武汉大学 数学数学的三大核心领域代数学范畴

2020年11月14日发(作者：蒯嘉珍)
数学的三大核心领域——代数学范畴
1、算术
算术有两种含义，一种是从中 国传下来的，相当于一般所
说的“数学”，如《九章算术》等。另一种是从欧洲数学翻
译过来的 ，源自希腊语，有“计算技术”之意。现在一般所
说的“算术”，往往指自然数的四则运算;如果是在高 等数
学中，则有“数论”的含义。作为现代小学课程内容的算术，
主要讲的是自然数、正分数以 及它们的四则运算，并通过由
计数和度量而引起的一些最简单的应用题加以巩固。

算术是数学中最古老的一个分支，它的一些结论是在长达
数千年的时间里，缓慢而逐渐地建立起来的。它 们反映了在
许多世纪中积累起来，并不断凝固在人们意识中的经验。

自然数是在对 于对象的有限集合进行计算的过程中，产生
的抽象概念。日常生活中要求人们不仅要计算单个的对象，< br>还要计算各种量，例如长度、重量和时间。为了满足这些简
单的量度需要，就要用到分数。
现代初等算术运算方法的发展，起源于印度，时间可能在
10世纪或11世纪。它后来被阿拉 伯人采用，之后传到西欧。
15世纪，它被改造成现在的形式。在印度算术的后面，明显
地存在 着我国古代的影响。
19世纪中叶，格拉斯曼第一次成功地挑选出一个基本公
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理体系，来定义加法与乘法运算;而算术的其它命题，可以
作为逻辑的结果，从这一体系中被推 导出来。后来，皮亚诺
进一步完善了格拉斯曼的体系。
算术的基本概念和逻辑推论法则，以 人类的实践活动为基
础，深刻地反映了世界的客观规律性。尽管它是高度抽象的，
但由于它概括 的原始材料是如此广泛，因此我们几乎离不开
它。同时，它又构成了数学其它分支的最坚实的基础。
2、初等代数
作为中学数学课程主要内容的初等代数，其中心内容是方
程 理论。代数一词的拉丁文原意是“归位”。代数方程理论
在初等代数中是由一元一次方程向两个方面扩展 的：其一是
增加未知数的个数，考察由有几个未知数的若干个方程所构
成的二元或三元方程组( 主要是一次方程组);其二是增高未
知量的次数，考察一元二次方程或准二次方程。初等代数的
主要内容在16世纪便已基本上发展完备了。
古巴比伦(公元前19世纪～前17世纪)解决了一次 和二次
方程问题，欧几里得的《原本》(公元前4世纪)中就有用几
何形式解二次方程的方法。 我国的《九章算术》(公元1世
纪)中有三次方程和一次联立方程组的解法，并运用了负数。
3 世纪的丢番图用有理数求一次、二次不定方程的解。13世
纪我国出现的天元术(李冶《测圆海镜》)是 有关一元高次方
程的数值解法。16世纪意大利数学家发现了三次和四次方程
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的解法。
代数学符号发展的历史，可分为三个阶段。第一个阶段为
三世纪之前，对 问题的解不用缩写和符号，而是写成一篇论
文，称为文字叙述代数。第二个阶段为三世纪至16世纪，< br>对某些较常出现的量和运算采用了缩写的方法，称为简化代
数。三世纪的丢番图的杰出贡献之一， 就是把希腊代数学简
化，开创了简化代数。然而此后文字叙述代数，在除了印度
以外的世界其它 地方，还十分普通地存在了好几百年，尤其
在西欧一直到15世纪。第三个阶段为16世纪以后，对问题
的解多半表现为由符号组成的数学速记，这些符号与所表现
的内容没有什么明显的联系，称为符 号代数。16世纪韦达的
名著《分析方法入门》，对符号代数的发展有不少贡献。16
世纪末， 维叶特开创符号代数，经笛卡尔改进后成为现代的
形式。
“+”、“-”号第一次在数学书 中出现，是1489年魏德
曼的著作。不过正式为大家所公认，作为加、减法运算的符
号，那是 从1514年由荷伊克开始的。1540年，雷科德开始
使用现在使用“=”。到1591年，韦达在著 作中大量使用后，
才逐渐为人们所接受。1600年哈里奥特创用大于号“>”
和小于号 “<”。1631年，奥屈特给出“×”、
“÷”作为乘除运算符。 1637年，笛卡尔第一次使用
了根号，并引进用字母表中头前的字母表示已知数、后面的
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字母表示未知数的习惯做法。至于“≮”、“≯”、“≠”
这三个符号的出现， 那是近代的事了。
数的概念的拓广，在历史上并不全是由解代数方程所引起
的，但习惯上仍 把它放在初等代数里，以求与这门课程的安
排相一致。公元前4世纪，古希腊人发现无理数。公元前2< br>世纪(西汉时期)，我国开始应用负数。1545年，意大利的卡
尔达诺开始使用虚数。1614 年，英国的耐普尔发明对数。17
世纪末，一般的实数指数概念才逐步形成。
3、高等代数


在高等代数中，一次方程组(即线性方程组)发展成为线性
代数理论;而—、二次方程发展成为多项式理论。前者是向
量空间、线性变换、型论、不变量论和张量 代数等内容的一
门近世代数分支学科，而后者是研究只含有一个未知量的任
意次方程的一门近世 代数分支学科。作为大学课程的高等代
数，只研究它们的基础。
1683年关孝和(日本人 )最早引入行列式概念。关于行列
式理论最系统的论述，则是雅可比1841年的《论行列式的
形成与性质》一书。在逻辑上，矩阵的概念先于行列式的概
念;而在历史上，次序正相反。凯雷在185 5年引入了矩阵的
概念，在1858年发表了关于这个课题的第一篇重要文章《矩
阵论的研究报 告》。
19世纪，行列式和矩阵受到人们极大的关注，出现了千
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余篇 关于这两个课题的文章。但是，它们在数学上并不是大
的改革，而是速记的一种表达式。不过已经证明它 们是高度
有用的工具。
多项式代数的研究始于对3、4次方程求根公式的探索。
1 515年，菲洛解决了被简化为缺2次项的3次方程的求解问
题。1540年，费尔拉里成功地发现了一 般4次方程的代数解
法。人们继续寻求5次、6次或更高次方程的求根公式，但
这些努力在20 0多年中付诸东流。
1746年，达朗贝尔首先给出了“代数学基本定理”的证
明(有不完 善之处)。这个定理断言：每一个实系数或复系数
的n次代数方程，至少有一个实根或复根。因此，一般 地说，
n次代数方程应当有n个根。1799年，22岁的高斯在写博士
论文中，给出了这个定 理的第一个严格的证明。1824年，22
岁的阿贝尔证明了：高于4次的一般方程的全部系数组成的< br>根式，不可能是它的根。1828年，年仅17岁的伽罗华创立
了“伽罗华理论”，包含了方程能 用根号解出的充分必要条
件。
4、数论
以正整数作为研究对象的数论，可以看 作是算术的一部
分，但它不是以运算的观点，而是以数的结构的观点，即一
个数可用性质较简单 的其它数来表达的观点来研究数的。因
此可以说，数论是研究由整数按一定形式构成的数系的科
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学。
早在公元前3世纪，欧几里得的《原本》讨论了整数的一
些性质 。他证明素数的个数是无穷的，他还给出了求两个数
的公约数的辗转相除法。这与我国《九章算术》中的 “更相
减损法”是相同的。埃拉托色尼则给出了寻找不大于给定的
自然数N的全部素数的“筛法 ”：在写出从1到N的全部整
数的纸草上，依次挖去2、3、5、7……的倍数(各自的2倍，
3倍，……)以及1，在这筛子般的纸草上留下的便全是素数
了。
当两个整数之差能被正整 数m除尽时，便称这两个数对于
“模”m同余。我国《孙子算经》(公元4世纪)中计算一次
同 余式组的“求一术”，有“中国剩余定理”之称。13世纪，
秦九韶已建立了比较完整的同余式理论—— “大衍求一
术”，这是数论研究的内容之一。
丢番图的《算术》中给出了求x?+y?=z ?所有整数解的方
法。费尔马指出x^n+y^n=z^n在n>3时无整数解，对于
该 问题的研究产生了19世纪的数论。之后高斯的《数论研
究》(1801年)形成了系统的数论。
数论的古典内容基本上不借助于其它数学分支的方法，称
为初等数论。17世纪中叶以后，曾 受数论影响而发展起来的
代数、几何、分析、概率等数学分支，又反过来促进了数论
的发展，出 现了代数数论(研究整系数多项式的根—“代数
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数”)、几何数论(研究直线坐标 系中坐标均为整数的全部
“整点”—“空间格网”)。19世纪后半期出现了解析数论，
用分析 方法研究素数的分布。二十世纪出现了完备的数论理
论。
5、抽象代数
184 3年，哈密顿发明了一种乘法交换律不成立的代数——
四元数代数。第二年，格拉斯曼推演出更有一般性 的几类代
数。1857年，凯雷设计出另一种不可交换的代数——矩阵代
数。他们的研究打开了 抽象代数(也叫近世代数)的大门。实
际上，减弱或删去普通代数的某些假定，或将某些假定代之
以别的假定(与其余假定是相容的)，就能研究出许多种代数
体系。
1870年，克隆尼 克给出了有限阿贝尔群的抽象定义;狄德
金开始使用“体”的说法，并研究了代数体;1893年，韦伯
定义了抽象的体;1910年，施坦尼茨展开了体的一般抽象理
论;狄德金和克隆尼克创立了环 论;1910年，施坦尼茨总结了
包括群、代数、域等在内的代数体系的研究，开创了抽象代
数 学。
1926年，诺特完成了理想(数)理论;1930年，毕尔霍夫建
立格论，它源于1 847年的布尔代数;第二次世界大战后，出
现了各种代数系统的理论和布尔巴基学派;1955年，嘉 当、
格洛辛狄克和爱伦伯克建立了同调代数理论。

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到现在为 止，数学家们已经研究过200多种这样的代数结
构，其中最主要德若当代数和李代数是不服从结合律的 代数
的例子。这些工作的绝大部分属于20世纪，它们使一般化
和抽象化的思想在现代数学中得 到了充分的反映。

抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。
典型的 代数系统有群、环、域等，它们主要起源于19世纪
的群论，包含有群论、环论、伽罗华理论、格论、线 性代数
等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代
数数论、代数拓扑、拓扑群等 新的数学学科。抽象代数已经
成了当代大部分数学的通用语言。



现在，可以笼统地把代数学解释为关于字母计算的学说，
但字母的含义是在不断地拓广的。在 初等代数中，字母表示
数;而在高等代数和抽象代数中，字母则表示向量(或n元有
序数组)、 矩阵、张量、旋量、超复数等各种形式的量。可
以说，代数已经发展成为一门关于形式运算的一般学说了 。

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