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补习数学小学数学应用题大全(汇编)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-11-13 02:02
tags:小学数学应用题

初中数学原理-音乐演出

2020年11月13日发(作者:黄宏生)
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小学数学应用题大全

小学数学中把含有数量关系的实际问题用语 言或文字叙述出来,这样所形成的
题目叫做应用题。任何一道应用题都由两部分构成。第一部分是已知条 件(简称条
件),第二部分是所求问题(简称问题)。应用题的条件和问题,组成了应用题的
结 构。

应用题可分为一般应用题与典型应用题。

没有特定的解答规律的两步以上运算的应用题,叫做一般应用题。

题目中有特殊的数量关系 ,可以用特定的步骤和方法来解答的应用题,叫做典
型应用题。这本资料主要研究以下30类典型应用题 :

1、归一问题

11、行船问题

21、方阵问题

2、归总问题

12、列车问题

22、商品利润问题

3、和差问题

13、时钟问题

23、存款利率问题

4、和倍问题

14、盈亏问题

24、溶液浓度问题

5、差倍问题

15、工程问题

25、构图布数问题

6、倍比问题

16、正反比例问题

26、幻方问题

7、相遇问题

17、按比例分配

27、抽屉原则问题

8、追及问题

18、百分数问题

28、公约公倍问题

9、植树问题

19、“牛吃草”问题

29、最值问题

10、年龄问题

20、鸡兔同笼问题

30、列方程问题



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1 归一问题

【含义】 在解题时,先求出一份是多少(即单一量),然后以单一量为标准 ,求
出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。

【数量关系】 总量÷份数=1份数量

1份数量×所占份数=所求几份的数量

另一总量÷(总量÷份数)=所求份数

【解题思路和方法】 先求出单一量,以单一量为标准,求出所要求的数量。

例1 买5支铅笔要0.6元钱,买同样的铅笔16支,需要多少钱?




例2 3台拖拉机3天耕地90公顷,照这样计算,5台拖拉机6 天耕地多少公顷?





例3 5辆汽车4次可以运送100吨钢材,如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材,
需要运几次?




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2 归总问题

【含义】 解题时,常常 先找出“总数量”,然后再根据其它条件算出所求的
问题,叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价 、几小时(几天)的总工作量、
几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。


【数量关系】 1份数量×份数=总量 总量÷1份数量=份数

总量÷另一份数=另一每份数量


【解题思路和方法】 先求出总数量,再根据题意得出所求的数量。


例1 服装厂原来做一套衣 服用布3.2米,改进裁剪方法后,每套衣服用布2.8
米。原来做791套衣服的布,现在可以做多少 套?



例2 小华每天读24页书,12天读完了《红岩》一书 。小明每天读36页书,
几天可以读完《红岩》?




例3 食堂运来一批蔬菜,原计划每天吃50千克,30天慢慢消费完这批蔬菜。
后来 根据大家的意见,每天比原计划多吃10千克,这批蔬菜可以吃多少天?


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3 和差问题

【含义】 已知两个数量的和与差,求这两个数量各是多少,这类应用题叫和
差问题。


【数量关系】 大数=(和+差)÷ 2 小数=(和-差)÷ 2


【解题思路和方法】 简单的题目可以直接套用公式;复杂的题目变通后再用
公式。

例1 甲乙两班共有学生98人,甲班比乙班多6人,求两班各有多少人?





例2 长方形的长和宽之和为18厘米,长比宽多2厘米,求长方形的面积。




例3 有甲乙丙三袋化肥,甲乙两袋共重32千克,乙丙两袋共重30千克 ,甲
丙两袋共重22千克,求三袋化肥各重多少千克。




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例4 甲乙两车原来共装苹果97筐,从甲车取下14筐 放到乙车上,结果甲车
比乙车还多3筐,两车原来各装苹果多少筐?




4 和倍问题

【含义】 已知两个数的和及大数是小数的几倍 (或小数是大数的几分之几),
要求这两个数各是多少,这类应用题叫做和倍问题。


【数量关系】 总和 ÷(几倍+1)=较小的数
总和 - 较小的数 = 较大的数 较小的数 ×几倍 = 较大的数


【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。


例1 果园里有杏树和桃树共248棵,桃树的棵数是杏树的3倍,求杏树、桃
树各多少棵?





例2 东西两个仓库共存粮480吨,东库存粮数是西库存粮数的1.4倍,求两
库各存粮多少吨?



例3 甲站原有车52辆,乙站原有车32辆,若每天从甲站开往 乙站28辆,从
乙站开往甲站24辆,几天后乙站车辆数是甲站的2倍?

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例4 甲乙丙三数之和是170,乙比甲的2倍少4,丙比甲的3倍多6,求三数
各是多少?

5 差倍问题

【含义】 已知两个数的差及大数是小数的几倍(或小数是大 数的几分之几),
要求这两个数各是多少,这类应用题叫做差倍问题。

【数量关系】 两个数的差÷(几倍-1)=较小的数

较小的数×几倍=较大的数

【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。

例1 果园里桃树的棵数是杏树的3倍,而且桃树比杏树多124棵。求杏树、
桃树各多少棵?




例2 爸爸比儿子大27岁,今年,爸爸的年龄是儿子年龄的4倍,求父子二人
今年各是多少岁?




例3 商场改革经营管理办法后,本 月盈利比上月盈利的2倍还多12万元,又
知本月盈利比上月盈利多30万元,求这两个月盈利各是多少 万元?


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例4 粮库有94吨小麦和138吨玉米,如果每天运出小麦和玉米各是9吨,问
几天 后剩下的玉米是小麦的3倍?



6 倍比问题

【含义】 有两个已知的同类量,其中一个量是另一个量的若干倍,解题时先
求出这个倍 数,再用倍比的方法算出要求的数,这类应用题叫做倍比问题。


【数量关系】 总量÷一个数量=倍数 另一个数量×倍数=另一总量


【解题思路和方法】 先求出倍数,再用倍比关系求出要求的数。


例1 100千克油菜籽可以榨油40千克,现在有油菜籽3700千克,可以榨油
多少?





例2 今年植树节这天,某小学300名师生共植树400棵 ,照这样计算,全县
48000名师生共植树多少棵?





例3 凤翔县今年苹果大丰收,田家庄一户人家4亩果园收入11111元,照这< br>样计算,全乡800亩果园共收入多少元?全县16000亩果园共收入多少元?

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7 相遇问题

【含义】 两个运动的物体同时由两地出发相向而行,在途中相遇。这类应用
题叫做相遇问题。


【数量关系】 相遇时间=总路程÷(甲速+乙速)

总路程=(甲速+乙速)×相遇时间


【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式,复杂的题目变通后再利用
公式。

例1 南京到 上海的水路长392千米,同时从两港各开出一艘轮船相对而行,
从南京开出的船每小时行28千米,从 上海开出的船每小时行21千米,经过几小时
两船相遇?



例2 小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步,小李每秒钟跑5米,小
刘每秒钟跑3米,他们从同一地点同时出发,反向而跑,那么,二人从出发到第二
次相遇需多长时间?


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例3 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行,甲每小时行15千米,乙每小时
行13千 米,两人在距中点3千米处相遇,求两地的距离。




8 追及问题

【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发(或者在同一 地点而不是同时出
发,或者在不同地点又不是同时出发)作同向运动,在后面的,行进速度要快些,在前面的,行进速度较慢些,在一定时间之内,后面的追上前面的物体。这类应用
题就叫做追及问题 。


【数量关系】 追及时间=追及路程÷(快速-慢速)

追及路程=(快速-慢速)×追及时间


【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。


例1 好马每天走120千米,劣马每天走75千米,劣马先走12天,好马几天
能追上劣马?




例2 小明和小亮在200米环形跑道上跑步,小明跑一圈用 40秒,他们从同一
地点同时出发,同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米,求小亮的速度是每
秒多少米。

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例3 我人民解放军追击一股逃窜的敌人,敌人在下午16点开始从甲地以每小
时10千米的速度逃跑,解放军在晚上22点接到命令,以每小时30千米的速度开
始从乙地追击。已 知甲乙两地相距60千米,问解放军几个小时可以追上敌人?




例4 一辆客车从甲站开往乙站,每小时行48千米;一辆货车同时从 乙站开往
甲站,每小时行40千米,两车在距两站中点16千米处相遇,求甲乙两站的距离。





例5 兄妹二人同时由家上学,哥哥每分钟走90 米,妹妹每分钟走60米。哥
哥到校门口时发现忘记带课本,立即沿原路回家去取,行至离校180米处 和妹妹相
遇。问他们家离学校有多远?







例6 孙亮打算上课前5分钟到学校,他以每小时4千米的速度从家步行去学
校,当他走了1千米时,发现手表慢了10分钟,因此立即跑步前进,到学校恰好
准时上课。后来算了 一下,如果孙亮从家一开始就跑步,可比原来步行早9分钟到
学校。求孙亮跑步的速度。

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9 植树问题

【含义】 按相等的距离植树,在距离、棵距、棵数这三个量之间,已知其中
的两个量,要求第三个量,这类应用题叫做植树问题。


【数量关系】 线形植树 棵数=距离÷棵距+1

环形植树 棵数=距离÷棵距 方形植树 棵数=距离÷棵距-4
三角形植树 棵数=距离÷棵距-3 面积植树 棵数=面积÷(棵距×行距)


【解题思路和方法】 先弄清楚植树问题的类型,然后可以利用公式。


例1 一条河堤136米,每隔2米栽一棵垂柳,头尾都栽,一共要栽多少棵垂
柳?




例2 一个圆形池塘周长为400米,在岸边每隔4米栽一棵白杨树,一共能栽
多少棵白杨树?

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例3 一个正方形的运动场,每边长220米,每隔8米安装一个照明灯,一共
可以安装 多少个照明灯?




例4 给一 个面积为96平方米的住宅铺设地板砖,所用地板砖的长和宽分别是
60厘米和40厘米,问至少需要多 少块地板砖?






例5 一座大桥长500米,给桥两边的电杆上安装路灯,若每隔50米有一个电
杆,每 个电杆上安装2盏路灯,一共可以安装多少盏路灯?







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10 年龄问题

【含义】 这类问题是根据题目的 内容而得名,它的主要特点是两人的年龄差
不变,但是,两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生 变化。


【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系,尤其与 差
倍问题的解题思路是一致的,要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。

【解题思路和方法】 可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。


例1 爸爸今年35岁,亮亮今年5岁,今年爸爸的年龄是亮亮的几倍?明年呢?




例2 母亲今年37岁,女儿今年7岁,几年后母亲的年龄是女儿的4倍?





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例3 3年前父子的年龄和是49岁,今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍,父子
今年各多少岁?




例4 甲对乙说:“当我的岁数 曾经是你现在的岁数时,你才4岁”。乙对甲
说:“当我的岁数将来是你现在的岁数时,你将61岁”。 求甲乙现在的岁数各是
多少?


11 行船问题

【含义】 行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水
速,船速是 船只本身航行的速度,也就是船只在静水中航行的速度;水速是水流的
速度,船只顺水航行的速度是船速 与水速之和;船只逆水航行的速度是船速与水速
之差。


【数量关系】 (顺水速度+逆水速度)÷2=船速

(顺水速度-逆水速度)÷2=水速

顺水速=船速×2-逆水速=逆水速+水速×2

逆水速=船速×2-顺水速=顺水速-水速×2


【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。


例1 一只船顺水行320千米 需用8小时,水流速度为每小时15千米,这只船
逆水行这段路程需用几小时?



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例2 甲船 逆水行360千米需18小时,返回原地需10小时;乙船逆水行同样
一段距离需15小时,返回原地需 多少时间?





例3 一架飞机飞行在两个城市之间,飞机的速度是每小时576千米,风速为
每小时2 4千米,飞机逆风飞行3小时到达,顺风飞回需要几小时?


12 列车问题

【含义】 这是与列车行驶有关的一些问题,解答时要注意列车车身的长度。


【数量关系】 火车过桥:过桥时间=(车长+桥长)÷车速

火车追及: 追及时间=(甲车长+乙车长+距离)

÷(甲车速-乙车速)

火车相遇: 相遇时间=(甲车长+乙车长+距离)

÷(甲车速+乙车速)


【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。


例1 一座大桥长2400米, 一列火车以每分钟900米的速度通过大桥,从车头
开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少 米?





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例2 一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥,用了2分5秒钟时间,求大桥的长度是多少米?






例3 一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶,一列长140米的快车以每
秒2 2米的速度在后面追赶,求快车从追上到追过慢车需要多长时间?








例4 一列长150米的列车以每秒22米的速度 行驶,有一个扳道工人以每秒3
米的速度迎面走来,那么,火车从工人身旁驶过需要多少时间?






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例5 一列火车穿越一条长2000米的隧道用了88秒,以同样的速度通过一条
长1250米的大桥用了58 秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少?








13 时钟问题

【含义】 就是研究钟面上时针与 分针关系的问题,如两针重合、两针垂直、
两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相 类比。


【数量关系】 分针的速度是时针的12倍, 二者的速度差为1112。

通常按追及问题来对待,也可以按差倍问题来计算。


【解题思路和方法】 变通为“追及问题”后可以直接利用公式。








1 从时针指向4点开始,再经过多少分钟时针正好与分针重合?

例2 四点和五点之间,时针和分针在什么时候成直角?

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例3 六点与七点之间什么时候时针与分针重合?





14 盈亏问题

【含义】 根据一定的人数,分配一定的物品,在两次分配中,一次有余(盈 ),
一次不足(亏),或两次都有余,或两次都不足,求人数或物品数,这类应用题叫
做盈亏问 题。


【数量关系】 一般地说,在两次分配中,如果一次盈,一次亏,则有:

参加分配总人数=(盈+亏)÷分配差

如果两次都盈或都亏,则有:

参加分配总人数=(大盈-小盈)÷分配差

参加分配总人数=(大亏-小亏)÷分配差


【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。


例1 给幼儿园小朋友分苹果, 若每人分3个就余11个;若每人分4个就少1
个。问有多少小朋友?有多少个苹果?

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例2 修一条公路, 如果每天修260米,修完全长就得延长8天;如果每天修
300米,修完全长仍得延长4天。这条路全 长多少米?




例3 学校组织春游,如 果每辆车坐40人,就余下30人;如果每辆车坐45人,
就刚好坐完。问有多少车?多少人?


15 工程问题

【含义】 工程问题主要研究工作量、工作效率 和工作时间三者之间的关系。
这类问题在已知条件中,常常不给出工作量的具体数量,只提出“一项工程 ”、“一
块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等,在解题时,常常用单位“1”表示工
作总 量。

【数量关系】 解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”,这样,工作效率
就是工作时间的倒数(它表示单位时间内完成工作总量的几分之几),进而就可以
根据工作量、工作效 率、工作时间三者之间的关系列出算式。

工作量=工作效率×工作时间

工作时间=工作量÷工作效率

工作时间=总工作量÷(甲工作效率+乙工作效率)

【解题思路和方法】 变通后可以利用上述数量关系的公式。

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例1 一项工程,甲队单独做需要10天完成,乙队单独做需要15天完成,现
在两队合作,需要几天完成?< br>




例2 一批零件,甲独做6小时完成,乙 独做8小时完成。现在两人合做,完
成任务时甲比乙多做24个,求这批零件共有多少个?




例3 一件工作,甲独做12小时完成,乙独做10小时完成 ,丙独做15小时完
成。现在甲先做2小时,余下的由乙丙二人合做,还需几小时才能完成?








例4 一个水池,底部装有一个常开的排水管,上部装有若干个同样粗细的进
水管。当打开4个进水管时,需要5小时才能注满水池;当打开2个进水管时,需
要15小时才能注满 水池;现在要用2小时将水池注满,至少要打开多少个进水管?




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16 正反比例问题

【含义】 两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种
量中相对应的两个数的比的比值一定( 即商一定),那么这两种量就叫做成正比例
的量,它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意 义和解比例等知识的
综合运用。

两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变 化,如果这两种量中相对应
的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关 系。
反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。


【数量关系】 判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应
用题都可以转化为正反比 例问题去解决,而且比较简捷。

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【解题思路和方法】 解决这类问题的重要方法是:把分率(倍数)转化为比,
应用比和比例的性质去解应用题。

正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。

例1 修一条公路,已修 的是未修的13,再修300米后,已修的变成未修的
12,求这条公路总长是多少米?




例2 张晗做4道应用题用了28分钟,照这样计算,91分钟可以做几道应用
题?




例3 孙亮看《十万个为什么》这本书,每天看24页,15天看完,如 果每天
看36页,几天就可以看完?






例4 一个大矩形被分成六个小矩形,其中四个小矩形的面积如图所示,求大
矩形的面积。

A

36


22
5

0

B

1
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6












17 按比例分配问题

【含义】 所谓按比例分 配,就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题
的已知条件一般有两种形式:一是用比或连比的形式 反映各部分占总数量的份数,
另一种是直接给出份数。

【数量关系】 从条件看,已知总量和几个部分量的比;从问题看,求几个部分
量各是多少。 总份数=比的前后项之和


【解题思路和方法】 先把各部分量的比转化为各占总 量的几分之几,把比的
前后项相加求出总份数,再求各部分占总量的几分之几(以总份数作分母,比的前
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后项分别作分子),再按照求一个数的几分之几是多少的计算方 法,分别求出各部
分量的值。


例1 学校把植树560棵的任务按 人数分配给五年级三个班,已知一班有47人,
二班有48人,三班有45人,三个班各植树多少棵?< br>






例2 用60厘 米长的铁丝围成一个三角形,三角形三条边的比是3∶4∶5。三
条边的长各是多少厘米?






例3 从前有个牧民,临死前留下遗言 ,要把17只羊分给三个儿子,大儿子分
总数的12,二儿子分总数的13,三儿子分总数的19,并规 定不许把羊宰割分,
求三个儿子各分多少只羊。




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例4 某工厂第一、二、三车间人数之比为 8∶12∶21,第一车间比第二车间少
80人,三个车间共多少人?

人 数

80人

一共多少
人?

对应的份数

12-8+12+21

8








18 百分数问题

【含义】 百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特
殊的分数 。分数常常可以通分、约分,而百分数则无需;分数既可以表示“率”,
也可以表示“量”,而百分数只 能表示“率”;分数的分子、分母必须是自然数,
而百分数的分子可以是小数;百分数有一个专门的记号 “%”。

在实际中和常用到“百分点”这个概念,一个百分点就是1%,两个百分点就是
2%。

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【数量关系】 掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系:

百分数=比较量÷标准量

标准量=比较量÷百分数


【解题思路和方法】 一般有三种基本类型:

(1) 求一个数是另一个数的百分之几;

(2) 已知一个数,求它的百分之几是多少;

(3) 已知一个数的百分之几是多少,求这个数。

例1 仓库里有一批化肥,用去720千克 ,剩下6480千克,用去的与剩下的各
占原重量的百分之几?




例2 红旗化工厂有男职工420人,女职工525人,男职工人数比女职工少百
分之几?





例3 红旗化工厂有男职工420人,女职工525人,女职工比男职工人数
多百分之几?



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例4 红旗化工厂有男职工420人,有女职工525人,男、女职工各占全厂职
工总数的百分之几?






例5
有:














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百分数又叫百分率,百分率在工农业生产中应用很 广泛,常见的百分率
增长率=增长数÷原来基数×100%

合格率=合格产品数÷产品总数×100%

出勤率=实际出勤人数÷应出勤人数×100%

出勤率=实际出勤天数÷应出勤天数×100%

缺席率=缺席人数÷实有总人数×100%

发芽率=发芽种子数÷试验种子总数×100%

成活率=成活棵数÷种植总棵数×100%

出粉率=面粉重量÷小麦重量×100%

出油率=油的重量÷油料重量×100%

废品率=废品数量÷全部产品数量×100%

命中率=命中次数÷总次数×100%

烘干率=烘干后重量÷烘前重量×100%

及格率=及格人数÷参加考试人数×100%













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19 “牛吃草”问题
【含义】 “牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题,也叫“牛顿问题”。
这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。


【数量关系】 草总量=原有草量+草每天生长量×天数


【解题思路和方法】 解这类题的关键是求出草每天的生长量。


例1 一块草地,10头牛20 天可以把草吃完,15头牛10天可以把草吃完。
问多少头牛5天可以把草吃完?






例2 一只船有一个漏洞,水以均匀速度进入船内 ,发现漏洞时已经进了一些
水。如果有12个人淘水,3小时可以淘完;如果只有5人淘水,要10小时 才能淘
完。求17人几小时可以淘完?






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20 鸡兔同笼问题

【含义】 这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚,
求鸡、兔 各有多少只的问题,叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔
脚的差,求鸡、兔各是多少的问 题叫做第二鸡兔同笼问题。


【数量关系】第一鸡兔同笼问题:

假设全都是鸡,则有 兔数=(实际脚数-2×鸡兔总数)÷(4-2)

假设全都是兔,则有 鸡数=(4×鸡兔总数-实际脚数)÷(4-2)

第二鸡兔同笼问题: 假设全都是鸡,则有

兔数=(2×鸡兔总数-鸡与兔脚之差)÷(4+2)

假设全都是兔,则有

鸡数=(4×鸡兔总数+鸡与兔脚之差)÷(4+2)


【解题思路和方法】 解答此类题目一般都用假设法,可以先假设都是鸡,也
可 以假设都是兔。如果先假设都是鸡,然后以兔换鸡;如果先假设都是兔,然后以
鸡换兔。这类问题也叫置 换问题。通过先假设,再置换,使问题得到解决。


例1 长毛兔子芦花鸡 ,鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五,脚数共有九十四。
请你仔细算一算,多少兔子多少鸡?



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例2 2亩菠菜要施肥1千克,5亩白菜要施肥3千克,两种菜共16亩,施肥
9千克 ,求白菜有多少亩?





例3 李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本,作业本每本 3 .20元,
日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本?







例4 (第二鸡兔同笼问题)鸡兔共有100只,鸡的脚比兔的脚多80只,问鸡
与兔各多少只?



例5 有100个馍100个和尚吃,大和尚一人吃3个馍,小和尚3人 吃1个馍,
问大小和尚各多少人?







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21 方阵问题

【含义】 将若干人或物依一定条件排成正方形(简称方阵),根据已知条 件
求总人数或总物数,这类问题就叫做方阵问题。


【数量关系】 (1)方阵每边人数与四周人数的关系:

四周人数=(每边人数-1)×4

每边人数=四周人数÷4+1

(2)方阵总人数的求法:

实心方阵:总人数=每边人数×每边人数

空心方阵:总人数=(外边人数)
内边人数=外边人数-层数×2

(3)若将空心方阵分成四个相等的矩形计算,则:

总人数=(每边人数-层数)×层数×4


【解题思路和方法】 方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边
-(内边人数)

的数自乘;空心方阵的变化较多,其解答方法应根据具体情况确定。


例1 在育才小学的运动会上,进行体操表演的同学排成方阵,每行22人,
参加体操表演的同学 一共有多少人?



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例2 有一个3层中空方阵,最外边一层有10人,求全方阵的人数。






例3 有一 队学生,排成一个中空方阵,最外层人数是52人,最内层人数是
28人,这队学生共多少人?






例4 一堆棋子,排列成正方 形,多余4棋子,若正方形纵横两个方向各增加
一层,则缺少9只棋子,问有棋子多少个?







例5 有一个三角形树林 ,顶点上有1棵树,以下每排的树都比前一排多1棵,
最下面一排有5棵树。这个树林一共有多少棵树?



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21 方阵问题

【含义】 将若干人或物依一定条件排成正方形(简 称方阵),根据已知条件
求总人数或总物数,这类问题就叫做方阵问题。

【数量关系】 (1)方阵每边人数与四周人数的关系:

四周人数=(每边人数-1)×4 每边人数=四周人数÷4+1

(2)方阵总人数的求法:

实心方阵:总人数=每边人数×每边人数

空心方阵:总人数=(外边人数)
内边人数=外边人数-层数×2

(3)若将空心方阵分成四个相等的矩形计算,则:

总人数=(每边人数-层数)×层数×4


【解题思路和方法】 方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边
-(内边人数)

的数自乘;空心方阵的变化较多,其解答方法应根据具体情况确定。


例1 在育才小学的运动会上,进行体操表演的同学排成方阵,每行22人,
参加体操表演的同学 一共有多少人?



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例2 有一个3层中空方阵,最外边一层有10人,求全方阵的人数。




例3 有一队学生,排成一个中空方阵,最外层人数是52人,最内层 人数是
28人,这队学生共多少人?






例4 一堆棋子,排列成正方形,多余4棋子,若正方形纵横两个方向各增加一层,则缺少9只棋子,问有棋子多少个?







例5 有一个三角形树林,顶点上有1棵树,以下每排的树都比前一排多1棵,< br>最下面一排有5棵树。这个树林一共有多少棵树?





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22 商品利润问题

【含义】 这是一种在生产经营中经常遇到的问题,包括成本、利润、 利润率
和亏损、亏损率等方面的问题。


【数量关系】 利润=售价-进货价

利润率=(售价-进货价)÷进货价×100%

售价=进货价×(1+利润率) 亏损=进货价-售价

亏损率=(进货价-售价)÷进货价×100%


【解题思路和方法】 简单的题目可以直接利用公式,复杂的题目变通后利用
公式。


例1 某商品的平均价格在一月份上调了10%,到二月份又下调了10%,这种
商品从原价到二月份的价格变 动情况如何?





例2 某服装店因搬迁, 店内商品八折销售。苗苗买了一件衣服用去52元,已
知衣服原来按期望盈利30%定价,那么该店是亏 本还是盈利?亏(盈)率是多少?



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例3 成本0.25元的作业本1200册,按期望获得40%的利润定价出售,当 销
售出80%后,剩下的作业本打折扣,结果获得的利润是预定的86%。问剩下的作业
本出售 时按定价打了多少折扣?






例4 某种商品,甲店的进货价比乙店的进货价便宜10%,甲店按30%的利润定
价,乙店按20%的利润定 价,结果乙店的定价比甲店的定价贵6元,求乙店的定价。









23 存款利率问题

【含义】 把钱存入银行是有一定利息的,利息的多少,与本金、利率 、存期
这三个因素有关。利率一般有年利率和月利率两种。年利率是指存期一年本金所生
利息占 本金的百分数;月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。

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【数量关系】 年(月)利率=利息÷本金÷存款年(月)数×100%

利息=本金×存款年(月)数×年(月)利率

本利和=本金+利息=本金×[1+年(月)利率×存款年(月)数]


【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式,复杂的题目变通后再利用
公式。


例1 李大强存入银行1200元,月利率0.8%,到期后连本带利共取出148 8元,
求存款期多长。





例2 银行定期整存整取的年利率是:二年期7.92%,三年期8.28%,五年期
9%。如果甲乙二人同时 各存入1万元,甲先存二年期,到期后连本带利改存三年期;
乙直存五年期。五年后二人同时取出,那么 ,谁的收益多?多多少元?









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化学典型应用题
24 溶液浓度问题


【含义】 在生产和生活中,我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的
主要是溶剂(水或其 它液体)、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例如,水是一
种溶剂,被溶解的东西叫溶质,溶解后的混 合物叫溶液。溶质的量在溶液的量中所
占的百分数叫浓度,也叫百分比浓度。


【数量关系】 溶液=溶剂+溶质 浓度=溶质÷溶液×100%


【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式,复杂的题目变通后再利用
公式。


例1 爷爷有16%的糖水50克,(1)要把它稀释成10%的糖水,需加水多少
克?(2)若要把它变成3 0%的糖水,需加糖多少克?





例2 要把30%的糖水与15%的糖水混合,配成25%的糖水600克,需要30%和
15%的糖水各多少 克?


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例3 甲容器有浓度为12%的盐水500克,乙容器有500克水。把甲中盐水的
一半倒入乙中,混合后再把乙中现有盐水的一半倒入甲中,混合后又把甲中的一部
分盐水倒入乙 中,使甲乙两容器中的盐水同样多。求最后乙中盐水的百分比浓度。











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25 构图布数问题

【 含义】 这是一种数学游戏,也是现实生活中常用的数学问题。所谓 “构图”,
就是设计出一种图形;所谓“布数”,就是把一定的数字填入图中。“构图布数”
问 题的关键是要符合所给的条件。


【数量关系】 根据不同题目的要求而定。


【解题思路和方法】 通常多从三角形、正方形、 圆形和五角星等图形方面考
虑。按照题意来构图布数,符合题目所给的条件。







1 十棵树苗子,要栽五行子,每行四棵子,请你想法子。

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例2 九棵树苗子,要栽十行子,每行三棵子,请你想法子。






例3 九棵树苗子,要栽三行子,每行四棵子,请你想法子。





例4 把12拆成1到7这七个数中三个不同数的和,有几种写法?请设计一种
图形, 填入这七个数,每个数只填一处,且每条线上三个数的和都等于12。



26 幻方问题

【含义】 把n×n个自然数排 在正方形的格子中,使各行、各列以及对角线
上的各数之和都相等,这样的图叫做幻方。最简单的幻方是 三级幻方。


【数量关系】 每行、每列、每条对角线上各数的和都相等,这个“和”叫做
“幻和”。

三级幻方的幻和=45÷3=15 五级幻方的幻和=325÷5=65

【解题思路和方法】首先要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和(即幻
和),其次是确 定正中间方格的数,然后再确定其它方格中的数。


例1 把1,2,3, 4,5,6,7,8,9这九个数填入九个方格中,使每行、每
列、每条对角线上三个数的和相等。
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解 幻和的3倍正好等于这九个数的和,所以幻和为

(1+2+3+4+5+6+7+8+9)÷3=45÷3=15

九个数在这八条线上反复 出现构成幻和时,每个数用到的次数不全相同,最中
心的那个数要用到四次(即出现在中行、中列、和两 条对角线这四条线上),四角
的四个数各用到三次,其余的四个数各用到两次。看来,用到四次的“中心 数”地
位重要,宜优先考虑。

设“中心数”为Χ,因为Χ出现在四条线上,而每条线上三个数之和等于15,
所以 (1+2+3+4+5+6+7+8+9)+(4-1)Χ=15×4

即 45+3Χ=60 所以 Χ=5

接着用奇偶分析法寻找其余四个偶数的位置,它们

分别在四个角,再确定其余四个奇数的位置,它们分别

在中行、中列,进一步尝试,容易得到正确的结果。



9
2

5
7

1
6

4

3

8

2 把2,3,4,5,6,7,8,9,10这九个数填到九个方格中,

使每行、每列、以及对角线上的各数之和都相等。








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27 抽屉原则问题

【含义】 把3只苹果放进两个抽屉中,会出现哪些结果呢?要么把2 只苹果
放进一个抽屉,剩下的一个放进另一个抽屉;要么把3只苹果都放进同一个抽屉中。
这两 种情况可用一句话表示:一定有一个抽屉中放了2只或2只以上的苹果。这就
是数学中的抽屉原则问题。


【数量关系】 基本的抽屉原则是:如果把n+1个物体(也叫元素)放到n 个
抽屉中,那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体(元素)。

抽屉原则可以 推广为:如果有m个抽屉,有k×m+r(0<r≤m)个元素那么至
少有一个抽屉中要放(k+1)个 或更多的元素。

通俗地说,如果元素的个数是抽屉个数的k倍多一些,那么至少有一个抽屉 要
放(k+1)个或更多的元素。

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【解题思路和方法】 (1)改造抽屉,指出元素;

(2)把元素放入(或取出)抽屉; (3)说明理由,得出结论。


例1 育才小学有367个1999年出生的学生,那么其中至少有几个学生的生日
是同一天的?





例2 据说人的头发不超过20万跟,如果陕西 省有3645万人,根据这些数据,
你知道陕西省至少有多少人头发根数一样多吗?

例3 一个袋子里有一些球,这些球仅只有颜色不同。其中红球10个,白球9
个,黄球8个,蓝 球2个。某人闭着眼睛从中取出若干个,试问他至少要取多少个
球,才能保证至少有4个球颜色相同?< br>


28 公约公倍问题

【含义】 需要用公约数、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题。


【数量关系】 绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。



【解题思路和方法】 先确定题目中要用最大公约数或者最小公倍数,再求出
答案。最大公约数和最小公倍数的求法,最常用的 是“短除法”。



例1 一张硬纸板长60厘米,宽56厘米, 现在需要把它剪成若干个大小相同
的最大的正方形,不许有剩余。问正方形的边长是多少?


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例2 甲、乙、丙三 辆汽车在环形马路上同向行驶,甲车行一周要36分钟,乙
车行一周要30分钟,丙车行一周要48分钟 ,三辆汽车同时从同一个起点出发,问
至少要多少时间这三辆汽车才能同时又在起点相遇?




例3 一个四边形广场,边长分别为60米,72米,96米 ,84米,现要在四角
和四边植树,若四边上每两棵树间距相等,至少要植多少棵树?






例4 一盒围棋子,4个4个地数多1个,5个5个地数多1个,6个6个地数
还多1 个。又知棋子总数在150到200之间,求棋子总数。



29 最值问题
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【含义】 科学的发展观认为,国民经济的 发展既要讲求效率,又要节约能源,
要少花钱多办事,办好事,以最小的代价取得最大的效益。这类应用 题叫做最值问
题。



【数量关系】 一般是求最大值或最小值。


【解题思路和方法】 按照题目的要求,求出最大值或最小值。



例1 在火炉上烤饼 ,饼的两面都要烤,每烤一面需要3分钟,炉上只能同时
放两块饼,现在需要烤三块饼,最少需要多少分 钟?





例2 在一条公路上有五个卸 煤场,每相邻两个之间的距离都是10千米,已知
1号煤场存煤100吨,2号煤场存煤200吨,5号 煤场存煤400吨,其余两个煤场是
空的。现在要把所有的煤集中到一个煤场里,每吨煤运1千米花费1 元,集中到几
号煤场花费最少?



例3 北京和 上海同时制成计算机若干台,北京可调运外地10台,上海可调运
外地4台。现决定给重庆调运8台,给 武汉调运6台,

若每台运费如右表,问如何调运才使运费最省?



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30 列方程问题

【含义】 把应用题中的未知数用字母Χ代替,根据等量关系列出含有未知数
的等式——方程,通过解这个方程而得 到应用题的答案,这个过程,就叫做列方程
解应用题。


【数量关系】 方程的等号两边数量相等。


【解题思路和方法】 可以概括为“审、设、列、解、验、答”六字法。

(1)审:认真审题,弄清应用题中的已知量和未知量各是什么,问题中的等量
关系是什么。

(2)设:把应用题中的未知数设为Χ。

(3)列;根据所设的未知数和题目中的已知条件,按照等量关系列出方程。

(4)解;求出所列方程的解。

(5)验:检验方程的解是否正确,是否符合题意。

(6)答:回答题目所问,也就是写出答问的话。

同学们在列方程解应用题时,一般只写出 四项内容,即设未知数、列方程、解
方程、答语。设未知数时要在Χ后面写上单位名称,在方程中已知数 和未知数都不
带单位名称,求出的Χ值也不带单位名称,在答语中要写出单位名称。检验的过程
不必写出,但必须检验。




1 甲乙两班共90人,甲班比乙班人数的2倍少30人,求两班各有多少人?

例2 鸡兔35只,共有94只脚,问有多少兔?多少鸡?

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例3 仓库里有化肥940袋,两辆汽车4次可以运完,已知甲汽车每次运125
袋, 乙汽车每次运多少袋?

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