江苏卷数学三大数学危机

2020年11月13日发(作者：车进)
数学三大危机

数学三大危机简述：第一，一位学生发现了一个底边为1的等腰直角三 角形的斜边（即根
号2）永远无法用最简整数比来表示，从而发现了第一个无理数，推翻了毕达哥拉斯的 著名
理论，但就因为这样这个学生也被抛入大海；第二，微积分的合理性遭到严重质疑，险些要
把整个微积分理论推翻；第三，罗素悖论：S由一切不是自身元素的集合所组成，那S属
于S吗？用通俗 一点的话来说，小明有一天说：“我永远撒谎！”问小明到底撒谎还是说实话。
罗素悖论的可怕在于，它 不像最大序数悖论或最大基数悖论那样涉及集合高深知识，它很简
单，轻松摧毁集合理论！
第一次数学危机

第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕 达哥拉斯建立了毕达
哥拉斯学派。这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所 有发明
创造都归于学派领袖。当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之
比，他们 错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。该学派的成员希伯索斯
根据勾股定理（西方称 为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为l的正方形的对角线
长度既不是整数，也不是整数的比所 能表示。希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的
事。它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条 ，也冲击了当时希腊人的传统见解。使当时
希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中 淹死，这就是第一次数学危机。
这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。两个几何线段 ，如果存在一个第
三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。正方形的 一边
与对角线，就不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。很显然，只要承
认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了。不可通
约量的研究开 始于公元前4世纪的欧多克斯，其成果被欧几里得所吸收，部分被收人他的
《几何原本》中。
折叠
第二次数学危机

第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生 后，由于推敲微积分的理论基
础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。微积分的形成给数学界 带来革命性变化，
在各个科学领域得到广泛应用，但微积分在理论上存在矛盾的地方。无穷小量是微积分 的基
础概念之一。微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分
母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的
项，从而得到 所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推
导过程却在逻辑上自相矛盾 。焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它做除
数？如果不是零，又怎么能把包含着无穷 小量的那些项去掉呢？直到19世纪，柯西详细而
有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为确 定的量，即使是零，都说不过去，它
会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量， 因此本质上它是变量，
而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，而且把无穷小量从 形而上学
的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。
第二次数学危机的解决使微积分更完善。
折叠
第三次数学危机

第三次数学危机，发生在十九世纪末。当时英国数学家罗素把集合分成两种。
第一种集合：集合本身不是它的元素，即A A；第二种集合：集合本身是它的一个元
素A∈A ，例如一切集合所组成的集合。那么对于任何一个集合B，不是第一种集合就是第
二种集合。
假设第一种集合的全体构成一个集合M，那么M属于第一种集合还是属于第二种集合。
如果M 属于第一种集合，那么M应该是M的一个元素，即M∈M，但是满足M∈M
关系的集合应属于第二种集合 ，出现矛盾。
如果M属于第二种集合，那么M应该是满足M∈M的关系，这样M又是属于第一种
集合矛盾。
以上推理过程所形成的俘论叫罗素悖论。由于严格的极限理论的建立，数学上的第一
次第二次危 机已经解决，但极限理论是以实数理论为基础的，而实数理论又是以集合论为基
础的，现在集合论又出现 了罗素悖论，因而形成了数学史上更大的危机。从此，数学家们就
开始为这场危机寻找解决的办法，其中 之一是把集合论建立在一组公理之上，以回避悖论。
首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗，他提出七 条公理，建立了一种不会产生悖论的集
合论，又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进，形成了一个无 矛盾的集合论公理系统。
即所谓ZF公理系统。这场数学危机到此缓和下来。数学危机给数学发展带来了 新的动力。
在这场危机中集合论得到较快的发展，数学基础的进步更快，数理逻辑也更加成熟。然而，< br>矛盾和人们意想不到的事仍然不断出现，而且今后仍然会这样。






在第一次危机中导致无理数的产生；第二次危机发生在十七世纪微积分 诞生后，无穷小量的
刻画问题，最后是柯西解决了这个问题；第三次危机发生在19世纪末，罗素悖论的 产生引
起数学界的轩然大波，最后是将集合论建立在一组公理之上，以回避悖论来缓解数学危机。 第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯
学派 。这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都
归于学派领袖。当 时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达
哥拉斯学派所说的数，原来是指 整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，
他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为 整数或整数之比。该学派的成员希伯索斯根据
勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现， 边长为1的正方形的对角线长
度既不是整数，也不是整数的比所能表示。希伯索斯的发现被认为是“荒谬 ”和违反常识的事。
它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。使当 时希腊
数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。 最后，这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。两个几何线段，如果存在一
个第三线 段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。正方形的
一边与对角线，就不存 在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。很显然，只
要承认不可通约量的存在使几何量不 再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了。 第
二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分 诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，
数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。其实我翻了一下有 关数学史的资料，微积分的雏
形早在古希腊时期就形成了，阿基米德的逼近法实际上已经掌握了无限小分 析的基本要素，
直到2100年后，牛顿和莱布尼兹开辟了新的天地——微积分。 第三次数学危机发生 在1902
年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾。











数学史上三大危机
第一次危机
1、起因：在公元前580～568年之 间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。
这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人 数固定，知识保密，所有发明创造都归于学
派领袖。当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概 念更是一无所知，毕达哥拉斯
学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整 数之比，他们错
误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比，即“万物皆数”。该学派的成员 希伯
索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为l的正方形的对
角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常
识的事。它 不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。使
当时希腊数学家们深感不 安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学
危机。
2、解决：这场危机 通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。两个几何线段，如果
存在一个第三线段能同时量尽它们 ，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。正
方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽它们 的第三线段，因此它们是不可通约的。很显
然，只要承认不可通约量的存在使几何
量
不 再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在
了。
3、 意义：不可通约量的研究使几何学 更加完备，其成果被欧几里得所吸收，部分被收人他
的《几何原本》中。
第二次数学危机 < br>1、起因：十七世纪，微积分的形成给数学界带来革命性变化，在各个科学领域得到广泛应
用，但 微积分在理论上存在矛盾的地方。无穷小量是微积分的基础概念之一。微积分的主要
创始人牛顿在一些典 型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量
不能为零；第二步牛顿又把无穷小 量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，
在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的 ，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛
盾。焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它做 除数？如果不是零，又怎么
能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？
2、解决：直到19世纪， 柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为确
定的量，即使是零，都说不过去，它会 与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就
怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极 限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小
的概念，而且把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数 学危机基本解决。
3、意义：第二次数学危机的解决使微积分更完善。
第三次数学危机 < br>1、起因：十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多
人的猛 烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞
誉。数学家们发现， 从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为
现代数学的基石。
可是 ，好景不长。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国
数学家罗素提出 的著名的罗素悖论。
罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：S是 否属于S
呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。
如果S 属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S
就属于S。无论如何 都是矛盾的。因而形成了数学史上更大的危机。
2、解决：数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法 ，其中之一是把集合论建立在一组公
理之上，以回避悖论。首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗，他 提出七条公理，建立了
一种不会产生悖论的集合论，又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进，形成了 一个无矛
盾的集合论公理系统。即所谓ZF公理系统。这场数学危机到此缓和下来。数学危机给数学发展带来了新的动力。
3、意义：在这场危机中集合论得到较快的发展，数学基础的进步更快，数理逻辑也更加成
熟。