，了解 研究对象
的共性与差异。特别是对于几何图形分类，有利于培养几何直观性和思维的层次性。
分类的关键在于确定分类的标准，在不同的标准下可能会有不同的分类结果。一般来说，分
类标准可以由 粗到细，即由一个特征发展到多个特征（参见例21）。针对本问题把图形分为
两类（其中一类可以是空 的，在具体教学过程中不出现空集的概念）的标准可以考虑为：对
边平行；对边平行且有一个角为直角； 对边平行且四条边相等；对边平行、有一个角为直角、
四条边相等。还可以通过对角线建立分类标准，等 等。在具体教学过程中，可以启发学生想
象，也可以做出实物让学生操作。

例63 探索并了解：过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等。
[说明] 通过探索和了解此结论的证明，帮助学生体验发现结论到验证结论的过程。
教学中可以参考安排如下的过程：
（1）发现结论。在透明纸上画出如图18-1的图：设 ， 是⊙ 的两条切线， ， 是切点。
让学生操作：沿直线
将图形对折，启发学生思考，或者组织学生交流。学生可以发现：
， 。
这是通过 实例发现图形性质的过程。启发学生由特殊到一般，通过合情推理推测出切线长定
理的结论。






图18-1 图18-2

（2）证明结论的正确性。如图18-2，连接 和 。因为 和 是⊙ 的切线，所以 ，即 △
和△ 均为直角三角形。又因为 和 ，所以△ 和△ 全等。于是有
， 。
这是通过演绎推理证明图形性质的过程。
由此可见，合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式，都是研究图形性质的有效工具。
上述证明过程没有采用形式化的三段论，但有利于初学者把握证明的条理和说理的逻辑。


例64 如果四边形ABCD 和BEFC都是平行四边形，则四边形AEFD也是平行四边 形。某
同学根据下述图形对这个命题给出了证明。
图19

证明：因为ABCD是平行四边形
所以 AD=BC ①
AB=CD ②
又因为BEFC也是平行四边形
所以 BC=EF ③
BE=CF ④
由①③得 AD=EF ⑤
由②④得 AB+BE=DC+CF ⑥
因为⑤⑥成立，所以四边形AEFD是平行四边形。
他的考虑全面吗？
[说明] 引导学生判断上述证明过程是否正确，希望学生通过错误的实例，感悟特殊和一般
的关系。

例65 下面图20-2中的三个三角形是由图20-1中的三角形经过平移、旋转和轴对称得到的，
分别指出图形运动的形式，并标出对应的角。






图20-1 图20-2

[说明] 把运动后的结果归纳在一起让学生辨认，有利于学生理解三种图形运动形式的不 同
之处，从而把握平移、旋转和轴对称的基本特征，体验图形运动是研究图形的有力工具。

例66 在直角坐标系中描出下列各点，将各组的点顺次连接起来。观察这个图形，你觉得
像什么？
（ 1）（2，0），（4，0），（6，2），（6，6），（5，8），（4，6），（2，6），（1，8）， （0，6），（0，
2），（2，0）；
（2）（1，3），（2，2），（4，2），（5，3）；
（3）（1，4），（2，4），（2，5），（1，5），（1，4）；
（4）（4，4），（5，4），（5，5），（4，5），（4，4）；
（5）（3，3）。
[说明]
在第二学段已经学习了利用方格纸画直角坐标系， 理解整数坐标与格子点的对应关系（参见
例38）。在本学段将学习一般的直角坐标系。利用直角坐标系 可以把数与图形有机地结合起
来，有利于用代数方法研究几何问题，也有利于借助图形直观地探索数量关 系的规律性。
这个问题可以进一步扩展：把家乡的地图放在直角坐标系的第一象限内，然后等间隔地画 出
与坐标轴平行的两组平行线，一边用数字表示，一边用字母表示，然后让学生寻找自己熟悉
的 地点，并用数字和字母表示出该点。让学生理解，坐标的表示可以是多样的，坐标的核心
是对应关系而不 是具体表示形式。

例67 如何用方向和距离描述下图21中小红家相对于学校的位置 ？反过来，学校相对于小
红家的位置怎样描述呢？
图21

统计与概率

例68 设计调查方法。
了解本年级的同学是否喜欢某电视剧。调查的结果适 用于学校的全体同学吗？适用于全地区
的电视观众吗？如果不适用，应当如何改进调查方法？
[说明]
对于许多问题，不可能、有时也不必要得到与问题有关的所有数据，只要得到一部 分数据（样
本）就可以对于总体的情况进行估计。很显然，如果得到的样本能够客观地反映问题，则估< br>计就会准确一些，否则估计就会差一些。因此，我们希望寻找一个好的抽取样本的方法，使
得样本 能够客观地反映问题。在本学段，主要学习简单随机抽样方法，这是收集数据中通用
的方法，在一般情况 下，我们都假定样本是通过随机的方法得到的。
因为同一个年级的学生差异不大，采用简单随机抽样方 法比较合适。可以在上学时在学校门
口随机问讯，也可以按学号随机问讯。为了分析方便，需要把问题数 字化，如喜欢这部电视
剧的记为1，不喜欢的记为0。
对于这样的问题，问讯学生数不能少于 20人，取40~50人比较合适，取更多的学生当然更
好，但需要花费更多的精力。由此可见，一个好 的抽样方法不仅希望“精度高”还希望“花
费少”。
假设问讯的学生数为n,记录数据的和为 m（显然，m为喜欢这部电视剧的人数），则调查结
果说明，学生中喜欢这部电视剧的比例为
。我们依此估计本年级的同学中喜欢这部电视剧的比例。
用这个数据估计全地区的电视观众喜 欢这部电视剧的比例是不合适的，因为学生、成年人、
老年人喜欢的电视剧往往不同。为了对全地区的电 视观众喜欢这部电视剧的情况进行估计，
可以采用分层抽样方法，比如依据年龄分层，需要知道各年龄段 人口的比例，按照比例数分
配样本数，而在各个层内则采取随机抽样；或者依据职业分层，等等。教师应 该了解分层抽
样，在本学段学生只需学习简单随机抽样方法。

例69 某个公 司有15名工作人员，他们的月工资情况如下表。计算该公司的月工资的平均
数、中位数和众数，并分别 解释结果的实际意义。

职务经理副经理职员
人数1212
月工资元5


[说明]
平 均数、中位数和众数都是刻画数据的集中趋势的方法，因为方法不同，得到的结论也可能
不同。很难说哪 一种方法是对的，哪一种方法是错的，我们只能说，能够更客观地反映实际
背景的方法要更好一些。在这 组数据中有差异较大的数据，这会导致平均数较大，因此，用
中位数或众数要比用平均数更客观一些。
不难计算出该公司月工资的中位数和众数均为800元。而
月工资的平均数= 加权平均（可以看成是加权平均）
= 5000× +2000× +800× = 1240（元）。
因此，加权平均往往就是总体平均，其中的权是数据对应的比例。

例70 如果还有一个公司也有15名工作人员，他们的月工资情况如下表。参照例69 ，比较
两个公司的月工资状况。
职务经理副经理职员
人数1212
月工资元3

[说明]容易计算，这个公司的月平均工 资也是1240元。但是两个公司月工资的方差相差很
大，通过计算可以得到：例69中数据的方差为1 174400，本例中数据的方差为294400，两
个方差相差4倍。可以让学生知道，进一步学习“ 统计与概率”，将会得到“两个方差有非
常显著的差异”的结论。


例71 比较自己班级与别的班级同学的身高状况。
[说明]对于两个班级学生身高状况比较 ，通常可以通过平均值来判断，但有时候仅仅通过平
均数是不够的，如果一个班同学之间身高差异很大， 而另一个班同学之间身高差异很小，即
使前一个班的平均高一些，也不能说这个班的整体状况很好。因此 ，在判断身高状况时，不
仅要看平均值，还需要参考方差。
进一步，可以引导学生逐渐深入地 进行数据分析，可以要求学生把身高分段，画出频数直方
图，并引导学生讨论，通过直方图是否能得到更 多的信息。

例72 下表给出了我国1992~2004年国内生产总值（GDP）。 在直角坐标系上描出坐标（年，
GDP），并试用直线表示发展趋势。
1992~2004中国GDP变化表（亿元）
年份471998
GDP23938346344675958478678857446378345
年份4
GDP825136876

[说明]
在 现实生活中，有许多数据是与时间有关的，因此这些数据会呈现发展趋势。学生应当能够
理解报刊书籍中 的这类数据的表达，包括表格、描点、折线图、趋势图等，并且尝试自己表
达分析。
对于上述 数据，学生应当会描点，虽然这时直角坐标系的度量单位与书本上教的是不一样的，
但是只要刻度之间的 比例关系一致，表达就是合理的，让学生感悟到：对于实际问题往往需
要具体问题具体分析，而不能单纯 地套用书本上学到的知识。因为描点呈现线性增长趋势，
可以进一步引导学生利用直线来表示这种趋势、 预测未来经济发展，感悟变量的随机性。

图22

对于“用直线表示发展趋势”的问题，原则上可以画出很多条直线，教师可以引导 学生思考
和讨论如何画出合适的直线、如何制定“合适直线”的标准，并且告诉学生，在高中阶段“统< br>计与概率”的学习中将会解决这个问题，引发学生的学习兴趣。
这个例子可以举一反三，不一定 局限与时间有关的数据，比如，学生身高与体重的关系，同
一种树的树叶长与宽的关系（参见例79）。 也可以组织学生查阅资料，探究进出口总量与
GDP的关系，人均收入与GDP的关系，等等。

例73 将下面这些卡片混在一起，从中任意选取一张卡片，这张卡片是船的概率是多少？
是车的呢？








图23

[说明] 这是例42的继续。学生已经能够理解：任意选取一张卡片，这张卡片 是船的可能性
比是车的可能性大，现在应当明确地知道其概率分别是 和 。
这个例子可以举 一反三，如转动转盘，当转盘停止时指针指向某一特定部分的概率；一个袋
子里有几种颜色、数量不同的 球，随机摸出某种颜色球的概率，等等。

例74 分析掷两个骰子点数之和的可能性的大小。
[说明]
这个问题看起来很难，无从下手。事 实上，这也是简单事件的问题，利用例10的图，可以
得到结论：对应的格子越多可能性越大。比如，点 子之和为7的可能性最大，为2或者12
的可能性最小。

综合与实践

例75 直觉的误导。
有一张8 cm 8 cm的正方形的纸片，面积是64
cm2。把这张纸片按图24-1所示剪开，把剪出的4个小块按 图24-2所示重新拼合，这样就
得到了一个长为13cm，宽为5cm的长方形，面积是65
cm2。这是可能的吗？










图24-1 图24-2

[说明]这是一个直觉与逻辑不符的例子，希望学生通过学习体会到：对于数 学的结论，完全
凭借直觉判断是不行的，还需要通过演绎推理来验证。
一般来说，学生应当是不会相信图24-2中纸片的面积是65
cm2，但又无法说明为什 么观察的结果是错误的。进一步引导学生思考，如果观察是错误的，
那么错误可能出在哪里呢？学生通过 逻辑思考，可以推断只有一个可能：图24-2中纸片所
示图形不是长方形，因此不能用长方形的面积计 算公式来计算面积。然后，可以引导学生实
际测量图形左上角或者右下角，发现确实不像是直角。可以告 诉学生，这个想法是正确的，
但最好能够给出证明，引导学生经历一个由合情推理到演绎推理的过程。
在实际教学中可以引导学生先看图、再让学生分组将图剪开，动手操作发现矛盾（64=65？）。然后，尝试找出理由并尝试证明，最后表达收获。
可以采用如下反证法证明，在证明过程中加深对相似图形的理解。
如图25，过D做AC的垂 线交AC于F。假定图24-2中的图形是长方形，那么图形的右下
角就应当是直角，则在图25中有∠ 1+∠3=90°。因为∠2+∠3=90°，则∠1=∠2。由相似
三角形的判定定理，两个直角三角 形△ABC与△DEF相似。由相似三角形对应边成比例，
应当有：
，这是不可能的，因此图24-2中的图形不可能是长方形。
由于 ，这个差是很小的，因此会造成我们视觉的误差，把图24-2中的图形判断为
长方形。
图25

教学中可以鼓励学生运用不同的方法对此问题进行解释。

例76 从年历中想到的。
观察几个年份的年历和月历，思考下面几个问题：
（1）在同一年的月历中，哪些月份的“月历表”的排列是基本一致的？
（2）有一种计算机 病毒叫“黑色的星期五”，当计算机的日期是13日又是星期五时，这种
病毒就发作。请找出最近的5个 使“黑色的星期五”发作的年、月、日。
（3）许多人都认为，“办喜事”最好是“6月6日又是星期 六”，可是有人说：“这样的日子
是千载难逢”，你同意这种说法吗？你能找出几个“6月6日又是星期 六”的具体年份吗？
[说明]
这是一个通过对日常生活观察、发现某些规律的开放性问题 ，可以根据学生的学习情况，提
出不同层次的问题。每一个问题的设计，都是为了让学生学会观察、思考 和质疑，提高学生
学习数学的兴趣，体会模型思想。
问题（1）是让学生学会观察、学会提问 题。这个问题的入手点低，每个学生都能参与，都
能有所发现。并且可以培养学生“分类讨论”的意识， 分平年和闰年：平年时，1，10月；
2，3，11月；4，7月；9，12月的月历表基本一致；闰年 时，1，4，7月；2，8月；3，11
月；9，12月的月历表基本一致。引导学生在貌似杂乱无章中 发现规律，利用规律感悟周期
现象。
问题（2）中最近的几个“黑色的星期五”是：2009 年2月13日、2009年3月13日、2009
年11月13日、2010年8月13日、2011年 5月13日（随着时间的推移，这个日期会发生
变化）。解决问题的方式较多，可以利用对问题（1）发 现的规律来思考。也可以充分利用信
息工具，如从网上找一个“万年历”的小软件用于观察发现。 问题（3）中最近的几个“6月6日星期六”的日子有1992年、1998年、2009年、2015年、
2020年，因此“千载难逢”的说法不对。更加理性的思考是：闰年的周期大体上是“4”，
星期的周期是“7”，所以年历的变化周期“大体上”不会超过4
7
=28。一旦找到 了一个“6月6日星期六”的日子，如1992年，“大体上”可以猜测1992+28=2020
（年 ）的6月6日也是星期六。也可以让学生思考：为什么是“大体上”，例外发生的条件
是什么？

例77 包装盒中的数学。
（1）让学生分组收集一些商品的空包装纸盒，请大家分别计算出它们的体积和表面积。
（2）请学生将这些盒子拆开，看一看它们是怎样裁剪和粘接出来的。
（3）给一个矩形纸板 （如A4纸大小），让学生根据上面的发现，裁剪、折叠出一个无盖长
方体的盒子，并计算出它的体积。
（4）同组同学之间比较结果，分析谁的体积比较大？分析怎样能作一个体积更大（最大）
的盒 子？（只是实验、比较，不要求证明）。
（5）结合一种具体的待包装物体 (如5本书或2个茶杯) 设计一个包装盒，使这个盒子恰
能包容它们，如有可能实际做出这个盒子。
[说明] 这是一个过程比较长的活动，可以引导学生体验一个比较完整的问题解决过程。让学生收集
包装盒、 拆开观察是一个很有益的过程，能很好地启发学生如何寻求解决后面问题的思路。
问题（5）是一个实际 应用，它的结果不唯一，可以交流展示学生的成果，请学生说明制作
过程中的关键数据是如何得到的和裁 剪方案是如何形成的。

例78 看图说故事。
如图26，设计两个不同问题情 境，使情境中出现的一对变量，满足图示的函数关系。结合
图像，讲出这对变量的变化过程的实际意义。
2

5 11 15
图26
[说明] 通过这个活动，激发学生自己思考并构造出满足特定关系的函数实例，以加深对函
数理解。
学生可以设计多种情境，比如，把这个图看成“小王跑步的s-t图”，可以说出下面的故事：
小王以常速度400米分，跑了5分，在原地休息了6分，然后以常速度500米分，跑回出
发地。 < br>再比如：有一个容积为2升的开口空瓶子，小王以常速度0.4升秒，向这个瓶子注水，灌了
5秒 后停水，等6秒后，然后以常速度0.5升秒，倒空瓶中水。
老师可以鼓励学生，创设不同的符合函数关系和实际情况的情境。

例79 利用树叶的特征对树木分类。
（1）收集三种不同树的树叶，每种树叶的数量相同，比如，每种树选10片树叶。
（2）分类测量每种树叶子的长和宽，列表记录所得到的数据。
（3）分别计算出树叶子的长宽比，估计每种树树叶的长宽比。
（4）验证估计的结果。
[说明] 我们可以抓住树的某些特征对树进行分类，本例是利用树叶的数据特征来对树进行
分类。
本活 动适用本学段的各个年级，要求可以不同。学生先通过数据收集和分析知道一些树的树
叶的长与宽的比； 对于新采集到的树叶，通过长与宽的比来判断这个树叶是属于哪种树。这
一学习活动有利于培养学生的数 据分析意识，体会有许多事情，通过数据分析可以抓住本质。
知道数据不仅仅是别人提供的，还可以自己 收集；对于同一种树，叶子长与宽的比也可能是
不一样的，进一步感受数据的随机性；体会只要有足够的 数据，就能够分析出一些规律性的
结论。
教学中可以作如下设计：
（1）建议采用小组活动的形式，学生通过合作交流可以获得较多的数据和信息。
（2）为了 使分析的结果更加明显，最好选择树叶区别较大的三种（或者更多）树、而每种
树选择的树叶的大小要接 近，即区别要小一些。
（3）“估计每种树树叶的长宽比”的方法可以是多样的，比如，对于每种树的 10片树叶都
测量了长和宽以后，可以用10个比值的众数，也可以用10个比值的中位数；还可以把长 和
宽各自相加后，取和的比值，这是10个比值的平均数（教师可以思考：为什么不用通常求
平 均数的方法计算比值的平均数）。针对这个问题，用平均数是比较合适的。
（4）取一片新的树叶，通 过这片树叶的长宽之比、参照（3）的估计结果，来判断这片树叶
属于哪种树。学生会发现，即使是同一 棵树，叶子长与宽的比值恰好等于估计值的可能性也
很小，这表现了数据的随机性。可以进一步启发学生 考虑一个合理的方案：只要比值大概等
于估计值，就可以认为是同一种树，也就是说，需要构造一个以估 计值为中心的数值区间，
当新取的树叶的长宽比值属于这个区间时就认为属于这个树种。如何合理地构造 这个数值区
间是重要的，区间太短则可能拒绝同类树种，区间太长则判断的精度就要差。可以考虑下面< br>的方法：当估计值是中位数时，区间由比中位数小两位的比值和比中位数大两位的比值构成；
当估 计值是平均数时，区间的长度为平均数±σ，或者平均数±2σ，其中σ是样本标准差。
让学生感悟决定 数值区间的道理（可以告诉学生，进一步的学习，将会从理论上计算区间的
长度）。
这个问题可以举一反三。

例80 利用几何图形研究代数问题。
对于给定的两个数x和y，求使得 (x-b)²+ (y-b)² 达到最小的b，也就是说要找
到一个b0，使得对任意的b有
(x-b0)² + (y-b0)² (x-b)² + (y-b)²。

[说明] 利用直角坐标系，不仅能够推导出几何图形的代数表达式，还能够利用几何图形来
研 究代数问题，这是帮助学生建立几何直观的有效途径。

图27
可以把给 定的两个数看作数对，对应于二维平面的点（见图27），用A(x，y)表示。对于任
意数b也可以看 作数对(b，b)，用点B(b，b)表示。
回忆关于直线的学习，由图27可以看到，点B(b，b )是在通过第一象限、与横坐标倾斜45°
角的直线上。我们的问题用几何语言可以表述为：在这条直线 上寻找一点，使得这一点到给
定点A(x，y)的距离最短。显然，这一点应当是点A(x，y)到直线 的垂足，设其为B′(b0，
b0)。因为
(x-b)²+ (y-b)² = (x-b0+b0-b)²+ (y-b0+b0-b)²
= [(x-b0)²+ (y-b0)²] + 2[(x-b0) + (y-b0)]( b0-b) + 2(b0-b)²。
由图2 7，我们可以把上式左边看作线段AB长的平方，上式右边第一个中括号中的两项之
和看作线段AB′长 的平方，最后一项看作线段BB′长的平方，因为B′是A到直线的垂
足，由勾股定理，上式右边第二项 应当为0，即(x-b0)
+ (y-b0)=0，可以得到b0=(x+y)2。
从上 面的计算结果可以看到，b0正是x和y的算术平均。上面的证明方法和结果可以推广
到n个数据，即对 于给定的n个数 x1，…，xn，使得
(x1-b)² +…+ (xn-b)²
达到最小的b为
(x1+…+xn)，这是n个数据的平均数 。在“统计与概率”中，通常称上式为离差平方和，如
果把n个数据看作样本，那么，样本平均使样本的 离差平方和达到最小，因此在“统计与概
率”中经常会用到样本平均。


实施建议

例81 “零指数”的教学设计（第三学段）。
本实例希 望体现课程目标在课堂教学中的整体落实——通过本节课的学习，学生不仅理解和
掌握有关的知识技能， 而且初步了解指数概念是如何扩充的，感受零指数“规定”的合理性。
通过计算 提出问题：如果应用同底数幂的运算性质，可以得到 。那么 有什么意义呢？等
于多少呢？我们需要做出解释，数学面临了挑战。
我们先回顾简单的事实： ，于是可以自然提出猜想： =1，然后采用各种途径引导学生感
受规定“ =1”的合理性。例如：
用细胞分裂作为情境，提出问题：一个细胞分裂1次变2个，分裂2次变4个，分裂3次变
8个 ……那么，一个细胞没有分裂时呢？
观察数轴上表示2的正整数次幂16，8，4，2，等等点的位置变化，可以发现什么规律？

图28

再观察下列式子中指数、幂的变化，可以发现下面的规律：

这样，在学生感受“ =1”的合理性的基础上，做出零指数幂意义的“规定”，即 。
在规 定的基础上，再次验证这个规定与原有“幂的运算性质”是无矛盾的，原有的幂的运算
性质可以扩展到零 指数。例如，计算 ：
综上，学生在学习“零指数”时将经历如下的过程：
面对挑战进行思 考—提出“规定”的猜想—通过各种途径说明“规定”的合理性—做出“规
定”—验证这种“规定”与原 有知识体系无矛盾—指数概念和性质得到扩展。
这样的过程较充分地体现了数学自身发展的轨迹，有助 于学生感悟指数概念是如何扩展的，
他们借助学习“零指数”所获得的经验，可以进一步尝试对负整数指 数幂的意义做出合理的
“规定”。这样的过程较充分地展示了“规定”的合理性，有助于发展学生的理性 思维。

例82 百分数的认识（第二学段）。
上课开始，教师与学生共同 展示自己收集的生活中的“百分数”例子，比如，在饮料的包装
盒上、在衣服的标签上、在报纸上、在玩 具的说明书上，学生们发现了很多的百分数。教师
要引发学生对这些新认识的数的兴趣，并鼓励学生对于 百分数提出问题。比如：
（1）人们为什么要用百分数？
（2）百分数与分数有什么区别？
（3）百分数是什么意思？
（4）百分号是怎么写的？
（5）百分数是干什么的？
在此基础上，教师可以与学生一起把问题归纳为：
（1）为什么要用百分数？
（2）在什么情况下用百分数？
（3）百分数是什么意思？
（4）百分数与分数有什么联系？
在对问题进行归纳后，可以让学生分小组尝试回答这些问题 ，然后教师和学生共同提炼出本
节课所要学习的知识。在这些基础上，教师可以进一步引导学生考虑：还 可以创造什么数？
如果学生的思维活跃，可能会提到十分数、千分数等。这个过程，不仅促使学生对知识 的理
解更加深刻，而且也能鼓励学生思维的创新。

例83 开放式问题及其评价。
活动问题：晚会奖品
问题：在一次晚会上，6份相同的奖品被藏了起 来。请两位同学李明和王佳一起去找这些奖
品，直到6份奖品全部被找到。两位同学找到奖品的数量可能 是多少？
把两个同学找到奖品的数量列在下表中。（表中已经列举了一种可能的情况）
李明找到的奖品数0
王佳找到的奖品数6

请你解释为什么王佳不可能恰好比李明多找到1份奖品。
解决方案：
两个同学找到奖品的数量有下面７种可能的情况：
李明找到的奖品数0123456
王佳找到的奖品数6543210

只有当奖品总数是奇数的时候，两个人所找到的奖品数一个是奇数，一个是偶数，这时王佳
才可能比李 明多找到1份奖品。由于６是偶数，它是两个奇数或两个偶数的和，因此，王佳
不可能恰好比李明多找到 1份奖品。
评分指南：
一级水平二级水平三级水平四级水平
数学准确性和方法没有指出李明和王佳找到的奖品的所有可能情况指出了李明和王
佳找到奖品的所有可能 情况，但没有系统的方法指出了李明和王佳找到奖品的所有可能情
况，运用了比较系统的方法指出了李明 和王佳找到奖品的所有可能情况，运用了非常系统的
方法
解释的合理性没有理解 问题或者没有认识到王佳不可能比李明多找到1份奖品试图
回答问题但没有认识到王佳不可能比李明多找 到1份奖品解释中涉及了一些关于奇数和偶
数的内容，但不清楚解释充分说明了为什么王佳不可能比李明 多找到1份奖品

下面是一个学生的答案，被评为水平三：
李明找到奖品的数量王佳找到奖品的数量
0
3
5
1
6
4
26
3
1
5
0
2
4
解释为什么王佳找到的奖品数不可能恰好比李明多1份？
王佳不可能恰好比李明多找1份，因为6是个偶数，它有许多分解的方法。

这个回答运用列 举的方式找出了所有可能的组合。学生正确地指出王佳不可能恰好比李明多
找到1份奖品，并且认识到了 这和奇数、偶数有关。但是，原因说明得不够清楚，也许他还
没有完全理解。所以评为水平三。




[1] 凡是打星号的内容是选学内容，不作考试要求。
[2] 考试中，只能用下文出现的基本事实和定理作为证明的依据。
[3] 考试中，不要求用（2）（3）（6）证明其他命题。
[4] 考试中，不要求用（4）（5）证明其他命题。
[5]
延迟评价是指在平时学习过程中， 对尚未达到目标要求的学生，可暂时不给明确的评价结果，
给学生更多的机会，当取得较好的成绩时再给 予评价，以保护学生学习的积极性。