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数学故事手抄报几个有趣的悖论的数学辨析

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-11-14 09:58
tags:数学悖论

陕西师范603数学是数几-古代中国的政治制度思维导图

2020年11月14日发(作者:叶建华)

几个有趣的悖论的数学辨析
数学悖论是数学发展过程中的一个重要的存在形态, 它是数学
体系中出现的一种尖锐的矛盾, 对于这一矛盾的处理与研究, 丰富
了数学的容, 促进了数学的发展。作为一名数学教师, 学习有关这方
面的知识, 并进行研究, 既能 提高自己的专业水平, 又能使授课容
生动有趣; 作为学生了解这方面的容,不但能扩大知识面, 而且能提
高学习兴趣
1 芝诺悖论
在西方的数学史上有一个非常有名的数学悖论 ——芝诺悖论。
芝诺是公元五世纪古希腊埃利亚学派的代表人物。芝诺本人既不是一
位科学家, 更不是一位数学家, 芝诺的老师是埃利亚学派的创始人
巴门尼德。巴门尼德是个一神论者, 他认为世界的本原是“不生不灭、
完整、唯一和不动的”。但世界显然是丰富多彩、复杂纷繁的,怎么会
是“唯一” 的呢?一个完全不动的世界怎么可能呢? 于是引起同时 代
人的反驳。 芝诺为了捍为他老师的学说, 提出了一些论述。其中最
有名的有四个, 历史上称为芝诺悖论。 作为巴门尼德的继承人, 他
力图证明, 如果承认“ 多” 和“ 运动” , 就会招致更加荒谬的结
果。 限于篇幅 , 在此只辑录其二 。
二分法 : 你不能在有限的时间穿过无穷的点。在你穿过一定的
距离的全部之前 , 你必须穿过这个距离的一半。这样做下去就会陷
入无止境, 所以在任何一定的空间中都有无穷个点, 你不能在有限
的时间中一个接一个地接触无穷个点。


阿喀琉斯追不上大乌龟: 阿喀琉斯是古希腊《荷马史诗》中一个
跑得最快的大英雄 , 他怎么会跑不过大乌龟呢? 假定他的速度是乌
1
龟的10倍 , 阿喀琉斯与乌龟赛跑的路程是1千米, 让乌龟先跑
10


1
米, 然后让阿喀琉斯去追。 于是问题来了 。 当阿喀琉 斯追到
10


11
米的地 方 , 乌 龟又向 前跑了 千米 , 当阿喀琉斯又追到
100100
千米时 , 乌龟又向前跑了
1
千米, … …, 这样一来 , 一直追
10000
下去, 阿喀琉斯会追上大乌龟吗 ?
之所以说这两个论证是悖论, 是因 为我们知道, 无论是谁, 不
管身高身低, 只要一迈步, 都可以在有限的时间越过无穷多个点;
无论是谁, 都不会相信大英雄阿喀琉斯竟 会跑不过大乌龟。然而在
当时的人们的知识围, 却找不出芝诺的论证错在什么地方 。
1 . 1 芝诺悖论的数学意义
芝诺的“二分法” 和“ 阿喀琉斯追不上大乌龟”的论证, 本意
是要 用结论的荒谬性来否定其前提关于时空的可无限分割的观点,
该两个论证与另外两个论证(“ 飞箭” 与“ 运动场” ) 组合得出
了时空既是不可无限分割, 又是可以无限分割的矛盾结论。 “ 芝诺
悖论” 促进 了以严格的思维规律为研究对象的逻辑学和以严格的求
证思想为基础的数学的发展。 芝诺论 证问题 的方法 是我们今天数
学中仍在使用的反证法。可以说, 这是对反证法的最早的运用。大家
知道, 当一个数学命题无法直接证明时, 我们就求助于反证法。


1. 2 “芝诺悖论” 的数学解释
芝诺关于“二分法”的实质问题是无穷多个无穷小之和是什么;
“ 阿喀琉斯追龟”的实质是无穷级数求和的问题。
1 . 2. 1 关于“ 二分法” 的解释
“ 二分法” 的 实质问题是无 穷多个无穷小之和是什 么的问
题 。 这里我们对无穷小做一个讨论。 若无穷小是 0 , 则无穷多个
0 之和仍为0。 也就是说此时的无穷是所谓的实无穷。 但若无穷小
是一个变量, 即不是一个恒为0的数(称为潜无穷) , 亦即无穷多个
无穷小的和。那么该问题相当于极限中的未定式, 该极限可能存在,
也可能不存在; 可能等于0, 可能是一个常数, 或者是无穷大。但对
同一个问题, 不可能既等于零又可为无穷大。确定该极限的方法, 就
是用微分学中的罗必达法则 。 对于“ 二 分法” , 如果给定的距
11
离一定 , 不妨设为1 , 那么先走一半即 ,再走剩下的一半即 ,
24
1
再走 剩下的一半的一半即 , … ,以此类推则在一定时间走的距离
8
为:

显然n时 , 该式的极限为1 , 那么只要距离一定 , 人们可以在一
定的时间穿过无穷个点 。
1 . 2. 2 关于“ 阿喀琉斯追龟” 的解释
1
按照该问题的条件,让乌龟先跑
10

千米 , 那么阿喀琉斯要追上


1

1
乌龟, 得先跑
10
千米, 由于乌龟的速度是阿喀琉斯的
10

, 则在阿喀琉
1
斯 追到
10

千米时,乌龟又跑了
11
千米,当阿喀琉斯追到 千米时,
100100
1
乌龟又跑了 千米, …, 这样一来 , 阿喀琉斯一共跑的距离是
10000
下列无穷级数的和 :

11
对该式在n时取极限, 显然其极限是 , 所以只要阿喀琉跑够 千
99
米, 就能追上乌龟 。
2 贝特朗奇论
2 . 1 “贝特朗奇论” 的 数学表示 在单位圆随机取一条弦,
弦 长超过3(单位圆 接等 边三角形的边长)的概率是多少? 这个问
题有三种解法, 答案互相矛盾 。
解法一:设弦AB的一端A固定于圆周上,另一端B任意(图1)。
对于等边三角形ACD , 若B落在劣弧CD上,则AB > 3 ,
CD弧长1
P = =
圆周长3
解法二 : 设弦 AB 垂直于直径 EF , C D = DO( 图 2) , 若 AB
CD1
的中点落在线段 C D 上 , 则 AB> 3 , 故 P = = 。
EF2
解法三 : 作半径为 1 2 的 同心圆( 图 3) 。 若 A B 的中 点
小圆面积1
落在此圆 , 则 AB> 3 , 故 P = = 。
大圆面积4



2. 2 “贝特朗奇论” 的数学辨析
同一问题有三种不同的答案, 究其原因, 是在取弦时采用了不
同的等可能性的假定。解法一假定端点在圆周上的落点处处等可能 ,
解法二假定中点在直径上的落点处处等可能, 解法三假定中点在圆
的落点处处等可能。三种答案对于各自的假定都是正确的。这样的解
释显得似是而非, 但又找不到反驳的理由, 故名奇论。其实弊病出在
概率定义本身。
我们先看看有关概率的三个定义 : 概率的统计定义: 在条件相
m
同的 n 次试验中事件A 出现m 次 , 如果加大 n 时 , A 的频率
n
逐渐稳定在一个常数附近, 就把这个常数叫做事件 A 的概率。 概率
的古典定 义:如果一个试验满足两条:(1)试验只有有限个基本结果;
(2)试验的每个基本结果出现的可能性 是一样的。

这样的试验,
成为古典试验。

对于古典试验中的事件A,它的概率定义为:

P(A)=
m
, n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目。m表示事件
n
A包含的试验基本结果数。这 种定义概率的方法称为概率的古典定义。
概率的几何定义:若试验结果只能出现于区域Ω的某一点 ,且出现于


每一点的可能性相等 ,又区域A包含于区域Ω中 ,那么试验结果出
现于区域A的概率,即事件A R 的概率 P( A ) =区域 A的测度区域
Ω的测度。
概率的统计定义虽然直观, 但据此计算某事件的概率是困难的 ,
仅能以A的频率作为 P( A) 的近似值。 然而n要多大,准确到什么
程度,都没有确切 的说明,在概率的古典定义中,不需要试验即可直接
根据公式求出事件的概率, 这是它的最大优点, 但是它也有局限性,
因为它要求试验的全部可能结果的数目是有限的, 而且每个试验结
果出现的可能性相等 。 如果试验的全部可能结果是无限的,古典定
义就不适 用了。概率的几何定义虽然不要求试验结果有限,但同样强
调试验结果的等可能性。可是怎样才算等可能 性 ? 这都无从回答。
即便古典定义的提出者拉普拉斯本人对此也是含糊其词: “ 如果找
不到可能性大小不等的任何理由, 就可以看作是等可能的。” 当然这
种说法欠妥, 并且招致许多矛盾。如果进一步分析,所谓“等可能性”
就是“等概率”。这无异于用概率去定义概率, 逻辑上出现了循环。 正
是因为这种矛盾的存在, 人们希望找一个一 般的概型, 以便更广泛
更确切地描述随机现象, 通过对随机现象的数学本质的研究和对上
述三个定义的分 析知道了概率具有一些基本性质并由此得到概率的
公理化定义
3 理发师悖论
“理发师悖论” 是“罗素悖论” 的通俗说法。说的是在很早以
前的一个村庄里, 只有一个理发师, 他规定只替而且一定替不给自


己理发的人理发。这就引出一个问题: 他该不该给自理发?
或者问: 他的头发应由谁理? 要是他给自己理发, 那么他就违反了
自己的规定; 因为按规定, 他不应该为自己理发。要是他不给自己
理发 , 他也违反了自 己的规定 因为按规定 , 他一定得给自己
不理发的人理发, 所以他也得给自己理发。理发师发难了: 他不论
怎么做“都自己打自己的耳光” 。
3 . 1 “理发师悖论”的数学表示设要回答的问题是 : “ 一切
不包含自身的集合所组成的集合” 是否包含自身的问题。如果说它
不包 含自身, 那么他就应当是这个集合的元素, 即包含自身 如
果说它包含自身, 即属于这个集合那么它又不应包含自身。用符号
表示就是 :R ∈ R ≡R R即命题 R ∈ R 等价于它的否命题 R R 。
3 . 2 “ 罗素悖论” 的辨析及历史意义
“ 罗素悖论” 产生的原因在于集合的辩证性与数学方法的形式
特性或者形而上学思维方法的矛盾。 集合既是一种完成了的对象 ,
又具有无限扩的可能性, 它是完成与过程的统一。而人们在认识集
合这种辩证性时, 由于形式逻辑的驱使或者形而上学的思维方法往
往是片面强调矛盾的一方, 且把它推向极端, 然后又把对立的双方
机械的重新联结起来, 这样出现矛盾就不可避免了, 在“罗素悖论”
的形成中,它一方面肯定的是集合本身无限扩的可能性 , 即强调集
合的过程 性。另一方面,又对不能再予以扩的集合即全集的绝对肯定,
即又强调了集合的完成性。这样一来, 把绝对化了的双方又机械的
联系起来,就必然构成了悖论。


“罗素悖论” 来自作为数学基础的集合论的部, 推理简单明了,
毫不含糊, 一针见血地 指出了当时集合论中存在的矛盾。大家知道,
数学是科学的基础,而集合论又是公认的现代数学的基础, 正如一
个宏伟大厦的地基出现了问题一样, “罗素悖论” 的提出, 使人们
如闻霹雳, 震惊不已, 从而引发了第三次数学危机,但正 是这一
次数学危机, 促进了公理化集合论的诞生。

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