高三的数学如何学好初中几何

2020年11月14日发(作者：项全申)

如何学好初中几何
初中几何是初中数学一个分支，而初中数学是初中阶段的一门重 要课程，它对于培养学生的识图、画图
能力及逻辑思维能力和推理论证能力都是十分重要的。这里我就如 何学好初中几何谈一点浅显的看法。
一、要有足够的基础知识储备
这里所说的基础知识，是 指定义、公理、定理（推论），特别是基本图形的几何语言描述、基本几何作图
的规范语言以及一些概念 性的东西要熟练掌握。
图1
图1是一些基本的几何图形，你能用规范的几何语言表述吗？
图2
图2是一些几何基本作图，你能用规范的几何语言进行表述吗？
初中几何除定义外，还有10条公理、140多条定理，你是否已经全部理解并掌握了。
这些都是学好初中几何的基础，只有有了足够的知识储备，才能在解决几何问题的时候得心应手。
二、能够对定义、公理、定理（推论）进行分类
这里所说的分类，是指哪些定义、公理、定理 （推论）得够得到线段平行、垂直、相等、不等……哪些
又可以得到角相等、不等……以及哪些又可以得 到比例式和……
（一）线平行
1. 两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
2. 两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行。
3. “三线八角”。
4. 两条直线截一组直线，所截得的线段对应成比例，那么这两条直线平行。
5. 平行四边形对边。
6. 三角形（梯形）中位线。
（二）线垂直
1. 一条直线垂直两条平行线中的一条，那么一定垂直另一条。
2. 勾股定理逆定理。
3. 身影定理逆定理。
4. 邻补角相等。
5. 三角形中两锐角和为90°。
6. 菱形对角线。
7. 矩形内角。
8. 圆中直径所对圆周角。
9. 圆的切线与过切点半（直）径。
（三）线段相等
1. 全等三角形对应边。
2. 三角形中等角对等边。
3. 等腰三角形腰、腰上的高（中线）、底角平分线。
4. 等边三角形。
5. 中点、三角形（梯形）中位线。
6. 勾股定理。
7. 平行四边形对边。
8. 等腰梯形对角线。
9. 同圆或等圆中相等圆周（心）角所对的弦。
10. 同圆或等圆的半（直）径。
11. 切线长定理。
12. 直角三角形斜边上的中线。
13. 角平分线上的点到角两边距离。
14. 线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等。
（四）线段不等
1. 三角形中大角对大边。（直角三角形中斜边最大）
2. 三角形中两边之和大于第三边。
3. 三角形中两边之差小于第三边。
4. 连结两点的所有线中，线段最短。
5. 垂线段最短。
6. 同圆或等圆中，大弦（弧）对较大的圆心（周）角。
（五）比例线段
1. 平行线分线段在比例。
2. 相似三角形对应边成比例。
3. 相交弦定理。
4. 切割线定理。
5. 三角形重心分中线1：2。
6. 射影定理。
7. 三角形角平分线分线段成比例定理。
（六）角相等
1. 全等（相似）三角形对应角。
2. 三角形中等边对等角。
3. 角平分线。
4. 切线长定理。
5. 圆内接四边形外角等于内对角。
6. 三角形（N边形）内角和等于180°（(N-2)*180°）。
7. 三角形外角等于不相邻两个内角和。
8. 平行四边形对角。
9. 平行线“三线八角”。
10. 同弧或等弧所对的圆周（心）角。
11. 弦切角定理。
12. 三角形（N边形）外角和等于360°。
（七）角不等
1. 三角形中大边对大角。
2. 三角形外角大于不相邻的两个内角。
三、隐图形
“隐图形”是指特殊的图形 ，如等腰三角形、等边三角形、平行四边形……。但这些特殊图形在整个图
形中只表现出其中的一部分， 如果能够发现“隐图形”，对我们分析问题、解决问题会有很大的帮助。
（一）中点带来的“隐图形”
如图：
1、过中点作垂直平分线，与另一边交于一点，这一点与线段的两个端点构成等腰三角形。
2、连结此中点与其他边中点，可得中位线，可得平行及线段半倍关系及相似形。
3、作中线，可得面积相等的两个三角形。
4、过中位线一个端点作一边的平行线，可得平行四边形、全等三角形。
5、延长中位线，并使延长部分等于中位线长，则隐藏平行四边形、全等三角形。
6、延长中线，并使延长部分等于中线长，则隐藏平行四边形、全等三角形。
（二）角平分线带来的“隐图形”
1、过角平分线上的点作角平分线的垂线，可得等腰三角形，满足三线合一。
2、从角的顶点开始截取的等线段，结合角平分线上的点，隐藏全等三角形。
3、角平分线上的点向角两边作垂线，可得全等三角形。
4、过角平分线上的点作角一边的平行线，可得等腰三角形。
（三）相等的量带来的“隐图形”
1、相等线段有公共端点，隐藏等腰三角形。
2、相等的线段、角分别在两个三角形中，可能存在全等三角形或相似三角形。
3、平移相等 线段中的一条，使其一个端点与另一条线段的一个端点重合，可得等腰三角形，平移含平行
四边形。
4、相等角有公共边，隐藏等腰三角形。
5、线段相等且平行，隐藏平行四边形。
6、两对线分别平行，隐藏平行四边形。
（四）平行四边形带来的“隐图形”
1、如果连结对角线，可得全等三角形。
2、过对角顶作垂线，可得矩形和全等直角三角形。
3、菱形作对角线，可得垂直平分。
（五）梯形带来的“隐图形”
1、作梯形中位线，可得平行及半倍关系。（中位线平行两底且等于两底和的一半）
2、延长梯形两腰，可构成三角形
3、连结一腰端点和另一腰的中点并延长与另一底相交，可得全等三角形。
4、等腰梯形平移腰或平移对角线可得等腰三角形、平行四边形。
(六)其它
1、 在三角形中，如果给出两条中线（高、角平分线、边垂直平分线），则交点为重心（垂心、内心、外
心） ，那么要考虑第三条线，并考虑第三条线所带来的相关结论。
2、“三线合一”，如果一个三角形中，中线、高、角平分线三线合一，必为等腰三角形。
四、常用分析问题方法
分析问题、解决问题的方法有很多种，诸如“综合法”、“分析法”、 “反证法”、“枚举法（穷举法）、完全
归纳法、不完全归纳法……等等。
这里，我们只对研究几何问题常用的三种方法：综合法、分析法和反证法进行简单的介绍。
（一）综合法
综合法是一种直接证法，从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的 逻辑推理，最后达到待
证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐 步推向“未知”。
适用题型：
适用于已知条件相对较少的题目。
步骤：
综合已知条件，看能够得到什么样的结论，选择与待证结论相关的再结合其他已知条件进一步论证，如
此反复，最终达到待证的结论。
用综合法解决问题时，每一个中间论证都会得到若干个结论，选择恰当 的中间结论进一步论证是综合法
的关键。
通常我们书写的解题过程，就是按综合法书写。
图3
图3给出了综合法分析问题的过程及示例。
（二）分析法
分析法是 一种间接证法，从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到归结为判定一个显然
成立的条件 （已知条件、定义、公理、定理、性质、法则等）为止，从而证明论点的正确性、合理性的论证
方法。也 称为因果分析、逆推证法或执果索因法。
适用题型：
已知条件相对较多的题目，或者使用直接证法比较困难的题目。
步骤：
从待证的结 论出发，“要证……，只需证明（知道）……”，排除已知条件和显然成立的条件，重复“要
证……，只 需证明（知道）……，直到所需条件全部成立，于是问题得证。
分析法是分析问题、解决问题最常用的 一种方法。我们通常用分析法对问题进行分析，然后使用综合法
写出解决问题的过程。
证明过程的书写没有一定的要求，用综合法也好，用分析法也好，还是用反证法也好，都可以用来书写
证 明过程。
上述例子，以及下面的两例就是分别用综合法和分析法及反证法书写证明过程。
图4
图4给出了分析法分析问题的过程及示例。
（三）反证法
又称归谬 法、背理法，是一种间接证法，首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），
然后推理 出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。
适用题型：
1、唯一性命题
2、否定性命题
3、“至多”，“至少”型命题
4、不等量问题
步骤：
1、假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立。
2、从这个假设的命题出发，经过推理证明得出矛盾。
3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确。
图5
图5给出了反证法分析问题的过程及示例。
五、几何问题分类
考试时我们会接触到填空题、选择题、判断题、作图题、计算题、证明题、探究题……
但我们 这里所说的问题分类是指所涉及的几何问题按探究的内容进行划分，可分为3类：作图题、证明
题、探究 题。
作图题：
这里所说的作图，是指“尺规作图”， 尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆 规作图。“尺规作图”有八种
基本作图，五种基本作法。（具体内容可参见百度百科）
证明题：
证明题是让我们证明一个命题是正确的，也就是说有确定的结论。如证明两条线平行 ，证明两条线段相
等……
探究题：
是相对证明题而言，这一类题没有明确的结果， 如求一条线段的长度、求一个角的度数、探讨两条直线
（线段）的关系、探讨两个图形是否相似……
六、如何解难题
当我们面对一道几何题（作图题除外）时，如果问题相对简单，我们通过直接 观察就很容易找到解决的
方法。但对于一些相对复杂、难度较大的题目时，大多数同学感到无从下手，甚 至放弃。
当面对一道不知从何处着手的几何问题时，真的就放弃了吗？
以下题为例，你可以按我下面说的步骤试一试：
1、重新画图
重新画图不是照样画 样地把原图再画一遍，应该是把题目仔细阅读，在充分理解题意的前提下，按照题
意重新画图，单纯地仿 照画图，可能会出现偏差，在很大程度上会影响结合图形分析问题。
重新画图，能够让我们更加充分地理解题目，并在画图的过程中开发我们的思路。
根据题意， 四边形ABCD是一个梯形，并且底边BC等于其中的一条腰DC，明确这一点后，我们会发
现，当我们 确定BC后，无法直接确定AD的位臵，只有先画出BC、CD后才能通过过D点作BC的平行线，
在适 当位臵确定A点，最后画出符合题意的梯形。如何确定E点呢？根据题意，点E是过D点平行AB的
直线 与角BCD的平分线的交点，于是画出过D点平行AB的直线，再作角BCD的平分线，交于一点，这一
点就是E，擦除多余的线（哈哈，要是用钢笔画不太好擦吧）。连结BE并延长，交CD于点F。
2、标识等量
画完图后，我们要做的是在图中把已知条件中给出的相等关系的量（相等的线段 、相等的角）或能够知
道相等的关系量用相同的符号进行标记，已知线段长度、角的度数
或能够知道的线段长度、角的度数也做好标记。
为避免混淆，标记的线段或角最好是单一线段（角）。
相等的线段用相同的符号标记，不同组 用不同的符号；
相等的角用阿拉伯数字及弧标记，不同组分别用一条弧、
两条弧标记。
如图中：BC＝DC，BC是一条单一的线段，但DC之
上有一点F，DC不是单一线段，这样BC、 DC就不用标
记了，记在脑中就可以。∠BCE和∠DCE通过EC是角
BCD平分线可以知道 相等，将∠BCE标记上1及一条弧，
同样将∠DCE标记上2及一条弧。虽然数字不同，因为都
是用一条弧，表示这两个角相等。
假若还有两个角相等且与∠1、∠2不相等，则可用3、
4标记，并用2条弧标记。
作标记有两个好处，一是有利于我们分析图形，二是能够使书写的证明过程简洁、明了，可读性增强。
在 证明过程中遇到的角也可以用数字标记出来便于书写和阅读。
3、观察“隐图形”
“隐图形 ”是指在原图中通过延长线段、连结点、作垂线、作平行线等辅助线后得到的特殊图形，如平
行、垂直、 半倍线段、特殊△（等边△、等腰△、Rt△）、特殊四边形（正方形、矩形、菱形、平行
四边形、等 腰梯形等），这些特殊形能够为我们提供诸如“相等”、
“平行”、“垂直”等关系。
“隐图 形1”：BC＝DC这一条件，使我们能够找到第一个隐
图形，连结B、D，可得到等腰△BCD，进而 得到∠CBD＝∠CDB，
根据三线合一还能知道，如果延长CE能够垂直且平分BD，……
“隐图形2”：结论要证明AD=DF，如果结论正确，那么连
结A、F，三角形ADF就应该是等腰△ ，这样可以考虑通过证明
∠DAF＝∠DFA来证明AD=DF。
“隐图形3”：已知中有条 件AD平行BC、DE平行AB，显
然延长DE交BC于G，四边形ABGD是平行四边形，进而可得< br>AD=BG，AB=DG，以及平行四边形ABGD中相等的角。
能够发现“隐图形”会为我们 解决问题提供极大的帮助，但也要认识到，并不是所有的隐图形都会对我
们的解题产生帮助。“隐图形2 ”与要证明的结论有关是显然的，通过观察，想要通过∠DAF=∠DFA来证明
AD=DF是十分困难 的；“隐图形1”是通过连结BD得到的一个等腰三角形，但由这个等腰△得出的等量，
与我们要证明的 结论没有太大的关系。而“隐图形3”得到的AD=BG显然与要证明的结论有关系。
因为“隐图形1 ”、“隐图形2”对我们证明帮助不大，将AF、BD擦除，只保留EG，最后把AD和BG
作上标记。
4、发现全等（相似）形
结合题意，我们进行观察，因为CE是角平分线，首先观察
有没有以CE为公共边的全等三角形，很显然，三角形BCE与三
角形DCE是一对以CE为公共边的全 等三角形（SAS），进而得
到BE＝ED，∠EBC＝∠EDC。
将BE、ED，∠EBC 、∠EDC作上标记。（这里，BE、ED
我们用双线标记以区分第一对相等的线段，∠EBC、∠ED C分
别标记为3、4，并用两条弧标记以区分另一对相等的角。）
再次观察图形，结合刚刚找 到的全等三角形，我们又能找到
一对全等三角形，△BEG≌△DEF（ASA），可得对应边相等、< br>对应角相等。于是有BG=DF，再根据BG=AD可知AD=DF，问题得证。
综合前4步工作，我们可以给出分析过程：
延长DE交BC于G。易知四边形ADGB是平行四边形。（发现隐图形）
要证 AD=DF，只需证 BG=DF。（通过作辅助线可知，AD=BG）
要证 BG=DF，只需证 △BEG≌△DEF（发现全等形）
要证 △BEG≌△DEF，只需证 ∠3＝∠4，BE=FE，∠5＝∠6（对顶角）。
要证 ∠3＝∠4，BE=FE，只需证 △CEB≌△CEF
要证 △CEB≌△CEF，只需证 CB=CD，∠1＝∠2，CE=CE
CB=CD（已知），∠1＝∠2（角平分线定义），CE=CE（公共边），问题得证。
将上述分析过程（分析法）逆推既可写出证明过程（综合法）。
证明：
延长DE交BC于点G
∵AD∥BC(已知)
DE∥AB(已知)
∴四边形ABGD为平行四边形(平行四边形判定)
∴AD=BG(平行四边形对边相等)
△BCE和△DCE中
∵BC=DC(已知)
∠1＝∠2(角平分线定义)
CE=CE(公共边)
∴△BCE≌△DCE(SAS)
∴BE=DE，∠3＝∠4(对应边相等，对应角相等)
△BCE和△DCE中
∠3＝∠4(已证)
BE=DE(已证)
∠5＝∠6(对顶角)
∴△BGE≌△DFE(ASA)
∴BG=DF（对应边相等）
又∵AD=BG（已证）
∴AD=DF（等量代换） 证明完毕！
（注意：请仔细观察本题书写时每一行左侧的缩进位臵，养成良好的书写习惯。）
上面的例题 ，通过“重新画图”、“标识等量”、“观察隐图形”、“发现全等（相似）形”我们可以找到解
决问题 的方法。但需要注意，利用上述四步时，一定要结合“要证明……，我们可以利用……”进行分析。
比如 ：“要证明两条线段相等，我们可以利用的定义、公理、定理有14条，结合其他条件进行选择”。
许多同学对一个问题，能够口述出它的解决方法，但要求书写出解题（证明）过程时，可能会出现丢分
现 象，如果方法正确，因为书写过程丢分，那么肯定是你书写的过程出现了“丢步”。
书写的解题（证明 ）过程，必须环环紧扣、一丝不苟。如果缺少某一环节（也就是所说的“丢步”），你
的解题（证明）的 整体思路没有问题，但是步骤不完整，会造成不必要的损失（丢分）。
要保证书写的过程严谨，其实很 容易，你只需要看上一个“因为”（∵）到下一个“所以”（∴）所使用
的依据是不是以下几种且必须是 以下几种：
1、已知；2、定义；3、公理；4、定理；5、已证；6、辅助线作法
如果你使用的依据不是上述六种之一，那么你的过程是不完整的，甚至可能是错误的。
当一个“∵”后面是几个条件时，如果将这几个条件在一行书写，之间用逗号隔开；如果几个条 件是分
行书写，那么最好用左大括号“｛”括起来，以便于阅读。
如果一道题有辅助 线，那么在证明一开始要写明辅助线作法，注意：是在写“证明：”之后书写辅助线作
法，不要放在过程 的中间。
“依据”并不是必须标注的，在我们初学几何时进行标注，是为了更好地掌握定义、 公理、定理的内容，
深入学习之后可以不进行标注。
至此，该如何分析、解决一道几何题我们就谈完了，看懂了吗？
如果你看懂了，那么你还需要结合上述步骤多多进行练习，不要
图省事而忽略步骤。
七、综合练习
下面的任务就是结合大量的实例进行分析。
例1：
如图所示，边长为1的正方形ABCD中，
EF∥AB，GH∥AD，EF与GH交于点P。
（1）若AG=AE，求证：AF=AH；
（2）若∠FAH＝45°，求证：AG+AE=FH；
（3）若Rt△GBF的周长为1，求矩形EPHD
的面积。
分析：
第（1）问：
1、重画图形：通过仔细阅读题目，题中对EF、GH
的位臵除平行边及AG=AE外没有其它限制。
求证的结论有AF、AH，原图中没有，在重新画图时要画出。
2、标识等量：AE=AG（ 已知），进而知DH、BF、GP、EP都与AG、
AE相等。注意：AE=AG是已知，其它相等需证 明。
3、观察“隐图形”：本图中有诸多的矩形（正方形）隐藏着诸多的等
腰直角三角形。
4、发现全等形：通过观察，很容易发现，有四个直角三角形△AFB、△FAE、△AHD、△HAD 相互之
间全等。进而可知AF=AH。
证明：
∵正方形ABCD中，EF∥AB
∴四边形ABFE为矩形
∴AE=BF
同理可得
AG=DH
∵AG=AE
∴BF=DH
△AFB和△AHD中
∵AB=AD，∠B=∠D，BF=DH
∴△AFB≌△AHD
∴AF=AH
证明完毕！
本题引发的另一种思考：如果我们连结AC、FH，如果AC垂直且平分FH，根 据三线合一，可证明△
AFH为等腰△，亦可证明AF=AH。
我们知道，因为四边形PFC H是正方形（可证），PC与FH是互相垂直平分的，于是当我们连结AC时，
如何证明P点在AC上是 关键。
你能证明吗？
AC是∠BAD的平分线（正方形对角线平分对角），点P到∠BAD
两边的距离相等，所以点P在∠BAD的平分线上，即P在AC上。
问题得证。
第（2）问：
注意：通过审题我们应该看到，三个问题之间是相互独立的，也
就是说，第（2 ）个问题是没有AG=AE这一条件的。所以我们应该
重新画一个图，使AG≠AE，并且使∠FAH＝ 45°，根据结论，还要
连结FH。
1、重新画图：第（2）问在画图时，需要注意的是∠F AH＝45°。
先在适当位臵确定EF，连结AF，然后画AH（使∠FAH＝45°），交DC于点H ，再 做GH∥AD，最后连
结FH。
2、标识等量：此问需要注意，AE与BF是一对等量 ，AG与DH
是另一对等量，用不同的标记。再将已知的∠FAH＝45°标出。
3、观察隐图形：由∠FAH＝45°可以得到∠BAF+∠DAH＝45°。
4、发现全等形：本图中△ADH≌△HGA、△AFB≌△FAE、△HPF
≌△FCH。
到目前为止，完成上述四个步骤后，我们似乎陷入了僵局，是不是有
手足无措的感觉了？ 上述四个步骤只是准备工作，许多题目完成了上述四步只是为接下来
的分析做准备的。观察结论，要 证明的是线段的和差相等，这一类的题目，
我们通常考虑使用截长法或补短法。
截长法：是指 型如a+b=c时，我们将c截成两段，使其
中一段等于a，然后只要能证明另一段等于b，则问题可证 。
也就是截长线段（c）成两段。
补短法：是指型如a+b=c时，我们将a（或与a相等< br>的线段）或b（或与b相等的线段）延长，使延长部分等于b，
这时只要证明延长后得到的新线段 等于c即可。也就是补短
线段(a或b)。
截长、补短后，通常我们利用全等三角形、平行四边形，
等腰三角形来证明线段相等。
本题我们使用补短法。如果要补的线段是AE或与AE相
等的线段，那么，有三条线段AE、GP、B F，到底选择哪一
条呢？选择后向哪个方向延长呢？这就需要我们观察了。原
则上，所选线段最 好与结论有关系。
先看AE，在AE的延长线上取一点O，使EO＝AG，
于是我们做出了A E+AG（AO），下面只要证明FH=AO。下
一步需要构造一个以OA为边的三角形，证明△AFO ≌△
FAH即可，显然要连结OF。我们能够证明△OFE≌△HAD，
得OF=AH。还可证 明∠OFA＝45°＝∠1，AF＝AF根据
SAS进而能够证明△AFO≌△FAH，于是AO＝FH ，即
AE+AG=FH。
延长EA到O使AO=AG，连结OB，也可以通过证明△
ABO≌△ADH得到OB=AH，
通过矩形ABFE对角线得BE=AF，还可证明∠OBE＝45°＝∠1，根据SAS可以证明△OB E≌△HAF，
得OE＝FH，即AE+AG=FH。
再看BF，通过对BF的延长或对FB的延长我们也可以进行证明，方法与AE类似，不再说明。 三看GP，似乎毫无办法。其实我们把思维再发散一些就会发现，如果我们把上图中的正方形ABCD及△OBE向下平移AG个长度，会怎么样？这时我们发现，可以利用上图的方法进行证明。不再说明。 对延长AG或与AG相等的线段（DH、EP），方法与延长AE或与AE相等的线段（GP、BF）类似，
这里不再说明，大家可以自己尝试一下。
这里没有给出证明过程，大家自己写出来。
截长法在本题的证明中也可以使用，但会使证明变得更加的复杂，这里不做介绍。
第（3）问：
1、重新画图：注意，此问中有Rt△GBF的周长为1，上面若
干个 图形都不适合，需重新画图，并连结GF。
如果画图准确，我们大致可估算出矩形EPHD的面积约是 正方形
ABCD面积的一半左右，有利于验证求得的结果。
2、本问因使用代数方法计算，暂不考虑隐图形和全等形。
本问中涉及Rt△GBF 的周长，与Rt△计算有关的定义、公理、
定理主要有勾股定理、射影定理、斜边中线长定理、30度角 所对边定
理……
已知Rt△GBF的周长为1，显示与勾股定理有关，为书写及观
看方便
设BG=x ，BF=y，则有x
2
+y
2
=GF
2
，GF=
x
2
?y
2

根据周长＝1，于是有x+y+
x
2< br>?y
2
=1或1-x-y=
x
2
?y
2
①
将①式两边平方（1-x-y）
2
=（
x
2
?y
2
）
2
展开得：1+x
2
+y
2
-2x-2y+2 xy=x
2
+y
2

1
整理得x+y-xy= ………………………………………………②
2
要求矩形EPHD的面积，显然ED=1-x，DH=1-y
矩形EPHD的面积＝ED×DH＝（1-x）(1-y)………………③
展开得：面积＝1-x-y+xy＝1-（x+y-xy) …………………④
11
将②代入④，面积＝1-=
22
这与我们在重新画图时的估算大致相同。
例2：
已知△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F。
（1）如图1，若△ABC为 锐角三角形，且∠ABC＝45°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，求
证：FG+DC=AD 。
（2）如图2，若∠ABC＝135°，过点过点F作FG∥BC，交直线
AB于点G，则 FG、DC、AD之间有怎
样的数量关系？
分析（1）：
通过阅读题目，我们很容 易知道
AD=BD、AF=GF（垂直+45°），结合要
证的结论，可知，只要证明出DF= DC，
那么AD=AF+DF＝FG+DC。
现在的关键变成了如何证明DF=DC，第三部分“隐图形”之（六）告
诉我们，AD、BE是△ABC的两条高，
交点F为垂心，那么我们考虑第三条高。
连结CF并延长交AB于点H，则CH⊥AB，
于是，只需证明△FDC是等腰三角形即可。
这个不难吧！
△BHC为等腰直角三角形，
H
H
则∠HCB＝45°，进而知△FDC为等腰
直角三角形，得FD=DC。
问题得证。
分析（2）：
与（1）同理，连结FC交AB
于点 H，F为△ABC垂心，则FC⊥AB（AG），由∠ABC＝135°知∠ABD＝∠FAG＝45°，进而可 知AD=DB、
FD=CD、FG=AF，因为AF=AD+DF，所以FG=AD+DC。
问题得证。
例3：
如图：将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落到点B’
的位臵，AB’与CD交于点E。
（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；
（2）若AB=8，DE＝3，P为线段AC上任意一点，PG⊥AE于G，
PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由。
O
分析（1）：
由对折可知：B’C＝BC=AD，∠B’=∠B=∠D，根据AAS，易知△CEB’≌ △AED。
分析（2）：
由对折知，AC为∠B’AB的平分线，根据角平分线“隐图形”如果过P点作 AB的垂线段，此垂线段
与GP相等。
延长HP交AB于点O，则PO⊥AB，由对折知，A C为∠B’AB
的平分线，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PG=PO，
而HO =DA可证，所以有PG+PH=AD＝3。
例4：
如图，△ACB与△ECD都是等腰直角△，D在AB上，
求证：（1）△AEC≌△BEC ；（2）AD
2
＋BD
2
＝ED
2

分析（1）：
这一问很简单，由SAS很容易证明。由两个等腰直角△可知EC=DC，AC=BC，由两个直角减去 公共
角可知上述两边的夹角相等。
分析（2）：
由结论AD
2
＋ BD
2
＝ED
2
我们很容易想到勾股定理，但AD、DB、
ED不在 一个三角形中，由（1）的全等知，DB=AE，如果代换一下BD，
结论变成AD
2
＋AE
2
＝ED
2
，这时AD、AE、ED为同一三角形的三边，
只 需要证明这个三角形是Rt△，即证明∠EAD为直角。由等腰Rt△知，
∠B=∠CAB＝45°，由 （1）全等知∠EAC=∠B＝45°，则∠CAB＋
∠EAC＝90°。问题得证。
例5：
如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝32°，分别以BC、CD
为边向外作△BCD和 △DCF，使BE=BC，DF=DC，∠EBC＝∠CDF。延长AB交边EC于点H，点H在
E、C 两点之间，连结AE、AF。
（1）求证：△ABE≌△FDA。
（2）当AE⊥AF时，求∠EBH的度数。
分析（1）：
重新画图，将相等的量在图中标出。这时我们很容易
看到△ABE和△FDA中，已经有两对边对应相等了，
这时我们只需要证明其夹角也相等（这个并不难，用等量代换即可），
问题得证。
分析（2）：
AE⊥AF知，∠1+∠2+∠3＝90°，∠1+∠2＝58°，
由全等知，∠1＝∠4，有∠4+∠2＝58°，而∠5＝∠2+∠4，
所以∠5＝58°，即∠EBH＝58°
例6：

2
3
1
5
4