数学 向量(完整版)简述数学史上的三大危机

2020年11月13日发(作者：阮毅成)

简述数学史上的三大危机

世界曾经发生过金融危机，比如美国的金融危机席卷全球，造成
了史无前例的影响。实际上， 在数学界也发生过翻天覆地的变革，那
就是数学史上的三次数学危机。
在古希腊，哲学 家都是格外重视数学。像无论是最早的唯物主义
哲学家泰勒斯，还是最早的唯心主义哲学家毕达哥拉斯， 都特别推崇
数学。在那些伟大的数学家中，在数学上成就最大的，当推毕达哥拉
斯。
毕达哥拉斯建立了一个带有神秘色彩的团体，被称为毕达哥拉斯
学派。这个学派传授知识，研究数学，还 很重视音乐。“数”与“和
谐”是他们的主要哲学思想。他们认为数是万物的本源，数产生万物，
数的规律统治万物，也就是“万物皆数”的观点。“万物皆数”就是
万物皆可用自然数或分数表示。然 而，这一观点在后来确被毕达哥拉
斯自己给推翻了。这还得从一个有趣的故事说起。有一次毕达哥拉斯< br>去朋友家做客，他发现朋友家的地板上的方形图案很有意思，凭借着
他数学家头脑的直觉，得出了 我们今天所学的勾股定理以及证明。然
而根据勾股定理，边长为1的正方形，其对角线的长度应当是根号 2，
毕达哥拉斯发现根号2既不是自然数，也不是分数。这个事实的发现，
是毕达哥拉斯学派的 一大成就，它标志着人类思维有了更高的抽象能
力。
但这一发现引起了毕达哥拉斯学派的惶恐不安。因为他们心目中
的数只有自然数与自然数之比 ---分数。如今发现边长为1的正方形的
对角线这个明明白白地摆在那里的东西竟不能用“数”表示。 这难道
不是自己否定自己信仰的真理吗？于是毕达哥拉斯学派千方百计封
锁消息，但是纸包不住 火终于还是传开了。当时研究数学的希腊学者
们便对数的重要性有了怀疑。哲学家们认为世界上的量都可 以用数表
示，任何两个分数，无论多么近，他们之间还有无穷对个分数，这么
多的数居然还不能 表示出线段上某些点的长度，数的万能的力量因为
根号2的出现被否定了，这就是所谓的第一次数学危机 。
第二次数学危机
我们生活着的这个世界，在一刻不停地变化着。古希腊哲学家赫
拉克利特说：人不能两次踏入同一条河流，因为河水在流动，当人第
二次踏进同一条河流时，已经不是第 一次踏进时的河水了。赫拉克利
特用这个生动的比喻说明万物皆在不断变化之中，但严格说起来他的话在概念上存在疑问。当时他的对立者巴门尼德宣扬相反的观点，他
主张存在是静止的，不变的，永 恒的。他的得意门生芝诺还提出“飞
矢不动”的诡论。然而数学是讲究概念严密的，他们的说法都在概念
上存在漏洞。像什么叫“动”与“不动”，古代哲学家对于如何从逻
辑上严格把握事物的运动与 变化和相对静止与稳定的统一是不清楚
的，直到17世纪，数学上出现了变量与函数的概念才找到了精确 描
述运动与变化的工具。
对于事物的运动与变化，哲学家常有这一种说法：“运动就是矛盾”，“矛盾”是一个定义的术语，它揭示出事物的共性，但没指出运
动的特殊性，而数学中用映射 或函数描述运动却能勾画出运动的特殊
性，这对运动物体的瞬时状态的研究提供了基础。
运动 着的物体有快有慢，描述快慢程度的数量指标叫速度，考虑
速度问题离不开时间。用物体走过的距离除以 所用的时间得到的是平
均速度，不是真正的速度。而我们希望知道的真正速度，是物体某一
时刻 的速度，是所谓瞬时速度。
但是，在数学上却遇到了逻辑的困难。按速度的本来意义，是一
段 时间去除物体在这段时间内走过的距离所得的商。一个时刻，时间
是0，物体走过的距离是0 ，时间和 距离都没有了，速度有从何谈起？
0除以0在数学上有什么意义？于是在物理上看来有意义的东西，在< br>数学上却无法指出它的意义是什么。于是17世纪的一批数学家投入
了这一工作，而总其集大成者 是微积分学的创始人牛顿和莱布尼茨。
牛顿的工作正是直接从瞬时速度这一概念的数学表达式入手的。
牛顿面临两个任务，一是定义出数学上的瞬时速度的概念，二是给出
具体计算瞬时速度的方法。 想知道速度，让时间从t0变到t1，走过
的距离记做s。牛顿设想当他们最后都成为无穷小、就要成为 0而不
是0的时候，比值作为两个无穷小之比，就是所要的瞬时速度。也同
时给出了计算方法。 这一新生的有力的数学方法受到了数学家和物理
学家的热烈欢迎。大家充分地运用它，解决了大量过去无 法问津的科
技问题。但由于它逻辑上的漏洞，招来了哲学上的嘲讽和攻击，代表
人物是贝克莱主 教。由于牛顿没有清除那些模糊不清的陈述，又没有
严格界说极限的含义，因而牛顿和其后一百年间的数 学家都不能有力
地回答贝克莱的攻击，这就是数学史上所谓的第二次数学危机。
第三次数学危机
生活中处处有数学，“集合”概念和集合元素“一样多”的概念
在日 常生活中早有基础，康托的集合论的成果在当时使数学家们欢欣
鼓舞，集合论不仅使人们认识了实在的无 穷，而且自然而然地被看成
数学的基础。19世纪的数学家与逻辑学家弗雷格，根据康托集合论
的思想，写了一本《算术基础》，主张把算术的基础归结为逻辑。它
在各门科学中都被不加怀疑地使用。 弗雷格从逻辑中所谓概念的外延
出发进行阐述，但是如果承认“概念的外延”属于逻辑范畴，弗雷格就算是把算术归结为逻辑。但是正当弗雷格的著作即将出版之际，罗
素提出了悖论。
他列 举了许多通俗化悖论模型，如理发师悖论、机器人悖论等。
罗素悖论的特点是只用到“集合”、“元素” 、“属于”这些最基本的概
念。罗素从如此基本的概念竟推出了矛盾，这就表明在集合论中存在
着大漏洞。罗素的悖论给当时正为了微积分的严格基础被建立而欢欣
鼓舞的数学家们泼了一盆冷水。一向 认为推理严密、结论永远正确的
数学，竟在自己最基础的部分推出了矛盾！而推出矛盾的推理方法如此简单明了，解就是所谓的第三次数学危机。