数学l中国数学发展史

2020年11月13日发(作者：秦荣)
中国数学发展史——宋元数学
中国数学发展史概述
中国是世界文明古国之一， 地处亚洲东部， 濒太平洋西岸。 黄河流域和长江 流域是中华
民族文化的摇篮，大约在公元前
2000
年，在黄河中下游产生了第一 个奴隶制国家——夏朝
（前
2033-
前
1562
）
,
共经历十三世、十六王。其后又有 奴隶制国家商（前
562
年—
1066
年
,
共历十七世三十一王）和西周［前
1027
年 —前
771
年
,
共历约二百五十七年， 传十一
世、 十二王］。随后出现了中国历史上 的第一次全国性大分裂形成的时期——春秋 （前
770
年
-
前
476
年）战国（前
403
年
-
前
221
年），春秋后期
,
中国文明进入封建 时代
,
到公元前
221
年秦王赢政统一 全国
,
出现了中国历史上第一个封建帝制国家——秦朝 （前
221
年—前
206
年）
,
在以后的时间里
,
中国封建文明在秦帝国的封建体制的基础不断完善地持续发展
,
经历了
统一强盛的西汉（公元前
206
年—公元
8
年）帝国、东汉王朝（公元
25
年—公元
220
年）、战乱频仍与分裂的三国时期（公元
208
年
-
公元
280
年）、西 晋（公元
265
年—公元
316
年）与东晋王朝（公元
317
年—公元
420
年）、汉民 族以外的少数民族统治的南朝（公
元
420
年—公元
589
年）与北朝（公元
386
年—公元
518
年）。到了公元
581
年，由隋再
次统一了全国，建立了大一统的隋 朝（公元
581
—
618
年），接着经历了强大富庶文化繁荣的
大唐王朝（公元
618
年—
907
年）、北方少数民族政权辽（公元
916
年
-
公元
1125
年）、
经济和文化发 达的北宋（公元
960
年
~
公元
1127
年）与南宋（公元
1127
年
-
公元
1279
年）、蒙 古族建立的控制范围扩张至整个西亚地区的疆域最大的元朝 （公元
1271
年
-1368
年）、元朝灭亡后，汉族人在华夏大地上重新建立起来的封建王朝——明朝（公 元
1368
年
-
公
元
1644
年），明王朝于
17
世纪中为少数民族女真族（满族）建立 的清朝（公元
1616
年
-
公
元
1911
年）所代替。清朝是中国最后一个封建帝制国 家。自此之后，中国脱离了帝制而转入
了现代民主国家。
中国文明与古代埃及、美索不达米亚、印度文明一样，都是古老的农耕文明， 但与其他文
明截然不同， 它其持续发展两千余年之久， 在世界文明史上是绝无仅 有的。这种文明十分注重
社会事务的管理， 强调实际与经验， 关心人和自然的和 谐与人伦社会的秩序， 儒家思想作为
调解社会矛盾、 维系这一文明持续发展的重 要思想基础。
一、中国数学的起源与早期发展
据《易
?
系辞》记载：「上古结绳而治，后世圣人易之以书契」 。在殷墟出土 的甲骨文卜
辞中有很多记数的文字。 从一到十，及百、千、万是专用的记数文字， 共有
13
个独立符号，
记数用合文书写，其中有十进制制的记数法，出现最大的 数字为三万。
算筹是中国古代的计算工具， 而这种计算方法称为筹算。 算筹的产生年代已 不可考，但
可以肯定的是筹算在春秋时代已很普遍。
用算筹记数，有纵、横两种方式： 表示一个多位数字时，采用十进位值制，各位值的数目从左
到右排列，纵 横相间［法则是：一纵十横，百立千僵，千、十相望，万、百相当］ ，并以空位
表示零。算筹为加、减、乘、除等运算建立起良好的条件。
筹算直到十五世纪元朝末年才逐渐为珠算所取代， 中国古代数学就是在筹算 的基础上取得
其辉煌成就的。
在几何学方面《史记
?
夏本记》中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等 作图和测量工
具，并早已发现「勾三股四弦五」 这个勾股定理［西方称勾股定理］ 的特例。战国时期，齐国
人着的《考工记》汇总了当时手工业技术的规范，包含 了一些测量的内容，并涉及到一些几何知
识，例如角的概念。
战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展， 一些学派还总结和概括出与数学 有关的许多抽
象概念。着名的有《墨经》中关于某些几何名词的定义和命题，例 如：「圆，一中同长也」、
「平，同高也」等等。墨家还给出有穷和无穷的定义。 《庄子》记载了惠施等人的名家学说和桓
团、 公孙龙等辩者提出的论题， 强调抽 象的数学思想，例如「至大无外谓之大一，至小无内谓
之小一」 、「一尺之棰，日 取其半，万世不竭」等。这些许多几何概念的定义、极限思想和其
它数学命题是 相当可贵的数学思想， 但这种重视抽象性和逻辑严密性的新思想未能得到很好的
继承和发展。 此外，讲述阴阳八卦，预言吉凶的《易经》已有了组合数学的萌 芽，并反映出二
进制的思想。
二、中国数学体系的形成与奠基
这一时期包括从秦汉、魏晋、南北朝，共
400
年间的数学发展历史。秦汉是 中国古代数学
体系的形成时期， 为使不断丰富的数学知识系统化、 理论化， 数学 方面的专书陆续出现。 现
传中国历史最早的数学专着是
1984
年在湖北江陵张家 山出土的成书于西汉初的汉简《算数
书》 ，与其同时出土的一本汉简历谱所记乃 吕后二年（公元前
186
年），所以该书的成书年代
至晚是公元前
186
年（应该在 此前）。
西汉末年［公元前一世纪］编纂的《周髀算经》 ，尽管是谈论盖天说宇宙论 的天文学着
作，但包含许多数学内容，在数学方面主要有两项成就：
（1）
提出勾 股定理的特例及普遍形
式；
（2）
测太阳高、远的陈子测日法，为后来重差术（勾 股测量法）的先驱。此外，还有较
复杂的开方问题和分数运算等。
《九章算术》是一部经几代人整理、删补和修订而成的古代数学经典着作， 约成书于东汉
初年 ［公元前一世纪］。全书采用问题集的形式编写， 共收集了
246
个问题及其解法，分属于
方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程 和勾股九章。 主要内容包括分数四则和
比例算法、 各种面积和体积的计算、 关于 勾股测量的计算等。在代数方面， 《方程》章中所
引入的负数概念及正负数加减 法法则，在世界数学史上都是最早的记载； 书中关于线性方程组
的解法和现在中 学讲授的方法基本相同。就《九章算术》的特点来说，它注重应用，注重理论联
系实际，形成了以筹算为中心的数学体系， 对中国古算影响深远。 它的一些成就 如十进制值
制、 今有术、 盈不足术等还传到印度和阿拉伯， 并通过这些国家传到 欧洲，促进了世界数学
的发展。
魏晋时期中国数学在理论上有了较大的发展。 其中赵爽 （生卒年代不详） 和 刘徽（生卒
年代不详） 的工作被认为是中国古代数学理论体系的开端。 三国吴人 赵爽是中国古代对数学定
理和公式进行证明的最早的数学家之一， 对《周髀算经》 做了详尽的注释
,
在《勾股圆方图
注》中用几何方法严格证明了勾股定理，他的 方法已体现了割补原理的思想。 赵爽还提出了用
几何方法求解二次方程的新方法。
263
年，三国魏人刘徽注释《九章算术》 ，在《九章算术
注》中不仅对原书的方 法、公式和定理进行一般的解释和推导， 系统地阐述了中国传统数学的
理论体系 与数学原理，而且在其论述中多有创造，在卷
1
《方田》中创立割圆术（即用圆 内接
正多边形面积无限逼近圆面积的办法） ，为圆周率的研究工作奠定理论基础 和提供了科学的算
法，他运用“割圆术”得出圆周率的近似值为
39271250
（即
3.1416
）；在《商功》章中，
为解决球体积公式的问题而构造了“牟合方盖”的 几何模型， 为祖暅获得正确结果开辟了道
路； 为建立多面体体积理论， 运用极限
方法成功地证明了阳马术；他还撰着《海岛算经》 ，发扬了古代勾股测量术 -------------
重差术。
南北朝时期的社会长期处于战争和分裂状态，但数学的发展依然蓬勃。出 现了《孙子算
经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》等算学着作。约于公元四
-
五 世纪成书的《孙子算经》
给出「物不知数」问题并作了解答，导致求解一次同余 组问题在中国的滥畅； 《张丘建算经》
的「百鸡问题」引出三个未知数的不定方 程组问题。
公元五世纪，祖冲之、祖暅父子的工作在这一时期最具代表性，他们在《九 章算术》刘徽
注的基础上， 将传统数学大大向前推进了一步， 成为重视数学思维 和数学推理的典范。他们同
时在天文学上也有突出的贡献。其着作《缀术》已失 传，根据史料记载，他们在数学上主要有三
项成就：
(1)
计算圆周率精确到小数 点后第六位，得到
3.1415926 <
n
< 3.1415927
，并求
得
n
的约率为
227
,密率 为
355113
，其中密率是分子分母在
1 000
以内的最佳值，欧洲直
到十六世纪德 国人鄂图(
valentinus otto
)和荷兰人安托尼兹(
isz)
才得出同样结
果；
(2)
祖暅在刘徽工作的基础上推导出球体体积的正确公式， 并提出

幂势既同
则积不容异

的体积原理，即二立体等高处截面积均相等则二体体积相等的定理。 欧洲十七世
纪意大利数学家卡瓦列利(
bonaventura cavalieri
)才提出同一定 理；
(3)
发展了二次与三次方
程的解法。 同时代的天文历学家何承天创调日法， 以有理分数逼近实数，发展了古代的不定分
析与数值逼近算法。
三、中国数学教育制度的建立 隋朝大兴土木，客观上促进了数学的发展。唐初王孝通撰《缉古
算经》 ，主 要是通过土木工程中计算土方、 工程的分工与验收以及仓库和地窖计算等实际问
题，讨论如何以几何方式建立三次多项式方程，发展了《九章算术》中的少广、 勾股章中开方理
论。 隋唐时期是中国封建官僚制度建立时期， 随着科举制度与 国子监制度的确立，数学教育有
了长足的发展。
656
年国子监设立算学馆，设有 算学博士和助教， 由太史令李淳风等人编纂注
释 《算经十书》［包括《周髀算经》、 《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张丘
建算经》、《夏侯阳算经》、《缉古 算经》、《五曹算经》、《五经算术》和《缀术》］，作为
算学馆学生用的课本。对保 存古代数学经典起了重要的作用。 由于南北朝时期的一些重大天文
发现在隋唐 之交开始落实到历法编算中，使唐代历法中出现一些重要的数学成果。公元
600
年，隋代刘焯在制订《皇极历》时，在世界上最早提出了等间距二次内插公式， 这在数学史上是
一项杰出的创造， 唐代僧一行在其 《大衍历》中将其发展为不等 间距二次内插公式。 唐朝后
期， 计算技术有了进一步的改进和普及， 出现很多种 实用算术书，对于乘除算法力求简捷。
四、中国数学发展的高峰
唐朝亡后，五代十国仍是军阀混战的继续， 直到北宋王朝统一了中国， 农业、 手工业、
商业迅速繁荣，科学技术突飞猛进。从公元十一世纪到十四世纪［宋、 元两代］，筹算数学达到
极盛， 是中国古代数学空前繁荣， 硕果累累的全盛时期。 这一时期出现了一批着名的数学家和
数学着作， 列举如下：贾宪的《黄帝九章算 法细草》［
1 1
世纪中叶］，刘益的《议古根源》
［
12
世纪中叶］，秦九韶的《数书 九章 》［
1247
］，李冶的《测圆海镜》［
1248
］和《益古
演段》 ［
1259
］，杨辉的《详 解九章算法》［
1261
］、《日用算法》［< br>1262
］和《杨辉算
法》［
1274-1275
］，朱世 杰的《算学启蒙》［
1299
］和《四元玉鉴》［
1303
］等等。 宋元
数学在很多领域 都达到了中国古代数学， 也是当时世界数学的巅峰。 其中主要的工作有： 公
元
1050
年左右，北宋贾宪(生卒年代不详)在《黄帝九章算法细草》中创造了开 任意高次幕的
“增乘开方法”，公元
1819
年英国人霍纳(
william george horner
) 才得出同样的方法。 贾
宪还列出了二项式定理系数表， 欧洲到十七世纪才出现类 似的“巴斯加三角”。(《黄帝九章算
法细草》已佚) 公元
1 088
—
1 095
年间，北 宋沈括从“酒家积罂”数与“层坛”体积等生产
实践问题提出了“隙积术” ，开 始对高阶等差级数的求和进行研究， 并创立了正确的求和公
式。 沈括还提出 “会 圆术”，得出了我国古代数学史上第一个求弧长的近似公式。他还运用运
筹思想 分析和研究了后勤供粮与运兵进退的关系等问题。 公元
1 247
年，南宋秦九韶在 《数
书九章》 推广了增乘开方法， 叙述了高次方程的数值解法， 他列举了二十多 个来自实践的高
次方程的解法， 最高为十次方程。 欧洲到十六世纪意大利人菲尔 洛(
scipio del ferro
)才提出
三次方程的解法。秦九韶还系统地研究了一次同 余式理论。