数学神童2018高考全国卷1理科数学试题及答案解析

2020年11月15日发(作者：翟文瑞)
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2018 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共
要求的。

1．设
12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
1 i
2i

z

A．
0
| z|
1 i

1
B．

2
，则
e
R

A
C
．
1
D．
2
2．已知集合

2
2 0
x A x x
A
．

x 1 x 2
1 x | x 2
B
．

x 1 x 2
1 x | x 2
C
．

x| x
D
．

x | x
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农 村的经
济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
建设前经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
建设后经济收入构成比例
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
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专业技术参考资料
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4．设
S
n
为等差数列
A
．

12
5．设函数

3
a
n
的前
n
项和，若
3S
3
B．
10
2
S
2
S
4
，
a
1
2
，则
a
5

D
．
12
C．
10
f x
( )
x a x
( 1)
ax
，若
f ( x)
为奇函数，则曲线
y f (x)
在点
(0,0)
处的切线方程为
A
．

y 2x
y
B
．

x
C
．

y 2x
y
D
．

x
6．在
△ABC
中，

AD
为

BC
边上的中线，

E
为

AD
的中点，则
EB


3
A．
1
AB AC
4 4
1 3

B．
AB AC
4 4
3 1

C．
AB AC
4 4
1

D．
AB
3
AC
4 4
7．某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图．圆柱表面上的点
表面上的点
N
在左视图上的对应点为
M
在正视图上的对应点为
A
，圆柱
B
，则在此圆柱侧面上，从
M
到
N
的路径中，最短路径的长度为
A．
2 17
B．
2 5
C．3 D．2
2
2

8．设抛物线 C：y=4x 的焦点为 F，过点

的直线与 C 交于 M，N 两点，则
FM FN
=
（ –2，0）且斜率为
3
2
=4x 的焦点为 F，过点（ –2，0）且斜率为
A．5
9．已知函数
B．6 C．7 D．8
f (x)

x
x
e ， 0，
g( x)
ln x，x 0，
f (x) x a
．若 g（x）存在 2 个零点，则 a 的取值范围是
C．[ –1，+∞） D．[1，+∞） A．[–1，0） B．[0，+∞）
10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别 为
直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，AC．△ABC 的三边所围成的区域记为
其余部分记为 III ．在整个图形中随机取一点，此点取自
I，黑色部分记为 II，
I，II ，III 的概率分别记为 p
1
，p
2
，p
3
，则
A ．p
1
=p
2
C．p
2
=p
3
B．p
1
=p
3

D．p
1
=p
2
+p
3
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专业技术参考资料
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2
11．已知双曲线 C：
x

2
1
，O 为坐标原点， F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点
3
y
分别为 M
、
N.若
△
OMN 为直角三角形，则 |MN |=

3

A ．
2

B．3 C．2 3 D．4
12．已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面
值为

3 3

A ．
4
2 3


B．
3
α所成的角相等， 则 α截此正方体所得截面面积的最大
3 2


C．
4

3

D．
2
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
x 2 y 2 0
13．若 x ，
y
满足约束条件 x y 1 0
，则 z 3x 2y 的最大值为 _____________．
y 0
14．记 S
n
为数列 a
n
的前 n项和，若 S
n
2a
n
1 ，则 S
6
_____________ ．
15．从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛， 且至少有 1 位女生入选， 则不同的选法共有 _____________
种．（用数字填写答案）
16．已知函数
f x 2sin x sin2 x
，则

f x
的最小值是

_____________ ．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第
都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题： 60 分。
17．（12 分）
在平面四边形
（1）求
cos
（2
）若

DC
18．（12 分）
17~21 题为必考题，每个试题考生
ABCD
中，
ADC 90
，
A 45
，
AB 2
，
BD 5
.
ADB
；
2 2
，求

BC
.
如图，四边形
ABCD
为正方形，
E,F
分别为
AD, BC
的中点，以
DF
为折痕把
△DFC
折起，使点
C
到达点

P
的位置，且

PF BF
.
平面

ABFD
；
（1
）证明：平面

PEF

（2
）求

DP
与平面

ABFD
所成角的正弦值

.
专业技术参考资料
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19．（12 分）

设椭圆
2
x
2
C : y
2
1
的右焦点为
F
，过
F
的直线
l
与
C
交于
A, B
两点，点
M
的坐标为
(2,0)
.
（1）当
l
与
x
轴垂直时，求直线
（2）设
O
为坐标原点，证明：
20．（12 分）
某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不
20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余
AM
的方程；

OMA OMB
.
合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取
下的所有产品作检验， 设每件产品为不合格品的概率都为
互独立．


p(0 p 1)
，且各件产品是否为不合格品相
（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为
（2）现对一箱产品检验了
f ( p)
,求
f ( p)
的最大值点

p
．
0
20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（ 1）中确定的

p
0
作为

p
的值．已知每

件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付
用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为
25 元的赔偿费
X
，求
EX
;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
21．（12 分）

已知函数

1
x aln x
x
f ( x)
．

（1
）讨论

f (x)
的单调性；


（2
）若

f (x)
存在两个极值点


f x
1
f x
2

x
1
, x
2
，证明：
．
a

2

x
1
x
2
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修 4–4：坐标系与参数方程 ]（10 分）
----
****

在直角坐标系
xOy
中，曲线

C
的方程为

y
1
k |x| 2
.以坐标原点为极点，
x
轴正半轴为极轴建立极坐
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标系，曲线

C
的极坐标方程为
2

2
2 cos 3 0
.
（1）求
C
2
的直角坐标方程；

（2）若

C
与
C
2
有且仅有三个公共点，求
C
1
的方程 .
1
23．[选修 4–5：不等式选讲 ]（10 分）
已知
f (x) | x 1| | ax 1|
.
（1）当
a 1
时，求不等式
f (x) 1
的解集；

（2
）若

x (0,1)
时不等式

f ( x) x
成立，求

a
的取值范围
专业技术参考资料
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.
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2018 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学参考答案：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C B A B D A B D C A B A
13.6 14.
63
15.16 16.

3 3
2
17.（12 分）

解：（1）在
△ABD
中，由正弦定理得


BD AB

sin A sin ADB
.

由题设知，

5 2

，所以

2
sin 45
sin

sin ADB
ADB
.
5

由题设知，
ADB 90

cos
2 23
，所以



ADB 1
25 5
.

（2）由题设及（ 1）知，

2
cos

BDC sin ADB
5
.
在
△BCD
中，由余弦定理得

2 2 2
2 cos
BC BD DC BD DC BDC

25 8 2 5 2 2

2
5
25
.
所以

BC 5
.
18.（12 分）
解：（1）由已知可得， BF⊥PF，BF⊥EF，所以 BF⊥平面 PEF .
又
B

F
平面 ABFD ，所以平面 PEF⊥平面 ABFD .
（2）作 PH⊥EF，垂足为 H.由（1）得， PH⊥平面 ABFD .
以 H 为坐标原点，
HF
的方向为 y 轴正方向，
|BF |
为单位长， 建立如图所示的空间直角坐标系
专业技术参考资料
----
H- xyz.
****
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由（1）可得， DE⊥PE.又 DP=2，DE=1，所以 PE=
3
.又 PF=1，EF =2，故 PE⊥PF.


可得
PH


3
, EH
2
3
2
.



则
H (0,0,0), P(0,0,

3 3 3 3

3
), D( 1, ,0), DP (1, , ),
HP (0,0, )
为平面 ABFD 的法向量 .
2 2 2 2
2
3

设 DP 与平面 ABFD 所成角为

，则
HP DP
4
| |
| HP | | DP |

3

4
.
sin

所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为

3

.
4
3
13.7（12 分）
解：（1）由已知得
F (1,0)
，l 的方程为 x=1.

2


由已知可得，点 A 的坐标为
(1, )
或
2
所以 AM 的方程为



(1,

2
x
2
2

)
.
2

2
x
2
y

2
或
y 2
.
（2）当 l 与 x 轴重合时，
OMA OMB 0
.
OMA OMB
.
0)
，

A(x , y ), B(x , y )
，
1 1 2 2
当 l 与 x 轴垂直时， OM 为 AB 的垂直平分线，所以


当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设

则
x
1
l 的方程为
y k(x 1)(k

2, x
2
2
，直线

MA，MB 的斜率之和为
y
1
y
2
k
MA
k
MB
.
x
1
x
2
2
2
由
y
1
kx
1
k, y
2
kx
2
k
得
2kx x
1 2
3k( x
1
x ) 4k
2
k
MA
----
k
MB
.
****
( x
1
2)( x
2
2)
专业技术参考资料
----
****
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将
y k(x 1)
代入
x
2

2

2
1
得
2 2 2 2
y
(2k



1)x
.
2

4k x 2k 2 0
.
所以，
x
1
x
2
4k
2
2
, x x
1
2
2k
2
2
2k


则
2kx x
1
2 1 2
1
3k( x x ) 4k
2k 1
3 3 3
4k 4k 12k 8k 4k
2
0
.
2k
从而
k
MA
1
k
MB
0
，故 MA，MB 的倾斜角互补，所以
OMA OMB
.
综上，
OMA OMB
.
13.8（12 分）

解：（1）20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为

2
20
2 18
f ( p) C p (1 p)
.因此
17 2
20
18 2 17 2
20
f ( p) C [2 p(1 p) 18 p (1 p) ] 2C p(1 p) (1 10p)
.
令
f ( p) 0
，得
p 0.1
.当
p (0,0.1)
时，
f ( p) 0
；当
p (0.1,1)
时，
f ( p) 0
.
所以
f ( p)
的最大值点为
p
0
（2）由（ 1）知，
p
0.1
.
0.1
.
Y : B(180,0.1)
，

X
（i
）令

Y
表示余下的

180 件产品中的不合格品件数，依题意知
即
X
20 2 25Y
，

40 25Y
.
E (40 25Y ) 40 25EY 490
.
400 元.
所以
EX
（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为
EX
由于

13.9（12 分）

400
，故应该对余下的产品作检验

.
解:（1）
f (x)
的定义域为
(0, )
，

2
1
1
2
a
x
x
.
ax 1

2
f (x)
x x
)
单调递减 .
（i
）若

a
----
2
，则

f (x) 0
，当且仅当

a 2
，

x 1
f
时

(x) 0
，所以
f (x)
在
(0,
****

（ii
）若

a 2
，令

f (x) 0
得，

2
4
a
x
a
2

或
x

2
4
.
a a
2
专业技术参考资料
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当
2
4
a
)U (
4
a
,
2
2
2
4
, )
时，
f (x) 0
；

2
a a
2
a
2
4
4
a
),(
2
2
x (0,


当
2
2
4
,
a
x (

a
2
a
2
4
a
,
4

单调递增 .
)
a a a
2

)
单
)
时，
f (x) 0
.所以
f (x)
在
(0,
a
2

调递减，在
a a
2
(

（2）由（ 1）知，
f ( x)
存在两个极值点当且仅当


由于
f (x)
的两个极值点

x
1
,x
2
满足

2
a 2
.
1 0
ax
ln x
2
x
，所以
x
1
x
2
1
1
，不妨设
x
1
2
x
2
，则
x
2
1
.由于
2
f (x )
1
f (x )
2
1 ln x
1
ln x ln x
2 a 2 a
2ln x

，
1
1 a
x
1
x
2
x x
1 2
x
1
x
2
x
1
x
2
x
2
x
2

所以

f ( x )
1
f (x )
2

x
1
x
2

1

等价于
a 2
x
2

x
2
2ln x
2
0
.
)
单调递减，又
g (1) 0
，从而当
x (1, )


设函数

1
x 2ln x
x
g(x)
，由（1）知，
g( x)
在
(0,

时，
g(x) 0
.

1


所以
x
2
x
2
2ln x
2
0
，即

f (x )
1
f (x )
2

a 2
.
x
1
x
2
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程 ] （10 分）

【解析】（1）由
x cos
，
y sin
得

C
的直角坐标方程为
2

2 2
( x 1) y 4
．
（2）由（ 1）知
C
2
是圆心为
A( 1,0)
，半径为

2
的圆．

l
，
y
轴左边的射线为


1

由题设知，
C
1
是过点
B(0, 2)
且关于

y
轴对称的两条射线．

记

y
轴右边的射线为

l
2
B
在圆

C
2
的外面， 故
C
1
与
．由于

C
2
有且仅有三个公共点等价于
l
1
与
C
2
只有一个公共点且
l
2
与
C
2
有
两个公共点，或
l
2
与
C
2
只有一个公共点且
l
1
与
C
2
有两个公共点．

| k 2 |

2
，故
当
l
1
与
C
2
只有一个公共点时，
A
到
l
1
所在直线的距离为
2
，所
2
k
以
k 1
4
k 0
3
----
****

经检验，当

k 0
l
1
与
时，

C
2
没有公共点；当

4
时，
l
1
与
C
2
只有一个公共点，
l
2
与
C
2
有两个
k
公
3
共点．
专业技术参考资料
----
****
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| k 2 |
当
l
2
与
C
2
只有一个公共点时，
A
到
l
2
所在直线的距离为
2
，所以
2

2
，故

k 0

或

4
k
3
．
k


经检验，当

k
1
0
l
1
与
时，

C
2
没有公共点；当


4
时，
l
2
与
C
2
没有公共点．
k
3
综上，所求
C
1
的方程为
4
| x | 2
．
3
y
23．[选修 4-5：不等式选讲 ]（10 分）
2, x

【解析】（1）当
a
1,
1
时，
f (x) | x 1| | x 1|
，即
f (x) 2x, 1 x 1,
2, x 1.
故不等式
f ( x) 1
的解集为
{ | 1}
x x
2
．
（2）当
x (0,1)
时
| x 1| | ax 1| x
成立等价于当
x (0,1)
时
| ax 1| 1
成立．
a
若


0
，则当

x (0,1)
时
| ax 1| 1
；
0
，
| ax 1| 1
的解集为
0 x

a
若


2

a
，所以

2

a
1
，故

0 a 2
．

综上，
a
的取值范围为
(0, 2]
．
每项建议案实施完毕，实施部门应根据结 果写出总结报告，实事求是的说明产生的经济效益或者其他积极效果，呈报总经办。
总经办应将实施完 毕的建议案提交给评委会进行效果评估，确定奖励登记，对符合条件的项目，应整理材料，上报总经理审批后给建 议人颁发奖励。
总经办应做好合理化建议的统计记录及资料归档管理。
----
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专业技术参考资料
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