数学与艺术什么是数学模型与数学建模

2020年11月15日发(作者：蓝玉田)
1. 什么是数学模型与数学建模


简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。

具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数
学结构。
更确 切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有
的内在规律，做出一些必要的简 化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学
结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。
数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数
学建模过程流程图）。 数 学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方
法，通过抽象、简化建立能近似刻划并解决实际问 题的一种强有力的数学手段。



2.美国大学生数学建模竞赛的由来：



1985年在美国出现了一种叫做MCM的一年一度大大学生数学模 型（1987年
全称为Mathematical Competition in Modeling,1988年改全称为Mathematical
Contest in Mode ling,其所写均为MCM）。这并不是偶然的。在1985年以前美国
只有一种大学生数学竞赛（T he william Lowell Putnam mathematial Competition,
简称Putman(普特南）数学竞赛），这是由美国数学协会（MAA-- 即Mathematical
Association of America的缩写）主持，于每年 12月的第一个星期六分两试进行，
每年一次。在国际上产生很大影响，现已成为国际性的大学生的一项 著名赛事。
该竞赛每年2月或3月进行。
我国自1989年首次参加这一竞赛，历届均取得 优异成绩。经过数年参加美国
赛表明，中国大学生在数学建模方面是有竞争力和创新联想能力的。为使这 一赛
事更广泛地展开，1990年先由中国工业与应用数学学会后与国家教委联合主办
全国大学 生数学建模竞赛（简称CMCM），该项赛事每年9月进行。
数学模型竞赛与通常的数学竞赛不同，它 来自实际问题或有明确的实际背景。它
的宗旨是培养大学生用数学方法解决实际问题的意识和能力，整个 赛事是完成一
篇包括问题的阐述分析，模型的假设和建立，计算结果及讨论的论文。通过训练
和 比赛，同学们不仅用数学方法解决实际问题的意识和能力有很大提高，而且在
团结合作发挥集体力量攻关 ，以及撰写科技论文等方面将都会得到十分有益的锻
炼。



3.数学建模方法



一、机理分析法从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型。
1. 比例分析法-- 建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。
2. 代数方法-- 求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。
3. 逻辑方法--是数学理论研究的重 要方法，对社会学和经济学等领域的实际问
题，在决策，对策等学科中得到广泛应用。
4. 常微分方程--解决两个变量之间的变化规律，关键是建立瞬时变化率的表
达式。
5. 偏微分方程--解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。


二、数据分析法 从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型。
1. 回归分析法--用于对函 数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n，确定函数的表达式，
由于处理的是静态的 独立数据，故称为数理统计方法。
2. 时序分析法-- 处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。
三、仿真和其他方法
1. 计算机仿真（模拟）--实质上是统计估计方法，等效于抽样试验。① 离散系统仿真--
有一组状态变量。 ② 连续系统仿真--有解析表达式或系统结构图。
2. 因子试验法--在系统上作局部试验，再根据试验结果进行不断分析修改，求得所需的模
型结构。
3. 人工现实法--基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标，并考虑到系统有关
因素的可能变化，人为地组成一个系统。
（参见：齐欢《数学模型方法》，华中理工大学出版社，1996）
四、数学建模的十大算法
（1）、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，
同 时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法）
（2）、数据拟合、参数估计、 插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，
而处理数据的关键就在于这些算法，通常 使用Matlab作为工具）
（3）、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模 竞赛大多数问题属于
最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、 Lingo软件
实现）
（4）、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、 二分图等算法，涉及到
图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备）
（5）、动态规划、 回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比
较常用的方法，很多场合可以用 到竞赛中）
（6）、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用 来
解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，
需慎重使用）
（7）、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛 题中
有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高
级语言作为编程工具）
（8）、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而 计算机只认的
是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的）
（9）、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的
算 法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法
（10）、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有 关，即使与图形无关，论文中也应该要
不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题 ，通常使用MATLAB进
行处理）。

4.题型：



三个基本组成部分：
一、实际问题背景
二、若干假设条件
三、要求回答的问题



5.竞赛答卷:



提交一篇论文，基本内容和格式大致分三大部分：
一、标题、摘要部分：
1．题目--写出较确切的题目（不能只写A题、B题）。
2．摘要-- 200-300字，包括模型的主要特点、建模方法和主要结果。
3．内容较多时最好有个目录。
二、中心部分：
1．问题提出，问题分析。
2．模型建立：
①补充假设条件，明确概念，引进参数；
②模型形式（可有多个形式的模型）；
③模型求解；
④模型性质；
3．计算方法设计和计算机实现。
4．结果分析与检验。
5．讨论--模型的优缺点，改进方向，推广新思想。
6．参考文献--注意格式。
三、附录部分：
1．计算程序，框图。
2．各种求解演算过程，计算中间结果。
3．各种图形、表格。