二年级上册的数学中国古代数学发展史

2020年11月13日发(作者：裘锡侯)
中国古代数学发展史

中国传统数学的形成与兴盛：公元前1世纪至公元1 4
世纪。分成三个阶段：《周髀算经》与《九章算术》、刘徽与
祖冲之、宋元数学，这反映了中 国传统数学发展的三次高峰，
简述9位中国科学家的数学工作。第一次高峰：数学体系的
形成秦 始皇陵兵马俑（中国，1983），秦汉时期形成中国传
统数学体系。我们通过一些古典数学文献说明数 学体系的形
成。1983－1984年间考古学家在湖北江陵张家山出土的一批
西汉初年（即吕 后至文帝初年，约为公元前170年前后）的
竹简，共千余支。经初步整理，其中有历谱、日书等多种古
代珍贵的文献，还有一部数学著作，据写在一支竹简背面的
字迹辨认，这部竹简算书的书名叫《 算数书》，它是中国现
存最早的数学专著。经研究，它和《九章算术》（公元1世
纪）有许多相 同之处，体例也是“问题集”形式，大多数题都
由问、答、术三部分组成，而且有些概念、术语也与《九 章
算术》的一样。《周髀算经》（髀：量日影的标杆）编纂于西
汉末年，约公元前100年，它 虽是一部天文学著作（“盖天说”
－天圆地方；中国古代正统的宇宙观是“浑天说”－大地是悬
浮于宇宙空间的圆球，“天体如弹丸，地如卵中黄”），涉及的
数学知识有的可以追溯到公元前11世纪 （西周），其中包括
两项重要的数学成就：勾股定理的普遍形式（中国最早关于
勾股定理的书面 记载），数学在天文测量中的应用（测太阳
高或远的“陈子测日法”，陈子约公元前6、7世纪人，相似 形
方法）。勾股定理的普遍形式：求邪至日者，以日下为勾，
日高为股，勾股各自乘，并而开方 除之，得邪至日。中国传
统数学最重要的著作是《九章算术》（东汉，公元100年）。
它不是 出自一个人之手，是经过历代多人修订、增补而成，
其中的数学内容，有些也可以追溯到周代。中国儒家 的重要
经典著作《周礼》记载西周贵族子弟必学的六门课程“六艺”
（礼、乐、射、御、书、数 ）中有一门是“九数”。《九章算术》
是由“九数”发展而来。在秦焚书（公元前213年）之前，至< br>少已有原始的本子。经过西汉张苍（约公元前256－152年，
约公元前200年，西汉阳武（ 今河南原阳）人）、耿寿昌（公
元前73－49年，约公元前50年）等人删补，大约成书于东
汉时期，至迟在公元100年。全书246个问题，分成九章：
（1）方田（土地测量），包括正方形、 矩形、三角形、梯形、
圆形、环形、弓形、截球体的表面积计算，另有约分、通分、
四则运算， 求最大公约数等运算法则；（2）粟米（粮食交易
的比例方法）；（3）衰分（比例分配的算法），介绍 依等级分
配物资或按等级摊派税收的比例分配算法；（4）少广（开平
方和开立方法）；（5） 商功（立体形求体积法）；（6）均输（征
税），处理行程和合理解决征税问题，包括复比例和连比例< br>等比较复杂的比例分配问题；（7）盈不足（盈亏类问题解法
及其应用）；（8）方程（一次方程 组解法和正负数）；（9）勾
股（直角三角形），介绍利用构股定理测量计算高、深、广、
远的 问题。所包含的数学成就是丰富和多方面的，主要内容
包括分数四则和比例算法、面积和体积的计算、关 于勾股测
量的计算等，既有算术方面的，也有代数与几何方面的内容。
如方程第一题，其算筹式 为 它完整地叙述了当时已有的数
学成就，对中国传统数学发展的影响，如同《原本》对西方
数 学发展的影响一样深远，在长达一千多年间，一直作为中
国的数学教科书，并被公认为世界数学古典名著 之一。《九
章算术》标志以筹算为基础的中国古代数学体系正式形成。
第二次高峰：数学稳步发 展三国演义（中国，1998）。
从公元220年东汉分裂，到公元581年隋朝建立，史称魏晋南北朝。这是中国历史上的动荡时期，也是思想相对活跃的
时期。在长期独尊儒学之后，学术界思辨 之风再起，在数学
上也兴起了论证的趋势。许多研究以注释《周髀算经》、《九
章算术》的形式 出现，实质是寻求这两部著作中一些重要结
论的数学证明。这是中国数学史上一个独特而丰产的时期，< br>是中国传统数学稳步发展的时期。《九章算术》注释中最杰
出的代表是刘徽和祖冲之父子。
刘徽（魏晋，公元3世纪）（中国，2002），淄乡（今山东
邹平县）人，布衣数学家，于 263年撰《九章算术注》，不
仅对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推
导， 而且系统地阐述了中国传统数学的理论体系与数学原
理，并且多有创造，奠定了这位数学家在中国数学史 上的不
朽地位，成为中国传统数学最具代表性的人物。刘徽数学成
就中最突出的是“割圆术”（ 圆内接正多边形面积无限逼近圆
面积）。在刘徽之前，通常认为“周三径一”，即圆周率取为3。
刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，
割之又割，以至于不可割，则与圆周合 体而无所失矣”，通过
计算圆内接正3072边形的面积，求出圆周率为39271250（=）
（阿基米德计算了圆内接和外切正96边形的周长）。为方便
计算，刘徽主张利用圆内接正192边形 的面积求出15750（=）
作为圆周率，后人常把这个值称为“徽率”。这使刘徽成为中
算史 上第一位用可靠的理论来推算圆周率的数学家，并享有
国际声誉。让我们来体会刘徽的“割圆术”。刘徽 对π的估算
值（密克罗尼西亚，1999）。刘徽利用极限思想求圆的面积，
就极限思想而言， 从现存中国古算著作看，在清代李善兰及
西方微积分学传入中国之前，再没有人超过甚至达到刘徽的水平。2000年国家最高科学技术奖得主吴文俊院士指出：“从
对数学贡献的角度来衡量，刘徽应 该与欧几里得、阿基米德
相提并论”。刘徽的数学思想和方法，到南北朝时期被祖冲之
推进和发 展。 祖冲之（429－500年），范阳遒县（今河北涞
源）人，活跃于南朝的宋、齐两代，曾做过一 些小官，但他
却成为历代为数很少能名列正史的数学家之一。祖冲之：“迟
疾之率，非出神怪， 有形可检，有数可推。”祖冲之的著作《缀
术》，取得了圆周率的计算和球体体积的推导两大数学成就。
祖冲之关于圆周率的贡献记载在《隋书》（唐，魏征主编）
的《律历志》中：“古之九数，圆周 率三，圆径率一，其术疏
舛。自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒，各设新率，
未臻折衷。 宋末，南徐州（今江苏镇江）从事史祖冲之，更
开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分 五
厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六
忽，正数在盈朒二限之间。密率，圆 径一百一十三，圆周三
百五十五。约率，圆径七，周二十二。”即，祖冲之算出圆周
率在与之间 ，并以355113（=…）为密率，227（=…）为约
率。1913年日本数学史家三上义夫（18 75－1950年）在《中
国和日本的数学之发展》里主张称355113为祖率。祖冲之
如何 算出如此精密结果，《隋书·律历志》写道：“所著之书，
名为《缀术》，学官莫能究其深奥，是故废而 不理”。《缀术》
失传了，没有任何史料流传下来。史学家认为，祖冲之除开
继续使用刘徽的“ 割圆术”“割之又割”外，并不存在有其它方
法的可能性。如按刘徽的方法，继续算至圆内接正1228 8边
形和正24576边形可得出圆周率在3.与3.之间。《缀术》的
另一贡献是祖氏原理： 幂势既同则积不容异，在西方文献中
称为卡瓦列里原理，或不可分量原理，因为1635年意大利
数学家卡瓦列里（1598－1647年）独立提出，对微积分的建
立有重要影响。在数学成就方面， 整个唐代却没有产生出能
够与其前的魏晋南北朝和其后的宋元时期相媲美的数学大
家，主要的数 学成就在于建立中国数学教育制度。为了教学
需要唐初由李淳风（604－672年）等人注释并校订了 《算经
十书》（约656年），即《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算
经》（刘徽）、《孙 子算经》（约成书于公元400年，内有“物不
知数”问题）、《夏候阳算经》（成书于公元6、7世纪 ，内有“百
鸡问题”：今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，
直钱一。凡百钱，买鸡 翁、母、雏各几何）、《张邱建算经》
（张邱建，北魏清河（今邢台市清河县）人，约成书于公元
466－485年间）、《缀术》（祖冲之）、《五曹算经》（北周甄鸾
（字叔遵，河北无极人）著） 、《五经算经》（北周甄鸾著）
和《缉古算经》（约成书于626年前后，唐王孝通，内有三
次 方程及其根，但没有解题方法）。十部算经对继承古代数
学经典有积极的意义，显示了汉唐千余年间中国 数学发展的
水平，是当时科举考试的必读书（公元587年隋文帝开创中
国的科举考试制度，1 905年清朝废止科举制度）。第三次高
峰：数学全盛时期社会背景：公元960年，北宋王朝的建立< br>结束了五代十国（907－960年）割据的局面。北宋的农业、
手工业、商业空前繁荣，科学技 术突飞猛进，火药、指南针、
印刷术三大发明就是在这种经济高涨的情况下得到了广泛
应用。雕 版印书的发达，特别是北宋中期，在宋仁宗庆历年
间（约1041—1048年），毕升活字印刷术的发 明（平民发明
家毕升总结了历代雕版印刷的丰富的实践经验，经过反复试
验，制成了胶泥活字， 实行排版印刷，完成了印刷史上一项
重大的革命，关于毕升的生平事迹，人们却一无所知，幸亏
毕升创造活字印刷术的事迹，比较完整地记录在北宋著名科
学家沈括的名著《梦溪笔谈》里），给数学著 作的保存与流
传带来了福音。事实上，整个宋元时期（960—1368年），重
新统一了的中 国封建社会发生了一系列有利于数学发展的
变化，以筹算为主要内容的中国传统数学达到了鼎盛时期。< br>中国传统数学以宋元数学为最高境界。这一时期涌现许多杰
出的数学家和先进的数学计算技术，其 印刷出版、记载着中
国传统数学最高成就的宋元算书，是世界文化的重要遗产。
下面介绍宋元时 期的一些计算技术。 贾宪三角贾宪（约公
元11世纪）是北宋人，在朝中任左班殿值，约1050年完 成
一部叫《黄帝九章算术细草》的著作，原书丢失，但其主要
内容被杨辉的《详解九章算法》摘 录，因能传世。贾宪发明
了“增乘开方法”，是中算史上第一个完整、可推广到任意次
方的开方 程序，一种非常有效和高度机械化的算法。在此基
础上，贾宪创造了“开方作法本源图”（即“古法七乘 方图”或
贾宪三角），西方人叫“帕斯卡三角”或“算术三角形”，因为法
国数学家帕斯卡（1 623－1662年）于1654年发表论文《论
算术三角形，以及另外一些类似的小问题》。算术三角 形（利
比里亚，1999）。 隙积术沈括（1030－1094年），北宋钱塘
（今浙江杭州 ）人，北宋著名的科学家，1080年任延州（今
陕西延安市）知州，因1082年的“永乐城（今宁夏 银川附近）
之战”败于西夏（1032－1227年）而结束政治生涯，经过6
年的软禁之苦后 ，开始赋闲幽居生活。沈括一生论著极多，
其中以《梦溪笔谈》（1093年）影响最大，内容包括数学 、
天文、历法、地理、物理、化学等领域，被英国著名科学史
家李约瑟誉为“中国科学史的里程 碑”。他对数学的主要成就
有两项，会圆术（解决由弦求孤的问题）和隙积术（开创研
究高阶等 差级数之先河）。天元术李冶（金、元，1192－1279
年），金代真定栾城（今河北栾城）人，出 生的时候，金朝
（1115－1234年）正由盛而衰，曾任钧州（今河南禹县）知
事，123 2年钧州被蒙古军所破，遂隐居于封龙山治学，潜心
学问。1248年撰成代数名著《测圆海镜》，该书 是首部系统
论述“天元术”（一元高次方程）的著作，“天元术”与现代代
数中的列方程法相类 似，称未知数为天元，“立天元一为某
某”，相当于“设x为某某”，可以说是符号代数的尝试，在数< br>学史上具有里程碑意义。刘徽注释《九章算术》“正负术”中
云：“正算赤，负算黑”，李冶感到 用笔记录时换色的不便，
便在《测圆海镜》中用斜画一杠表示负数。“积财千万，不如
薄技在身 ”。李冶的天元术列方程：
x^3+336x^2+4184x+2488320=0。大衍术秦九韶（ 约1202－
1261年），南宋普州安岳（今四川安岳）人，曾任和州（今
安徽和县）守，1 244年，因母丧离任，回湖州（今浙江吴兴）
守孝三年。此间，秦九韶专心致志于研究数学，于124 7年
完成数学名著《数书九章》， 内容分为九类：大衍类、天时
类、田域类、测望类、赋役类 、钱谷类、营建类、军旅类、
市易类，其中有两项贡献使得宋代算书在中世纪世界数学史
上占有 突出的地位。《数书九章》是我国古算中最早用圆圈Ο
表示0号的著作。一是发展了一次同余组解法，创 立了“大衍
求一术”（一种解一次同余式的一般性算法程序，现称中国剩
余定理，所谓“求一” ，通俗他说，就是求“一个数的多少倍除
以另一个数，所得的余数为一”）的一般解法。中算家对于一< br>次同余式问题解法最早见于《孙子算经》（约公元400年）
中的“物不知数问题”（亦称“孙子 问题”）：今有物不知其数，
三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何。
《孙子 算经》给出的答案是23，但其算法很简略，未说明其
理论根据。秦九韶在《数书九章》中明确给出了一 次同余组
的一般性解法。在西方，最早接触一次同余式的是意大利数
学家斐波那契（1170－ 1250年）于1202年在《算盘书》中
给出了两个一次同余问题，但没有一般算法，1743年瑞士 数
学家欧拉（1707－1783年）和1801年德国数学家高斯（1777
－1855年） 才对一次同余组进行了深入研究，重新获得与中
国剩余定理相同的结果。二是总结了高次方程数值解法， 将
贾宪的“增乘开方法”推广到了高次方程的一般情形，提出了
相当完备的“正负开方术”（现 称秦九韶法）。在西方，直到
1804年意大利数学家鲁菲尼（1765－1822年）才创立了一种逐次近似法解决数字高次方程无理根的近似值问题，而
1819年英国数学家霍纳（1786－1 837年）才提出与“增乘开
方法”演算步骤相同的算法，西方称霍纳法。 垛积术杨辉（公
元 13世纪），南宋钱塘（今浙江杭州）人，曾做过地方官，
足迹遍及钱塘、台州、苏州等地，是东南一带 有名的数学家
和数学教育家。杨辉的主要数学著作之一《详解九章算法》
（1261年）是为了 普及《九章算术》中的数学知识而作，它
从《九章算术》的246道题中选择了80道有代表性的题目，
进行详解，其中主要的数学贡献是“垛积术”，这是在沈括“隙
积术”的基础上发展起来的，由 多面体体积公式导出相应的垛
积术公式。另一贡献是所谓的“杨辉三角”，其实是记载了贾
宪的 工作。 四元术朱世杰（约1260－1320年），寓居燕山
（今北京附近），当时的北方，正处于天 元术逐渐发展成为
二元术、三元术的重要时期，朱世杰在经过长期游学、讲学
之后，终于在12 99年和1303年在扬州刊刻了他的两部代表
作《算学启蒙》和《四元玉鉴》。中国数学自晚唐以来不 断
发展的简化筹算的趋势有了进一步的加强，日用数学和商用
数学更加普及，南宋时期杨辉可以 作为这一倾向的代表，而
朱世杰则是这一倾向的继承。《算学启蒙》是一部通俗数学
名著，出版 后不久即流传至日本和朝鲜。就学术成就而论，
《四元玉鉴》远超《算学启蒙》，它是中国宋元数学高峰 的
又一个标志，主要贡献有四元术和招差术（高次内插公式）。
四元术是多元高次方程列方程和 解方程的方法，未知数最多
可达四个，即天元、地元、人元和物元。如《四元玉鉴》卷
首“假令 四草”之“四象会元”，其中四元布列意为即元气（常
数项）居中，天元（未知数x）于下，地元（未知 数y）于左，
人元（未知数z）于右，物元（未知数u）于上，所以上述方
程指“”。朱世杰的 好友莫若在《四元玉鉴》的序文中说道：
《四元玉鉴》，其法以元气居中，立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上，阴阳升降，进退左右，互通
变化，错综无穷。清代数学家罗士琳（1 774—1853年）在《畴
人传·续编·朱世杰条》中说：汉卿在宋元间，与秦道古（九
韶） 、李仁卿（冶）可称鼎足而三。道古正负开方，仁卿天
元如积，皆足上下千古，汉卿又兼包众有，充类尽 量，神而
明之，尤超越乎秦李之上。美国著名科学史家萨顿（1884－
1956年）说：朱世 杰是汉民族，他所生存时代的，同时也是
贯穿古今的一位最杰出的数学家。 内插法郭守敬（1231－
1316年），顺德邢台（今河北邢台）人，元代大天文学家、
数学家、水利专家和仪器制造家 ，曾任工部郎中、太史令、
都水监事和昭文馆大学士等官职。与太史令王恂（1235－
128 1年，中山府（今河北定州）唐县（今唐县人），至元十
八年（1281年），王恂丧父，去官守孝。守 孝期间，因悲伤
过度，不思饮食，饥馁染病而亡，享年46岁），一同吸收了
前代历法的精华， 运用宋金两朝的数学成就（包括沈括的会
圆术），使用了三次内插公式，在1280年完成了中国古代最
精密的历法《授时历》。设定一年为天，比地球绕太阳一周
的实际运行时间只差26秒，早于欧 洲1582年开始使用的“格
里历”300年，使用时间长达363年（1281－1643年），中国
古代的历法也发展到了高峰。此外，1276年，郭守敬根据镜
成象原理发明了“景符”测影器 ，制造了世界闻名的简仪、高
表、窥（kuí）几、仰仪、日晷（guǐ）、浑天象等12种天文仪器，元至元十三年（l276年）建造的河南登封观星台留存至
今。古希腊数学以几何定理的演绎推 理为特征、具有公理化
模式，与中国传统数学以计算为中心、具有程序性和机械性
的算法化模式 相辉映，交替影响世界数学的发展。这一时期
创造的宋元算法，如隙积术、大衍术、开方术、垛积术、招
差术、天元术等在世界数学史上占有光辉的地位。古代数学
的衰落
朱世杰可以被看作 是中国宋元时期数学发展的总结性人物，
是中国以筹算为主要计算工具的古代数学发展的顶峰，而
《四元玉鉴》可以说是宋元（960－1368年）数学的绝唱。
14世纪中、后叶，明王朝建立以后 ，统治者奉行以八股文为
特征的科举制度，1370年明太祖朱元璋（1328－1398年）
规定八股文为科举考试的主要文体，在国家科举考试中大幅
度消减数学内容，明初起300余年内中国传 统数学研究呈现
全面衰退，致使明代大数学家看不懂宋元重要数学成就。明
清两朝（1368－ 1911年）共543年，不仅未能产生出与《数
书九章》、《四元玉鉴》相媲美的数学杰作，而且在1 8世纪
中叶“乾嘉学派”重新发掘研究以前，像“四元术”这样一些宋
元数学的精粹长期失传、 无人通晓。