初中数学考试人教版九年级数学上册

2020年11月14日发(作者：丁斌曾)
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人教版九年级数学上册22.3实际问题与一元二次方程导学案及随堂测试
，大多可用算术方法解．而用一元二次方程解的应用题，一般不能用算术方法求解．
由于一元 二次方程的次数为二次，所以其应用相当广泛，其中面积问题，平均增长率问题和
储蓄问题，经营问题， 数字问题等涉及到积的一些问题，都是代表类型．
基础准备
一、数字问题
1．三个连续的整数，设中间一个为 ，则其余两个分别为__________，___________．
2．三个连续的偶数（或奇数），设中间一个为 ，则其余两个为__________，___________．
3．十位上的数字为 ，个位上的数字为 ，则这个两位数为_______________．
4．个位，十位，百位上的数字分别为 ， ， ，则这个三位数为_______________．
问题1．若两个连续正整数的平方和是313，则这两个连续正整数的和是___________．
二、图形面积问题
5．常见的面积公式：_______________________ ________________________________．
6．常见的体积公式：__ __________________________________________________ ___．
问题2．有一批长是宽的2倍的长方形铁皮，四角各截去一个正方形，做成高是5cm，容积
是360cm3的长方体容器，求这批铁皮的长和宽．

三、平均变化率问题
7．设基数为 ，平均增长率为 ，则连续增长 次后的值为___________，若增长后的量为 ，
则可列方程______________；如果平均降低率为 ，则可列方程______________．
问题3．我市某企业为节约用水，自建污水净化站，7 月份净化污水3000吨，9月份增加到
3630吨，则这两个有净化污水量平均每月增长的百分率为_ _________．
四、一元二次方程根与系数关系
8．一元二次方程 的两根为 __________， __________， __________， __________．
9．一元二次方程 的两根为 __________， __________， __________， __________．
10．设一元二次方程 的两个根为 和 ，则 __________， __________．
问题4．两根分别为 、 的一元二次方程是（ ）
（A） ．（B） ．
（C） ．（D） ．
要点探究
探究1．数字问题
例1．一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与 十位数字对调后，
所得的新两位与原来的两位数的积为736，求原来的两位数．
解析：设十位数字为 ，则个位数字为 ，则此两位数为 ．则新两位数为 ，用未知数表示新
旧两位数是解题的关键．
答案：设原来两位数的十位数字为 ，则个位数字为 ，依题得
，整理，得 ，解这个方程，得 ， ．当 时， ，两位数为23；当 时， ，两位数32．答：
原来的两位数为32或23．
智慧背囊：此类问题要明确数与数字之间的关系，准确地表示出两位数．
活学活用：一个两位 数，个位上的数字是十位数字的平方还多1，若把个位上的数字与十位
上的数字对调，所得的两位数比原 数大27，求原两位数．

探究2．与几何图形面积相关的问题
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例2．如图①，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向 ，
一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小不等的六块作试验田，要使试验田面积
为 570m2，问道路应为多宽？

图① 图②
解析：设道路的宽度应为 m，将三条道路分别平移到边上（如图②所示），则可得六块试
验田的总面积为 ．它的面积为570m2，根据此关系可列方程．
答案：设道路宽为 m．依题意，得 570．整理，得 ．
解得 ， ．∵ 不合题意，舍去．∴ ．答：道路宽应为1m．
智 慧背囊：此类问题的特点是只与渠（或小路）的宽度有关，而与位置无关，因此可以运用
化归思想将几条 渠（或小路）归在一起，这样会给解决问题带来方便．
活学活用：一块矩形耕地东西64米，南北16 8米，现要在这块土地上沿东西和南北方向分
别挖2条和4条水渠，如果水渠的宽相等，而且要保证余下 的可耕地面积为9600米2，那
么水渠应挖多宽？

探究3．平均变化率问题 < br>例3．某校办工厂生产某产品，今年产量为200件，计划通过技术改革，使今后每年的产量
都比 前一年增长相同的百分数，这样三年（包括今年）的总产量达到1400件，求这个百分
数．
解析：若设平均增长率为 ，则第二年产量为 件，第三年产量为 件．
答案：设年平均增长率为 ，根据题意，得 ，解这个方程，得 ， （不符合题意，舍去）．答：
这个百分数为100%．
智慧背囊：平均变化率问题要注意运用公式 ．
活学活用：某电视厂2005年生产一种彩色 电视机，每台成本3000元．由于该厂不断进行技
术革新，连续两年降低成本，至2007年这种彩色 电视机每台成本仅1920元，问平均每年降
低成本百分之几？

探究4．其他问题
例4．将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其
销售量就要减少10个，为了获得8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？
解析：此题属于利润问题，设商品售价为 元，则每个商品的利润为 元，因为每涨价1元，
销售量会减少10个，现在涨价 元，销售量减少10 个，为获得8000元利润，则应有 ．
答案：设商品售价为 元，则进货量为 个．根据题意，得 ．整理，得 ．解得 ， ．当 时， ；
当 时， ．答：要想获得8000元利润，售价为60 元或80元，当售价60元时，应进货40
0个；当售价为80元时，应进货200个．
智慧背囊：利润问题中常用的关系有：利润 销价 进价，利润 利润率 进价，总利润 每件
利润 销售量，销价 进价（1 利润率）．
活学活用：某商场销售一批名牌衬衫，平均 每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销
售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降 价措施，经调查发现，如果每衬衫每
降价1元，商场每天可多售出2件．若商场平均每天销售这种衬衫的 盈利要达到1200元，
则每件衬衫应降价多少元？
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22.3 实际问题与一元二次方程(1)导学案
学习内容：传播问题 设计：付永要老师
学习目标：能根据具体问题中的数量关系建立数学模型，列出一元二次方程并利用它解决
具体问题．
重难点关键1．重点： 列一元二次方程解应用题
2．难点与关键：发现问题中的等量关系
学习指导
一、自学教材、解读目标
自学教材45页探究1，解方程的一般步骤是 . . . . . 。8
分钟后看谁能分析讲解本探究问题及其相类似的实际问题。
二、合作交流，解读探究：板演并讲习探究1：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人。开
始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了 x个人，用代数式表示，第一
轮后共有（ ）人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，用代数
式表示，第二轮后共有（ ）人患了流感。则可列方程为：
解之得
三轮传染后有多少人患流感？四轮呢？
三、检查自学效果
1.(2010年毕节地区)有一人患了流感，经过两轮传染后共有100 人患了流感，那么每轮传
染中，平均一个人传染的人数为（ ）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
2. 生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件 ;全组共互赠了182
件.如果全组有x名学生,则根据题意列出的方程是（ ）
A.

B.

C.

D.


四、指导学生应用

某种电脑病毒传播非常快，如果一台电 脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感
染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑 会感染几台电脑？若病毒得不到有效
控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？（2009 广东中考9分）
解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染

台电脑， ············· 1
分
················ 4
分
解之得 ··············· 6分
． ················ 8
分
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答：每轮平均每一台电脑会感染 台电脑，3轮感染后，被感染的电脑 超过700
台。
五、当堂训练：（1-5每个15分，6题25分）
1. 一个多边形的对角线有9条，则这个多边形的边数是（ ）.
A．6 B. 7 C． 8 D. 9
2. 元旦期间,一个小组有若干人,新年互送贺卡一张,已知全组共送贺卡132张,则这个小组
共有( )人
A.11 (B.12 C.13 D.14
3．九年级（3）班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向
本 组其他成员赠送一本，全组共互赠了240本图书，如果设全组共有x名同学，依题意，可
列出的方程是 （ ）
A．x（x+1）=240 B．x（x-1）=240
C．2x（x+1）=240 D．x（x+1）=240

4.参加中秋晚会的每两个人都握了一次手，所有人共握手10次，则有（ ）人参加聚会。
5．学校组织了一次篮球单循环比赛，共进行了15场比赛，那么有 个球队参加了这
次比赛。
6.甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型H1 N1流感没有及时隔离治疗，经
过两天传染后共有9人患了甲型H1N1流感，每天传染中平均一个人传 染了几个人？如果按
．．．．
照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少 人患甲型H1N1流感？

实际问题与一元二次方程（2）导学案
广西柳州市柳城县西安中学 莫雁归
学习目标：掌握增长率问题中的数量关系，会列出一元二次方程解决增长率问题
学习重、难点：重点：利用增长率问题中的数量关系，列出方程解决问题
难点：理清增长率问题中的数量关系
课前预习：
1、某厂今年1月份的总产量为100吨，平均每月增长20%，则:
二月份总产量为 吨；三月份总产量为 吨。（填具体数字）
2、某厂今年1月份的总产量为500吨，设平均每月增长率是x ，则：
二月份总产量为 吨；三月份总产量为 吨。（填含有X的式
子）
归纳：平均增长率（或平均减少率）问题：
原数（1 ＋ 平均增长率）= 。（n为相距时间）
原数（1 － 平均减少率）= 。
课本P46探究2
问题1：你是如何理解下降额与下降率的？他们之间的联系与区别是什么？试举例说明

问题2：在该题中，若设甲种药品成本的平均下降率为x ，请填下表

甲种药品 两年前1吨 一年后甲种 两年后甲种 根据题意列出一元二次方程
n
n
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甲种药品成本

药品成本

药品成本

①
问题3：请解出①，得
x
1
= ；
x
2
= 。
问题4：对问题3的结果你还有什么见解吗？

问题5：根据下表请求出乙种药品的年平均下降率，比较两种药品哪个的年平均下降率大。
两年前1吨
乙种药品成本
乙种药品

请解出②，得
x
1
= ；
x

= 。
②
一年后乙种
药品成本
两年后乙种
药品成本
根据题意列出一元二次方程
2
问题6：经过这个问题的解决，你对下降额与下降率有了新的认识吗？