数学研修计划代数学的起源

2020年11月14日发(作者：侯桂清)

代数学的起源
——xx·花xx
思想政治教育16王怡数学是人类智慧 的结晶，是全世界人民宝贵的精神财
富。今天数学的繁荣昌盛，实得力于千百年来数学工作者的辛勤劳动 。饮水必
须思源，数典不可忘祖，他们的丰功伟绩，理应载人史册。数学是文明的一个
组成部分 。数学不仅仅是形式化、演绎化的思维训练，也不仅仅是一门严肃
的、抽象的学科，数学其实是丰富多彩 的文化的产物，数学中的几乎每一步进
展都反映了推进者的个人背景、时间和地点的影响，也受到当时流 行的价值
观、社会思想和当时所有的资源的影响。
所以，数学不仅是一种单纯的知识活动，它 也拥有丰富的历史文化向度，
人类丰富多彩的文化为它染上了浓重眩目的文化色彩。几乎任何一门数学分 支
的发展都反映了一定时代和地域所流行的价值观和各种因素的影响，这些因素
包括游戏娱乐、 美学欣赏、宗教信仰、哲学思考和实用价值探索等，在数学中
它们是如此紧密地交织在一起，只要拆散和 剔除其中的任何一个方面都将给数
学带不可估量的损失。
阿尔〃花拉子模是阿拉伯阿拔斯王朝著名数学家、天文学家、地理学家。
代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”。
阿尔〃花拉子模引进了印度数字，发展算术，后 经斐波那契引介到欧洲，
逐渐代替了欧洲原有的算板计算及罗马的记数系统。欧洲人就把 Al- khwarizmi
这个字拉丁化，称之为gurismo或Algorithm。gurismo的 意思是十进位数，而称
运用印度阿拉伯数字来进行有规则可寻之计算的算术为 Algorithm。后来算术转
用其他的字来表示，而 algorithm 现在则成为电脑科学的 行话──电脑所赖以计
算的“运算法则”。阿尔〃花拉子模展示了数字的加、减、乘、除的基本方法，< br>甚至展示了如何求平方根和π。这些方法精准、明确、有法可寻、具有效率、正
确而且简单，它们 叫“运算法则”，在很多世纪之后，十进制系统最终被欧州采
用，而这个新名词也是用于纪念这位哲人的 。
从那以后，十进制系统和它的数字运算法则在西方文明扮演了一个十分重
要的角色。它促进 了科学和技术的发展；加速了工业和商业的进步。很久以
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后 ，随着计算机的出现，它又明确地表达了位值系统中的位、单词和算法单
元。科学家不断发展出复杂算法 用于解决各类问题，并不断发明新奇的应用软
件，最终改变了世界。说了那么多花拉子模的功绩和对后世 的影响，转回我认
为影响最为深远的代数学。代数学是数学的重要分支学科之一，对数学来说有
基础性的意义：
一方面代数学为许多现代数学分支提供了发展的基础；另一方面，它的初
步内 容又构成了人们学习数学的入门知识。代数学的发展经历过漫长的历史时
代，许多国家、许多民族都做出 过贡献。在以方程论为中心的古典代数学的发
展中，阿拉伯数学家做出了独特的贡献，花拉子模就是代表 。
下面我将从以下几个方面来进行我对于花拉子模的代数学学习的总结。
1、代数学的萌芽 。有了古老的算术以后，越来越多的问题摆在了数学家面
前。为了寻找较为普遍的方法来解决在算术里积 累的大量数量问题，古老的算
术就必须进行改进和发展。在这个缓慢的过程中，便产生了古典代数学的萌
芽，因此，算术和代数没有截然分开的时间。代数最初是用文字表述的，大约
在公元前2000 年，巴比伦算术已经演化出一些用文字表述的代数解题方法。他
们既能用相当于代入一般公式的方法，又 能用配方法来解二次方程，还讨论过
某些三次方程和双二次方程。方程问题是古典代数的主要内容，除了 巴比伦，
在古代的中国、印度、阿拉伯等国家对方程的认识也都有着悠久的历史。秦汉
时期，天 文历法有了较大的发展，为了编制历法，当时的中国数学家就已经知
道了一些方程的解法。
约 公元50年成书的《九章算术》，是中国流传至今最古老的一部数学专
著。在这本书中已经使用了“方程 ”这个名词，并且出现了解一元一次方程和一
元二次方程等许多代数问题。之后，东汉末年至三国时代的 赵爽研究了二次方
程的求根问题；他还研究了根与系数的关系，得到了和一元二次方程的求根公
式以及“韦达定理”相似的结果。南北朝时期的数学家张邱建在《张邱建算经》
一书中给出了一个用文字 写出的方程。在以后的各个朝代中，中国数学家对方
程的研究都有过重要成就，例如唐朝王孝通、张遂， 北宋时期的贾宪、刘益，
南宋时期的秦九韶等，他们对方程的解法或有所改进，或有所创新。
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但是，如何去表示一个方程却一直是很困难的，因为用字母代替未知数 ，
用符号表示代数式这种方法自创立至今也不过400年的历史。在这之前都是用
文字叙述的， 为了简明地列出方程，古人们想了许多改进办法。公元
11、12世纪，中国产生了“天元术”，13 世纪数学家李冶将其整理、简化。
李冶的天元术中，先“立天元为一某某”就是设未知数，然后根据问题 的条件列
出天元式。在未知量的一次项旁边记一“元”字，在常数项旁记一“太”字，并按高
次 幂在上低次幂在排列，还可两个天元式相减进行“同数相消”。天元术已有现
代列方程记法的雏型，现代 学史家称它为半符号代数。用“元”代表未知数的说
法，一直延用到现在。
活动于公元250 年前后的丢番图是希腊数学中的代表人物，他最出色的著
作《算术》一书中的绝大多数篇章谈的是方程， 他是解方程的大师，被称为代
数学的鼻祖。受中国的影响，印度在7世纪初就有了用文字写的代数学，已 经
能使用缩写文字和一些记号来描述代数的问题和解答，具有符号代数的性质。
公元820年左右，阿拉伯数学家花拉子模从印度回国后著《代数学》一
书。
该书的 方程论被规定为代数学的研究对象，方程的概念也被明确起来，书
中第一次明确提出了二次方程的一般解 法，同时，还提出了“移项”、“合并同类
项”等方法。以后，方程的解法被作为代数的基本特征长期保 留下来。从此，诞
生了花拉子模的代数学。
2、被外号取代了本名的数学家。花拉子模是中世 纪中亚地区的一位重要数
学家。他于公元783年左右出生于花拉子模。花拉子模是中亚地区的一个古< br>国，位于咸海之南。现分属于乌兹别花拉子米（783—850）克斯坦和土库曼斯
坦。花拉子米 的意思是“祖籍花拉子模的人”，是此人的一个外号。后来人们都
这么称呼他，外号就取代了本名，本名 反而不为人所知了。他早年在家乡接受
初等教育，后到中亚地区的古城默夫深造，并到过阿富汗、印度等 地游学，很
快成为这一地区远近闻名的学者。公元813年，阿拔斯王朝的哈利发马蒙聘请
花拉 子米到首都巴格达工作。公元830年，马蒙在巴格达创办了著名的“智慧
馆”，花拉子米是该馆的主要 学术负责人之一。他在这里一直工作到850年左右
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去世。花拉子模一生写出许多著作，除了大量的数学著作外，还有天文学、地
理学著作。 3、代数学名称的由来。花拉子模在研究方程求解的过程中，首倡把一个负
项移到方程的另一端变为 正项，称之为 al-jabr，意思是“还原”，并认为方程的
两端可以消去相同的项或合并同类项， 实际上就是我们今天所说的“对消”或“化
简”。这是花拉子模首创的两种重要的数学方法。他于820 年左右写成了《还原
和对消计算概要》这一传世之作。解方程时将负项移到另一端，变成正项，也
可以说是一种“还原”。“平衡”，用来指消去方程两端相同的项或合并同类项，也
可译为“对消”。 12世纪时，al-jabr译为拉丁文时成为algebra，而花拉子模书名
的第二个字muqub ala渐渐被省略，全书常简称为algebra。于是这个学科就以
algebra为名。algeb ra传入我国，1761年梅珏成在《赤水遗珍》中译为“阿尔热
八达”，《数理精蕴》则把algeb ra意译为“借根方比例”即“假借根数、方数以求
实数之法”。1845年，俄国政府赠送给我国的图 书中有中译名为《阿尔喀布拉数
书》一本，其中的“阿尔喀布拉”是俄文的音译。
1847年 ，英国人伟烈亚力来到上海学习中文。1853年他用中文写了一本
《数学启蒙》，介绍西方数学，他在 序中说：
“有代数、微分诸书在，余将续梓之。”这是中文中第一次用“代数”这一词作
为这 个数学分支的名称。1859年，伟烈亚力和李善兰合译《代微积拾级》，李
善兰在序中正式使用了“代 数”这一名称：
“中法之四元，即西法之代数也。”同年，两人又合译德摩根的书，正式定
名 为《代数学》，这是我国第一本以代数学为名的书。这个名称也就一直用到
现在。
4、代数学 的发展。花拉子模的《代数学》一书，奠定了以方程论为中心的
古典代数学学科的基石。此书的理论易学 易懂，又能联系许多实际问题，适合
当时人们的各种需要，因此，流传久远。13世纪传入欧洲，对欧洲 文艺复兴时
期的代数学影响极大，被奉为代数学教科书的鼻祖。而花拉子米则被人们尊为
“代数 学之父”。在花拉子模以后的几个世纪中，代数学发展缓慢。直到1591
年，法国数学家韦达第一次在 代数中系统地使用了字母，他用字母表示未知
数，也用字母表示已知数。这种代数从过去以解决各种特殊 问题且侧重于计算
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的数学分支，发展成为一门以研究一般类 型问题的学科，使代数学的发展插上
了翅膀。韦达认为，代数是施行于事物的类或形式的运算方法，算术 只是同数
打交道的。所以，当时人们把代数看成是关于字母的计算、关于由字母表示的
公式的变 换以及关于解代数方程的科学，这标志着古典代数学的真正确立与完
善。
由于代数学应用的十 分广泛，设计诸多科学领域及建筑领域。很多里程碑
式的成就都是大家当今为之震撼和敬仰的。
意大利科学家伽利略继承古希腊阿基米德的传统,发展了实验和数学相结合
的科学研究方法,他在观察 、实验的基础上,经过推理和计算对现象提出假定性说
明和定量的描写,然后再用实加以检验,从而取得 了静力学和动力学方面许多十分
有价值的研究成果。伽利略的一系列开创性工作为牛顿力学体系的建立奠 定了
基础。
英国大科学家牛顿总结了天体力学和地面上力学的成就。牛顿还以独特的
思考方式,从研究地球对月球的引力入手,综合了惠更斯、开普勒等人有关天体力
学方面的研究成果,并 运用他自己创立的微积分作计算工具,成功地导出了万有引
力定律。万有引力定律中精妙的计算都是离不 开阿尔〃花拉子模的代数学中发
现的成果的。对于后世影响最为深远想必一定会是第三次技术革命中电子 计算
机的发明了。20世纪最伟大的技术成就应当是电子计算机的发明与应用。它使
人类进入了 信息时代。然而，无论是计算机的发明，还是它的广泛使用，都是
以代数学为其基础的。信息技术应用于 人类生活的方方面面，使我们无处不感
到它的存在。
然而，享用这些技术的人们往往只看到了 技术现象，而看不到这些技术背
后的代数学。正像前美国总统科学顾问艾德华- 大卫所说的，“很少人认识到当今
如此被广泛称颂的高技术在本质上是一种数学技术。”
事实 上，从医疗上的CT技术到中文印刷排版的自动化，从飞行器的模拟设
计到指纹的识别，从石油地震勘探 的数据处理到信息安全技术等等，这些形形
色色的技术的背后，代数学扮演着十分重要的不可缺少的重要 角色。代数学在
这些领域内不是什么增补营养的“铒片”，也不是可有可无的一项参考，而是问
题的关键，是真正能解决问题的关键。
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信息技术的发展使 得代数学在科学技术中的地位发生了重大变化。当今代
数学不再只是通过其它基础学科间接地应用于技术 领域，而是广泛地直接地应
用于各种技术。
高科技的发展使科学计算提升为一种研究方法，与 理论推导和科学实验相
并列，作为科学探索的三大手段之一。科学计算在某些领域里事实上已经替代或部分替代了一些价值昂贵的实验。大规模科学工程计算已在材料学的研究中
以及航天和军事工程设 计中发挥着巨大作用。
此外，还必须要指出，代数学在经济理论研究中，以及经济、财政和金融
活动中，也有重要意义。用数学模型研究宏观经济与微观经济，用数学手段进
行市场调查与预测，进行 风险分析，指导金融投资，这在发达国家己是广泛采
用的。
在经济与金融的理论研究上，数学 的地位更加特殊。在诺贝尔经济学奖的
获得者中相当的比例是数学家，或有研究数学的经历。
代数学的创立以及阿尔〃花拉子模的移项等代数学发展的重要发现，也产
生了学术界的深远影响。 第一，在数学内部各个分支学科之间的相互交叉和相互渗透。原有的分支
学科之间的界限淡化了，而 形成了许多新的综合的研究领域。它们是数学新的
生长点，有很强的活力。在这些领域中，代数的、分析 的、几何的、拓扑的，
乃至随机的方法，紧密的结合在一起，出现了“你中有我，我中有你”新格局。< br>过去不同领域的数学家们又重新认识到他们正从事同一项研究。这是数学内部
统一性的反映，也是 数学生命力所在。著名数学家希尔伯特说过，“数学科学是
一个统一的整体，他的生命力正在于各部份之 间的联系。”当代数学的发展己经
证明了这一点。代数学为数学领域中其他部分的发展也起到了不可或缺 的作
用。
第二，数学（包括其中的核心数学）与科学技术的广泛结合，形成了许多
新 的应用数学学科和不少新的边缘学科。应用数学得到普遍的关注和空前的发
展，出现了形形色色的新的分 支，非线性科学、生物信息、金融数学、计算材
料学、信息安全等等，不一而足。如果说，上述数学内部 各分支的交叉是数学
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内部的统一性的表现，那末，当今数学与其他科学技术结合则是数学与外部世
界统一性的表现。
数学发展的这种趋势使得数学研究领域大大扩大了，正在改变着自己的面
貌。数学已经不再是那 种纯而又纯的学科，而是与当今许多其他领域结合在一
起发展，更加面向社会实际。这是不可忽视的事实 。
阿尔〃花拉子模的伟大科学发现使我们今天的生活受益匪浅。
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