关键词不能为空

当前您在: 主页 > 数学 >

四年级数学ppt数学悖论、数学危机及其对数学的推动作用

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-11-14 09:57
tags:数学悖论

数学考研生好考吗-滕雨佳

2020年11月14日发(作者:阎逢春)
数学悖论、数学危机及其对数学的推动作用

数学悖论、数学危机及其对数学的推动作用 悖论是让数学家无法回避的
问题。悖论出现 使得数学体系出现不可靠性和失真理性,这就逼迫数学家投入最
大的热情去解决它。而在解决悖论的过程 中,各种理论应运而生了,因而悖论在
推动数学发展中的巨大作用。现在我作如下简单阐述: 毕达哥 拉斯学派认为
“万物皆数”,而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信
仰。 然而,毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”.毕达
哥拉斯定理提出后,其学派中 的一个成员希帕索斯考虑了一个问题:边长为1
的正方形其对角线长度是多少呢?他发现这一长度既不能 用整数,也不能用分数
表示,而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数< br>√2 的诞生。这却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。这一伟大发现不但对毕
达哥拉斯学派的 致命打击,也对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲
击。更糟糕的是,面对这一荒谬人们竟然 毫无办法。这就在当时直接导致了人们
认识上的危机,从而导致了西方数学史上一场大的风波,史称“第 一次数学危
机”. 二百年后,欧多克索斯提出的新比例理论暂时消除悖论。一直到18
世纪 ,当数学家证明了圆周率是无理数时,拥护无理数存在的人才多起来。到十
九世纪下半叶,现在意义上的 实数理论建立起来后,无理数本质被彻底搞清,无
理数在数学中合法地位的确立,一方面使人类对数的认 识从有理数拓展到实数,
另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。 伴随着人们科学理论
与实践认识的提高,十七世纪微积分诞生,但是微积分理论是不严格的。理论都
建立在无穷小分 析之上,作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因
而,从微积分诞生时就遭到了一些人的反 对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大
主教贝克莱。 数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论” .笼统地说,
贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题:就无穷小量在当时实
际 应用而言,它必须既是0,又不是0.但从形式逻辑而言,这无疑是一个矛盾。
这一问题的提出在当时的 数学界引起了一定的混乱,由此导致了第二次数学危机
的产生。 十八世纪开始微积分理论获得了空前 丰富。然而,与此同时十八世
纪粗糙的,不严密的工作也导致谬误越来越多的局面。当时数学中出现的混 乱局
面了。尤其到十九世纪初,傅立叶理论直接导致了数学逻辑基础问题的彻底暴露。
这样把分 析重新建立在逻辑基础之上就成为数学家们迫在眉睫的任务。到十九世
纪,批判、系统化和严密论证的必 要时期降临了。 使分析基础严密化的工作
由法国著名数学家柯西迈出了第一大步。柯西于1821年 开始给出了分析学一系
列基本概念的严格定义。后来,德国数学家魏尔斯特拉斯给出更为完善的我们目< br>前所使用的“ε-δ ”方法。另外,在柯西的努力下,连续、导数、微分、积分、
无穷级数的和 等概念也建立在了较坚实的基础上。 柯西之后,魏尔斯特拉斯、
戴德金、康托尔各自经过自己独立深 入的研究,都将分析基础归结为实数理论,
并于七十年代各自建立了自己完整的实数体系。1892年, 另一个数学家创用“区
间套原理”来建立实数理论。由此,沿柯西开辟的道路,建立起来的严谨的极限< br>理论与实数理论,完成了分析学的逻辑奠基工作。数学分析的无矛盾性问题归纳
为实数论的无矛盾 性,从而使微积分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦建在了
牢固可靠的基础之上。微积分学坚实牢固基 础的建立,结束了数学中暂时的混乱
局面,同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决。 十九世纪下半 叶,康托尔
创立了著名的集合论,并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现,从自然数与
康托 尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而这使数学家们为之陶醉。 可
是,1903年一个震惊数学 界的消息传出:集合论是有漏洞的!这就是英国数学
家罗素提出的著名的罗素悖论。 罗素构造了一个 集合S:S由一切不是自身元
素的集合所组成。然后罗素问:S是否属于S呢?根据排中律,一个元素或 者属
于某个集合,或者不属于某个集合。因此,对于一个给定的集合,问是否属于它
自己是有意 义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S
属于S,根据S的定义,S就不属于S ;反之,如果S不属于S,同样根据定义,S
就属于S.无论如何都是矛盾的。 罗素悖论一提出就在 当时的数学界与逻辑
学界内引起了极大震动。这一悖论就像在平静的数学水面上投下了一块巨石,而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。 危机产生后,人们希望能够
通过对康托尔的集合 论进行改造,通过对集合定义加以限制来排除悖论,这就需
要建立新的原则。1908年,策梅罗在自己 这一原则基础上提出第一个公理化集
合论体系,后来经其他数学家改进,称为ZF系统。这一公理化集合 系统很大程
度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。公理化集合系统的建立,成功排除了集合
论中 出现的悖论,从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面,罗素
悖论对数学而言有着更为深刻 的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需
要的姿态摆到数学家面前,导致了数学家对数学基础的 研究。而这方面的进一步
发展又极其深刻地影响了整个数学。 以上简单介绍了数学史上由于悖论而导
致的三次数学危机与解决,从中我们不难看到悖论在推动数学发展中的巨大作
用。而悖论提出的 正是让数学家无法回避的问题。正如希尔伯特在《论无限》一
文中所指出的那样:“必须承认,在这些悖 论面前,我们目前所处的情况是不能
长期忍受下去的。人们试想:在数学这个号称可靠性和真理性的模范 里,每一个
人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的结果。如果
甚至 于数学思考也失灵的话,那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢?”悖论

高思学校数学导引-历年高考满分作文


高等工程数学 ppt-begins


初一下学期数学目录-转速和角速度的关系


幼师是讲数学-电子信息工程专业排名


沈阳学而思数学学费-八下历史第二单元思维导图


初一上册数学期中试卷及答案-制定班规


数学一质检-绵阳师院


七年级下册数学变量之间的关系-高二物理练习册答案



本文更新与2020-11-14 09:57,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/443972.html

数学悖论、数学危机及其对数学的推动作用的相关文章