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小学二年级趣味数学考研数学超详细复习计划

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-11-16 00:45
tags:数学试卷答案

潮牌kaws怎么读-

2020年11月16日发(作者:牛凤及)
2012年数学超详细考研计划
本文分三部分:高等数学、概率与数理统计、线性代数
第一部分:高等数学

高等数学
》第五版 同济大学 高等教育出版社
一、 数学试卷结构
此试卷结构参考11年考研大纲

种类

内容比例



数学
高等数学约56%
填空题与选择题约37%
线性代数约22%
解答题(包括证明题)约63%
概率论与数理统计约22%


二、数学复习全年规划
第一阶段 夯实基础,全面复习
主要目标:基本教材阶段。吃透考研大纲的要求,做到准确定位, 事无巨细地对大纲涉及到的知识点进行地毯式的复习,夯实基础,训练数学思维,掌握一些基本
题型的解 题思路和技巧,为下一个阶段的题型突破做好准备。
第二阶段 熟悉题型,前后贯通
主要目标:复习全书阶段。大量习题训练,熟悉考研题型,加强知识点的前后联系,分清重难点,让复习周期尽量 缩短,把握整体的知识体系,熟练掌握定理公式
和解题技巧。
第三阶段 查缺补漏,模拟训练
主要目标:套题、模拟训练题阶段。练习答题规范,保持卷面整洁,增加信心 ,练习掌握考试时间的分配,增强临场应变的能力,要对自己前两个阶段复习中出现
含糊不清,掌握不牢 的地方重点加强。
第四阶段 强化记忆,保持状态
主要目标:查漏补缺,回归教材。强化记忆,调整心态,保持状态,积极应考。
三、教材的选择
《高等数学》同济版:讲解比较细致,例题难度适中,涉及内容广泛,是现在高校中采用比较广泛的 教材,配套的辅导教材也很多。
《线性代数》清华版:讲解详实,细致深入,适合时间充裕的同学(推荐)。
《线性代数》同济版:轻薄短小,简明易懂,适合基础不好的同学。
《概率论与数理统计》浙大版:课后习题中基本的题型都有覆盖。
四、学习方法解读
(1)强调学习而不是复习
对于大部分同学而言,由于高等数学学习的时间比较早,而且原来学习 所针对的难度并不是很大,又加上遗忘,现在数学知识恐怕已经所剩无几了,所以,这一遍
强调学习,要 拿出重新学习的劲头亲自动手去做,去思考。

题型比例
(2)复习顺序的选择问题
我们建议先高等数学再线性代数再概率论与数理统计。高等数学是线性 代数和概率论与数理统计的基础,一定要先学习。我们并不主张三门课齐头并进,毕竟三门
课有所区别, 要学一门就先学精了再继续推进,做成“夹生饭”会让你有种骑虎难下的感觉,到时你反而会耗费更多的时间去收 拾烂摊子。同学们也可根据自己的特殊
情况调整复习顺序。
(3)注意基本概念、基本方法和基本定理的复习掌握
结合考研辅导书和大纲,先吃透基本概念、 基本方法和基本定理,只有对基本概念深入理解,对基本定理和公式牢牢记住,才能找到解题的突破口和切入点。 分析
表明,考生失分的一个重要原因就是对基本概念、基本定理理解不准确,基本解题方法没有掌握。因 此,首轮复习必须在掌握和理解数学基本概念、基本定理、重要的
数学原理、重要的数学结论等数学基本 要素上下足工夫,如果这个基础打不牢,其他一切都是空中楼阁。
(4)加强练习,重视总结、归纳解题思路、方法和技巧
数学考试的所有任务就是解题,而基本概 念、公式、结论等也只有在反复练习中才能真正理解和巩固。试题千变万化,但其知识结构却基本相同,题型也相 对固定,
一般存在相应的解题规律。通过大量的训练可以切实提高数学的解题能力,做到面对任何试题都 能有条不紊地分析和计算。
(5)不要依赖答案
学习的过程中一定要力求全部理解 和掌握知识点,做题的过程中先不要看答案,如果题目确实做不出来,可以先看答案,看明白之后再抛弃答案自己 把题目独立地
做一遍。不要以为看明白了就会了,只有自己真正做一遍,印象才能深刻。
(6)强调积极主动地亲自参与,并整理出笔记
注意一定要在学习过程中写出自己的感受,可以在 书上以题注的形式或者就是做笔记,尽量深挖例题内涵,这一点很重要,并且要贯彻前三轮的复习,如果最后一< br>轮复习我们有了自己整理的笔记,就会很轻松。有同学说学习线性代数最好的办法就是亲自推导,这话很有 道理,事实上如果我们学习什么知识都采取这种态度的话,
那肯定都会学得非常好。
五、复习进度表
每天至少应该花个小时左右来复习数学,这样才能保证在基础阶段把整个数学的基 础知识复习完。其中用个小时左右的时间理解掌握概念、定义等,用小时左右来
做习题巩固。对于数学基 础较薄弱的同学建议每天再加一个小时的复习时间用来做习题并总结。
具体每章复习所用的时间我 们在每章题目旁边给出了一个复习时间限定期限,如果超出这个时间,或者少于这个时间最好要和你的主管顾问讲 明原因,由主管顾问
根据你学习的情况来调整复习的时间与内容。
注意:本计划对应习题涵盖在以下教材中:
《高等数学》第五版同济大学应用数学系主编 高等教育出版社
《线性代数》第二版居余马编着清华大学出版社
《概率论与数理统计》第三版 浙江大学编着高等教育出版社
复习计划使用说明:
(1) 学习计划里有日期、学习时间,日期是对本章知识内容的限定时间,学习时间是针对复习知识点在大纲中 的要求而建议应该使用的学习时间,同学们在学习的
时候一定要两者同时兼顾,平时如果学习时间不够, 可利用周末的时间做调整。
(2) 计划里明确了每章该看的知识点、该做的习题,后面备有大纲要求,学员要根据大纲要求合理学习知识点。
(3) 每章复习结束后都必须做单元测试题,单元测试题是准确把握学员是否按照大纲要求掌握了 本章内容。学员在做复习完每章内容后,跟主管顾问要本章测试题。
测试题做完后一定要把成绩反馈给你 的主管顾问,以便主管顾问和教研组老师根据你的复习情况及时调整你的学习方法与内容。
(4) 同学们在复习的时候一定要和你周围的同学、老师多交流学习心得。只有你总结出来的方法才是最适合你的方法。
(5) 同学们在复习的过程中肯定要遇到一些疑难问题、做错的题目,一定要在第一时间把他整理 到你的笔记本里,方便的时候可以答疑
高等数学
第一章 函数与极限(10天)
微积分中研究的对象是函数。函数概念的实质是变量之间确定的对应关系。极限是微积分的理论基础,研究函数实 质上是研究各种类型极限。无穷小就是极限
为零的变量,极限方法的重要部分是无穷小分析,或说无穷小 阶的估计与分析。我们研究的对象是连续函数或除若干点外是连续的函数。


学习时
日期


函数的概念,常见的函数(有界函数、奇函数与偶函

数、单调函数、周期函数)、复合函数、反函数、初
-小时
等函数具体概念和形式. 习题1-1:4,5,7,8,9,
13,15,18


数列定义,数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性 )
-小时
P26(例1,例2)P27(例3)习题1-2:1,3,4,5,6

函数极限的基本性质(不等式 性质、极限的保号性、


-小时
极限的唯一性、函数极限的函数局部有界性,函数极限
1、理解函数的概念,掌握函数的表示法,并会建 立简单应用
与数列极限的关系等)P33(例4,例5)P35(例7)习题1
问题中的函数关 系。
-3:1,2,4,6,7,8


无穷小与无穷大的定义,它们之间的关系,以及与极
-小时

第一周
——第
二周

极限的运算法则(6个定理以及一些推论)P46(例3,例
-小时
4),P47(例6),习题1-5:1,2,3

限的关系习题1-4:1,2,4,5,6,7

2、了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
3、理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的
概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。
5、了解数列极限和函数极限(包括左极限与右极限)的概念。
6、了解极限的性质与极限存 在的两个准则,掌握极限的四则
运算法则,掌握利用两个重要极限求极限的方法。
7、理解无 穷小的概念和基本性质。掌握无穷小的比较方法。
了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。
复习知识点与对应习题 大纲要求

两个重要极限(要牢记在心,要注意极限成立 的条件,
8、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函
不要混淆,应熟悉等价表 达式),函数极限的存在问题
数间断点的类型。
(夹逼定理、单调有界数列必有极限),利用 函数极
9、了解连续函数的性质和初等函数的连续性,了解闭区间上
限求数列极限,利用夹逼法 则求极限,求递归数列的
连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),
极限
P51(例1)习题1-6:1,2,4

无穷小阶的概念(同阶无穷小、等价无穷小、高阶无

穷小、k阶无穷小),重要的等价无穷小(尤其重要,
-小时
一定要烂熟于心)以及它们的重要性质和确定方法
P57(例1)P58(例5)习题1-7:1,2,3,4


函数的连续性,间断点的定义与分类(第一类间断点
-小时
与第二类间断点),判断函数的连续性(连续性的四
并会应用这些性质。

-小时
则运算法则,复合函数的连续性,反函数的连续性)
和间断点的类型。例1- 例5习题1-8:2,3,4,
5

连续函数的运算与初等函数的连续性(包括和,差,积,

商的连续性,反函数与复合函数的连续性,初等函数的
-小时
连续性)
例4-例8 习题1-9:1,2,3,4,5


-3小
时 < br>理解闭区间上连续函数的性质:有界性与最大值最小
值定理,零点定理与介值定理(零点定理对于 证明根的
存在是非常重要的一种方法).
例1-例2,习题1-10:1,2,3,4,5

小时

总复习题一:1,2,8,9,10,11,12

本章测试题- 检验自己是否对本章的复习合格(合格

成绩为80分以上),如果合格继续向前复习,如果不
2小时
合格总结自己的薄弱点还要针对性的对本章的内容
进行复习或者到总部答疑。
第二章:导数与微分(7天)
一元函数的导数是一类特殊的函数极限,在几何上函数的导数即 曲线的切线的斜率,在力学上路程函数的导数就是速度,导数有鲜明的力学意义和几何意义以
及物理意义 。函数的可微性是函数增量和自变量增量之间关系的另一种表达形式。函数微分是函数增量的线性主要部分。


学习时
日期



导数的定义、 几何意义、力学意义,单侧与双
1、理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系,了解导数的几何意< br>侧可导的关系,可导与连续之间的关系(非常

重要,经常会出现在选择题中),函数的可导
第二

周-
-小时
第三
定义求极限. 会求平面曲线的切线方程和法

线方程.
4、了解微分的概念,导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变
例3-例7 习题2-1:6,7,9,11,14,
性,会求函数的微分。
15,16,17
3、了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数。
质,按照定义求导及其适用的情形,利用导数
求导法则,会求分段函数的导数 会求反函数与隐函数的导数。
性,导函数,奇偶函数与周期函数的导数的性
2、掌握基本初等 函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的
法线方程。
义与经济意义(含边际与弹性的概念),会求平面曲线的切线方程和
复习知识点与对应习题 大纲要求


复合函数求导法、求初等函数的导数和多层复
合函数的导数 ,由复合函数求导法则导出的微

分法则,(幂、指数函数求导法,反函数求导
-小时
法),分段函数求导法
例-例17 习题2-2:2,3,4,7,8,9,
1012)


-小时
高阶导数和N阶导数的求法(归纳法,分解
法,用莱布尼兹法则)
例1-例7 习题2-3:2,3,4,7,8,9

由参数方程确定的函数的求导法,变限积分的

求导法,隐函数的求导法
-小时
例1-例10 习题2-4:2,4,7,8,9,
11


-小时
函数微分的定义,微分运算法则,一元函数微
分学的简单应用
例1-例6 习题2-5:1,2,3,4,5,6,

-小时

总复习题二:1,2,3,5,6,9,11,13

第二章测试题 检验自己是否对本章的复习合

2小时
格(合格成绩为80分以上),如果合格继续 向
前复习,如果不合格总结自己的薄弱点还要针
对性的对本章的内容进行复习或者到总部答疑。
第三章:微分中值定理与导数的应用(8天)
连续函数是我们研究的基本对象,函 数的许多其他性质都和连续性有关。在理解有关定理的基础上可以利用导数判断函数单调性、凹凸性和求极值、拐 点,并
体现在作图上。微分学的另一个重要应用是求函数的最大值和最小值。






学习时
复习知识点与对应习题


大纲要求








-小时 微分中值定理及其应用(费马定理及其几何意1、理解罗尔(Rolle)定理、拉格朗日( Lagrange )中值定理、了解泰勒
义,罗尔定理及其几何意义,拉格朗日定理及定理、柯西(Cauchy)中值定 理,掌握这四个定理的简单应用。
其几何意义、柯西定理及其几何意义)例1,2、会用洛必达法则求极限。
习题3-1:1-15


洛比达法则及其应用 例1-例10,习题3-2:
-小时
1-4


泰勒中值定理,麦克劳林展开式 例1-例3
-小时
习题3-3:1-7,10

求函数的单调性、凹凸性区间、极值点、拐点、
3、掌握函数单调性的判别方法, 了解函数极值的概念,掌握函数极值、
最大值和最小值的求法及其应用。
4、会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点和渐近线。
5、会描述简单函数的图形。
-小时 渐进线(选择题及大题常考)例1-例12 习
题3-4:4,5,8,9,11,12,14

函数的极值,(一个必要条件,两个充分条件),最

大最小值问题.函数性的最值和应用性的最值
-小时
问题,与最值问题有关的综合题 例1-例6
习题3-5:1,4,5,6,7,10,11,14

简单了解利用导数作函数图形(一般出选择题

及判断图形题),对其中的渐进线和间断点要
-小时
熟练掌握,一元函数的最值问题(三种情形)。
例1-例3 习题3-6:1-5

-小时 总结本章知识点,总复习题三:1-12,19

第三章测试题 检验自己是否对本章的复习合
格(合格成绩为80分以上),如果合格继续向
2小时 前复习,如果不合格总结自己的薄弱点,还要
针对性对本章的内容进行复习或者到总部答
疑。
第四章:不定积分(7天)
积分学是微积分的主要部分之一。函数积分学包括不定积分和定积 分两部分。在积分的计算中,分项积分法,分段积分法,换元积分法和分部积分法是最基本
的方法。


学习时
日期


原函数与不定积分的概念与基本性质(它们
各自的定义,之间的关系,求不定积分与求
复习知识点与对应习题 大纲要求

-小时 微分或导数的关系),基本的积分公式,原
函数的存在性,原函数的几何意义和力学意
义例1-例16 习题4-1:1


不定积分的换元积分法,第二类换元法 例1
-小时
-例27

-小时 不定积分的计算 习题4-2:2(1-20)


1.理解原函数概念,理解不定积分的概念.
2.掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分换元积分法与分部积分法.
第四周
-小时 不定积分的计算 习题4-2:2(21-40)
—-第
五周

-小时
-3:1-20


不定积分的分部积分法 例1-例10 习题4
3.会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分.
-小时 不定积分计算,总复习题四:1-15

-小时 不定积分计算 总复习题四:16-30

总结本章,做第四章单元测试题 检验自己
是否对本章的复习合格(合格成绩为80分以
2小时 上),如果合格继续向前复习,如果不合格总结自己的薄弱点,还要针对性对本章的内容
进行复习或者到总部答疑。
第五章: 定积分(8天)


学习时
日期


第五

-小时

复习知识点与对应习题 大纲要求

定积分的概念与性质(可积存在定理)(定积分1.理解原函数概念,理解定积分的概念.
周—
第六


-小时
的7个性质)
习题5-1:2,3,5,6,7,8

微积分的基本公式 积分上限函数及其导数
牛顿-莱布尼兹公式 例1-例8 习题5-
2:1-5

-小时

习题5-2:6-12


定积分的换元法与分部积分法 例1-例10
-小时
习题5-3:1

-小时

习题5-3:2-11


反常积分 无界函数反常积分与无穷限反常
-小时
积分 例1-例5 习题:5-4:1-3


反常积分的审敛法 例1-例8 习题5-5:
-小时
1-3

-小时

总复习题五:1-11 12,13

总结本章,做第五章单元测试题 检验自己是

2小时
否对本章的复习合格 (合格成绩为80分以
上),如果合格继续向前复习,如果不合格总
结自己的薄弱点,还要针对 性的对本章的内
容进行复习或者到总部答疑。
2.掌握定积分的基本公式,掌握定积分的性质 及定积分中值定理,掌握换元积分法
与分部积分法.
3.会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分.
4.理解积分上限的函数,会求它的导数,掌握牛顿-莱布尼茨公式.
5.了解广义反常积分的概念,会计算广义反常积分.
第六章:定积分的应用(5天)


日期

学习时间

大纲
复习知识点与对应习题
要求



第六周—第七周

-小时

定积分元素法 一元函数积分学的几何应用(求平面曲线的弧长与曲率,求平面图形的面积,求旋转
1.
体的体积,求平行截面为已知的立体体积,求旋转面的面积)例1-例14

会利
用定
-小时

-小时

-小时
定积分应用的一些计算 习题6-2:1-15

定积分的几何应用相关计算 习题6-2:16-30

积分
计算
平面
图形
的面
总复习题六:1-6
积、
旋转
体的
体积
及函
数的
平均
值,
会利用定
积分
求解
简单
的经
济应
用问
题。


总结本章,做第六章单元测试题 检验自己是否对本章的复习合格(合格成绩为80分以上),如果合格
2小时
继续向前复习,如果不合格总结自己的薄弱点,还要针对性对本章的内容进行复习或者到总部答疑。


注意:本计划对应习题涵盖在以下教材中:
《高等数学》第五版同济大学应用数学系主编 高等教育出版社
复习计划使用说明:
(1) 学习计划里有学习时间,章节后面标注的天数是本章知识内容的限定时间,学习时间是针对复习知识点在 大纲中的要求而建议应该使用的
学习时间,同学们在学习的时候一定要两者同时兼顾,平时如果学习时间 不够,可利用周末的时间做调整。
(2) 计划里明确了每章该看的知识点、该做的习题,后面备有大纲要求,学员要根据大纲要求合理学习知识点。
(3) 每章复习结束后都必须做单元测试题,单元测试题是准确把握学员是否按照大纲要求掌握了 本章内容。学员在做复习完每章内容后,跟主
管咨询师要本章测试题。测试题做完后一定要把成绩反馈给 你的主管咨询师,以便主管咨询师和教研组老师根据你的复习情况及时调整你的学习方
法与内容。
(4) 同学们在复习的时候一定要和你周围的同学、老师多交流学习心得。只有你总结出来的方法才是最适合你的方法。
(5) 同学们在复习的过程中肯定要遇到一些疑难问题、做错的题目,一定要在第一时间把他整理 到你的笔记本里,方便的时候可以答疑。
高等数学
第八章:多元函数微分法及其应用 ( 7天)

在一元函数微分学的基础上,讨论多元 函数的微分法及其应用,主要是二元函数的偏导数、全微分等概念,计算它们的各种方法及其应用。

大纲要求 学习时间 复习知识点与对应习题


-小时
多元函 数的基本概念(二元函数的极限、连续性、
有界性与最大值最小值定理、介值定理),例
1—8 ,习题8—1:2,3,4,5,6,8


偏导数(偏导数的概念,二阶偏导数的求解 ),例
-小时
1—8,习题8—2:1,2,3,4,6,9


-小时
全微 分(全微分的定义,可微分的必要条件和充
分条件),例1,2,3,习题8—3:1,2,3,
4


-小时
多元复合函数的求导法则(多元复合函数求导,
全微分形式的不变性),例1—6,习题8—4:
1—12


隐函数的求导公式(隐函数存在的3个定理),
-小时
例1—4,习题8—5:1—9


1.了解多元函数的概念,了解二元函数的几何意义.
2.了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界闭区域上二元连续函数的
性质.
3 .了解多元函数偏导数和全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏
导数,会求全微分,了解隐函数 存在定理,会求多元隐函数的偏导数.
4.了解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存 在的必要条
件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗
日乘数法 求条件极值,会求简单多元函数的最大值和最小值,并会解决一些

-小时
多元函数的极值及其求法(多元函数极值与最值
简单的应用问题.
的概念,二元函数 极值存在的必要条件和充分条
件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法
求条件极值),例 1-9,习题8—8:1—10


总复习题八:1,2,6,7,9,11,12,17,
小时
18

本章测试题——检验自己是否对本章的复习合

格(合格成绩为80分以上),如果合格继续向前
2小时
复习,如果不合格总结自己的薄弱点还要针对性
的对本章的内容进行复习或者到总部答疑。
第九章:重积分(7天)

在一元函数积分学中,定积分是某种确定形式的 和的极限,这种和的极限的概念推广到定义在区域、曲线及曲面上多元函数的情形,便得到重
积分、曲线 积分及曲面积分的概念,本章主要介绍重积分(包括二重积分)的概念、计算方法以及它们的一些应用。

大纲要求 学习时间 复习知识点与对应习题


二重积分的概念与性质(二重积分的定义及6
-小时
个性质),习题9-1:1,4,5


-小时
二重积分的计算法(会利用直角坐标计算二重
积分),例1-4,习题9-2:1,2, 4,6,
7,8


-小时
二重积分的计算法(会利用极坐标计 算二重积
分),例4—6,习题9—2:11、12,13、
14,15,16


-小时
二重积分的计算法(会利用直角坐标、极坐标
计算二重积分),习 题9—2:15、16、17、
18

-小时

总复习题十: 2,3,4,5

本章测试题——检验自己是否对本章的复习

2小时 < br>合格(合格成绩为80分以上),如果合格继续向
前复习,如果不合格总结自己的薄弱点还要针< br>对性的对本章的内容进行复习或者到总部答
疑。

1. 了解二重积分的概念与基本性质.
2.掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标).
3.了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算
第十一章:无穷级数(7天)
积分学是微积分的主要部分之一。函数积分学包括不定积分和定积分两部分。在积分的计算中,分项 积分法,分段积分法,换元积分法和分部
积分法是最基本的方法。



第十二章 常微分方程 (9天)
常微分方程的研究对象就是常微分方程解的性质与求法 ,本章主要有两个问题,一是根据实际问题和所给条件建立含有自变量、未知函数及未
知函数的导数的方 程及相应的初始条件;二是求解方程,包括方程的通解和满足初始条件的特解。
学习时间 复习知识点与对应习题
微分方程的基本概念(微分方程及其阶、解、
-小时 通解、初始条件和特解),例1、2、3、4,
习题12-1:1,2,3,4,5,6
可分离变量的微分方程(可分离变量的微分方
-小时 程的概念及其解法 ),例1、2、3、4,习题
12-2:1,3,4,5,6,7
齐次方程(一阶齐次微分方程的形式及其解
-小时
法)例1、2、4,习题12-3:1,2,3,4
一阶线性微分方程(常数变易法,伯努利方
-小时
程),例1-4,习题12—4:1,2,7, 9
大纲要求
1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念. 2.掌握变量可分离的微
分方 程、齐次微分方程及一阶线性微分方程的解法.3.会解二阶常系数齐次线性微分
高阶线性微分方程(微 分方程的特解、通解),方程.4.了解线性微分方程解的性质及解的结构定理,会解自由项为多项式、指数函< br>-小时
例1—4,习题12—7:1,4,5,6,7
常系数齐次线性微分方程(特征方程,微分方
-小时 程通解中对应项),例1,2,3,4,6,7习
题12-8:1,2
常系数非齐次线性微分 方程(会解自由项为多
项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它
-小时
们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方
程),例1-5, 习题12-9:1,2
《微积分》节:差分方程的一般概念,例1—4;
-小时
节:一阶和二阶常系数线性差分方程,例1—9
小时 总复习题十二:1,2,3,4,5,10
本章测试题——检验自己是否对本章的复习
合格( 合格成绩为80分以上),如果合格继续
向前复习,如果不合格总结自己的薄弱点还要
2小时
针对性的对本章的内容进行复习或者到总部
答疑。本章由于知识点及对知识点的要求较
少,就用一套单元测试题进行测试。
数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线 性微分方程.5.了
解差分与差分方程及其通解与特解等概念. 6.掌握一阶常系数线性差分方程的求解方
法. 7.会用微分方程和差分方程求解简单的经济应用问题.
共59天
第二部分 概率论与数理统计
《概率论与数理统计》第三版 浙江大学 盛 骤 谢式千 潘承毅 编 高等教育出版社
复习计划使用说明:
(1) 学习时间是针对复习知识点在大纲中 的要求而建议应该使用的学习时间,平时如果学习时间不够,可利用周
末的时间做调整。
(2) 计划里明确了每章该看的知识点、该做的习题,后面备有大纲要求,学员要根据大纲要求合理学习知识点。
(3) 每章复习结束后都必须做单元测试题,单元测试题是准确把握学员是否按照大纲要求掌握了 本章内容。学员
在做复习完每章内容后,跟主管顾问要本章测试题。测试题做完后一定要把成绩反馈给你 的主管顾问,以便主管顾问
和教研组老师根据你的复习情况及时调整你的学习方法与内容。
(4) 同学们在复习的时候一定要和你周围的同学、老师多交流学习心得。只有你总结出来的方法才是最适合你 的
方法。
(5) 同学们在复习的过程中肯定要遇到一些疑难问题、做错的题目,一定要 在第一时间把他整理到你的笔记本里,
方便的时候可以答疑。
第一章 概率论的基本概念
我们应该了解样本空间的概念,理解随机事件的概念,并要熟练掌握随机事件的关系和运算法则,理 解概率、条
件概率的概念,掌握概率的基本性质。加法公式、乘法公式、减法公式、全概率公式、贝叶斯 公式是概率的五个基本
公式,应用它们再结合时间运算和概率的基本性质,可以解决不少有关随机事件概 率的计算问题。
学习时间 复习知识点与对应习题 大纲要求
样本空间与随机事件的概念,事件的关系与运算,文1、了解样本空间(基本事件
2小时 氏图 ,事件运算法则和常用结论,概率的概念,概率空间)的概念,理解随机事件
的基本性质(6个性质), 例(4页)1-3,习题(32页),1,的概念,掌握事件的关系及
2
古典概型,几何型概率,概率的加法定理,例(12
2-3小时
页)1-8,习题(32页)4,5,8,9,12,13
条件概率,概率的乘法定理,全概率公式,贝叶斯
2-3小时 (Bayes)公式,事件的独 立性,例(20页)2-6,例(28
页)2-4,习题(34页)22,25,28,29
运算。
2、理解概率、条件概率的
概念,掌握概率的基本性质,
会计算古 典型概率和几何型
概率,掌握概率的加法公式、
减法公式、乘法公式、全概
率公式以及 贝叶斯(Bayes)
总结回顾,本章应注重对基本概念和基本公式的复习,
3小时 以及应用概率的基本性质和基本公式计算独立性事件
公式。
的概率。习题(33页)6,14,16,21,26,30,31
3、理解事件的独立性的 概
本章测试题——检验自己对本章复习是否合格(合格
念,掌握用事件独立性进行
概率 计算;理解独立重复试
成绩为80分以上),如果合格,继续进行下一章复习,
2小时
如果不合格,总结自己的薄弱点要有针对性的对本章
的内容进行复习或者到总部答疑。
验的概念,掌握计算有关事
件概率的方法。
第二章 随机变量及其分布 随机变 量是概率论和数理统计所要研究的基本对象,它是定义在样本空间上具有某种
可测性的实值函数。离散型 和连续型随机变量是最重要的两类随机变量。
学习时间 复习知识点与对应习题 大纲要求
随机变量,离散型随机变量及其分布律,0-1分布,1、理解随机变量的概念,理
小时 伯努 利试验、二项分布,泊松分布,例(40页)1-4,解分布函数的概念及性质;
习题(69页)2,4 ,5,9,10,13 会计算与随机变量相联系的
事件的概率。
随机变量的分布函数,连续型随机变量及其概率密度,
2-3小时
2、理解离散型随 机变量及其
均匀分布,指数分布,例(48页)1,2,例(52页)1,2,
习题(71页) 15,18,21,22
2-3小时
概率分布的概念,掌握0-1
正态分布,随机 变量的函数的分布,例(52页)3,例(62
分布、二项分布、几何分布、
页)1-5,习题 (73页)23,24,28,29,31 超几何分布、泊松(Poisson)
总结回顾,本章注重 对以下几个方面的复习(1)利用概
分布及其应用。
率密度函数求概率;(2)常见的随机变量的分布及计
3小时
算;(3)与其他各章 内容结合的综合题及应用题。习题
用条件,会用泊松分布近似
(69页)3,6,11,14, 17,19,30,32
表示二项分布。
4、理解连续型随机变量及其
概率密度 的概念,掌握均匀
本章测试题——检验自己是否对本章的复习合格(合
分布、正态分布、指数分 布
格成绩为80分以上),如果合格,继续进行下一章复
2小时
习,如果不合格,总结自己的薄弱点要有针对性的对
数分布的概率密度为
本章的内容进行复习或者到总部答疑。
5、会求随机变量函数的分
布。
及其应用,其中参数为的指
3、掌握泊松定理的结论和应
第三章 多维随机变量及其分布 对于二维随机变量,不仅应该理解二维随机变量联合分布函数的概念与性质,还
要掌握二维离散型维随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件分布和二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘 密
度和条件密度,会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其函数的分布。
学习时间 复习知识点与对应习题 大纲要求
二维随机变量的分布函数,二维离散型随机变量的概率1、理解多维 随机变量的概
分布和边缘分布,二维连续型随机变量的概率密度和边念和基本性质。
2-3小时
缘概率密度,例(77页)1-2,例(81页)1-2,习题(1042、理解 二维离散型随机变
页)2,3,5,7 量的概率分布和二维连续

二维离散型随机变 量的条件分布,二维连续型随机变量
型随机变量的概率密度,
小时 的条件密度,相互独立的随 机变量,例(84页)1-4,例
握二维随机变量的边缘分
(92页),习题(105页)8, 9,11,12,13
布和条件分布。
两个随机变量的函数的分布,的分布,及的分布, 例(953、理解随机变量的独立性
2-3小时
页)1-4,习题(106页)17,19,24,26,27 和不相关性的概念,掌握随

总结回顾,本章是的复习应从以下几个方面(1)联合密度
机变量相互独立的条件,
与 边缘密度,条件密度之间的关系与转化;(2)分布函数
解随机变量的不相关性与
3小时 与概率密度的关系;(3)利用联合密度求概率;(4)独立
独立性的关系。
性的判断与应 用;(5)随机变量的函数的分布。习题(104
4、掌握二维均匀分布和二
页)6,10,1 4,16,20,23,25,28
维正态分布,理解其中参数
的概率意义。
本 章测试题——检验自己是否对本章的复习合格(合格
5、会根据两个随机变量的
成绩为80分以 上),如果合格,继续进行下一章复习,
联合分布求其函数的分布,
2小时
如果不合 格,总结自己的薄弱点要有针对性的对本章的
会根据多个相互独立随机
内容进行复习或者到总部 答疑。
变量的联合分布求其函数
的分布。
第四章 随机变量的数字特征 随机 变量的数字特征是描述随机变量分布特征的数字,它们能够集中的刻画出随机
变量取值规律的特点。在随 机变量的分布未知的情况下,会利用切比雪夫不等式估计事件的概率。
学习时间 复习知识点与对应习题 大纲要求
数学期望的概念及性质,随机变量函数的数学期望,例1、理解随机变量数字特征
小时
(110页)1-12,习题(139页)3,5,8,9 (数学期望、方差、标准差、
方差 、标准差的概念及性质,切比雪夫(Chebyshev)不等
矩、协方差、相关系数)的
小时 式,常见分布的数学期望和方差,例(122页)1-8,习题
概念,会运用数字特征的
(14 0页)16,18,20,22,23
基本性质,并掌握常用分
随机变量的协方差、相关系数 的定义及性质,矩及协方
布的数字特征。
小时
2、会求随机变量函数的数
差矩阵的定义及性质,例(132页)1-2,习题(141页)25,
27,29,30 学期望。
总结回顾,主要从以下几个方面复习本章内容(1)利用随
3、了解切比雪夫不等式。
机变量的概率分布求数学期望和方差;(2)利用常见分布
的数字特征解决各种问题;(3)随机变量 函数的数学期望;
3小时 (4)数学期望和方差应用于数理统计问题;(5)协方差,相
关系 数等数字特征的计算;(6)相关系数为零(即不相关)
与独立性的区别。习题(139页)6,7,1 3,19,21,24,
28,31,33
本章测试题——检验自己是否对本章的复习合格( 合格
成绩为80分以上),如果合格,继续进行下一章复习,
2小时
如果不合格,总结自己的薄弱点要有针对性的对本章的
内容进行复习或者到总部答疑。
第五章 大数定律及中心极限定理
大数定律和中心极限定理都是随机变量序列的极限定理,它们是概率论中比较深入的理论结果。
学习时间 复习知识点与对应习题 大纲要求
三个大数定律(切比雪夫(Chebyshev )大数定律,伯努利1、了解切比雪夫大数定
(Bernoulli)大数定律,辛钦(Khinchi ne)大数定律),三个律、伯努利大数定律和辛
小时 中心极限定理(独立同分布的中心极限定理、李 雅普诺夫钦大数定律(独立同分布
(Liapunov)定理、棣莫佛-拉普拉斯(De Moivre-Laplace)随机变量序列的大数定
定理),例(151页)1-3,习题(154 页)1,4,7,8 律)。
总结回顾,本章复习的重点应放在以下几个方面(1)利用
2、了解棣莫弗- 拉普拉斯
3小时
切比雪夫不等式估计概率;(2)考查随机变量序列是否满
定理(二 项分布以正态分
足大数定律和中心极限定理的条件或结论;(3)利用中心布为极限分布)和列维-林< br>极限定理解决应用中的近似计算问题。习题(154页)2,3,德伯格定理(独立同分布
5,6 ,9 随机变量序列的中心极限
本章测试题——检验自己是否对本章的复习合格(合格成
定理) ,并会用相关定理近
绩为80分以上),如果合格,继续进行下一章复习,如果
似计算有关随机 事件的概
2小时
不合格,总结自己的薄弱点要有针对性的对本章的内容进
率。
行复习或者到总部答疑。
第六章 样本及抽样分布
学习时间 复习知识点与对应习题 大纲要求
总体、个体、简单随机样本和统计量的定义,样本均值、1、了解总 体、简单随机样
样本方差和样本矩的定义,几个常用统计量的分布(分本、统计量、样本均值、样
小时
布,分布,分布,正态总体的样本均值与样本方差的分本方差及样本矩的概念。其
布) ,分位数的概念,习题(174页)1,4,9 中样本方差定义为:
总结回顾,应重点复习数理统计 的基本概念以及利用常
2、了解产生变量、变量和
3小时 见的分布及其相关理论求概率或数字 特征。习题(175
变量的典型模式;了解标准
页)2,3,5,6,7,8
正态分布、分布、分布和分
布的上侧分位数,会查相应
数值表。
本章测试 题——检验自己是否对本章的复习合格(合格
3、掌握正态总体的抽样分
成绩为80分以上), 如果合格,继续进行下一章复习,
2小时
如果不合格,总结自己的薄弱点要有针对性的对本章的
样本矩的抽样分布。
内容进行复习或者到总部答疑。
4、了解经验分布函数的概
念和性质。
布:样本均值、样本方差、
第七章 参数估计
学习时间 复习知识点与对应习题
点估计的概念,用矩估计法和最大似然估计法求点估
小时
大纲要求
1、了 解参数的点估计、估
计,例(176页)1-6,例(187页),习题(207页)1,5 计量与估计值的概念。
()分布参数的区间估计,参数的单侧置信上限和单侧置
2、掌握矩 估计法(一阶、二
2-3小时 信下限,单个及两个正态总体单侧置信上限和单侧置信
阶矩)和最大似然估计法。
下限。
总结回顾,本章的复习重点应放在求矩估计量和最大似
3小时
然估计量;习题(208页)3,7
本章测试题——检验自己是否对本章的复习合格(合格< br>成绩为80分以上),如果合格,继续进行下一章复习,
2小时
如果不合格,总结自己的薄弱点要有针对性的对本章的
内容进行复习或者到总部答疑。
第三部分 线性代数
1 线性代数部分
1.1 线代这门课的特点
线 性代数与高数和概率相比,特点之一是知识点比较细碎。如矩阵部分涉及到了各种类型的性质和关系,记忆量大< br>而且容易混淆的地方较多;但线代更重要的特点在于知识点间的联系性很强。这种联系不仅仅是指在后面几 章中用到
前两章行列式和矩阵的相关知识,更重要的是在于不同章节中各种性质、定理、判定法则之间有 着相互推导和前后印
证的关系。
历年考研真题中线代部分的题目都很灵活,在一道大题甚至小 题中就可以考察到多个知识点,而且过渡自然、
结构巧妙;有相当一部分题目可以找出多种解法。出现这 种情况当然与出题专家水平高有关,但内在原因还是在于线
性代数这门课“知识点间联系性强”的特点。
所以我们在复习线代的策略中,有必要考虑一下怎样才能做到“融会贯通”。“融会”可以理解为设法找 到不
同知识点之间的内在相通之处;“贯通”可以理解为掌握前后知识点之间的顺承关系。这样做的目的 就在于——当看
到题目的条件和结论、推测出其中涉及到的知识点时立刻就能想到与之有关联的其他知识 点队列,从而大大提高解题
效率、增加得分胜算。
这样的复习策略虽然也能够用于高数和概率 ,但在线代复习中的作用体现的最为明显。以第三章《向量》、第
四章《线性方程组》为例,“线性相关 ”、“线性表示”的概念与线性方程组的某些性质定理之间存在着相互推导和
相互印证的关系;出题专家 在编制题目时常常利用这些联系将两部分的内容结合起来出题,比如在历年真题中出现频
率很高的性质“ 齐次方程组是否有零解对应于A的列向量组是否线性相关;非齐次方程组Ax=b是否有解对应于向量
b 是否可由A的列向量线性表示”。
再如一个貌似考察向量组线性无关的题目,做起来以后才发现实际考 的是矩阵秩或行列式的内容,题眼就在于
性质“方阵A可逆|A|=0A的列向量组线性无关r(A)= n”,依靠这一性质建立起了线性无关和矩阵秩两个知识点间的
联系。
以上简单分析了一下线 代这门课本身的特点,在下面的小结中列出了对每章中一些具体知识点内在联系的分析和
实战过程中发现 的一些常用的和好用的性质,作为对具体知识点的讨论。
正是因为具有这样的特点,线代与高数、概率 相比,从难易程度上讲正是一门“学得不好就显得特别的难,一
旦学好以后就会变得特别容易”的科目, 所以实际上把时间花在线代复习上很划算;即使你现在认为自己的线代水平
还不好,那么也不应该有放弃 线代的打算,因为,在一门“已经学得差不多”的课上继续投入时间的效果肯定要比投
入等量时间在一门 “学得不好但有更大提分空间”的课上的效果好,也就是说,试图把一门满分是100分、现在水平
是8 0分的课提高到85分,一般要比把一门满分100现在只能拿40分的课提高10分、20分还要难得多。
1.2 线代第一章《行列式》、第二章《矩阵》
第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性 代数中的基础章节,有必要熟练掌握。第一章行列式的核心内容是
求行列式,包括具体行列式的计算和抽 象行列式的计算,其中具体行列式的计算又有低阶和n阶两种类型;主要方法
是应用行列式按行列展开定 理和化为上下三角行列式求解,还可能用到的方法包括:行列式的定义(n阶行列式的值
为取自不同行、 不同列的n个元素的乘积的代数和)、性质
|A|?
?
1
?
2
???
?
n
(其中
?
i
为矩阵A的特征值)、
行 列式的性质(如“数乘行列式等于用此数乘一行列式中的某一行或某一列”)。对于抽象行列式的求值,考点不在
求行列式,而在于
A
T

A
?

A
?1
等的相关性质,在下面对第二章的讨论中会有小结。
第二章矩阵中的知识点很细碎,但 好在每个小知识点包括的内容都不多,没有什么深度。由历年考研真题可见,
矩阵部分出题很灵活,频繁 出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、
件、矩阵秩的性质、某些结构特殊的矩阵和矩阵初等变换技巧等 。
所以复习本章的难度主要在于如何保证复习的全面细致,一些做题时用到的性质和方法结合具体的题 目就题论
题才有最佳的效果,故在后面的评题中会有更充分的讨论;下面的表格分类列出了逆矩阵
阵转置
A
T

A
?

A
?1
的 性质、矩阵可逆的判定条
A
?1
、伴随矩阵
A
?
、矩
A
T
的性质以供区别记忆:
行列式性质 特征值性质


运算性质 秩的性质

?
为矩
A
的特

征值)
转置矩阵

A
T

逆矩阵

有特征值

A
?1

1

?
伴随矩阵

有特 征值
A
?

A
T

A
?1
三者之

A
?

|A|
?

间有一个即好记又好用的性

数乘矩阵

kA
征值
有特

AB?0
则有:
r(A)?r(B)?n


kA
之积
、矩阵
k
?

AB
aA?bE
有特征值
A
是可逆矩阵则有
及矩阵之和
r(AB)?r(B)
;同样,若
B
可逆则有
r(AB)
A?B

a
?
?b

?r(A)

2012年考研备战时间表
⒈搜集考研资料,确定考研目标,听考研形势讲座。
⒉选择专业,全面了解所报专业的信息,准备复习。
⒊可参加寒假基础班系统学习英语、数学等需要长期积累的科目。文科
的可以开始政治的预习。
分别听最新的考研、专业课免费讲座,购买考研真题,评估自己实力,
可参加春季辅导班,制定 学习计划。
2011年1月

准备

阶段
2011年
2月-3月

复习

阶段
2011年
4月-5月
2011年
6月-7月
2011年








7月-8月
-
2011年2月
第一轮 复习:重点科目是英语等公共课目,不要急于做模拟试题,着重
于基础的复习。法律硕士考生开始预习专 业课。
着手专业课第一轮复习,全面关注考试大纲,购买最新大纲,准备暑期
复习。
第二轮复习:开始重点复习专业课、政治、巩固英语和数学,参加暑期
班、特训班,做到各科同步提高 。
⒈关注各招生单位的招生简章和专业计划,购买专业课辅导书,有导师
2011年9月
的专业联系导师。
⒉强化专业课、公共课的复习效果,不断完善复习总体结构。
⒈对前两个阶段的复习进行总结、梳理、查缺补漏。
2011年10月 ⒉确定十一长假复习计划,开始专业课系统复习。
⒊研究生开始网上报名,谨慎填报,牢记报名信息。
2011年11月 研究生考试报名工作确认开始,考生到指定的地点进行现场确认,缴费
并照相。

冲刺

阶段

考试
2012年1月

阶段
2012年2月 放松心情,查询初试成绩。了解报考院校往年复试信息。
关注复试分数线,关注所报院校及专业的最新动态,准备复试。
如果达到复试分数线,却没有被通知复试,可联系相关专业院校准备调
剂。
全力复试,联系招生单位,关注复试成绩。
调整心态,准备考试。
第三轮复习:进行全面冲刺复习,可参加专业课、公共课冲刺班进行查
缺补漏
2011年12月
进行模拟实战训练,最后梳理考点。
复试

调剂

阶段
2012年
3月-4月
2012年
4月-5月

报到

阶段
2012年
6月-7月
关注录取通知书
2012年9月
报到
1.3 线代第三章《向量》、第四章《线性方程组》
线代第三章《向量》、 第四章《线性方程组》是整个线性代数部分的核心内容,相比之下,前两章行列式和矩
阵可视作是为了讨 论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节,后两章特征值、特征向量、二次型的内容
则相对 独立, 可以看作是对第三、四章核心内容的扩展。
向量与线性方程组两章的内容联系很密切,很多知 识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两章最有效的
方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系 ,因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解,同时也是熟练掌握
和灵活运用的前提。
?
a
11
x
1
?a
12
x
2
??? ?a
1n
x
n
?b
1
?
ax?a
22x
2
????a
2n
x
n
?b
2
的解 线性方程组可以看作是这两章内容的出发点和目标。线性方程组
?
211
?
a x?ax????ax?b
m22mnnn
?
m11
系数矩阵是m行n列的, 其有两种形式,一种是矩阵形式
Ax?b
;其中
A
是系数矩阵
?a
11
a
12
???a
1n
?
?
x< br>1
??
b
1
?
?
a
?
?
x
??
b
?
aa
222n
??
21
x??
2
?
b?
?
2
?
??
,
?
???
?
,
?
???
?
;另一种是向量形式
x
1
a
1
?x
2
a
2
?????xn
a
n
?b

???
??
????
a a???a
x
m2mn
??
m1
?
n
??
b
n
?
?
a
1i
?
?
a
?
a
i
?
?
2i
?
i?1,2???n
其中。向量 就这样被引入了,可能早期的数学家研究向量就是为了更好的研究解方程
?
???
?< br>
??
?
a
ni
?
组的问题。
先讨论其 次线性方程组与线性相关、无关的联系。齐次线性方程组
以直接看出是一定有解的,因为当
x< br>1
a
1
?x
2
a
2
?????x
n
a
n
?0

x
1
?x
2
???? ?x
n
?0
式等式一定成立,印证了第三章向量部分的一条性
质“0向量可由 任何向量线性表示”,即当
?
?k
1
a
1
?k
2< br>a
2
?????k
n
a
n
中的
?
? 0
时一定存在一组数
k
1
,k
2
???k
n
使等式成立,至少在
k
i
全为0时可以满足。
齐次线性方程组一定有解又 可以分为两种情况:1.有唯一零解;2.有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时,
是指等式
量组
x
1
a
1
?x
2
a
2
?? ???x
n
a
n
?0
中的
x
i
只能全为0 才能使等式成立,而第三章向量部分中判断向
a
1
,a
2
???a< br>n
是否线性相关无关也正是由这个等式定义出的。线性相关的定义为:设
a
1< br>,a
2
???a
n
为一
k
1
,k
2
???k
n
使得等式
k
1
a
1
?k
2
a
2
?????k
n
a
n
?0
成立, 则称向组向量,如果存在一组不为零的数
量组
a
1
,a
2
? ??a
n
线性相关;如果等式当且仅当
k
1
?k
2
?????k
n
?0
时成立,则称向量组
a
1
,a
2
???a
n
线性无关。故向量与线性方程组在此又产生了联系:齐次线性方程组Ax?0
是否有非零解对应
于系数矩阵A的列向量组是否线性相关。(这些联系肯定不是简 单的巧合,很有可能正是数学史上前后相承的发展,
说不定线性相关无关的概念正是数学家在研究线性方 程组问题的过程中发现的。其实如果按照数学发展史的进程来编
制数学教科书的话,虽然逻辑性和系统性 会不如现在的分章节教材,但肯定会大大方便学习者的理解和领悟,因为这
更接近于人思维自然进展的节 奏,非常有利于学习者认识各种概念定理的来龙去脉,而“不明白自己学的到底是什么”
正是很多同学对 数学感到困惑的根源。即使不能做到编制教材,也可以在教材中做一些介绍)。
假如线性相关无关的概 念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的,那同样可以认为秩是为了更好地讨论
线性相关和线性无 关而引入的。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”,向量组

a
1
, a
2
???a
n
组成的矩阵
A
r(A)?n
说明向 量组的极大线性无关组中有n个向量,即
a
1
,a
2
???a
n
线性无关,也即等式
k
1
a
1
?k
2
a
2
?????k
n
a
n
?0
只有0解。所以,经 过“秩—〉线性相关无关—〉线性方程组解的判定”
的逻辑链条,由
r(A)?n
就可 以判定齐次方程组
x
1
a
1
?x
2
a
2< br>?????x
n
a
n
?0
只有0解。当
r(A)?n
时,按照齐次线性方程组解的判定法则,此时有非零解,且有n-r个线性无关的解向量。这又与另一条
性质相和:如果齐次线性方程组方程个数小于未知量个数则必有非零解。若方程组
Ax?0的系数矩阵是m行n
r(A)?m?n
,列的,则方程个数小于未知量个数时有m根据齐次方程组解的判定定理有非零解。
对于非齐 次方程组来说,其解的判定定理与“线性表示”的概念前后联系:非齐次方程组
对应于向量
Ax ?b
是否有解
b
是否可由
A
的列向量线性表示。线性表示的定义为: 对于向量组
a
1
,a
2
???a
n
若存在一组数< br>k
i
就是非齐次方程组
Ax?b
的解,故齐次方程组有性质“齐次线性 方程组
k
1
,k
2
???k
n
使等式
k< br>1
a
1
?k
2
a
2
?????k
n
a
n
?b
成立,则称向量
b
可由向量组
a
1
,a
2
???a
n
线
性表示。而使上述等式成立的
Ax?0
是否由非零解对应于系数矩阵
A
的列向量组是否线性向关”,非齐次方程组 也由对应性质“非齐次线性
方程组
Ax?b
是否有解对应于向量
b
是 否可由
A
的列向量线性表示”。当非齐次线性方程组
Ax?b
与对应
齐次线性方程组
Ax?0
满足
r(A)?r(A)?n
时,根据线性方程组解 的判定法则,齐次方程组有零解,非
a
1
,a
2
???a
n
线性无关,而
a
1
,a
2
???a
n
,b
线齐次方程组有唯一解。这一点也正好印证了一个重要定理:“若
性相关,则向量
b< br>可由向量组
a
1
,a
2
???a
n
线性表示 ,且表示方法唯一”。
以上讨论了线性相关、线性表示的概念与齐次、非齐次线性方程组之间的内在联 系,这样做不仅仅是为了透彻
理解知识点,更是为了有效应对考试题。线代部分的学习并不容易“保持平 庸”,一般不是学的很好、做起题来左右
逢源、挥洒自如;就是收效欠佳、总感觉摸不准题目的脉络;其 差距就在于对线性代数这门课各章节知识的联系是不
是真正把握领悟了。
线代部分的题目难就 难在考点的跨度大,出题老师可以借助各知识点之间天然的内在联系来编制出非常灵活的
题目,而我们如 果仅仅掌握零散知识点,那怕对这些孤立的点掌握的再透彻,在作题时也会被题目给弄的晕头转向。
我 记得当时上线代课时也常常是听的一头雾水、莫名其妙,感觉这门课很难;但在考研备考时经过这样“抓本
质联系”的复习后却感觉线代部分反而是考研数学三科中最容易的。每们科目都有其自身的特点,出题老师和我 们考
生都可以加以利用——出题专家们利用线性代数“知识点间联系复杂”的特点可以编制出灵活的试题 ,我们则可以根
据各知识点之间的联系来进行归纳、对比和总结,从而深化对知识点的掌握程度。 以上所讨论的各种联系可以归纳为下面几条非常重要的定义与性质,其涵盖了大量的题眼,在实际做题时非常
好用。其含金量之高不仅在线代中是独一无二的,在高数和概率两门课的知识点中也很少见,希望你能重 视:
三个双重定义:
1. 秩的定义
a.矩阵秩的定义:矩阵中非零子式的最高阶数
b.向量组秩定义:向量组的极大线性无关组中的向量个数
2.线性相关无关的定义:
a. 对于一组向量
a
1
,a
2
???a
n
,若存在不全 为零的数
k
1
,k
2
???k
n
使得
k< br>1
a
1
?k
2
a
2
?????k
n
a
n
?0
成立,则相量组线性相关,否则向量组线性无关,即上述等
式当且仅当
b. 向量组
k
i
全为0时才成立。
a
1,a
2
???a
n
线性相关向量组中至少存在一个向量可由其余n-1个 向量线性表出;线性无
关向量组中没有一个向量可由其余的向量线性表出。
2. 线性方程组的两种形式:
a. 矩阵形式:
Ax?b

xa?x
2
a
2
?????x
n
a
n
?b

b. 向量形式:
11
两条性质:
1.对于方阵
性无关
A
n?n
有:方阵
A
可逆存在方阵
B
使得
AB?BA ?E
|A|?0
A
的行列向量组均线
r(A)?n
Ax?b
可由克莱姆法则判断有唯一解,而
Ax?0
仅有零解。
对于一般矩阵
一解。
A
m?n
则有:
r(A)?n
A
的列向量组线性无关
Ax?0
仅有零解,
Ax?b
有唯
3. 齐次线性方程组

Ax?0
是否有非零解对应于系数矩阵
A
的列向量组是否线性相关,而非齐次线性方 程
Ax?b
是否有解对应于
b
是否可以由
A
的列向量组线性 表出。
以上两条性质可视为是将线性相关、行列式、秩、线性方程组几部分知识联系在一起的桥梁:
行列式 线性相关 线性方程组

性质1中的“|A|≠

性质
性质1中的“r(A)=nA的列向量组线性无
以上这些是大量扩展性定理 性质的逻辑基础,也是出题人考虑跨章节出题和考察大跨度知识点时的必经之路——
“兵家必争之地”, 怎么重视都不为过。
另外,线性代数部分在考试时会经常直接考一些“虽不要求掌握、但却可以用要 求掌握的一些定理推论推导出来”
的性质和结论,所以有必要扩大一些知识面,说不定在考试时就会有意 外收获:
1. 一个线性无关的向量组不可能由一个所含向量个数比它少的向量组线性表示。如果向量 组
a
1
,a
2
???a
m
可由向量组
?< br>1
,
?
2
???
?
n
线性表示,则有
r(a
1
,a
2
???a
m
)?r(
?
1
,
?
2
???
?
n
)

等价的向量组具有相同的秩,但不一定有相同个数的向量;
任何一个向量组都与它的极大线性无关组等价。
2.
?
1
??< br>0
??
0
?
?
0
??
1
??
0
?
常见的线性无关组:齐次方程组的一个基础解系;
??

??

??
这样的单位向量组;不同特征值
?
?
0
?< br>?
?
?
0
?
?
?
?
1
?< br>?
对应的特征向量。
3. 关于秩的一些结论:
r(A
m?n
)?min{m,n}

r(A
?
)?1?r(A)?n?1
;< br>r(A
T
)?r(A)?r(A
T
A)

r(AB) ?min{r(A),r(B)}

r(A?B)?r(A)?r(B)
;若

A
m?n

B
n?s
满足
AB?0
,则
r(A)?r(B)?n
;若
A
是可逆矩阵则有
r(AB)?r(B )
;同样若
B
可逆则有
r(AB)?r(A)
。非齐次线性方程组< br>Ax?b
有唯一解则对应齐次方程组
Ax?0
仅有零解,若
Ax?b< br>有无穷多解则
Ax?0
有非零解;若
Ax?b
有两个不同的解则
Ax?0
有非零解;若
A

m?n
矩阵而
r(A)?m< br>则
Ax?b
一定有解,而且当
m?n
时是唯一解,当
m?n< br>时是无穷多解,而

r(A)?n

Ax?b
没有解或有唯一 解。
线代第五章《特征值和特征向量》 1.4
相对于前两章来说,本章不是线性代数这门 课的理论重点,但却是一个考试重点,历年考研真题都有相关题目,
而且最有可能是综合性的大题。 < br>特征值和特征向量之所以会得到如此青睐,大概是因为解决相关题目要用到线代中的大量内容——即有行列 式、
矩阵又有线性方程组和线性相关,“牵一发而动全身”;着重考察这样的知识点,在保证了考察面广 的同时又有较大
的出题灵活性。
从我们的角度来看,《特征值特征向量》这一章的内容即少且 条理清晰,虽然涉及其它很多知识,但需要探究
的深层次联系很少,故学好这个“必考点”实际上要比学 好高数中的那些必考点如曲线、曲面积分要容易的多,这一
点也是前面说复习线代这门课很划算的原因之 一。本章知识要点如下:
1. 特征值和特征向量的定义及计算方法。就是记牢一系列公式如
Ax?
?
x
(x?0)

?
x?Ax?0

(
?
E?A)x?0

|
?
E?A|?0
。在历 年真题中常用到下列性质:

n
阶矩阵
A

n
个特 征值
?
1

?
2
???

?
n
,则有
|A|?
?
1
?
2
???
?
n
;若矩阵
A

2
?

aA?bE

f(A)

A
?1

A
?
分别有特征值
k
?

?
2

a
?
?b
、则
kA

A

特征值
1
| A|
f(
?
)
、、,且对应特征向量等于
?
?
?< br>所对应的特征向量,而若
?
1

?
2
分别为矩阵A

B
的特征值,则
?
1
?
?
2不一定为
A?B
的特征值。
2. 相似矩阵及其性质。定义式为
B?
P
?1
AP
,需要区分矩阵的相似、等价与合同:矩阵
A与矩阵
B
等价(
A?B
)的定义式是
PAQ?B
,其中
P

Q
为可逆矩阵,此时矩阵
A
可通过
初等变换化 为矩阵
相似(
B
,并有
r(A)?r(B)
;当
PAQ?B
中的
P

Q
互逆时就变成了矩阵
A?B
)的定义式 ,即有
B
?
P
?1
AP
,此时满足
r(A)?r( B)

|A|?|B|

|
?
E?A|?|
?E?B|
,并且
A

B
有相同的特征值。矩阵合同的定义是P
T
AP
?
B

其中
P
为可逆矩阵。
由以上定义可看出等价、合同、相似三者之间的关系:若
不成立;合同与等价之间没有必然联系 。
3.
A

B
合同或相似则
A

B< br>必等价,反之
n
阶矩阵
A

n
个线矩阵可相似对角化 的条件。包括两个充要条件和两个充分条件,充要条件1是
性无关的特征向量;充要条件2是
1 是
A
的任意
k
重特征根对应有
k
个线性无关的特征向量;充 分条件
A

n
个互不相同的特征值;充分条件2是
A
为实对 称矩阵。
n
阶实对称矩阵
A
必可正交、相似于对角阵
?
, 即有正交阵
P
使得4. 实对称矩阵极其相似对角化。
P
?1
AP? P
T
AP??
而且正交阵
P

A
对应的几个正交的 特征向量组成。
其实本章的内容从中也可以找到类似于第三章向量与第四章线性方程组之间的那 种前后印证、相互推导的关系:以
求方阵的幂
A
k
作为思路的起点,直接乘来 求
A
k
比较困难,但如果有矩阵
P
使得
A
满足P
?1
AP??
(对
A
k
?P?P
?1
?P?P
?1
???P?P
?1
?P?
k
P
?1
,而对角阵
b
k
?
?
k
A
代如上式即得< br>?
k
?
c
?
角阵)的话就简单多了,因为此时
?a
?
?
k
??
?
b
?
的幂
? ?
?
c
?
??
?
a
k
?
就等于< br>?
?
?
。而矩阵相似对角化的定义式正是
P
?1
AP ??
。所以可以认为讨论矩阵的相似对角化是为了方便求矩阵的幂,引入特征值和特征向量的概念是为< br>了方便讨论矩阵的相似对角化。因为,不但判断矩阵的相似对角化时要用到特征值和特征向量,而且
中的
P
?1
AP
??
P

?
也分别是由
A
的特征向量和特征值决定的。
以上思路在本章的地位并不重要,因为与第三、四章 知识点的互联关系不同,考试时这条思路一般不会被用到。
而考察线性相关和线性方程组的题目却频繁用 到前面提到的各种内在联系,甚至一些题目的题眼就是小结中的某一句
话。所以前面的讨论可以用来辅助 理解,但对于做题时打开思路用处不大。
1.5 线代第六章《二次型》
本章内容较少,大 纲要求包括掌握二次型及其矩阵表示和掌握用正交变换化二次型为标准型的方法,对于其它
知识点仅要求 了解。
在理年真题中本章知识点出现次数不多,但也考过大题。本章所讲的内容从根本上讲是第五章《 特征值和特征
向量》的一个延伸,因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵
角化” ,其过程就是上一章相似对角化在
A
存在正交矩阵
P
使得
A
可以相似对
A
为实对称矩阵时的应用。
将本章与上一章中相似对角化部分的内容作比 较会有助于理解记忆“化二次型为标准型”的步骤及避免前后混淆,但
因为大纲对本章要求不高,所以不 必深究。
2012年考研备战时间表
2011年1月

-
准备
2011年2月

阶段
2011年
2月-3月

2011年
复习
4月-5月

2011年
阶段
6月-7月
2011年

7月-8月


2011年9月



2011年10月


2011年11月
⒈搜集考研资料,确定考研目标,听考研形势讲座。
⒉选择专业,全面了解所报专业的信息,准备复习。
⒊可参加寒假基础班系统学习英语、数学等需要长期积累的科目。文科
的可以开始政治的预习。
分别听最新的考研、专业课免费讲座,购买考研真题,评估自己实力,
可参加春季辅导班,制定 学习计划。
第一轮复习:重点科目是英语等公共课目,不要急于做模拟试题,着重
于基础的复 习。法律硕士考生开始预习专业课。
着手专业课第一轮复习,全面关注考试大纲,购买最新大纲,准备暑期
复习。
第二轮 复习:开始重点复习专业课、政治、巩固英语和数学,参加暑期
班、特训班,做到各科同步提高。
⒈关注各招生单位的招生简章和专业计划,购买专业课辅导书,有导师
的专业联系导师。
⒉强化专业课、公共课的复习效果,不断完善复习总体结构。
⒈对前两个阶段的复习进行总结、梳理、查缺补漏。
⒉确定十一长假复习计划,开始专业课系统复习。
⒊研究生开始网上报名,谨慎填报,牢记报名信息。
研究生考试报名工作确认开始,考生到指定的地点进行现场确认,缴费
并照相。



冲刺

阶段

考试
2012年1月

阶段
2012年2月
第三轮复习:进行全面冲刺复习,可参加专业课、公共课冲刺班进行查
缺补漏
2011年12月
进行模拟实战训练,最后梳理考点。
调整心态,准备考试。
放松心情,查询初试成绩。了解报考院校往年复试信息。
关注复试分数线,关注所报院校及专业的最新动态,准备复试。
如果达到复试分数线,却没有被通知复试,可联系相关专业院校准备调
剂。
全力复试,联系招生单位,关注复试成绩。
复试

调剂

阶段
2012年
3月-4月
2012年
4月-5月

报到

阶段
2012年
6月-7月
关注录取通知书
2012年9月
报到



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渚组词-


三个代表的核心-


粟组词-


英语作文我的朋友-


快马加鞭未下鞍-


长颈鹿的特点-


满目疮痍的意思-


开方怎么算-



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