幼儿小班数学陈纪修数学分析答案

2020年11月15日发(作者：韦彪)
陈纪修数学分析答案


【篇一：陈纪修教授《数学分析》九讲学习笔记与心得】

class=txt>云南分中心 ? 昆明学院 ? 周兴伟

此次听陈教授的 课，收益颇多。陈教授的这些讲座，不仅是在教我
们如何处理《数学分析》中一些教学重点和教学难点， 更是几堂非
常出色的示范课。我们不妨来温习一下。

第一讲、微积分思想产生与发展的历史

法国著名的数学家h.庞加莱说过：“如果我们想 要预见数学的将来，
适当的途径是研究这门科学的历史和现状。” 那么，如果你要学好并
用好 《数学分析》，那么，掌故微积分思想产生与发展的历史是非
常必要的。陈教授就是以这一专题开讲的。

在学校中，我不仅讲授《数学分析》，也讲授《数学史》，所以我
非常赞同陈教授 在教学中渗透数学史的想法，这应该也是提高学生
数学素养的有效途径。

在这一讲 中，陈教授脉络清晰，分析精当，这是我自叹不如的。讲
《数学史》也有些年头，但仅满足于史料的堆砌 ，没有对一些精彩
例子加以剖析。如陈教授对祖暅是如何用 “祖暅原理”求出球的体积
的分析 ，这不仅对提高学生的学习兴趣是有益的（以疑激趣、以奇
激趣），而且有利于提高学生的民族自豪感（ 陈教授也提到了这一
点）。

第二讲、实数系的基本定理

在 这一讲中，陈教授从《实变函数》中对集合基数的讨论展开，对
实数系的连续性作了有趣的讨论。首先是 从绅士开party的礼帽问题，
带我们走进了“无穷的世界”。

我在开《数学赏 析》时有一个专题就是“无穷的世界”，我给学生讲
礼帽问题、也讲希尔伯特无穷旅馆问题，但遗憾的是 ，当我剖析“若
无穷旅馆住满了人，再来两个时，可将住１号房间的移往３号房间，
住２号房间 的移往４号房间，从而空出两个房间”时，学生对我“能
移”表示怀疑。这

一点我往 往只能遗憾的说“跳不出有限的圈子，用有限的眼光来看无
限，只能是‘只在此山中，云深不知处’”。 当然，我还是会进一步考
虑如何来讲好这一讲。若陈教授或其他老师有好的建议，能指点一
下， 则不胜感激。

对于集合[0,1]与(0,1)的对等关系，包括q与Ｒ的对等关系，或者 说
他们之间双射的构造。关键在于“求同存异”，找一个可数集来“填补”
他们之间的差距，这 相当于希尔伯特无穷旅馆问题中来了两个人和
来了可数个人。

从可数集到不可数集 ，再加上无最大基数定理，让我们看到了“无穷
的层次性”，由此我们不难理解“人外有人，天外有天， 无穷之外有
无穷”。我们不能不发出“哀吾生之须臾，羡长江之无穷”的感慨。

陈教授对单调确界原理的证明非常清晰明了，几何直观的描述形象
直观。

第三讲 《数学分析》课程中最重要的两个常数

法国著名雕塑家罗丹曾经说过“生活中从不缺少美 ，而是缺少发现
美的眼睛”。我想说：“数学中并不缺少美，缺少的是揭示数学美的
老师”。陈 教授是一个出色的老师，他不仅发现了数学的美，而且为
我们展示了数学的美。

著 名的欧拉公式：e?i?1?0，实现了有理数、无理数、超越数、实
数、虚数完美统一，获得“最美的 数学定理”称号。欧拉建立了在他
那个时代，数学中最重要的几个常数（0,1,i,e,?）之间的绝 妙的有趣
的联系，被认为是数学奇异美的典例。

在本讲中，陈教授以李大潜院士访 问法国“引入”的一个有趣例子开
讲，让我们体会了数学中的美，这个不等式还有许多有意思的地方，< br>无论是不等式的形式，还是他的证明，都非常深刻地体现了数学的
美。pi是无理数的证明，吸引 了与会学员的眼球，赞叹之余，有学
员问这一证法的出处，我也还真想知道，请陈教授不吝指教。

本讲最后将函数sinxx展成无穷乘积形式，并妙用此形式求出p级
数中p为偶数值时 的和，对我而言是耳目一新的。在我记忆中好像
菲尔金哥尔茨的《微积分学教程》(第二卷)中也有求出 的方法，而p
为奇数的情形好像至今尚未解决。对p=2的情形，欧拉至少用两种
方法得到结果 ，其中一种方法妙用了l’hospital法则(《数学译林》
09.3)。

第四讲 级数与反常积分收敛的a.d判别法

恰逢这个学期讲《数学分析》(3)，在讲 授含参变量反常积分时，先
复习了反常积分，再复习了函数项级数，并将几个判别法列表比较，
尤其是a.d判别法，能与陈教授不谋而合，真是倍感荣幸。

陈教授对abel引理的直观 刻画，也是深得学员好评。我对陈教授从
abel引理分析?anbn收敛条件的分析而得到dilic hlet判别法和abel
判别法的相关条件深感佩服，尤其是分析得丝丝入扣。

第五讲 函数项级数与含参变量反常积分的一致收敛

一致收敛性无疑是《数学分析》中的 一个重要概念。陈教授对“点
点收敛”与“一致收敛”的剖析是非常到位的，学生在学习时如果是只能注意到在定义的陈述“?x”的位置不相同，而不明其所以时，这样
的教学肯定是失败的。陈教授 例子选择精当，语言使用精辟，问题
分析精准。

请注意陈教授的这句话：“毛病出 在点态收敛的情况下，在某些点附
近，n无法控制”（类似的话在第九讲中说过）。

第六讲 weierstrass函数：处处连续处处不可导的函数

陈教授分析了为何在 weierstrass之前的数学家不能构造出这样的
函数。原来在此之前，数学家们所掌握的函数是 不足以构造出这样
的函数的。

weierstrass在1872年构造出了如下处处连续处处不可导的函数：

?ansin(bnx) 0a1b, ab1

陈教授选用1930年van der waerden给出的例子进行了剖析。所
讲自是精当，本人很是受益。

第七讲 条件极值问题与lagrange乘数法

本讲陈教授从一个几何问题入手，得到一个条件 极值问题。考虑了
条件极值的必要条件，引入lagrange乘数法，化条件极值问题为无
极 条件极值问题。这部分内容中，本人认为几何解释最有启发性。

对于具体使用lagran ge乘数法的例子中，如何解方程组，陈教授给
了很好的建议。第二个例子，即求平面x+y+z=0与 椭球面
x2+y2+4z2=1相交而成的椭圆面积。这个例子我很喜欢，只可惜不
能用来做期 末考题（不要问我为什么！）。

第八讲 重积分的变量代换

本讲陈 教授从定积分的换元的计算公式分析入手，对二重积分的相
应的代换公式作出类比猜想（在教学中注重渗 透数学思想方法，如
此妙哉！）再作分析，然后得出代换公式。

为证明代换公式， 陈教授引入本原映射，化“矩形”为“梯形”，化变
换t为两个本原变换的复合，实现了化复杂为简单， 化困难为容易。

第九讲 《数学分析》课程中的否定命题

《数学分析》教学中，说说“反话”很重要！（请不要误解！）

两个命题a与b如果既不能同时成立，也不能同时不成立，就称a
与b互为否定命题。 若a与b互为否 定命题，则a与b一定满足：
一个成立，另一个必然不成立；一个不成立，另一个必定成立。
（ 废话！）

有界与无界、收敛于a与不收敛于a、收敛与不收敛、（注意前边
两对的 区别！）、可导与不可导、cauchy收敛准则及其否定命题，
等等。这些“反话”不说，大量的题做 不了。

我在讲《数学分析》(1)时会有一讲（几个概念的否定叙述）就是来
讲否定命题的。

陈教授在这部分的例子非常好，分析得也清楚！

陈教授的九讲，给了我们太多的启示：

一、在我们的教学中，不仅要教其所以然，而且要教 其所以然。陈
教授的这九讲，应该是我们讲授

《数学分析》的经典案例，当然，我 们不一定是讲这一些内容！正
确的思想从哪里来，是从天上掉下来的吗？不是！

二、在我们的教学，不仅要传授知识，而且要传授思想方法，也就
是教学中要注

重思想方法的渗透。

三、在我们的教学中，不仅要传授知识，而且要培养学生的数学素养，让他们了解数学的过去、现

在，以便开创数学的将来。

四、 在我们的教学中，或许会遇的许多困难：教学时数少，教学对
象差等等，但我们应从我们自身

积极的寻找对策。陈教授就是这样的。

以上所述，仅凭个人听课记录，又仅凭个人理解。若是有误，请陈
教授见谅并斧正。

最后，向陈纪修教授致以崇高的敬意！

滇源后学：周兴伟

【篇二：2015年上海财经大学,数学分析高等代数,真题
回忆版】

< br>很多送分数的题目，所以卷面看起来简单，但是送分的题目有限，
剩下的大部分是要么会做要么完 全不会做的东西，所以显得难度挺
大的。至少高等代数今年突然上升，变得比华东师范的题目还都要难一点。而数学分析难度实际上是略微下降了。

《高等代数部分》

太多太多都忘掉了，想了好久好久还是只能说个大概了，实在没办
法考完都4个月了。 我先 都不是按照顺序的，因为记不得顺序。题
量很大。最后想想考过的题目其实明年绝对不会再考到，考的知 识
点也不一定还会见到，所以还是把考到的一些知识点列出来吧，很
多都很偏僻。

1. 求秩为1的矩阵的复jordan标准型

2. 如果矩阵a可以对角化，那么a相似于a?

3.两个矩阵在实数域上相似等价于在复数域上相似

4.幂等矩阵的秩等于迹

5.矩阵ab与矩阵ba有相同的非零特征值，并且其重数相同

6.倒数第二题是一个很难的题目，类似于丘维声《高等代数学习指
导书（上）》394页例11 ，当 然了比这个例题要难很多，但是差不
多就是这种类型，可以注意一下（题目真的记不住了，而且这题目< br>我以前也没见过原题，没法查找）

7.考了一个最大公因式的题目，最大公因式的知 识点自己准备一下
就好，没什么好说的，要求举一个反例也是很简单的例子。

8.丘维声《高等代数学习指导书（上）》416例11原题

9.线性方程组考了一个20 分的大题目，而且很难，非齐次的方程组，
系数还含有待定的a,b,c，告诉我们一些秩的条件，然后 叫我们求出
abc，并且证明秩的一些结论。建议在方程组（非齐次线性方程组很
容易被忽略） 上花点时间，真的这题目猝不及防，确实极难，我做
完整个卷子才回来做了这题。

10.最后一题是一个其貌不扬的题目，看起来很easy其实是灰常灰
常不简单的。原题见丘维声《高 等代数学习指导书（下）》262页例
11

15年的高代比14年难了太多，几 乎没有完全白送的题目。顺便提
一下，14年唯一一个难题是要考生证明极分解定理，其它都是很平庸的，但也说明，复习高代如果只是用北大第三版可能也是可以的，
但是要考得很稳妥的话，是不够 的，还是需要再看一点补充的内容
的。

《数学分析》部分

1.一些关于数列和连续函数简单的概念和反例考察：

当x?0?1，?其中略有一点点难度 的是问f(x)??0,当x?0在区间?0,1?
上是否为某个可积函数

??1，当x?0?

的原函数？答案当然是没有，因为黎曼可积函数的原函数必为连续
函数，而f（x）是不连续的。 另一个概念考察的是问：
a1?a2???an?0是否能推出an?0？答案当然是肯定n

的，这是一个简单的数分课后题，华东师范书上一个课后题。那么
又问：

1a?a???anan?0是否能推12?0？答案是否定的，反例即调和数列
{} nn

还有一个概念题，是问一个数列{an}无界，是否可以推出答案当然
还是an是无穷大量？

否定的，反例如下：an???1,当n为偶数

?n,当n为奇数，此时{an}无界，但是an并不是无穷大量。

最后一个举反例的我记不得了，也很简单，和一致收敛有关的，不
提也成。

2.（数列极限的计算）只记得一个了，是问n!??这题目是华师书上
的一个课后题，没做n

过的人就不会，做过的人就会了，一般复习数分肯定会复习到的。

3.（含参 量积分和函数列的一致收敛性）今年就考了四个计算题，
基本上就是比课后题稍微难一点的难度吧，技巧 比较少，主要考的
是对积分和极限可交换的理解，还有一致收敛性的判断，这些其实
题目换来换 去也没什么好说的，关键多做题目吧。不过有一题考察
了一致收敛的dini判别法，这是在复旦陈纪修 的书上有的定理，还
有一个题目函数表达式挺复杂的，我一时也看不出端倪，就直接用
了leb esgue控制收敛定理，两下就做掉了，这也提醒你这些题目用
数分的方法太麻烦的时候，可以用实变 函数论直接灭掉。顺便提一
下，14年的一个含参量反常积分可以用复变函数论的留数定理解决，
十分方便，如果用数学分析做就很头痛很难受了。

4.(曲线积分和曲面积分)就是计 算咯，算第二型曲面曲面积分的时
候gauss散度定理用到了一下。计算反正好好做题目好好复习就可
以了，类型很多，有些方法也很麻烦，不过上海财经的题目总归是
不会太难的咯。

5.（一个大难题）进入正题了！倒数第二题，22分，分了四个小问
题很肉疼，前面几个 小问题很有技巧，但是没什么好提的，最后问
了一个函数项级数求和问题，值得注意哦！其实我整个数分 复习阶
段都没有做到过这种题目，考试的时候大概给逼急了突然灵光一闪
想出来了，做完了才意 识到这其实是华东师范数学分析下册的一个
课后题：下册60页习题2.

6.最后一题是白送分数的啦，就是叫你把一个分段函数分别傅立叶
展开，幂级数展开，然后

求一下和函数。都只是很机械的计算，当然了，计算是很烦很烦很
烦的，基本概念和定理搞明白 ，计算别出错即可。

7.今年挺奇怪的，微分中值定理和泰勒公式的题目其实是没有直接
考察的，微分学的内容是非常基础的，往年的题目看微分中值定理
都是整个卷子的小高潮。这说 明其实每年变化都很大，扎实复习好
每一块儿内容才是关键嗷

【篇三：《数学分析》教学大纲】


t>《数学分析》教学大纲

218.003.1 数学分析（ i ） 学分数5 周学时4+2总学时96

（讲课64，习题课32） 218.003.2 数学分析（ ii ） 学分数5 周
学时4+2总学时96

（讲课64，习题32） 218.003.3 数学分析（ iii ）学分数4 周学
时3+2总学时80

（讲课48，习题32）

课程性质与基本要求

课程性质：数学分析是 数学系最重要的一门基础课，是许多后继课
程如微分几何，微分方程，复变函数，实变函数与泛函分析， 计算
方法，概率论与数理统计等课程必备的基础，是数学类本科一、二
年级学生的必修课。
本课程总学时为272学时，其中讲课为176学时，习题课为96学
时，共分三学期 完成，分别为数学分析（ i ），数学分析（ ii ），数
学分析（ iii ）。

基本要求：通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析的基
本理论知识；培养严格的逻 辑思维能力与推理论证能力；具备熟练
的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解
决实际应用问题的能力。

教学方式与指导思想

教学方式：以 课堂教学为主，充分利用现代化技术，结合计算机实
习与多媒体辅助教学，提高教学效果。

指导思想：微积分理论的产生离不开物理学，天文学，几何学等学
科的发展，在数学分析的教 学中，应强化微积分与相邻学科之间的
联系，强调应用背景，充实理论的应用性内容。

数学分析的教学除体现本课程严格的逻辑体系外，也要反映现代数
学的发展趋势，吸收和采用 现代数学的思想观点与先进的处理方法，
提高学生的数学修养。

教学内容，教学要求与学时分配

学时（含习题课） 数学分析（ i ）

第一章 集合与映射8

1.集合

2.映射与函数

本章教学要求：理解集合的概念与映射的概念，掌握实数集合的表
示法，函数的表示法与函数的一些基本性质。

第二章 数列极限 16

1.实数系的连续性

2.数列极限

3.无穷大量

4.收敛准则

本章教学要求：掌握数列极限的概念与定义，掌握并会应用数列的
收敛准则，理解实数系具有连续性的分析意义，并掌握实数系的一
系列基本定理。

第三章 函数极限与连续函数 16

1.函数极限

2.连续函数

3.无穷小量与无穷大量的阶

4.闭区间上的连续函数

本章教学要求：掌握函数极限的概念，函数极限与数列极限的关系 ，
无穷小量与无穷大量阶的估计，闭区间上连续函数的基本性质。

第四章 微 分 15

1.微分和导数

2.导数的意义和性质

3.导数四则运算和反函数求导法则

4.复合函数求导法则及其应用

5.高阶导数和高阶微分

本章教学要求：理解微分、导数、高阶微分与高阶导数的概念、性
质及相互关系，熟练掌握求导与求微分的方法。

第五章 微分中值定理及其应用 21

1.微分中值定理

2.l＇hospital法则

3.插值多项式和taylor公式

4.函数的taylor公式及其应用

5.应用举例

6.函数方程的近似求解

本章教学要求：掌握微分中值定理与函数的taylor公式，并 能应用
于函数性质的研究，熟练运用l＇hospital法则计算极限，熟练应用
微分于求解 函数的极值问题与函数作图问题。

第六章 不定积分 9

1.不定积分的概念和运算法则

2.换元积分法和分部积分法

3.有理函数的不定积分及其应用

本章教学要求：掌握不定积分的概念与运算法则，熟练应 用换元法
和分部积分法求解不定积分，掌握求有理函数与部分无理函数不定
积分的方法。

第七章 定积分（1 —3） 11

1.定积分的概念和可积条件

2.定积分的基本性质

3.微积分基本定理

期末考试

数学分析（ ii ）

第七章 定积分（4 —6） 15

4.定积分在几何中的应用

5.微积分实际应用举例

6.定积分的数值计算

本章教学 要求：理解定积分的概念，牢固掌握微积分基本定理：牛
顿—莱布尼兹公式，熟练定积分的计算，熟练运 用微元法解决几何，
物理与实际应用中的问题，初步掌握定积分的数值计算。

第八章 反常积分 9

1.反常积分的概念和计算

2.反常积分的收敛判别法

本章教学要求：掌握反常积分的概念，熟练掌握反常积分的收敛

判别法与反常积分的计算。

第九章 数项级数 21

1.数项级数的收敛性

2.上级限与下极限

3.正项级数

4.任意项级数

5.无穷乘积

本章教学要求：掌握数项级 数敛散性的概念，理解数列上级限与下
极限的概念，熟练运用各种判别法判别正项级数，任意项级数与无
穷乘积的敛散性。

第十章 函数项级数 21

1.函数项级数的一致收敛性

2.一致收敛级数的判别与性质

3.幂级数

4.函数的幂级数展开

5.用多项式逼近连续函数

本章教学要求：掌握函数项级数（函数序列）一致收敛性概念， 一
致收敛性的判别法与一致收敛级数的性质，掌握幂级数的性质，会
熟练展开函数为幂级数，了 解函数的幂级数展开的重要应用。

第十一章 euclid空间上的极限和连续 9

空间上的基本定理

2.多元连续函数

3.连续函数的性质

本章教学要求：了解euclid空间的拓扑性质，掌握多元函数的极 限
与连续性的概念，区分它们与一元函数对应概念之间的区别，掌握
紧集上连续函数的性质。< br>
第十二章 多元函数的微分学（1—5） 21

1.偏导数与全微分

2. 多元复合函数的求导法则

公式

4.隐函数

5.偏导数在几何中的应用

期末考试

数学分析（ iii ）

第十二章 多元函数的微分学（6—7） 7

6.无条件极值

7.条件极值问题与lagrange乘数法

本章教学要求：掌握多元函数的偏导数与微分 的概念，区分它们与
一元函数对应概念之间的区别，熟练掌握多元函数与隐函数的求导
方法，掌 握偏导数在几何上的应用，掌握求多元函数无条件极值与
条件极值的方法。

第十三章 重积分 19

1.有界闭区域上的重积分

2.重积分的性质与计算

3.重积分的变量代换

4.反常重积分

5.微分形式

本章教学要求：理解重积分的概念，掌 握重积分与反常重积分的计
算方法，会熟练应用变量代换法计算重积分，了解微分形式的引入
在 重积分变量代换的表示公式上的应用。

第十四章曲线积分与曲面积分 28

1.第一类曲线积分与第一类曲面积分

2.第二类曲线积分与第二类曲面积分

公式，gauss公式和stokes公式

4.微分形式的外微分

5.场论初步

本章教学要求：掌握 二类曲线积分与二类曲面积分的概念与计算方
法，掌握green公式，gauss公式和stokes 公式的意义与应用，理
解外微分的引入在给出green公式，gauss公式和stokes公式统一
形式上的意义，对场论知识有一个初步的了解。

第十五章含参变量积分 12

1.含参变量的常义积分

2.含参变量的反常积分

本章教学要求：掌握含参变量常义积分的性质与计算，掌握含参变
量反常积分一致收敛的概念 、一致收敛的判别法、一致收敛反常积
分的性质及其在积分计算中的应用，掌握euler积分的计算与 应用。