z数学经典数学悖论

2020年11月14日发(作者：韩笑)
经典数学悖论
古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和 精密的思考，
吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解
决又往往可以给人带来全新的观念。
本文将根据悖论形成的原因，粗略地把它归纳为六种类型 ，分上、中、下三个部份。这是第
一部份：由概念自指引发的悖论和引进无限带来的悖论
（一）由自指引发的悖论
以下诸例都存在着一个概念自指或自相关的问题：如果从肯定命题入 手，就会得到它的否定
命题；如果从否定命题入手，就会得到它的肯定命题。
１－１ 谎言者悖论
公元前六世纪，哲学家克利特人艾皮米尼地斯（Ｅｐｉｍｅｎｉｄｅｓ）：“所有克利特人 都
说谎，他们中间的一个诗人这么说。”这就是这个著名悖论的来源。
《圣经》里曾经提到： “有克利特人中的一个本地中先知说：‘克利特人常说谎话，乃是恶兽，
又馋又懒’”（《提多书》第一 章）。可见这个悖论很出名，但是保罗对于它的逻辑解答并没有
兴趣。
人们会问：艾皮米尼地斯有没有说谎？这个悖论最简单的形式是：
１－２ “我在说谎” < br>如果他在说谎，那么“我在说谎”就是一个谎，因此他说的是实话；但是如果这是实话，他又
在说 谎。矛盾不可避免。它的一个翻版：
１－３ “这句话是错的”
这类悖论的一个标准形式是 ：如果事件Ａ发生，则推导出非Ａ，非Ａ发生则推导出Ａ，这是
一个自相矛盾的无限逻辑循环。拓扑学中 的单面体是一个形像的表达。
哲学家罗素曾经认真地思考过这个悖论，并试图找到解决的办法。他在《 我的哲学的发展》
第七章 《数学原理》里说道：“自亚里士多德以来，无论哪一个学派的逻辑学家，从 他们所
公认的前提中似乎都可以推出一些矛盾来。这表明有些东西是有毛病的，但是指 不出纠正
的方法是什么。在１９０３年的春季，其中一种矛盾的发现把我正在享受的那种逻辑蜜月打
断了。”
他说：谎言者悖论最简单地勾画出了他发现的那个矛盾：“那个说谎的人说：‘不论我说什么
都 是假的’。事实上，这就是他所说的一句话，但是这句话是指他所说的话的总体。只是把
这句话包括在那 个总体之中的时候才产生一个悖论。” （同上）
罗素试图用命题分层的办法来解决：“第一级命题我 们可以说就是不涉及命题总体的那些命
题；第二 级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题；其余仿 此，以至无穷。”但是这一
方法并没有取得成效。“１９０３年和１９０４年这一整个时期，我差不多完 全是 致力于这
一件事，但是毫不成功。”（同上）
《数学原理》尝试整个纯粹的数学是在纯 逻辑的前提下推导出来的，并且使用逻辑术语说明
概念，回避自然语言的歧意。但是他在书的序言里称这 是：“发表一本包含那么许多未曾解
决的争论的书。”可见，从数学基础的逻辑上彻底地解决这个悖论并 不容易。
接下来他指出，在一切逻辑的悖论里都有一种“反身的自指”，就是说，“它包含讲那个总体
的某种东西，而这种东西又是总体中的一份子。”这一观点比较容易理解，如果这个悖论是
克利 特以为的什么人说的，悖论就会自动消除。但是在集合论里，问题并不这么简单。
１－４ 理发师悖论
在萨维尔村，理发师挂出一块招牌：“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。”有人问
他 ：“你给不给自己理发？”理发师顿时无言以对。
这是一个矛盾推理：如果理发师不给自己理发，他就 属于招牌上的那一类人。有言在先，他
应该给自己理发。 反之，如果这个理发师给他自己理发，根据招 牌所言，他只给村中不给
自己理发的人理发，他不能给自己理发。
因此，无论这个理发师怎么 回答，都不能排除内在的矛盾。这个悖论是罗素在一九○二年提
出来的，所以又叫“罗素悖论”。这是集 合论悖论的通俗的、有故事情节的表述。显然，这里
也存在着一个不可排除的“自指”问题。
１－５ 集合论悖论
“Ｒ是所有不包含自身的集合的集合。”
人们同样会问：“Ｒ 包含不包含Ｒ自身？”如果不包含，由Ｒ的定义，Ｒ应属于Ｒ。如果Ｒ包
含自身的话，Ｒ又不属于Ｒ。
继罗素的集合论悖论发现了数学基础有问题以后，１９３１年歌德尔（Kurt Godel ，１９０
６－１９７８，捷克人）提出了一个“不完全定理”，打破了十九世纪末数学家“所有的数学
体 系都可以由逻辑推导出来”的理想。这个定理指出：任何公 设系统都不是完备的，其中必
然存在着既不 能被肯定也不能被否定的命题。例如，欧氏几何中的“平行线公理”，对它的否
定产生了几种非欧几何； 罗素悖论也表明 集合论公理体系不完备。
１－６ 书目悖论
一个图书馆编纂了一本书名词 典，它列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书。那么它列
不列出自己的书名？
这个悖论与理发师悖论基本一致。
１－７ 苏格拉底悖论
有“西方孔子”之称的雅 典人苏格拉底（Ｓｏｃｒａｔｅｓ，公元前４７０－前３９９）是古
希腊的 大哲学家，曾经与普洛特哥拉斯、哥吉斯等著名诡辩家相对。他建立 “定义”以对付
诡辩派混淆的修辞 ，从而勘落了百家的杂说。但是他的道德观念不为希腊人所容，竟在七十
岁的时候被当作诡辩杂说的代表 。在普洛特哥拉斯被驱 逐、书被焚十二年以后，苏格拉底
也被处以死刑，但是他的学说得到了柏拉图和亚里斯多德的继承。
苏格拉底有一句名言：“我只知道一件事，那就是什么都不知道。”
这是一个悖论，我们无法 从这句话中推论出苏格拉底是否对这件事本身也不知道。古代中国
也有一个类似的例子：
１－７ “言尽悖”
这是《庄子·齐物论》里庄子说的。后期墨家反驳道：如果“言尽悖”， 庄子的这个言难道就
不悖吗？我们常说：
１－７ “世界上没有绝对的真理”
我们不知道这句话本身是不是“绝对的真理”。
１－８ “荒谬的真实”
有字典给 悖论下定义，说它是“荒谬的真实”，而这种矛盾修饰本身也是一种“压缩的悖论”。
悖论（ｐａｒａｄ ｏｘ）来自希腊语“para＋dokein”，意思是“多想一想”。
这些例子都说明，在逻辑上它们都无法摆脱概念自指所带来的恶性循环。
1.唐·吉诃德悖论
小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家，它有一条奇怪的法律，每个旅游者都要回答一个问
题： “你来这里做什么？”回答对了，一切都好办；回答错了，就要被绞死。
一天，有个旅游者回答：“我来这里是要被绞死。”
旅游者被送到国王那里。国王苦苦想了好 久：他回答得是对还是错？究竟要不要把他绞死。
如果说他回答得对，那就不要绞死他——可这样一来， 他的回答又成了错的了！如果说他回
答错了，那就要绞死他——但这恰恰又证明他回答对了。实在是左右 为难！
2.梵学者的预言
一天，梵学者与他的女儿苏耶发生了争论。
苏椰：你是一个大骗子，爸爸。你根本不能预言未来。
学者：我肯定能。
苏椰：不，你不能。我现在就可以证明它！
苏椰在一张纸上写了一些字，折起来，压在水晶球下。她说：
“我写了一件事，它在3点钟前 可能发生，也可能不发生。请你预言它究竟是不是会发生，
在这张白卡片上写下‘是’字或‘不’字。要 是你写错了，你答应现在就买辆汽车给我，不要拖
到以后好吗？”
“好，一言为定。”学者在卡片上写了一个字。
3点钟时，苏椰把水晶球下面的纸拿出来，高 声读道：“在下午3点以前，你将写一个‘不’
字在卡片上。”
学者在卡片上写的是“是”字 ，他预言错了：“在下午3点以前，写一个‘不’字在卡片上”这一
件事并未发生。但如果他在卡片上写 的是“不”呢？也还错！因为写“不”就表示他预言卡片上
的事不会发生，但它恰恰发生了——他在卡片 上写的就是一个‘不’字。
苏椰笑了：“我想要一辆红色的赛车，爸爸，要带斗形座的。”
3.意想不到的老虎
公主要和迈克结婚，国王提出一个条件：
“我亲爱的，如果迈 克打死这五个门后藏着的一只老虎，你就可以和他结婚。迈克必须顺次
序开门，从1号门开始。他事先不 知道哪个房间里有老虎，只有开了那扇门才知道。这只老
虎的出现将是料想不到的。”
迈克看着这些门，对自己说道：
“如果我打开了四个空房间的门，我就会知道老虎在第五个房 间。可是，国王说我不能事先
知道它在哪里，所以老虎不可能在第五个房间。”
“五被排除了 ，所以老虎必然在前四个房间内。同样的推理，老虎也不会在最后一个房间——
第四间内。”
按同样的理由推下去，迈克证明老虎不能在第三、第二和第一个房间。迈克十分快乐，他满
怀信心地去看 门。使他惊骇的是，老虎从第二个房间跳了出来。
迈克的推理并没有错，但他失败了。老虎的出现完全 出乎意料，表明国王遵守了他的诺言。
也许，迈克进行推理的本身就与国王关于老虎“料想不到”的条件 发生了矛盾。迄今为止，逻
辑学家对于迈克究竟错在哪里还末得到一致意见。
4.钱包游戏
史密斯教授和两个学生一道吃午饭。教授说：“我来告诉你们一个新游戏。把你们的钱包放
在桌 子上，我来数里面的钱。钱少的人可以赢掉另一个钱包中的所有钱。”
学生甲想：“如果我的钱多，就 会输掉我这些钱；如果他的多，我就会赢多于我的钱。所以
赢的要比输的多，这个游戏对我有利。”
同样的道理，学生乙也认为这个游戏对他有利。
请问，一个游戏怎么会对双方都有利呢？
5.一块钱哪儿去了？
一个唱片商店里，卖30张老式硬唱片，一块钱两张；另外30张软唱 片是一块钱三张。那天，
这60张唱片卖光了。30张硬唱片收入15元，30张软唱片收入10元，总 共是25元。
第二天，老板又拿出60张唱片。他想：“如果30张唱片是一块钱卖两张，30张是一 块钱卖
三张，何不放在一起，两块钱卖5张呢？”这一天，60张唱片全按两块钱5张卖出去了。老板点钱时才发现，只卖得24元，而不是25元。
这一块钱到哪儿去了呢？
6.惊人的编码
外星的一位科学家基塔先生，来到地球收集人类的资料，遇到了赫尔曼博士。
赫尔曼：“你何不带一套大英百科全书回去？这套书最全面地汇总了我们的所有知识。”
基塔 ：“可惜，我带不走那么重的东西。不过，我可以把整套百科全书编码，然后只要在这
根金属棒上作个标 记，就代表了百科全书中的全部信息。”真是再简单不过了！
基塔先生是怎样做到的呢？
基 塔：“我先把每个字母、数字、符号，都用一个数来代表，零用来隔开它们。例如cat一
词就编为3－ 0－1－0－22。我用高级袖珍计算机快速扫描， 就能把百科全书的全部内容转
变为一个庞大的数字 。前面加一个小数点，就使它变成了一个十进制的分数，例如
0.2015015011……
基塔先生在金属棒上找到了一个点，这个点将棒分为a和b两段，而a／b刚好等于上面那
个十进制分数 值。
基塔：“回去后，测出a和b的值，就求出了它们的比值；根据编码的规定，你们的百科全
书就被破译出来了。”
这样，基塔离开地球时只带了一根金属棒，而他却已“满载而归”了！
7.不可逃遁的点
帕特先生沿着一条小路上山。他早晨七点动身，当晚七点到达山顶。第二天 早晨沿同一小路
下，晚上七点又回到山脚，遇见了拓扑学老师克莱因。
克莱因：“帕特，你可 曾知道你今天下山时走过这样一个地点，你通过这点的时刻恰好与你
昨天上山时通过这点的时刻完全相同 ？”
帕特：“这绝不可能！我走路时快时慢，有时还停下来休息。”
克莱因：“当你开始下 山时，设想你有一个替身同时开始登山，这个替身登山的过程同你昨
天登山时完全相同。你和这个替身必 定要相遇。我不能断定你们在哪一点相遇，但一定会有
这样一点。……”
帕特明白了。你明白了吗？
8.橡皮绳上的蠕虫
橡皮绳长1公里,一条蠕虫在它的 一端。蠕虫以每秒1厘米的稳定速度沿橡皮绳爬行；而橡
皮绳每过1秒钟就拉长1公里。如此下去，蠕虫 最后究竟会不会到达终点呢？
乍一想，随着橡皮绳的拉伸，蠕虫离终点越来越远了。但细心的读者会想 到：随着橡皮绳的
每次拉伸，蠕虫也向前挪了。
如果用数学公式表示，蠕虫在第n秒未在橡皮 绳上的位置，表示为整条绳的分数就是（推导
过程从略）：
当n足够大（约为e100000）时，上式的值就超过了1，也就是说蠕虫爬到了终点。
9.棘手的电灯
一盏电灯，用按钮来开关。假定把灯拧开一分钟，然后关掉半分钟，再拧开1 4分钟，再关
掉1／8分钟，如此往复，这一过程的末了恰好是两分钟。
那么，在这一过程结束时，电灯是开着，还是关着？这个问题实在是难！
回数猜想
一提到李白，人们都知道这是我国唐代大诗人的名字。如果把“李白”两字颠倒一下，变成“白
李”，这 也是一个人的名字，此人姓白名李。像这样正着念、反 着念都有意义的文字叫做“回
文”。王融作有《 春游回文诗》；“风朝指锦幔，月晓照莲池。”反过来读：“池莲照晓月，幔
锦指朝风。”回文与数学里 的“对称” 相似。
如果一个数，从左右来读都一样，就称它为回文式数。比如、101、32123 、9999等都是回
文式数。数学中有名的“回数猜想”之谜，至今没有解 决。你任取一个数，再把这 个数倒过
来，并将这两个数相加；然后这个和数再倒过来，与原来的和数相加。重复这个过程，一定能获得一个回文式数。
举个例了，比如68，按上述做法进行运算，只需要3步就可以得到一个回文式数1111。
68＋86=154
154＋451=605
605＋506=1111
至今没有人能确定这个猜想是对还是错。196这个三位数也许能成为“回数猜想”不成立的反
证。因 为用电子计算机对这个数进行了几十万步计算，仍没有获得回文式数。但是也没有人
能证明这个数永远产 生不了回文式数。
数学家对同时是质数的回文式数进行了研究，但是还没有人能证明这种想法是对的。 数学家
还猜想有无穷个回文质数对，比如30103和30203，它们的特点是中间的数字是连续的， 而
其他数字都是相等的。
在回文式数中平方数是非常多的，比如：
121=11的平方
12321=111的平方
1234321=1111的平方
……
654321=111111111的平方
立方数也有类似情况，如：
1331=11的立方
1367631=111的立方
有趣的回文数，至今还有许多不解之谜。我们寄希望于未来的数学家去解开这个谜。

托尼对做统计工作的爸爸斯坦·斯达特曼说：“爸爸，请你给我和弟弟查理出几道趣题，好吗?”
“当然好。”爸爸说，“我很乐意接受你的提议。”
于是，父子之间有关趣题的讨论便开始了。
1、“先说第一道。”爸爸说，“有一位女士养了 10只母狗，却没有1只母狗生了10只小狗。
必定至少有两只母狗生有同样多的小狗，是吗?”
“未必。”托尼答道。
“我认为必定是这样。”查理持不同意见。
兄弟俩谁说的对?为什么?
2、“在第一题中，”爸爸补充说，“如果10只母狗每只至少生 有1只小狗，但最多不到10只
小狗。你俩想一想，答案又如何呢?”
“必定至少有两只母狗生有同样多的小狗。”托尼的回答很肯定。
“未必是这样。”查理答道。
兄弟俩谁说的对?为什么?
3、“有甲、乙两个人在 喝茶。”爸爸接着又出题了，“其中甲对乙说：‘我敢跟你打赌，此时
此刻我衣袋里的钱至少是你的两倍 !’乙听后很不服气，对甲说：‘我也敢跟你打赌，此时此刻
我衣袋里的钱刚好是你的两倍!’” “结果，”爸爸继续说，“这两个人要么就都赢了，要么就都输了。你们能说出这两个人是都
赢了还 是都输了呢?”
“能说出，显然都输了。”托尼说。
“不能说出，也有可能都赢了。”查理说。
兄弟俩谁说的对?为什么?
4、“昨天 ，我去拜访了一位叫吉米的朋友，吉米的家有两个花园。”爸爸的新题又开始了，“我
数了一下其中一个 花园里的花，刚好是50朵。不过这些花只 有两种颜色——红的和蓝的。
然后我观察到，不论我摘哪两 朵花，其中必定有1朵是蓝的。据此，你们能说出红花和蓝花
各有多少吗?” “不能说出，由于这道题所给的条件不够充分，因此无法解。”托尼摇着头说。
“完全能说出，由于这道题所给的条件足够充分，因此可以解。”查理点着头说。
兄弟俩谁说的对?为什么?
5、“在吉米家的另一个花园里，种有红、黄、蓝3种花。”爸爸 眯缝着眼，一字一顿地微笑
道，“我观察到，不论我摘哪3朵花，至少有1朵是蓝的；我还观察到，不论 我摘哪3朵花，
至少有1朵是红的。据此就可以类推——不论我摘哪3朵花，至少有1朵是黄的吗?”
“可以类推。”托尼说。
“不能类推。”查理说。
兄弟俩谁说的对?为什么?

神奇的“缺8数”
“缺8数”——12345679，颇为神秘，故许多人在进行探索。
清一色
菲律 宾前总统马科斯偏好的数字不是8，却是7。于是有人对他说：“总统先生，你不是挺喜
欢7吗？拿出你 的计算器，我可以送你清一色的7。”接着，这人就用“缺8数”乘以63，顿
时，777777777 映入了马科斯先生的眼帘。
“缺8数”实际上并非对7情有独钟，它是“一碗水端平”，对所有的数都 “一视同仁”的：你只
要分别用9的倍数（9,18……直到81）去乘它，则111111111,2 22222222……直到999999999
都会相继出现。
三位一体
“缺8数 ”引起研究者的浓厚兴趣，于是人们继续拿3的倍数与它相乘，发现乘积竟“三位一
体”地重复出现。例 如：
12345679×12=148148148
12345679×15=185185185
12345679×57=703703703
轮流“休息”
当乘数不是3的倍数 时，此时虽然没有“清一色”或“三位一体”现象，但仍可看到一种奇异性
质：乘积的各位数字均无雷同 。缺什么数存在着明确的规律，它们是按照“均匀分布”出现的。
另外，在乘积中缺3、缺6、缺9的情 况肯定不存在。
让我们看一下乘数在区间[10—17]的情况，其中12和15因是3的倍数，予以排除。
12345679×10＝123456790（缺8）
12345679×11＝135802469（缺7）
12345679×13＝160493827（缺5）
12345679×14＝172839506（缺4）
12345679×16＝197530864（缺2）
12345679×17＝209876543（缺1）
乘数在[19—26]及其他区间（区间长度等于7）的情况与此完全类似。
乘积中缺什么数 ，就像工厂或商店中职工“轮休”，人人有份，但也不能多吃多占，真是太有
趣了！
一以贯之
当乘数超过81时，乘积将至少是十位数，但上述的各种现象依然存在，真是“吾道一以贯之”。
随便看几个例子：
（1）乘数为9的倍数
12345679×243＝29999999 97，只要把乘积中最左边的一个数2加到最右边的7上，仍呈现“清
一色”。
（2）乘数为3的倍数，但不是9的倍数
12345679×84＝1037037036， 只要把乘积中最左边的一个数1加到最右边的6上，又可看到
“三位一体”现象。
（3）乘数为3K＋1或3K＋2型
12345679×98＝1209876542，表面 上看来，乘积中出现雷同的2，但据上所说，只要把乘积
中最左边的数1加到最右边的2上去之后，所得 数为209876543，是“缺1”数，而根据上面
的“学说”可知，此时正好轮到1休息，结果与理 论完全吻合。
走马灯
冬去春来，24个节气仍然是立春、雨水、惊蛰……其次序完全不变， 表现为周期性的重复。
“缺8数”也有此种性质，但其乘数是相当奇异的。
实际上，当乘数为 19时，其乘积将是234567901，像走马灯一样，原先居第二位的数2却
成了开路先锋。深入的 研究显示，当乘数为一公差等于9的算术级数时，出现“走马灯”现象。
例如：
12345679×28＝345679012
12345679×37＝456790123
回文结对 携手同行
“缺8数”的“精细结构”引起研究者的浓厚兴趣，人们偶然注意到：
12345679×4＝49382716
12345679×5＝61728395 前一式的积数颠倒过来读（自右到左），不正好就是后一式的积数？（但有微小的差异，即
5代以4 ，而根据“轮休学说”，这正是题中的应有之义。） 这样 的“回文结对，携手并进”
现象，对13， 14；22，23；31，32；40，41等各对乘数（每相邻两对乘数的对应公差均等
于9）也应如 此。例如：
12345679×67＝827160493
12345679×68＝839506172
遗传因子
“缺8数”还能“生儿育 女”，这些后裔秉承其“遗传因子”，完全承袭上面的这些特性，所以这
个庞大家族的成员几乎都同其始 祖12345679具有同样的本领。
例如50672839是“缺8数”与41的乘积，所以它是一个衍生物。
我们看到，506172839×3＝1518518517。
如前所述，“三位一体”模式又来到我们面前。
追本穷源
“缺8数”实际上与循环小数是一根藤上的瓜，因为
181＝0.012345679。
在0.012345679中，为什么别的数码都不缺，应有尽有，而唯独缺少8呢？
我们看到，181＝19×19。
把19化成循环小数，其循环节只有一位，即19＝0.1。
如果你不怕麻烦，当然也可把它看成是0.1111……直到无穷。
无穷多个1的自乘，能办得到吗？不妨先从有限个1的平方来试试看。
很明显：11的平方= 121，111的平方=12321，……，直到111111111的平方
=654321。
但现在是无穷个1相乘，长长的队伍看不到尽头，怎么办呢？
利用数学归纳法，不难证明，在所有的层次，8都被一一跳过。
循环小数与循环群、周期现象 的研究正方兴未艾，它已引起许多人的浓厚兴趣与密切关注。
由于计算机科学的蓬勃发展，人们越来越不 满足于泛泛的几条性质，而更着眼于探索其精微
结构。

数趣
“数字是万 物之本”，数字学家毕达哥拉斯的这句话常常被人引证。甚至对于“什么是朋友”
这样的问题，他也可用 数字加以回答：“朋友就是你的另一个我，其关系就如220和284。”
友好数对
该数对 的神秘在于：所有该数的整除数之和（包括1，但不包括该数本身）等于另一个数。
220的整除数之和 为1＋2＋4＋5＋10＋11＋20＋22＋ 44＋55＋110=284，284的整除数之和为
1＋2＋4＋71＋142=220。有1800年之久，人们只知道这一数对是“友好”数对。直至 1636 年，
业余数学家皮勒才成功地发现了第二数对：17296和18416。今天，数学家已发现了120 0对这
样的数对，其中最大的一对是 2和4。
花瓣与小兔的数字之美
雷奥那多将 阿拉伯数字引入欧洲，他自称费波南希。他在观察小白兔的繁殖时发现了值得注
意的数字规律：1，1， 2，3，5，8，13，21，34， 55，89，144……其特点是前两个数字之
和即为下一个数 。直至今天，这一特性仍受到人们的关注，因为费波南希数字常常令人吃惊
地出现在自然界中。比 如：许多花瓣的数字正是这样。
为什么13是个倒霉的数字
它的基本设想来自威廉姆·福利 斯、一位柏林医生的理论，即：人类发展史中的一切都可用
一个简单公式“23X＋28Y”来计算，X 和Y是正或负的整数。 比如：一年有365天，因为
365=23×11＋28×4；法国革命开始于 23×23＋28×45=1789年；人类细胞核中有46对染色体
=23×2+ 28×0；《圣经 》中动物数是23×18＋28×9=666；而13是个倒霉的数字，因为13=23×3
＋28×（ -2），——式中出现了负数。
正如美国数学家诺伯特·维纳尔所指出的“数字是真理的源泉”，“但 数字更多的是将人们引入
超现实的境地。”
构建数学金字塔

用数字1、 2、3……9能排出不少有趣的金字塔加法算式。大家都知道，做加法时非得要求
把每个加数的个位对齐 不可，所以我们等式中的金字塔都只能从侧面来欣赏，但是这并不影
响它的赏心悦目。
一、把 1、2、3……9这9个数字按照由小到大的顺序从上往下循环排列，逐步增加数字的
个数，直到全部数 字都出现在同一行中。这时又接着从大到小地往 下排列各数，逐步减少
数字，直到只剩下最后1个数字 为止。你就获得了第一座金字塔，这座金字塔的和竟是
——1234567890!你觉得惊奇吗?换一 下排 列的方向，你又能获得第二座金字塔，两座金字
塔的结果相同。（图A）
二、让我们再 来建造第二批金字塔。这次只限于使用所有的奇数数字1、3、5、7、9。我们
依然由小到大从上往下 排，在达到最高的9个数字时，再由大到 小地排下去，它们每行的
数字也依旧是从增加到减少，形成一 个横卧的金字塔。我们依然也列出两种方向的排法。你
猜怎么着?这次的结果依然和第一批金字塔相 同：还是1234567890!真是十分奇妙!（图B）
三、下面来换上所有的偶数如何?但是我们 不得不排除掉数字0，因为它在加法中不起多大
作用。这时参加循环排列的数字只有2、4、6、8这4 个，比刚才 的奇数数字少了1个，但
我们仍然由小到大从上往下排，待排到出现9个数字为止，然后再 逐步递减到只剩下1个数
字。真想不到，答案又是 1234567890!这场“奇偶数大战”出人意 料的以1∶1告终，双方谁
也没有占到什么便宜。（图C）
四、如果你嫌刚才的金字 塔不够 壮观，那么这次可以让台阶更长一些，堆得也更高一些，
排得最高时达到17个数字。不过如果你细心观 察的话，这里的排列 规律并没有什么区别，
故不再详细介绍了。现在请你仔细 看，这次的结果为6778890，是个18位数。
这两座金字塔可以说很壮观 吧!（图D）
五、事实上，构建金字塔的材料是很多的，并不局限于以上所举的那一些。不妨选上3个数
字，假定是 1、4、7或者2、4、6，我们也可以拿它们来建塔。 当然这里要做点变动，细
心的读者会从以下的 金字塔中发现有个别的数字并不服从总的规律。这样做完全是为了使结
果符合理想数987654321 。但如果粗心 一点的话，你是不会发觉的。（图E）
用数字建造金字塔能使你感到数学既美丽又奇妙，希望你也能建造出类似的金字塔。

数的“金蝉出壳”法
数论中有许多题材使人沉湎其中，往往乐而忘返。所以，这门学科自古以 来，就吸引着人们
去探索。
通俗性与公证性是数论的两大特点，。这就是说，有些题目，虽然 其推证方法与导出过程极
其复杂深奥，可是它的结果却是人人都能理解、都能欣赏、都能鉴别的。这就像 磁铁一样，
有一种无形的吸引力，把越来越多的业余爱好者吸引了过去。
现在请看两组自然数 ，每组各有三个数，每个都是六位数字。把这两组数分别相加，就会发
现它们的和是完全相等的，即：
123789+561945+642864=242868+323787+761943
这样的性质，自然算不上什么稀罕。可是，要知道它们各自的平方之和也是相等的，那就是
说：
123789×123789+561945×561945+642864×642864
=242868×242868+323787×323787+761943×761943
如果不信，请算一算吧!算过以后，你也许会伸伸舌头，说一声：“妙啊!”
且慢，真正的妙 事还在后头呢!请把每个数的最左边一位数字都抹掉，你会发现，对剩下的
数来说，上述的奇妙关系仍然 成立，即：
23789+61945+42864=42868+23787+61943
23789×23789+61945×61945+42864×42864=42868×42868+23 787×23787+61943×61943
事情真怪。让我们再抹掉每个数最左边的一位数字试试看吧!通过计算，上述性质依然保存
着：
3789+1945+2864=2868+3787+1943
3789×3789+19 45×1945+2864×2864=2868×2868+3787×3787+1943×1943 现在，我们索性一不做、二不休，继续干下去了。我们发现，尽管每次抹掉最左边的一位数
字，可是 这种奇妙的性质总是被“原封不动”地保存了下来：
789+945+864=868+787+943
789×789+945×945+86 4×864=868×868+787×787+943×943
89+45+64=68+87+43
89×89+45×45+64×64=68×68+87×87+43×43
直到最后只剩下个位数，这一“性质”依旧“巍然不动”：
9+5+4=8+7+3
9×9+5×5+4×4=8×8+7×7+3×3
这就像“金蝉脱壳”一般，脱到最后一层 ，金蝉却还是货真价实的金蝉，其“个性”可谓“至死
不变”矣。
现在我们还是从原来的两组 数出发，可是这一次却“反其道而行之”，即把两组数的数字逐个
逐个地从右边抹掉。
经过这 样的剧烈变动，这种性质总不见得保持下来了吧?可是，与人们预料的相反，这种性
质居然还是保存了下 来：
12378+56194+64286=24286+32378+76194
123 78×12378+561948×561948+64286×64286=24286×24286+323 78×32378+76194×76194
……
直到最后抹得只剩下个位数时也是如此：
1+5+6=2+3+7
1×1+5×5+6×6=2×2+3×3+7×7
这类 问题在数论上叫做“等幂和问题”，在国内外，它一直吸引着大批爱好者，但至今仍未能
彻底解决。