数学与女生数学家高斯的故事

2020年11月15日发(作者：司徒乔)


（一）：
高斯是德国数学家，也是科学家，他和牛顿、阿基米 德，被誉为有史以来的三大数学家。
高斯是近代数学奠基者之一，在历史上影响之大，能够和阿基米德、 牛顿、欧拉并列，有“数
学王子”之称。
他幼年时就表现出超人的数学天才。1795年 进入格丁根大学学习。第二年他就发现正
十七边形的尺规作图法。并给出可用尺规作出的正多边形的条件 ，解决了欧几里得以来悬而
未决的问题。
高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代 数学、非欧几何、复变函数和微分几何
等方面都做出了开创性的贡献。他还把数学应用于天文学、大地测 量学和磁学的研究，发明
了最小二乘法原理。高理的数论研究总结在《算术研究》（1801）中，这本 书奠定了近代数
论的基础，它不仅仅是数论方面的划时代之作，也是数学史上不可多得的经典著作之一。 高
斯对代数学的重要贡献是证明了代数基本定理，他的存在性证明开创了数学研究的新途径。
高 斯在1816年左右就得到非欧几何的原理。他还深入研究复变函数，建立了一些基本概念
发现了著名的 柯西积分定理。他还发现椭圆函数的双周期性，但这些工作在他生前都没发表
出来。1828年高斯出版 了《关于曲面的一般研究》，全面系统地阐述了空间曲面的微分几何
学，并提出内蕴曲面理论。高斯的曲 面理论之后由黎曼发展。高斯一生共发表155篇论文，
他对待学问十分严谨，只是把他自己认为是十分 成熟的作品发表出来。其著作还有《地磁概
念》和《论与距离平方成反比的引力和斥力的普遍定律》等。
1801年高斯有机会戏剧性地施展他的优势的计算技巧。那年的元旦，有一个之后被证
认 为小行星并被命名为谷神星的天体被发现当时它好像在向太阳*近，天文学家虽然有40
天的时间能够观 察它，但还不能计算出它的轨道。高斯只作了3次观测就提出了一种计算轨
道参数的方法，而且到达的精 确度使得天文学家在1801年末和1802年初能够毫无困难地再
确定谷神星的位置。高斯在这一计算 方法中用到了他大约在1794年创造的最小二乘法（一
种可从特定计算得到最小的方差和中求出最佳估 值的方法在天文学中这一成就立即得到公
认。他在《天体运动理论》中叙述的方法这天仍在使用，只要稍 作修改就能适应现代计算机
的要求。高斯在小行星“智神星”方面也获得类似的成功。
由 于高斯在数学、天文学、大地测量学和物理学中的杰出研究成果，他被选为许多科学
院和学术团体的成员 。“数学之王”的称号是对他一生恰如其分的赞颂。
在古今中外的著名数学家当中，像高斯那样从小就具有高度数学才华的，恐怕极为少见。
高斯于1 777年4月30日出生于德国一个农民家庭。他从小就酷爱数学，据说在他还不
满三岁的时候，有一天 ，他观看父亲算帐，计算结束后，父亲念出了钱数准备写下时，身边
传来细小的声音：“爸爸，算错了， 总数就应是……”。父亲惊讶不止，复算结果，发现孩子
的答案是正确的。高斯读小学的时候，有一次， 老师出了一道难题，要他们从1加起，加2，
加3，加4，……一向加到100，满以为这下准能把学生 们难住。没想到高斯一会儿就算了
出来。老师一看，答数是5050，一点不错，大吃一惊。高斯是这样 算的：1与100、2与99、
3与98……每一对的和都是101，而100以内这样的数共有50对 ，101×50=5050，他的这
种计算方法，代数上称为等差级数求和公式。那时高斯才10岁。
高斯对数学的兴趣越来越浓，数学上的定理、公式和求证方法一个又一个地被他发现和
证实。
11岁时，他发现了X＋yn的展开式。
17岁时，他发现了数论中的二次互反律。
1796年3月30日，年仅18岁的高斯，又有了堪称数学史上最惊人的发现，他用代数
方法解决两千 年来的几何难题，而且找到了只使用直尺和圆规作圆，内接正17边形的方法
也称17边形直尺圆规画法 。为了纪念他少年时的这一最重要的发现，高斯表示期望死后在
他的墓碑上能刻上一个正17边形。17 99年，高斯又证明了一个重要的定理：任何一元代数
方程都有一个根，这一结果数学上称为“代数基本 定理”，也被称做“高斯定理”。1801年，
高斯出版了他的《算术论文集》。高斯在23岁的时候开 始研究天文，并解决了测量星球椭圆
轨道的方法，也称椭圆函数。
高斯所取得的成就，一 方面来自天赋，一方面来自勤奋。他家里很穷，冬天，爸爸为了
节省灯油，吃完晚饭就要他上床睡觉，高 斯自己做了个油灯，在微弱的灯光下全神贯注地读
书到深夜。15岁时，他就读了牛顿、欧拉、拉格朗日 等著名数学家的数学著作，并熟练地
掌握了微积分理论。高斯的成功，不是天上掉下来的，而是刻苦学习 得来的。他把科学研究
工作看得高于一切。妻子病重时，高斯正在钻研一个深奥的数学问题。仆人几次来 叫他：“如
果您不立刻过去，就不能见她最后一面了!”高斯却说：“叫她等一下，等到我过去”。直到
他把手头的研究告一段落，这才勿勿跑去看望妻子。
高斯就是这样，天资聪明，更勤奋好 学，最后成为著名的数学家，被誉为“数学王子”。
1855年2月23日，高斯逝世，终年78岁。
（二）：
高斯（Gauss1777~1855）生于Brunswick，位于此 刻德国中北部。他的祖父是农民，父
亲是泥水匠，母亲是一个石匠的女儿，有一个很聪明的弟弟，高斯这 位舅舅，对小高斯很照
顾，偶而会给他一些指导，而父亲能够说是一名「大老粗」，认为只有力气能挣钱 ，学问这
种劳什子对穷人是没有用的。
高斯很早就展现过人才华，三岁时就能指出父亲帐 册上的错误。七岁时进了小学，在破
旧的教室里上课，老师对学生并不好，常认为自己在穷乡僻壤教书是 怀才不遇。高斯十岁时，
老师考了那道着名的「从一加到一百」，最后发现了高斯的才华，他明白自己的 潜力不足以
教高斯，就从汉堡买了一本较深的数学书给高斯读。同时，高斯和大他差不多十岁的助教Bartels变得很熟，而Bartels的潜力也比老师高得多，之后成为大学教授，他教了高斯更多< br>更深的数学。
老师和助教去拜访高斯的父亲，要他让高斯理解更高的教育，但高斯的父亲认 为儿子就
应像他一样，作个泥水匠，而且也没有钱让高斯继续读书，最后的结论是－－去找有钱有势的人当高斯的赞助人，虽然他们不明白要到哪里找。经过这次的访问，高斯免除了每一天晚
上织布的 工作，每一天和Bartels讨论数学，但不久之后，Bartels也没有什么东西能够教高
斯了。
1788年高斯不顾父亲的反对进了高等学校。数学老师看了高斯的作业后就要他不必再
上 数学课，而他的拉丁文不久也凌驾全班之上。
1791年高斯最后找到了资助人－－布伦斯维克公 爵费迪南（Braunschweig），答应尽一
切可能帮忙他，高斯的父亲再也没有反对的理由。隔 年，高斯进入Braunschweig学院。这
年，高斯十五岁。在那里，高斯开始对高等数学作研究 。并且独立发现了二项式定理的一般
形式、数论上的「二次互逆定理」（LawofQuadratic Reciprocity）、质数分布定理
（primenumertheorem）、及算术几何平均 （arithmetic-geometricmean）。
1795年高斯进入哥廷根（Gtt ingen）大学，因为他在语言和数学上都极有天分，为了将
来是要专攻古典语文或数学苦恼了一阵子 。到了1796年，十七岁的高斯得到了一个数学史
上极重要的结果。最为人所知，也使得他走上数学之 路的，就是正十七边形尺规作图之理论
与方法。希腊时代的数学家已经明白如何用尺规作出正2m×3n ×5p边形，其中m是正整
数，而n和p只能是0或1。但是对于正七、九、十一边形的尺规作图法，两 千年来都没有
人明白。而高斯证明了：
一个正n边形能够尺规作图若且唯若n是以下两种形式之一：
1、n=2k，k=2，3，…
2、n=2k×（几个不同「费马质数」的乘积），k=0，1，2，…
费马质数是 形如Fk=22k的质数。像F0=3，F1=5，F2=17，F3=257，F4=65537，都是质数。高斯用代数的方法解决二千多年来的几何难题，他也视此为生平得意之作，还交待要把
正十七边 形刻在他的墓碑上，但之后他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是十七角星，因为
负责刻碑的雕刻家认为 ，正十七边形和圆太像了，大家必须分辨不出来。
1799年高斯提出了他的博士论文，这论文证明了代数一个重要的定理：
任一多项式都有（复数 ）根。这结果称为「代数学基本定理」
（FundamentalTheoremofAlgebra） 。
事实上在高斯之前有许多数学家认为已给出了这个结果的证明，但是没有一个证明是严
密的。高斯把前人证明的缺失一一指出来，然后提出自己的见解，他一生中一共给出了四个
不同的证明。
（三）：

数学家和天文学家，出生于德国布伦兹维克的一个贫苦家庭 。父亲格尔恰尔德·迪德里
赫先后当过护堤工、泥瓦匠和园丁，第一个妻子和他生活了10多年后因病去 世，没有为他
留下孩子。迪德里赫之后娶了罗捷雅，第二年他们的孩子高斯出生了，这是他们唯一的孩子 。
父亲对高斯要求极为严厉，甚至有些过份，常常喜欢凭自己的经验为年幼的高斯规划人生。
高 斯尊重他的父亲，并且秉承了其父诚实、谨慎的性格。1806年迪德里赫逝世，此时高斯
已经做出了许 多划时代的成就。
在成长过程中，幼年的高斯主要是力于母亲和舅舅。高斯的外祖父是一位石匠， 30岁
那年死于肺结核，留下了两个孩子：高斯的在成长过程中，幼年的高斯主要是力于母亲和舅
舅。高斯的外祖父是一位石匠，30岁那年死于肺结核，留下了两个孩子：高斯的母亲罗捷
雅、舅舅弗 利德里希（Friederich）。弗利德里希富有智慧，为人热情而又聪明能干投身于纺
织贸易颇有 成就。他发现姐姐的儿子聪明伶利，因此他就把一部分精力花在这位小天才身上，
用生动活泼的方式开发 高斯的智力。若干年后，已成年并成就显赫的高斯回想起舅舅为他所
做的一切，深感对他成才之重要，他 想到舅舅多产的思想，不无伤感地说，舅舅去世使我
们失去了一位天才。正是由于弗利德里希慧眼识英才 ，经常劝导姐夫让孩子向学者方面发
展，才使得高斯没有成为园丁或者泥瓦匠。
在数学史 上，很少有人象高斯一样很幸运地有一位鼎力支持他成才的母亲。罗捷雅直到
34岁才出嫁，生下高斯时 已有35岁了。他性格坚强、聪明贤慧、富有幽默感。高斯一生下
来，就对一切现象和事物十分好奇，而 且决心弄个水落石出，这已经超出了一个孩子能被许
可的范围。当丈夫为此训斥孩子时，他总是支持高斯 ，坚决反对顽固的丈夫想把儿子变得跟
他一样无知。
罗捷雅真诚地期望儿子能干出一番伟 大的事业，对高斯的才华极为珍视。然而，他也不
敢轻易地让儿子投入当时尚不能养家糊口的数学研究中 。在高斯19岁那年，尽管他已做出
了许多伟大的数学成就，但她仍向数学界的朋友Ｗ.波尔约（，非欧 几何创立者之一j.波尔约
之父）问道：高斯将来会有出息吗？Ｗ.波尔约说她的儿子将是欧洲最伟大的 数学家，为
此她激动得热泪盈眶。
7岁那年，高斯第一次上学了。头两年没有什么特殊的 事情。1787年高斯10岁，他进
入了学习数学的班次，这是一个首次创办的班，孩子们在这之前都没 有听说过算术这么一门
课程。数学教师是布特纳（Buttner），他对高斯的成长也起了必须作用。
在全世界广为流传的一则故事说，高斯10岁时算出布特纳给学生们出的将1到100的
所 有整数加起来的算术题，布特纳刚叙述完题目，高斯就算出了正确答案。但是，这很可能
是一个不真实的 传说。据对高斯素有研究的著名数学史家E·T·贝尔（）考证，布特纳当
时给孩子们出的是一道更难的 加法题：81297+81495+81693+…+100899。
当然，这也是一个等差数列 的求和问题（公差为198，项数为100）。当布特纳刚一写完
时，高斯也算完并把写有答案的小石板 交了上去。E·T·贝尔写道，高斯晚年经常喜欢向
人们谈论这件事，说当时只有他写的答案是正确的， 而其他的孩子们都错了。高斯没有明确
地讲过，他是用什么方法那么快就解决了这个问题。数学史家们倾 向于认为，高斯当时已掌
握了等差数列求和的方法。一位年仅10岁的孩子，能独立发现这一数学方法实 属很不平常。
贝尔根据高斯本人晚年的说法而叙述的史实，就应是比较可信的。而且，这更能反映高斯从
小就注意把握更本质的数学方法这一特点。
高斯的计算潜力，更主要地是高斯独到的数学 方法、非同一般的创造力，使布特纳对他
刮目相看。他特意从汉堡买了最好的算术书送给高斯，说：你已 经超过了我，我没有什么
东西能够教你了。之后，高斯与布特纳的助手巴特尔斯建立了真诚的友谊，直到 巴特尔斯
逝世。他们一齐学习，互相帮忙，高斯由此开始了真正的数学研究。
1788年 ，11岁的高斯进入了文科学校，他在新的学校里，所有的功课都极好，个性是
古典文学、数学尤为突出 。经过巴特尔斯等人的引荐，布伦兹维克公爵召见了14岁的高斯。
这位朴实、聪明但家境贫寒的孩子赢 得了公爵的同情，公爵慷慨地提出愿意作高斯的资助人，
让他继续学习。
布伦兹维克公爵 在高斯的成才过程中起了举足轻重的作用。不仅仅如此，这种作用实际
上反映了欧洲近代科学发展的一种 模式，证明在科学研究社会化以前，私人的资助是科学发
展的重要推动因素之一。高斯正处于私人资助科 学研究与科学研究社会化的转变时期。
1792年，高斯进入布伦兹维克的卡罗琳学院继续学习。 1795年，公爵又为他支付各种
费用，送他入德国著名的哥丁根大家，这样就使得高斯得以按照自己的 理想，勤奋地学习和
开始进行创造性的研究。1799年，高斯完成了博士论文，回到家乡布伦兹维克， 正当他为
自己的前途、生计担忧而病倒时─虽然他的博士论文顺利透过了，已被授予博士学位，同时获得了讲师职位，但他没有能成功地吸引学生，因此只能回老家-又是公爵伸手救援他。公
爵为高斯 付诸了长篇博士论文的印刷费用，送给他一幢公寓，又为他印刷了《算术研究》，
使该书得以在1801 年问世；还负担了高斯的所有生活费用。所有这一切，令高斯十分感动。
他在博士论文和《算术研究》中 ，写下了情真意切的献词：献给大公，你的仁慈，将我
从所有烦恼中解放出来，使我能从事这种独特的研 究。
1806年，公爵在抵抗拿破仑统帅的法军时不幸阵亡，这给高斯以沉重打击。他悲痛欲绝，长时间对法国人有一种深深的敌意。大公的去世给高斯带来了经济上的拮据，德国处于
法军奴役 下的不幸，以及第一个妻子的逝世，这一切使得高斯有些心灰意冷，但他是位刚强
的汉子，从不向他人透 露自己的窘况，也不让朋友安慰自己的不幸。人们只是在19世纪整
理他的未公布于众的数学手稿时才得 知他那时的心态。在一篇讨论椭圆函数的手搞中，突然
插入了一段细微的铅笔字：对我来说，死去也比这 样的生活更好受些。
慷慨、仁慈的资助人去世了，因此高斯务必找一份适宜的工作，以维持一家人的 生计。
由于高斯在天文学、数学方面的杰出工作，他的名声从1802年起就已开始传遍欧洲。彼得堡科学院不断暗示他，自从1783年欧拉去世后，欧拉在彼得堡科学院的位置一向在等待着
象高斯 这样的天才。公爵在世时坚决劝阻高斯去俄国，他甚至愿意给高斯增加薪金，为他建
立天文台。此刻，高 斯又在他的生活中面临着新的选取。
为了不使德国失去最伟大的天才，德国著名学者洪堡（）联合 其他学者和政界人物，为
高斯争取到了享有特权的哥丁根大学数学和天文学教授，以及哥丁根天文台台长 的职位。
1807年，高斯赴哥丁根就职，全家迁居于此。从这时起，除了一次到柏林去参加科学会议< br>以外，他一向住在哥丁根。洪堡等人的努力，不仅仅使得高斯一家人有了舒适的生活环境，
高斯本 人能够充分发挥其天才，而且为哥丁根数学学派的创立、德国成为世界科学中心和数
学中心创造了条件。 同时，这也标志着科学研究社会化的一个良好开端。
高斯的学术地位，历来为人们推崇得很高。他 有数学王子、数学家之王的美称、被
认为是人类有史以来最伟大的三位（或四位）数学家之一（阿基米德 、牛顿、高斯或加上
欧拉）。人们还称赞高斯是人类的骄傲。天才、早熟、高产、创造力不衰、……，人 类智
力领域的几乎所有褒奖之词，对于高斯都但是份。
高斯的研究领域，遍及纯粹数学和 应用数学的各个领域，并且开辟了许多新的数学领域，
从最抽象的代数数论到内蕴几何学，都留下了他的 足迹。从研究风格、方法乃至所取得的具
体成就方面，他都是18─19世纪之交的中坚人物。如果我们 把18世纪的数学家想象为一系
列的高山峻岭，那么最后一个令人肃然起敬的巅峰就是高斯；如果把19 世纪的数学家想象
为一条条江河，那么其源头就是高斯。
虽然数学研究、科学工作在18 世纪末仍然没有成为令人羡慕的职业，但高斯依然生逢
其时，因为在他快步入而立之年之际，欧洲资本主 义的发展，使各国政府都开始重视科学研
究。随着拿破仑对法国科学家、科学研究的重视，俄国的沙皇以 及欧洲的许多君主也开始对
科学家、科学研究刮目相看，科学研究的社会化进程不断加快，科学的地位不 断提高。作为
当时最伟大的科学家，高斯获得了不少的荣誉，许多世界著名的科学泰斗都把高斯当作自己
的老师。
1802年，高斯被俄国彼得堡科学院选为通讯院士、喀山大学教授；1877 年，丹麦政府
任命他为科学顾问，这一年，德国汉诺威政府也聘请他担任政府科学顾问。
高斯的一生，是典型的学者的一生。他始终持续着农家的俭朴，使人难以想象他是一位
大教授，世界上最 伟大的数学家。他先后结过两次婚，几个孩子曾使他颇为恼火。但是，这
些对他的科学创造影响不太大。 在获得崇高声誉、德国数学开始主宰世界之时，一代天骄走
完了生命旅程。