搁浅是什么意思：牛顿—莱布尼茨公式的一种证明方法

2020年11月13日发(作者：阮逸女)
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牛顿—莱布尼茨公式的一种证明方法

作者：张豫冈 王新爱

来源：《吉林省教育学院学报·上旬刊》2013年第05期

摘要：教科书中牛顿- 莱布尼茨公式多是借助积分上限函数证明的，本文利用微分中值定
理和定积分的定义给出了牛顿-莱布尼 茨公式的一种证明方法，并作出了相应的几何解释，在
该证明方法的几何解释中揭示了微分中值定理和积 分中值定理的一致性。
关键词： 牛顿- 莱布尼茨公式；微分中值定理；积分中值定理；定积分
中图分类号：O172 文献标识码：A
1 基本概念
定义1[1]：设函数 在区间 上有定义.用分点 将区间任意分成 个小区间，小区间的长度
为 ，记 ，在每个小区间上任取一点 ，作乘积 的和式 .若当 时，上 总趋于确定的极限 ，则称
此极限 为函数 在区间 的定积分，记作 .即 = ，此时称函数 在 是可积.
引理1[2]：设函数 在闭区间 内连续，在开区间 内可导，则至少存在一点 ，成立等式 .
定理1[3]（牛顿-莱布尼茨公式）：如果函数 在 内连续， 是 在 上的一个原函数，则， .
2 利用微分中值定理和定积分定义证明定理1（牛顿-莱布尼茨公式）
（1）数学证明
证明：因为 是 在 上的一个原函数，故在 内可导，且 . 因为 在 内连续，在 内可导，所以
在 内满足引理1的条件.用分点 将区间 任意分成 个小区间 ，小区间的长度记为 ，在每个小区
间 上，函数 均满足微分中值定理的条件，故至少存在 ，使得等式 成立，即： （ ）成立. 将各
个小区间内的上述等式左右两边分别相加，可以得到：
即 ………⑤式，即
令 ，⑤式两边分别取极限得：
………①式
⑤式的左边 是常数，极限显然存在，即：
………②式