数学开发割圆术――刘徽《九章算术注》

2020年11月16日发(作者：谷子元)

割圆术——刘徽《九章算术注》
割圆术（cyclotomic method）
所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆
周率的方法。 这个方法，是刘徽在批判总结了数学史上各种旧的计算方法之后，经过深
思熟虑才创造出来的一种崭 新的方法。
中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”（即圆周周长与直径的比
率为三 比一）的数值来进行有关圆的计算。但用这个数值进行计算的结果，往
往误差很大。正如刘徽所说，用“ 周三径一”计算出来的圆周长，实际上不是圆
的周长而是圆内接正六边形的周长，其数值要比实际的圆周 长小得多。东汉的
张衡不满足于这个结果，他从研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周
率 。这个数值比“周三径一”要好些，但刘徽认为其计算出来的圆周长必然要大
于实际的圆周长，也不精确 。刘徽以极限思想为指导，提出用“割圆术”来求圆
周率，既大胆创新，又严密论证，从而为圆周率的计 算指出了一条科学的道
路。
在刘徽看来，既然用“周三径一”计算出来的圆周长实际上是圆内 接正六边
形的周长，与圆周长相差很多；那么我们可以在圆内接正六边形把圆周等分为
六条弧的 基础上，再继续等分，把每段弧再分割为二，做出一个圆内接正十二
边形，这个正十二边形的周长不就要 比正六边形的周长更接近圆周了吗？如果
把圆周再继续分割，做成一个圆内接正二十四边形，那么这个正 二十四边形的
周长必然又比正十二边形的周长更接近圆周。这就表明，越是把圆周分割得
细，误 差就越少，其内接正多边形的周长就越是接近圆周。如此不断地分割下
去，一直到圆周无法再分割为止， 也就是到了圆内接正多边形的边数无限多的
时候，它的周长就与圆周“合体”而完全一致了。
按照这样的思路，刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，
并由此而求得了圆周率为3 .14和3.1416这两个近似数值。这个结果是当时世界
上圆周率计算的最精确的数据。刘徽对自己 创造的这个“割圆术”新方法非常自
信，把它推广到有关圆形计算的各个方面，从而使汉代以来的数学发 展大大向
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前推进了一步。以后到了南北朝时期，祖冲之在刘 徽的这一基础上继续努力，
终于使圆周率精确到了小数点以后的第七位。在西方，这个成绩是由法国数学
家韦达于1593年取得的,比祖冲之要晚了一千一百多年。祖冲之还求得了圆周率
的两个分数 值，一个是“约率”，另一个是“密率”，其中这个值，在西方是由德国
的奥托和荷兰的安东尼兹在16 世纪末才得到的，都比祖冲之晚了一千一百年。
刘徽所创立的“割圆术”新方法对中国古代数学发展的重 大贡献，历史是永远不
会忘记的。
利用圆内接或外切正多边形，求圆周率近似值的方法，其原 理是当正多边
形的边数增加时，它的边长和逐渐逼近圆周。早在公元前5世纪，古希腊学者
安蒂 丰为了研究化圆为方问题就设计一种方法：先作一个圆内接正四边形，以
此为基础作一个圆内接正八边形 ，再逐次加倍其边数，得到正16边形、正32
边形等等，直至正多边形的边长小到恰与它们各自所在的 圆周部分重合，他认
为就可以完成化圆为方问题。到公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德在《论
球和阅柱》一书中利用穷竭法建立起这样的命题：只要边数足够多，圆外切正
多边形的面积与内接正多 边形的面积之差可以任意小。阿基米德又在《圆的度
量》一书中利用正多边形割圆的方法得到圆周率的值 小于三又七分之一而大于
三又七十分之十，还说圆面积与夕卜切正方形面积之比为11：14，即取圆周 率
等于227。公元263年，中国数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆”之
说，他从圆 内接正六边形开始，每次把边数加倍，直至圆内接正96边形，算得
圆周率为3.14或15750，后 人称之为徽率。书中还记载了圆周率更精确的值
39271250（等于3.1416）。刘徽断言“割 之弥细，所失弥少，割之又割，以至
于不可割，则与圆合体，而无所失矣”。其思想与古希腊穷竭法不谋 而合。割圆
术在圆周率计算史上曾长期使用。1610年德国数学家柯伦用2^62边形将圆周率
计算到小数点后35位。1630年格林贝尔格利用改进的方法计算到小数点后39
位，成为割圆术计 算圆周率的最好结果。
分析方法发明后逐渐取代了割圆术，但割圆术作为计算圆周率最早的科学
方法一直为人们所称道。
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