数学江苏卷数学三大危机

2020年11月13日发(作者：华明素)
数学三大危机
第一，
希伯斯
（Hippasu，米太旁登地方人，公元前5 世纪）发现了一个腰为1的
等腰直角三角形的斜边（即根号2）永远无法用最简整数比（不可公度比）来 表示，
从而发现了第一个无理数，推翻了
毕达哥拉斯
的著名理论。相传当时毕达哥拉斯 派的人
正在海上，但就因为这一发现而把希伯斯抛入大海。
第二，微积分的合理性遭到严重质疑，险些要把整个微积分理论推翻。
第三，罗素悖论：S由 一切不是自身元素的集合所组成，那S包含S吗？用通俗
一点的话来说，小明有一天说：“我正在撒谎！ ”问小明到底撒谎还是说实话。罗素悖论
的可怕在于，它不像最大序数悖论或最大基数悖论那样涉及集合 高深知识，它很简单，
却可以轻松摧毁集合理论！
中文名 数学三大危机 外文名 Three crises in Mathematics
第一次 发现了根号2，推翻“万物皆数” 第二次 微积分概念的合理性遭到严重质疑 第三次 集合论中的罗
素悖论
毕达哥拉斯是公元前五世纪
古希腊
的著名数学家与哲 学家。他曾创立了一个合政治、
学术、宗教三位一体的神秘主义派别：
毕达哥拉斯学派
。由毕达哥拉斯提出的著名命题
“万物皆数”是该学派的哲学基石。毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数。 而“一切数均可表
成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建
立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。
毕达哥拉斯定理提出后， 其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1
的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长 度既不能用整数，也不能用分数表示，
而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个 无理数
小小
的诞生。
的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕 达哥拉斯学
派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达
哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结
论的悖论性表现 在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有
理数。这不但在希腊当时是人们普 遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展
时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经 验所确信的，完全符合常识的论断
居然被小小的的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事 ！它简直把
以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在
当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第
一次数学危机” 。
数学三大危机第二次数学危机

数学三大危机出现
第二次数学危机导 源于微积分工具的使用。伴随着人们科学理论与实践认识的提高，
十七世纪几乎在同一时期，微积分这一 锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹共同发现。
这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。许许多多疑 难问题运用这一工具后变得易如
反掌。但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的 。两人的理论
都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。< br>因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教
贝克莱。
数学三大危机解决
经过柯西（微积分收官人）用极限的方法定义了无穷小量，微积分理论得以 发展和
完善，从而使数学大厦变得更加辉煌美丽！
数学三大危机第三次数学危机

数学三大危机出现
十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到 许多人
的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的
赞 誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合
论成为现代数学的基 石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为
之陶醉。1900年，国际数学家大 会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“……
借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦 ……今天，我们可以说绝对的严格性已经
达到了……”
可是，好景不长。1903年，一个震 惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这
就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。
罗 素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：S是
否属于S呢？根据排中律 ，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，
对于一个给定的集合，问是否属于它自己是 有意义的。但对这个看似合理的问题的回答
却会陷入两难境地。如果S属于S，根据S的定义，S就不属 于S；反之，如果S不属
于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。
其实，在 罗素之前集合论中就已经发现了悖论。如1897年，布拉利和福尔蒂提出
了最大序数悖论。1899年 ，康托尔自己发现了最大基数悖论。但是，由于这两个悖论
都涉及集合中的许多复杂理论，所以只是在数 学界揭起了一点小涟漪，未能引起大的注
意。罗素悖论则不同。它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合 论中最基本的东西。所
以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。如G.弗雷 格在
收到罗素介绍这一悖论的信后伤心地说：“一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于
是在 他的工作即将结束时，其基础崩溃了。罗素先生的一封信正好把我置于这个境地。”
戴德金也因此推迟了 他的《什么是数的本质和作用》一文的再版。可以说，这一悖论就
像在平静的数学水面上投下了一块巨石 ，而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危
机。
数学三大危机解决
排除悖论
危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合
论进行改造， 通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。“这些原
则必须足够狭窄，以保证排除一 切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中
一切有价值的内容得以保存下来。”1908年， 策梅罗在自己这一原则基础上提出第一个
公理化集合论体系，后来经其他数学家改进，称为ZF系统。这 一公理化集合系统很大
程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。除ZF系统外，集合论的公理系统还有多 种，
如诺伊曼等人提出的NBG系统等。
公理化集合系统
成功排除了集合论中出现 的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另
一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影 响。它使得数学基础问题第一次以最迫
切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究 。而这方面的进一步
发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著 名
的三大数学流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展等等。