江苏数学卷数学的三次危机第三次数学危机

2020年11月13日发(作者：曾南)
数学的三次危机——第三次数学危机
数学基础的第三次危机是由1897年的突然冲击 而出现
的，从整体上看到现在还没有解决到令人满意的程度。这次
危机是由于在康托的一般集合 理论的边缘发现悖论造成的。
由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合
论已经 成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引
起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。
1897年，福尔蒂揭示了集合论的第一个悖论;两年后，康
托发现了很相似的悖论，它们涉 及到集合论中的结果。1902
年，罗素发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉
及别 的概念。
罗素，英国人，哲学家、逻辑学家、数学家。1902年著
述《数学原理》，继而 与怀德海合著《数学原理》(1910年～
1913年)，把数学归纳为一个公理体系，是划时代的著作 之
一。他在很多领域都有大量著作，并于1950年获得诺贝尔
文学奖。他关心社会现象，参加 和平运动，开办学校。1968～
1969年出版了他的自传。
罗素悖论曾被以多种形式通 俗化，其中最著名的是罗索于
1919年给出的，它讲的是某村理发师的困境。理发师宣布了
这 样一条原则：他只给不自己刮胡子的人刮胡子。当人们试
图答复下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论 性质：“理
发师是否可以给自己刮胡子?”如果他给自己刮胡子，那么
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他就不符合他的原则;如果他不给自己刮胡子，那么他按原
则就该为自己刮胡子。
罗素悖论使整个数学大厦动摇了，无怪乎弗雷格在收到罗
素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则 》第2卷本
末尾写道：“一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即
在工作完成之时，它的基 础垮掉了。当本书等待付印的时候，
罗素先生的一封信把我就置于这种境地”。狄德金原来打算
把《连续性及无理数》第3版付印，这时也把稿件抽了回来。
发现拓扑学中“不动点原理”的布劳恩也认 为自己过去做
的工作都是“废话”，声称要放弃不动点原理。
自从在康托的集合论和发现上 述矛盾之后，还产生了许多
附加的悖论。集合论的现代悖论与逻辑的几个古代悖论有关
系。例如 公元前四世纪的欧伯利得悖论：“我现在正在做的
这个陈述是假的”。如果这个陈述是真的，则它是假的 ;然
而，如果这个陈述是假的，则它又是真的了。于是，这个陈
述既不能是真的，又不能是假的 ，怎么也逃避不了矛盾。更
早的还有埃皮门尼德(公元前6世纪，克利特人)悖论：“克
利特人 总是说谎的人”。只要简单分析一下，就能看出这句
话也是自相矛盾的。
集合论中悖论的存 在，明确地表示某些地方出了毛病。自
从发现它们之后，人们发表了大量关于这个课题的文章，并
且为解决它们作过大量的尝试。就数学而论，看来有一条容
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易的出路：人们只要把集合论建立在公理化的基础上，加以
充分限制以排除所知道的矛盾。
第一次这样的尝试是策梅罗于1908年做出的，以后还有
多人进行了加工。但是，此程序曾 受到批评，因为它只是避
开了某些悖论，而未能说明这些悖论;此外，它不能保证将
来不出现别 种悖论。
另一种程序既能解释又能排除已知悖论。如果仔细地检查
就会发现：上面的每一个 悖论都涉及一个集合S和S的一个
成员M(既M是靠S定义的)。这样的一个定义被称作是“非
断言的”，而非断言的定义在某种意义上是循环的。例如，
考虑罗素的理发师悖论：用M标志理发师，用 S标示所有成
员的集合，则M被非断言地定义为“S的给并且只给不自己
刮胡子人中刮胡子的那 个成员”。此定义的循环的性质是显
然的——理发师的定义涉及所有的成员，并且理发师本身就
是这里的成员。因此，不允许有非断言的定义便可能是一种
解决集合论的己知悖论的办法。然而，对这种 解决办法，有
一个严重的责难，即包括非断言定义的那几部分数学是数学
家很不愿丢弃的，例如 定理“每一个具有上界的实数非空集
合有最小上界(上确界)”。
解决集合论的悖论的其它尝试，是从逻辑上去找问题的症
结，这带来了逻辑基础的全面研究。
从1900年到1930年左右，数学的危机使许多数学家卷入
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一场大辩论当中。 他们看到这次危机涉及到数学的根本，因
此必须对数学的哲学基础加以严密的考察。在这场大辩论
中，原来不明显的意见分歧扩展成为学派的争论。以罗素为
代表的逻缉主义、以布劳威为代表的直觉主 义、以希尔伯特
为代表的形式主义三大数学哲学学派应运而生。它们都是唯
心主义学派，它们都 提出了各自的处理一般集合论中的悖论
的办法。他们在争论中尽管言语尖刻，好象势不两立，其实
各自的观点都吸收了对方的看法而又有很多变化。
1931年，哥德尔不完全性定理的证明暴露了 各派的弱点，
哲学的争论黯淡了下来。此后，各派力量沿着自己的道路发
展演化。尽管争论的问 题远未解决，但大部分数学家并不大
关心哲学问题。直到近年，数学哲学问题才又激起人们的兴
趣。
承认无穷集合、承认无穷基数，就好象一切灾难都出来了，
这就是第三次数学危机的实 质。尽管悖论可以消除，矛盾可
以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理
集合 论中一大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它
们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以 ，第三次
数学危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续
着。

数学中的矛盾既然是固有的，它的激烈冲突——危机就不
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可避免。危机的解决给数 学带来了许多新认识、新内容，有
时也带来了革命性的变化。把20世纪的数学同以前全部数
学 相比，内容要丰富得多，认识要深入得多。在集合论的基
础上，诞生了抽象代数学、拓扑学、泛函分析与 测度论，数
理逻辑也兴旺发达成为数学有机体的一部分。古代的代数几
何、微分几何、复分析现 在已经推广到高维。代数数论的面
貌也多次改变，变得越来越优美、完整。一系列经典问题完
满 地得到解决，同时又产生更多的新问题。特别是二次大战
之后，新成果层出不穷，从来间断。数学呈现无 比兴旺发达
的景象，而这正是人们同数学中的矛盾、危机斗争的产物。


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