数学三次危机数学分析课程简介

2020年11月15日发(作者：濮又华)
数学分析课程简介
课程编码:2109
课程名称：数学分析
英文名称：
Mathematical Analysis

课程类别：学科基础课程
课程简介：数学分析俗称：“微积分”，创建于17世纪，直到19 世纪末及20世纪初才发
展为一门理论体系完备，内容丰富，应用十分广泛的数学学科。数学分析课是各 类大学数学
与应用数学专业、信息与计算科学专业最主要的专业基础课。是进一步学习复变函数论、微< br>分方程、微分几何、概率论、实变分析与泛函分析等后继课程的阶梯，是数学类硕士研究生
的必考 基础课之一。本课程基本的内容有：极限理论、一元函数微积分学、级数理论、多元
函数微积分学等方面 的系统知识，用现代数学工具——极限的思想与方法研究函数的分析特
性——连续性、可微性、可积性。 极限方法是贯穿于全课程的主线。课程的目的是通过三个
学期学习和系统的数学训练，使学生逐步提高数 学修养，特别是分析的修养，积累从事进一
步学习所需要的数学知识，掌握数学的基本思想和方法，培养 与锻炼学生的数学思维素质，
提高学生分析与解决问题的能力。
教材名称：数学分析
教材主编：华东师范大学主编（第四版）
出版日期：2010年6月第四版
出版社： 高等教育出版社










《 数学分析1》课程教学大纲
（2010级执行）
课程代号：21090031
总 学 时：80学时（讲授58学时，习题22学时）
适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学
先修课程：本课程不需要先修课程，以高中数学为基础
一、本课程地位、性质和任务
本课程是本科数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的一门必修的学科
基础课程。通过本课程的教 学，使学生掌握数学分析的基本概念、基本理论、思
想方法，培养学生解决实际问题的能力和创新精神， 为学习后继课程打下基础。
二、课程教学的基本要求

重点：极限理论；一元函数微分学及贯穿整个课程内容的无穷小分析的方法。
基本要求：掌握 极限、函数连续性、可微等基本概念；掌握数列极限、函
数极限；闭区间连续函数性质；熟练掌握函数导 数、微分的计算及应用；掌握
微分中值定理及其应用。
三、课程学时分配、教学要求及主要内容
(一) 课程学时分配一览表
章节
第-章
第二章
第三章
第四章
第五章
第六章
主要内容
实数集与函数
数列极限
函数极限
函数的连续性

总学
时
4
14
16
12
12
22
讲授
4
8
12
8
8
14
讨论






学时分配
习题

6
4
4
4
8
实验






其他






导数和微分
微分中值定理
及其应用
(二) 课程教学要求及主要内容：
第一章 实数集与函数
教学目的和要求：
1、了解函数的基本概念、初等函数的定义；
2、掌握函数的表示形式及简单特性。

3、掌握上、下确界定义、确界存在定理；
教学重点和难点：
上、下确界定义、确界存在定理，两个常用不等式。
教学内容：
1、介绍数学分析课程涉及的有关集合的一些基本概念和问题；
2、介绍函数、初等函数的定义；函数的表示形式及简单特性；
3、两个常用不等式。
4、上、下确界定义、确界存在定理；
第二章 数列极限
教学目的和要求：
1、熟练掌握数列极限定义；
2、掌握收敛数列的性质
；

3、掌握数列极限存在的条件

教学重点和难点：
数列极限的定义，单调有界定理、Canchy 收敛原理。
教学内容：
1、数列及数列极限定义；
2、收敛数列极限性质；
3、单调有界原理；
4、Canchy 收敛准则；
第三章 函数极限
教学目的和要求：

1、熟练掌握函数极限定义、性质及计算；
2、掌握函数极限与数列极限关系；
3、掌握函数极限存在的条件；
4 、熟练掌握两个重要极限；
5、掌握无穷小量与无穷大量的定义及无穷小量比较；
6、了解曲线的渐近线
教学重点和难点:

函数极限定义、函数极限与数列极限关系、两个重要极限、Canchy 准则。
教学内容：
1、函数极限的定义（两种情形）、性质及计算，
2、函数极限存在的条件（归结原则、Canchy 准则）
3、 两个重要极限
3、无穷小量与无穷大量及无穷小量的比较；
4 、曲线的渐近线
第四章 函数的连续性
教学目的和要求：

1 、掌握连续函数定义；
2、了解间断点及其分类
3 、掌握闭区间连续函数性质、
4 、了解一致连续的定义。
5、了解初等函数的连续性
教学重点和难点：
连续函数的定义、闭区间上的连续函数性质、一致连续的定义。
教学内容：
1、连续性概念
2、间断点及其分类
3、闭区间连续函数性质
4、一致连续的定义
5 、初等函数的连续性
第五章 导数和微分
教学目的和要求：

1、了解微分、导数定义的导出背景，
2、熟练掌握导数定义.
2、熟练掌握求导基本公式，复合函数求导法则，隐函数求导法则.
3、掌握高阶导数定义及运算法则.
教学重点和难点:

导数定义、复合函数求导法则.
教学内容：
1、微分定义的导出背景；微分的定义及其意义；
2、产生导数的实际背景；导数的定义及其意义；
3、微分与导数的四则运算；反函数求导法则；微分与导数的基本公式；
4、复合函数求导法则；隐函数求导法则；参数方程求导法则；
5、高阶导数的实际背景；高阶导数的定义；高阶导数的运算法则。
第六章 微分中值定理及其应用

教学目的和要求：

1、掌握微分中值定理.
2、熟练掌握L’Hospital法则
.
3、理解泰勒公式及应用；
4、理解极值、凸性的定义；
5 、掌握函数极值与最大(小)值求法
6、掌握函数图像的描绘。
7 、了解方程的近似解

教学重点和难点:
Rolle定理，Lagrange中值定理、cauchy中值定理、L’Hospital法则. 函数的
极值，泰勒公式。
主要内容：
1、微分中值定理（Fermat引理，Rolle定理，Lagrange中值定理cauchy中
值定理）及其应用；
2、待定型的定义；L'hospital法则；各种待定型极限的计算。
3、Taylor公式及其应用；
4、极值、凸性的定义；最值问题
5、函数作图；
6、简单介方程的近似求解法。
四、使用教材与参考书目；
建议使用教材
：
华东师范大学数学系编《数学分析》第四版. 高等教育出版社（2010）

教学参考书：
[1] 陈传璋、金福临、朱学炎，欧阳光中．数学分析（第二版）．复旦大学
数学系．高等教育出版社（1983）。
[2]陈纪修、於崇华、金路等编《数学分析》第二版，高等教育出版社（2004）
。
[3] 斐礼文．数学分析中的典型问题与方法。
[4]菲赫金哥茨．叶彦谦译．微积分教程．人民教育出版社（1959）。
[5] 刘玉琏、扬奎元、吕凤．数学分析讲义学习指导书．高等教育出版社。
五、实验要求与实验内容课程实践环节基本要求:
本课程每讲授二节课后，可布置一次课外作业，以巩固所学的知识。期中
可安排一次测验，以检查教学情况，及时做出调整。
六、教学方法的原则性建议：
1、结合课程讲授，辅以自学和讨论.
2、适当介绍建立数学模型的思想.
3、应注意采用现代教学的思想观点和方法.
七、考核方式及成绩构成
该课程为考试课，考核形式为闭卷，平时作业与期中考试占30%、期末考试占70%.
八、必要的说明
本课程是大学数学系学生进校后首先面临的一门重要课程，起着承上 启下的
重要作用，一方面它与中学数学有很好的联系，是中学数学的进一步发展，另一
方面它又 为许多后继课程，如复变函数、实变函数、常微分方程、概率论、泛函
分析、微分几何等课程提供重要的 基础.本大纲从2010级开始执行.
九、本大纲编写参照系、编写根据、编制人：
本课程 以数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的培养方案对本课程
的要求为根据编写而成.
编制人：赵利彬
《 数学分析2》课程教学大纲
课程代号：21090032
总 学 时： 96学时（讲授66学时，习题30学时）
适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学
先修课程：《数学分析1》
一、本课程地位、性质和任务
本课程是本科数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的一门 必修的学科
基础课程。通过本课程的教学,使学生掌握数学分析的基本概念、基本理论、思
想方 法，培养学生解决实际问题的能力和创新精神，为学习后继课程打下基础。
二、课程教学的基本要求

重点：定积分；数项级数的收敛性、函数项级数的一致收敛性.
基本要求：了解实数完备性的 基本定理及其等价性、理解不定积分的定义，
理解定积分的定义、可积条件，了解反常积分的概念，熟练 掌握换元积分和分部
积分法，熟练掌握微积分学基本定理、基本公式，掌握反常积分的收敛性判别法，< br>熟练掌握数项级数的收敛性判别法，掌握函数项级数的一致收敛性判别法、函数
的幂级数展开、了 解傅里叶级数。
三、课程学时分配、教学要求及主要内容
(一) 课程学时分配一览表
章节
第七章

第八章

第九章

第十章

第十一章
主要内容
实数的完备性
不定积分
定积分
定积分的应用
反常积分
数项级数
总学
时
10
10
16
10
10
14
学时分配
讲授 讨论 习题 实验 其他
6
8
10
6
8
10
10
4
4









4
2
6
4
2
4
4
2
2


















第十二章
第十三章
第十四章
第十五章
函数列与函数项级数 14
幂级数
傅里叶级数
6
6
(二) 课程教学要求及主要内容
第七章 实数的完备性
教学目的和要求：
1 、理解区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理；
2 、了解实数完备性基本定理的等价性；
3 、掌握闭区间连续函数性质的证明

4 、了解上、下极限定义及其计算。
教学重点和难点:
实数完备性基本定理的等价性、闭区间连续函数性质的证明
教学内容
1 、区间套定理
2 、聚点定理
3 、有限覆盖定理
4 、实数完备性基本定理的等价性；
5 、闭区间连续函数性质的证明
6 、上 、下极限定义及其计算
第八章 不定积分

教学目的和要求：

1、熟练掌握不定积分的计算及换元积分法、分部积分法；
2、掌握有理函数不定积分的计算。
教学重点和难点:
换元积分法、分部积分法、有理函数积分法。
教学内容：
1、不定积分的定义及其性质；
2、换元积分法和分部积分法；
3、有理函数的不定积分及其应用。
第九章 定积分

教学目的和要求：

1、理解定积分定义的导出背景，定积分定义，掌握其性质；
2、理解Darboux和Riemann可积的充分必要条件；
3、熟练掌握微积分基本定理、定积分的计算；
教学重点和难点:
微积分学基本定理、基本公式、可积条件。
教学内容：
1、定积分定义的导出背景；定积分的定义及其性质；
2、Darboux和；Riemann可积的充分必要条件；
3、微积分基本定理（Newton-Leibniz）公式；
4、定积分的换元积分法和分部积分法；
5、定积分的计算.
第十章 定积分的应用

教学目的和要求：
1 、掌握平面图形的面积的计算公式
2 、掌握体积的计算公式
3、掌握平面曲线的弧长的计算公式
4 、理解旋转曲面的面积
5、了解定积分在物理中的应用
6、了解定积分的近似计算
教学重点和难点:
平面图形面积的计算公式、体积计算公式、平面曲线弧长的计算公式
教学内容：
1 、平面图形的面积
2 、体积的计算公式
3 、平面曲线的弧长与曲率
4 、旋转曲面的面积
5 、定积分在物理中的应用
6 、定积分的近似计算

第十一章 反常积分

教学目的和要求：

1、了解反常积分的定义；
2、掌握反常积分的计算及收敛判别法。
教学重点和难点:
反常积分收敛判别法。
教学内容：
1、反常积分的定义及计算；
2、反常积分的收敛判别法。
第十二章 数项级数

教学目的和要求：

1、理解数项级数及其敛散定义，数项级数基本性质；
2、熟练掌握正项级数敛散的判别法，交错级数的Leibniz判别法；
3、掌握任意项级数判别法。
教学重点和难点:
正项级数收敛的判别法、任意项级收敛数判别法。
教学内容：
1、数项级数及其敛散定义；
2、数项级数基本性质；
3、正项级数的定义及其敛 散的判别法（比较判别法、Cauchy判别法，
D'Alembert判别法、Raabe判别法、积 分判别法）；
4、交错级数的定义及Leibniz判别法；
5、任意项级数的定义；Abel判别法与Dirichlet判别法；
6、级数的绝对收敛与条件收敛的定义及其判别法、性质；
第十三章 函数列与 函数项级数

教学目的和要求：
1 、掌握函数列的一致收敛定义

2、掌握函数项级数点态收敛与一致收敛定义；
2、掌握函数项级数一致收敛判别法；
3、掌握函数项级数和函数的分析性质；
教学重点和难点:
函数列、函数项级数一致收敛判别法、函数项级数和函数的分析性质。
教学内容：
1、函数列的一致收敛的定义
1、函数项级数及其点态收敛的定义；
2、函数项级数一致收敛的定义；
3、函数项级数一致收敛的判别法；
4、一致收敛函数列的性质
5．函数项级数和函数的分析性质；
第十四章 幂级数

教学目的和要求：
1、掌握幂级数的收敛半径及收敛区间
2、掌握幂级数和函数的性质
3、掌握幂级数的运算
4、理解函数的幂级数展开
教学重点和难点:
级数和函数的性质、函数的幂级数展开
教学内容：
1、幂级数的收敛半径及收敛区间
2、幂级数的性质
3、幂级数的运算
4、泰勒级数
5初等函数的幂级数展开

第十五章 傅里叶级数

教学目的和要求：

1、掌握函数的傅里叶级数展开；
2、掌握傅里叶级数的收敛性定理；
3、掌握傅偶函数与奇函数的傅里叶级数；
教学重点和难点:
傅里叶级数的收敛性定理、偶函数与奇函数的傅里叶级数；
教学内容：
1、傅里叶级数
2、收敛定理及其证明
2、以2l为周期的函数的傅里叶级数.
3、偶函数与奇函数的傅里叶级数
四、使用教材与参考书目；
建议使用教材
：
华东师范大学数学系编《数学分析》第四版. 高等教育出版社（2010）
教学参考书：
[1] 陈传璋、金福临、朱学炎，欧阳光中．数学分析（第二版）．复旦大学
数学系．高等教 育出版社（1983）。
[2]陈纪修、於崇华、金路等编《数学分析》第二版，高等教育出版社（2004）
。

[3] 王俊青．数学分析中的反例．电子科技大学出版社（1996）。
[4] 斐礼文．数学分析中的典型问题与方法。
[5]菲赫金哥茨．叶彦谦译．微积分教程．人民教育出版社（1959）。
[6] 刘玉琏、扬奎元、吕凤．数学分析讲义学习指导书．高等教育出版社。
五、实验要求与实验内容课程实践环节基本要求:
本课程每讲授二节课后，可布置一次课外作 业，以巩固所学的知识。期中
可安排一次测验，以检查教学情况，及时做出调整。
六、教学方法的原则性建议：
1、结合课程讲授，辅以自学和讨论。
2、适当介绍建立数学模型的思想。
3、应注意采用现代教学的思想观点和方法。
七、考核方式及成绩构成
该课程为考试课，考核形式为闭卷，平时作业与期中考试占30%、期末考试
占70%.
八、必要的说明
本课程是大学数学系学生进校后首先面临的一门重要课程，起着承上 启下的
重要作用，一方面它与中学数学有很好的联系，是中学数学的进一步发展，另一
方面它又 为许多后继课程，如复变函数、实变函数、常微分方程、概率论、泛函
分析、微分几何等课程提供重要的 基础. 本大纲从2010级开始执行
九、本大纲编写参照系、编写根据、编制人：
本课程 以数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的培养方案对本课程的
要求为根据编写而成.
编制人：赵利彬















《 数学分析3》课程教学大纲
课程代号：21090033
总 学 时： 80学时（讲授56学时，习题24学时）
适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学.
先修课程：《数学分析1》《数学分析2》

一、本课程地位、性质和任务
本课程是本科数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的一门必修的学
科基础课程。通过本课程的教学 ,使学生掌握数学分析的基本概念、基本理论、
思想方法，培养学生解决实际问题的能力和创新精神，为 学习后继课程打下基础。
二、课程教学的基本要求

重点：多元函数微分学、多元函数积分学.
基本要求：理解多元函数极限、连续性定义，理解 偏导数、全微分定义、
理解多元函数各类积分的定义，熟练掌握多元函数微分法及应用，熟练掌握各类< br>积分的计算方法及公式。了解含参变量积分的概念、性质，掌握含参变量积分的
一致收敛性及其判 别法。
三、课程学时分配、教学要求及主要内容
(一) 课程学时分配一览表
总学
时
12
18
8
6
8
20
8
讲授
8
12
6
4
6
14
6
讨论







习题
4
6
2
2
2
6
2
实验







学时分配
章节 主要内容
其
他







第十六章
第十七章
第十八章
第十九章
第二十章
第二十一章
第二十二章


多元函数的极限与
连续
多元函数微分学
隐函数定理及应用
含参变量积分
曲线积分
重积分
曲面积分
(二) 课程教学要求及主要内容
第十六章 多元函数极限和连续

教学目的和要求：

1、理解平面点集的基本概念
2、掌握平面上的完备性定理；
2、掌握多元函数极限，累次极限的定义及计算方法；
3、掌握多元函数连续性定义及多元连续函数的性质。
教学重点和难点:
多元函数的极限的定义、平面上的完备性定理；
教学内容：
1、平面点集的基本概念
2、平面上的完备性定理；
3、多元函数定义；
4、多元函数的极限、累次极限的定义及计算方法；
5、多元函数的连续性定义；多元连续函数的性质。
第十七章 多元函数的微分学

教学目的和要求：

1、掌握偏导数、全微分定义，多元复合函数求导法则；
2、掌握多元函数可微性条件
2、理解方向导函数、梯度、高阶偏导数定义；
3、掌握多元函数的极植
4、掌握条件极植与Lagrange乘数法。
教学重点和难点:
多元复合函数求导法则、多元函数可微性条件；
教学内容：
1
、偏导数、方向导数、全微分、梯度、高阶偏导数概念
2、可微性与全微分
3、多元复合函数的求导法则；
4、多元函数的Taylor公式；
5、多元函数的极植
6、条件极值及求法。
第十八章 隐函数定理及应用
教学目的和要求：

1、掌握隐函数存在性定理
2、了解隐函数组存在定理
3、掌握隐函数求导法则、
4、掌握偏导数在几何中的应用；
教学重点和难点:
函数组存在定理、隐函数求导法则、偏导数在几何中的应用
教学内容：
1、隐函数的概念
2、隐函数存在性定理
3、隐函数求导法则、
4、隐函数组的求导法则
5、平面曲线的切线与法线
6、空间曲线的切线与法平面
7、曲面的切平面与法线
第十九章 含参变量积分
教学目的和要求：
1、了解含参变量积分的概念、性质
2、了解含参变量积分的一致收敛性
3、掌握含参变量积分的一致收敛性判别法。
4、
掌握含参变量积分的性质
5、了解欧拉积分
教学重点和难点:
含参变量积分的一致收敛性判别法、含参变量积分的性质
教学内容：
1、
含参变量正常积分的概念；
2、含参变量反常积分的概念
3、含参变量积分的一致收敛性

4、
含参变量积分的一致收敛性判别法

5、
含参变量积分的性质
6、
欧拉积分

第二十章 曲线积分
教学目的和要求：

1、理解两类曲线积分的定义；
2、掌握两类曲线积分的计算公式；
3、掌握两类曲线积分的关系
教学重点和难点:
曲线积分计算公式、两类曲线积分的关系
教学内容：
1、第一类曲线积分的定义及计算；
2、第二类曲线积分的定义及计算；
3、两类曲线积分的关
第二十一章 重积分

教学目的和要求：

1、理解二重积分的定义、性质；
2、熟练掌握重积分的计算公式；
3、掌握格林公式
4、掌握曲线积分与路线无关的条件
5、掌握二重积分的变量代换公式
6、理解三重积分的定义、性质
7、熟练掌握三重积分的计算公式
8、理解重积分的应用
3、了解反常重积分概念。
教学重点和难点:
重积分计算、重积分变量代换、格林公式、曲线积分与路线无关的条件
教学内容：
1、二重积分定义、性质；
2、直角坐标系下二重积分的计算公式；
3、格林公式
4、曲线积分与路线无关的条件
5、二重积分的变量代换；
6、极坐标系下二重积分的计算公式；
7、三重积分定义、性质；
8、三重积分的计算公式；
9、重积分的应用
10、反常重积分；
第二十二章 曲面积分

教学目的和要求：

1、理解两类曲面积分的定义；
2、掌握两类曲面积分的计算公式；
3、了解两类曲面积分的关系
4、掌握Gauss公式，Stokes公式、
教学重点和难点:
曲面积分的计算公式、Gauss公式，Stokes公式。
教学内容：
1、第一类曲线积分，第一类曲面积分的定义及计算；
2、第二类曲线积分、第二类曲面积分的定义及计算；
3、两类曲面积分的关系
4、Gauss公式和Stokes公式
5、简单介绍场论初步；
四、使用教材与参考书目；
建议使用教材
：
华东师范大学数学系编《数学分析》第四版. 高等教育出版社（2010）
教学参考书：
[1] 陈传璋、金福临、朱学炎，欧阳光中．数学分析（第二版）．复旦大学
数学系．高等教 育出版社（1983）．
[2]陈纪修、於崇华、金路等编《数学分析》第二版，高等教育出版社（2004）
.
[3] 王俊青．数学分析中的反例．电子科技大学出版社（1996）．
[4] 斐礼文．数学分析中的典型问题与方法．
[5]菲赫金哥茨．叶彦谦译．微积分教程．人民教育出版社（1959）．
[6] 刘玉琏、扬奎元、吕凤．数学分析讲义学习指导书．高等教育出版社.
五、实验要求与实验内容课程实践环节基本要求:
本课程每讲授二节课后，可布置一次课外作 业，以巩固所学的知识。期中
可安排一次测验，以检查教学情况，及时做出调整。
六、教学方法的原则性建议：
1、结合课程讲授，辅以自学和讨论.
2、适当介绍建立数学模型的思想.
3、应注意采用现代教学的思想观点和方法.
七、考核方式及成绩构成
本课程为考试课，考核形式为闭卷，平时作业与期中考试占30%、期末考
试占70%。
八、必要的说明
本课程是大学数学系学生进校后首先面临的一门重要课程，起着承上 启下的
重要作用，一方面它与中学数学有很好的联系，是中学数学的进一步发展，另一
方面它又 为许多后继课程，如复变函数、实变函数、常微分方程、概率论、泛函
分析、微分几何等课程提供重要的 基础。本大纲从2010级开始执行
九、本大纲编写参照系、编写根据、编制人：
本课程以 数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的培养方案对本课程的
要求为根据编写而成。
编制人：赵利彬