数学二卷离散数学及其应用课后习题答案

2020年11月13日发(作者：钟煌)
离散数学及其应用课后习题答案
【篇一：离散数学及其应用(课后习题)】



出下列命题是原子命题还是复合命题。 （3）大雁北回，春天来了。

（4）不是东风压倒西风，就是西风压倒东风。 （5）张三和李四在
吵架。 解：（3）和（4）是复合命题，（5）是原子命题。

习题1.2

1. 指出下列命题的真值：

（1）若2?2?4，则太阳从西方升起。 解：该命题真值为t（因为命
题的前件为假）。 （3）胎生动物当且仅当是哺乳动物。

解：该命题真值为f（如鸭嘴兽虽是哺乳动物，但不是胎生动物）。

2. 令p：天气好。q：我去公园。请将下列命题符号化。 （2）只要
天气好，我就去公园。 （3）只有天气好，我才去公园。 （6）天气
好，我去公园。 解：（2）p?q。 （3）q?p。 （6）p?q。

习题1.3

2. 将下列命题符号化（句中括号内提示的是相应的原子命题的符号
表示）： （1）我去新华书店（p），仅当我有时间（q）。 （3）只
要努力学习（p），成绩就会好的（q）。 （6）我今天进城（p），
除非下雨（q）。 （10）人不犯我（p），我不犯人（q）；人若犯
我，我必犯人。 解：（1）p?q。 （3）p?q。 （6）?q?p。

（10）(?p??q)?(p?q)。

习题1.4

1. 写出下列公式的真值表： （2）p?(q?r)。

解：该公式的真值表如下表：

2. 证明下列等价公式：

（2）(p?q)??(p?q)??(p?q)。 证明：

?(p?q)??((p?q )?(?p??q))??(p?q)??(?p??q))??(p?q)?(p?q) ?(p
?q)??(p?q)

（4）(p?q)?(p?r)?p?(q?r)。 证明：

(p?q)?(p?r)?(?p?q)?(?p?r)??p?(q?r)?p?(q?r)

3. 甲、乙、丙、丁4人参加考试后，有人问他们谁的成绩最好，甲
说，不是我。乙说： 是丁。丙说：是乙。丁说：不是我。已知4个
人的回答只有一个人符合实际，问成绩最好的是谁？

解：设a：甲成绩最好。b：乙成绩最好。c：丙成绩最好。d：丁成
绩最好。四个人所 说的命题分别用p、q、r、s表示，则

p??a；q??a??b??c?d；r??a?b??c??d；s??d。

则只有一人符合实际的命题k符号化为

k?(p??q??r??s)?(?p?q?? r??s)?(?p??q?r??s)?(?p??q??r?s)

p??q??r??s??a??(?a??b??c?d)??(?a?b??c??d)?d ??a?(a?b
?c??d)?(a??b?c?d)?d ?(?a?d)?(a?b?c??d)?(a??b?c?d)

?(?a?b?c?d)?(?a?b?d)?(?a??b?c?d)?(?a?c?d)?0;

同理，

?p?q??r??s?a??a??b??c?d??(?a?b??c??d)?d?0; ?p??q?r??
s?a??(?a??b??c?d)??a?b??c??d?d?0; ?p??q??r?s?a??(?a?
?b??c?d)??(?a?b??c??d)??d ?a?(a?b?c??d)?(a??b?c?d)??d
?a??d.

所以，当k为真时，a??d为真，即甲的成绩最好。

习题1.5

2. 证明下列各蕴含式：

（3）p?(q?r)?(p?q)?(p?r)。 证明：

方法一：真值表法（列出命题公式(p?(q?r))?((p?q)?(p?r) )的真值
表）。

方法二：等值演算法


(p?(q? r))?((p?q)?(p?r))??(p?(q?r))?((p?q)?(p?r))??(?p?(? q?r))
??(?p?q)?(?p?r)?(p?q??r)?(p??q)?(?p?r)

?(p?q??r)?((p??p?r)?(?q??p?r))?(p?q??r)?(?q ??p?r)

?(p??q??p?r)?(q??q??p?r)?(?r??q??p?r)?1.

方法三：分析法

（1）直接分析法：若前件p?(q?r)为真，分两种情况：

（i）p为假，则p?q为真，p?r为真，(p?q)?(p?r)为真。

（ii）p为真，则q?r为真，此时若q为真，则r为真，则p?q为
真，p?r为

真，(p?q)?(p?r)为真；若q为假，则p?r为假，(p?q)?(p?r)为真。

综上，若前件为真，后件必为真，故该蕴含式成立。

(2）间接分析法：若后件(p?q)?(p?r)为假，则p?q为真，p?r为假。
由

p?r为假可知，p为真，r为假。再由p?q可知，q为真。此时q?r
为假，

p?(q?r)为假，即前件为假。故蕴含式成立。

5. 叙述下列各个命题的逆换式和逆反式，并以符号写出。 （1）如
果下雨，我不去。 解：设p：天下雨。q：我去。

逆换式：如果我不去，天就下雨。符号表示为?q?p。 逆反式：如
果我去，天就不下雨。符号表示为q??p。 （2）仅当你走我将留下。
解：设p：我留下。q：你走。

逆换式：如果你走，我就留下。符号表示为：q?p。 逆反式：如果
你不走，我就不留下。符号表示为：?q??p。

习题1.6

2. 将下列命题公式用只含?和?的等价式表达，并要求尽可能简单。
（1）(p?q)??p.

解： (p?q)??p?(p?? p)?q?0?q?0.（2）(p?(q??r))??p?q.

解： (p?(q??r))??p?q?(?p?(q??r))?(?p?q??r)

?p? q?

?p?q?

??p?q(?p??q

?p?)q?(?p?q?)q?(?r?)

?(p?q?)

?r?

?(?p?q)?(?p?q)?(?p?(?p?q)?(?p?q??r)??(p??q).

（3）?p??q?(?r?p).

(?p?q? ?r?

?p? q?

解：?p??q?(?r?p)??p??q?(r?p)

?(?p??q?r)?(?p??q?p)?(?p??q?r)?0 ??p??q?r??(p?q??r).

习题1.7

6．求下列命题公式的主析取范式和主合取范式： （1）
((p?q)?r)?p.

解：
((p?q)?r)?p??(?(p?q)?r) ?p?((p?q)??r) ?p?(p?q?p)?(p??r)?(p?
q?(r??r))?(p?(q??q)? ?r?( p?q?r)?(p?q??r)?(p?q?r)?(p?q??r)?
m0?m1?m3（主合取范 式）

?m2?m4?m5?m6?m7.（主析取范式）

?(p?q)?(p ??r

?(p?q??r)(?p??q ?r??(p??q? ?r)

【篇二：离散数学最全课后答案(屈婉玲版)】


略

1.3．略

1.4．略

1.5．略

1.6．略

1.7．略

1.8．略

1.9．略

1.10． 略

1.11． 略

1.12． 将下列 命题符号化, 并给出各命题的 真值:

(1)2+2＝4 当且仅当 3+3＝6. (2)2+2

＝4 的充要条件是 3+3?6. (3)2+2?4

与 3+3＝6 互为充要条件. (4)若

2+2?4, 则 3+3?6, 反之亦然.

(1)p?q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为 1.

(2)p??q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为 0.

(3) ?p?q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为 0.

(4) ?p??q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为 1.

1.13． 将下列命题符号化, 并给出各命题的真值:

(1)若今天是星期一, 则明天是星期二. (2)只有今

天是星期一, 明天才是星期二. (3)今天是星期一

当且仅当明天是星期二. (4)若今天是星期一, 则

明天是星期三.

令 p: 今天是星期一; q: 明天是星期二; r: 明天是星期三.

(1) p?q ??1.

(2) q?p ??1.

(3) p?q ??1.

(4) p?r 当 p ??0 时为真; p ??1 时为假.

1.14． 将下列 命题符号化.

(1) 刘晓月跑得快, 跳得高.

(2)老王是山东人或河北人.

(3)因为天气冷, 所以我穿了羽绒服. (4)王欢与李乐组成一个小

组.

(5)李辛与李末是兄弟.

(6)王强与刘威都学过法语. (7)他一面吃

饭, 一面听音乐. (8)如果天下大雨, 他就乘

班车上班. (9)只有天下大雨, 他才乘班车

上班. (10)除非天下大雨, 他才乘班车上

班. (11)下雪路滑, 他迟到了.

(12)2 与 4 都是素数, 这是不对的.

(13)“2 或 4 是素数, 这是不对的”是不对的.

(1)p?q, 其中, p: 刘晓月跑得快, q: 刘晓月跳得高.

(2)p?q, 其中, p: 老王是山东人, q: 老王是河北人.

(3)p?q, 其中, p: 天气冷, q: 我穿了羽绒服.

(4)p, 其中, p: 王欢与李乐组成一个小组, 是简单命题.

(5)p, 其中, p: 李辛与李末是兄弟.

(6)p?q, 其中, p: 王强学过法语, q: 刘威学过法语.

(7)p?q, 其中, p: 他吃饭, q: 他听音乐.

(8)p?q, 其中, p: 天下大雨, q: 他乘班车上班.

(9)p?q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨.

(10)p?q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨.

(11)p?q, 其中, p: 下雪路滑, q: 他迟到了.

12) ??(p?q)或?p??q, 其中, p: 2 是素数, q: 4 是素数. (13)

???(p?q)或 p?q, 其中, p: 2 是素数, q: 4 是素数.

1.15． 设 p: 2+3=5.

q: 大熊猫产在中国.

r: 复旦大学在广州. 求

下列复合命题的真值:

(1)(p?q) ?r

(2)(r??(p?q)) ???p

(3) ?r??(?p??q?r)

(4)(p?q??r) ??(( ?p??q) ?r)

(1)真值为 0.

(2)真值为 0.

(3)真值为 0.

(4)真值为 1.

注意: p, q 是真命题, r 是假命题.

1.16．

1.17．

1.18．

1.19． 略 略 略 用真值表判断下列公式的类型:

(1)p??(p?q?r)

(2)(p??q) ??q

(3) ??(q?r) ?r

(4)(p?q) ??(?q??p)

(5)(p?r) ??( ?p??q)

(6)((p?q) ??(q?r)) ??(p?r)

(7)(p?q) ??(r?s)

(1), (4), (6)为重言式.

(3)为矛盾式.

(2), (5), (7)为可满足式.

1.20．

1.21．

1.22．

1.23．

1.24．

1.25．

1.26．

1.27．

1.28．

1.29．

1.30．

1.31． 略 略 略 略 略 略 略 略 略 略 略 将下列 命题符号化, 并给出
各命题的 真值:

(1)若 3+＝4, 则地球是静止不动的.

(2)若 3+2＝4, 则地球是运动不止的. (3)若地球

上没有树木, 则人类不能生存.

(4)若地球上没有水, 则 3 是无理数.

(1)p?q, 其中, p: 2+2＝4, q: 地球静止不动, 真值为 0.

(2)p?q, 其中, p: 2+2＝4, q: 地球运动不止, 真值为 1.

(3) ?p??q, 其中, p: 地球上有树木, q: 人类能生存, 真值为 1.

(4) ?p?q, 其中, p: 地球上有水, q:3 是无理数, 真值为 1.

2.1. 设公式 a = p?q, b = p??q, 用真值表验证公式 a 和 b 适合德摩
根律:

?(a?b) ???a??b.

因为 ?(a?b)和 ?a??b 的真值表相同, 所以它们等值.

2.2. 略

2.3.用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再
用真 值表法求出成真赋值.

(1) ??(p?q?q)

(2)(p??(p?q)) ??(p?r)

(3)(p?q) ??(p?r)


(1) ??(p?q?q)????(?(p?q) ??q) ????(?p ???q ??q) ??p?q??q
??p?0 ??0 ??0. 矛盾式. (2)

重言式.

(3) (p?q) ??(p?r) ???(p?q) ??(p?r) ???p??q ??p?r 易见, 是可
满足式, 但不是重言式. 成真赋值为: 000, 001, 101, 111

2.4. 用等值演算法证明下面等值式:

(1) p??(p?q) ??(p??q)

(3) ??(p?q) ??(p?q) ???(p?q)

(4) (p??q) ??(?p?q) ??(p?q) ???(p?q)

(1) (p?q) ??(p??q) ??p ??(q??q) ??p ??1 ??p.

(3) ??(p?q)

???((p?q) ??(q?p))

???((?p?q) ??(?q?p))

??(p??q) ??(q??p)

??(p?q) ??(p??p) ??(?q?q) ??(?p??q)

??(p?q) ???(p?q)

(4) (p??q) ??(?p?q)

??(p??p) ??(p?q) ??(?q??p) ??(?q?q)

??(p?q) ???(p?q)

2.5. 求下列公式的主析取范式, 并求成真赋值:

(1)( ?p?q) ??(?q?p)

(2) ??(p?q) ?q?r

(3)(p??(q?r)) ??(p?q?r)

(1)(?p?q) ??(?q?p)

???(p?q) ??(?q?p)

???p??q ???q ??p???p??q ???q ??p(吸收
律)??(p??p)??q ??p?(q??q) ??p??q ??p??q ??p?q ??p??q

??m10 ??m00 ??m11 ??m10

??m0 ??m2 ??m3

???(0, 2, 3).

成真赋值为 00, 10, 11.

(2)主析取范式为 0, 无成真赋值, 为矛盾式.

(3)m0?m1?m2?m3?m4?m5?m6?m7, 为重言式.

2.6. 求下列公式的主合取范式, 并求成假赋值:

(1) ??(q??p) ??p

(2)(p?q) ??(?p?r)

(3)(p??(p?q)) ?r

(1)??(q??p) ???p

???(?q??p) ???p

??q?p ???p

??q?0

??0

??m0?m1?m2?m3

这是矛盾式. 成假赋值为 00, 01, 10, 11.

(2)m4, 成假赋值为 100.

(3)主合取范式为 1, 为重言式.

【篇三：离散数学及其应用】


txt>摘要： 离散数学，又称为组合数学。离散数学是计算机出现以
后迅速发展起来的一门 数学分支。计算机科学就是算法的科学，而
计算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对象的处理就成 了计
算机科学的核心，而研究离散对象的科学恰恰就是离散数学。离散
数学的发展改变了传统数 学中分析和代数占统治地位的局面。它在
各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同 时
离散数学也是计算机专业的许多专业课程，如程序设计语言、数据
结构、操作系统、编译技术 、人工智能、数据库、算法设计与分析、
理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。通过离散数学的学 习，
不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法，为后续课程的学习
创造条件，而且可以提高 抽象思维和严格的逻辑推理能力，为将来
参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。

关键词：离散数学 电路设计 软件技术 人工智能 应用等

1、离散数学的相关介绍

1.1离散数学的简介

离散数学是现代数学 的一个重要分支，是计算机类专业的重要课程。
它以研究离散量的结构及其相互间的关系为主要目标，其 研究对象
一般是有限个或可数个元素，因此离散数学可以充分描述计算机学
科离散性的特点。由 于离散数学在计算机科学中的重要作用，国内
外几乎所有大学的计算机类专业的教学计划中都将其列为核 心课程
进行重点建设，它是其他骨干课程，如数据结构、操作系统、人工
智能、计算机网络、软 件工程、编译原理等的先修课程，国内许多
大学将其作为计算机专业类研究生入学考试的内容。

1.2离散数学的发展

20世纪的计算机出现，带动了世界性的信息革命的伟大 进程。计算
机科学在信息革命中的学科地位有如牛顿力学在工业革命中的学科
地位一样，由计算 机出现带动的信息革命当然计算机科学将起着主
导的作用。随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分 为代表的
连续数学占主流的地位已经发生了变化，离散数学的重要性逐渐被
人们认识。离散数学 课程所传授的思想和方法，广泛地体现在计算
机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理， 从理论
计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件，从人
工智能到认知系统，无 不与离散数学密切相关。

1.3离散数学的内容

离散数学是传统的逻 辑学，集合论（包括函数），数论基础，算法
设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代 数（包
括代数系统，群、环、域等），布尔代数，计算模型（语言与自动
机）等汇集起来的一门 综合学科。离散数学课程主要介绍离散数学
的各个分支的基本概念、

基本理论和基本 方法。这些概念、理论以及方法大量地应用在数字
电路、编译原理、数据结构、操作系统、数据库系统、 算法的分析
与设计、人工智能、计算机网络等专业课程中；同时，该课程所提
供的训练十分有益 于学生概括抽象能力、逻辑思维能力、归纳构造
能力的提高，十分有益于学生严谨、完整、规范的科学态 度的培养。

2、离散数学在其他学科的应用

2.1 数理逻辑在人工智能中的应用

人工智能是计算机学科中一个非常重要的方向,离散数学在人 工智能
中的应用主要是数理逻辑部分在人工智能中的应用。数理逻辑包括
命题逻辑和谓词逻辑, 命题逻辑就是研究以命题为单位进行前提与结
论之间的推理,而谓词逻辑就是研究句子内在的联系。大家 都知道,人
工智能共有两个流派,连接主义流派和符号主义流派。其中在符号主
义流派里,他们 认为现实世界的各种事物可以用符号的形式表示出来,
其中最主要的就是人类的自然语言可以用符号进行 表示。语言的符
号化就是数理逻辑研究的基本内容,计算机智能化的前提就是将人类
的语言符号 化成机器可以识别的符号,这样计算机才能进行推理,才能
具有智能。由此可见数理逻辑中重要的思想、 方法及内容贯穿到人
工智能的整个学科。

2.2 图论在数据结构中的应用

前序遍历法:如果二叉树为空,则返回。否则(1)访问根节点( 2)前序遍
历左子树(3)前序遍历右子树,得到前序序列。

中序遍历法:如果二 叉树为空,则返回。否则(1)中序遍历左子树(2)访
问根节点(3)中序遍历右子树,得到中序序列 。

后序遍历法:如果二叉树为空,则返回。否则(1)后序遍历左子树(2)后
序 遍历右子树(3)访问根节点,得到后序序列。

通过访问不同的遍历序列,可以得到不同的 节点序列,通常在计算机中
利用不同的遍历方法读出代数表达式,以便在计算机中对代数表达式
进行操作。

2.3 离散数学在生物信息学中的应用

生物信息学是现 代计算机科学中一个崭新的分支,它是计算机科学与
生物学相结合的产物。目前,在美国有一个国家实验 室sandia国家实
验室,

主要进行组合编码理论和密码学的研究,该机构在美国 和国际学术界
有很高的地位。另外,由于dna是离散数学中的序列结构,美国科学院
院士,近 代离散数学的奠基人rota教授预言,生物学中的组合问题将成
为离散数学的一个前沿领域。而且,i bm公司也将成立一个生物信息
学研究中心。在1994年美国计算机科学家阿德勒曼公布了dna计算
机的理论,并成功地运用dna计算机解决了一个有向哈密尔顿路径问
题,这一成果迅速在国际 产生了巨大的反响,同时也引起了国内学者的
关注。dna计算机的基本思想是:以dna碱基序列作为 信息编码的载
体,利用现代分子生物学技术,在试管内控制酶作用下的dna序列反应,
作为实 现运算的过程;这样,以反应前dna序列作为输入的数据,反应
后的dna序列作为运算的结果,dn a计算机几乎能够解决所有的np
完全问题。

2.4离散数学在门电路设计中的应用

在数字电路中，离散数学的应用主要体现在数理逻辑 部分的使用。
在数字电路中广于使用的逻辑代数即为布尔代数。逻辑代数中的逻
辑运算与、或、 非、异或与离散数学中的合取，析取、否定、异或
（排斥或）相对应。

数字电路的 学习重点在于掌握电路设计技术，在设计门电路时，要
求设计者根据给出的具体逻辑问题，求出实现这一 逻辑功能的逻辑
电路。一般的设计过程为如下：

首先，进行逻辑抽象.分析给定的 逻辑问题，确定输入、输出变量,一
般把引起事件的原因作为输入变量，把事件的结果作为输出变量。< br>再以二值逻辑的0、1两种状态分别代表变量的两种不同状态，并根
据给定的因果关系列出逻辑真 值表。于是，这个实际的逻辑问题被
抽象成一个逻辑函数了，而且这个逻辑函数是以真值表形式给出的。

然后根据真值表写出逻辑函数式。在这一步的主要工作为对逻辑函
数进行化简和变 换，此时采用的方法一般为使用逻辑代数公式，即
离散数学中的命题演算公式将命题公式直接进行化简； 或者用卡诺
图法进行化简；或者同时采用两种方法，互相验证结果是否最简。
但在一般情况下， 在真值表中变量较多，逻辑函数式较为复杂时，
我们采用卡诺图法更为方便快捷，且出错率更低。在得到 最简逻辑
函数式后，选定器件类型，开始构建实际电路。在对所用器件种类
有所限制或使用中规 模集成电路构建设计好的电路时，需要把函数
式变换为适当的形式。此时，我们将采用命题等值演算对函 数式进
行变换，变换的结果通常为合取范式和析取范式，以便使用最少的
器件和最简单的连线。

2、总结

总之，离散数学无处不在，它的主要应用就是在各种复杂关 系中找
出最优的方案。所以离散数学完全可以看成是一门量化的关系学，
一门量化了的运筹学， 一门量化了的管理学。现在我国每一所大学
的计算机专业都

开设离散数学课程,正因 为离散数学在计算机科学中的重要应用,可以
说没有离散数学就没有计算机理论,也就没有计算机科学。 所以,应努
力学习离散数学,推动离散数学的研究,使它在计算机中有着更为广泛
的应用。
参考文献：

【1】离散数学 耿素云、屈婉玲、张立昂编著 清华大学出版社

【2】离散数学及其应用 （美）kenneth 著袁崇义 屈婉玲

王捍贫 刘田 译

【3】《离散离散数学及其应用》

【4】百度百科“离散数学”词条 傅彦著 学出版社 电子科技大