数学核心期刊一次同余方程解法公式化-最新资料

2020年11月16日发(作者：路德)
一次同余方程解法公式化

余数方程ax≡c（modm）（a、c为整数，m为 正整数）的解
法有多种，其中以“大衍求一术”、“欧几里德算法”、“欧拉
定理解法”著称于 世驰名中外，经典永存。本工作用余数周期表
[1]自变定理推导的“模运算转化法”，把余数方程未知 数系数
转化到归零还原的子余数[2]组建余数子方程（或子系不定方程）
来讨论，把方程是否 有解？有解时解数是多少？如何求出一个绝
对整数解三大问题集中在余数子方程（或子系不定方程）中获 得
自然解决，用公式一次性计算绝对最小整数解。不但回避了“大
衍求一术”多步骤、多环节的 繁琐计算，而且还有效避免了“欧
几里德算法”反向推导的复杂代入程序；特别避免了“欧拉公
式”望而生畏的高次幂转化的浩大工作量。“模运算转化法”集
传统解法之众长，避传统解法之众短，把 求解一次同余方程（含
二元一次不定方程）的问题简化到象解普通的一元代数方程那样
简单、快 捷、干净利落，真正走向了公式化、条理化的道路。为
一次同余方程和二元一次不定方程的求解，提出了 一套全新的解
决模式。
1、余数自变定理的推论和证明。
余数方程周 期表首项余数[2]模运算再转化的最终结局是余
数的归零还原，本文讨论的子余数就是能够归零还原的 子余数。
设首项余数C0模运算再转化的n阶子余数是Cn自变后可以归零
还原，Cn只能有两 种情况发生，第一种Cn|C0，即|Cn|=（a m）；
第二种Cn除不尽C0，|Cn|≠（a m）。下面分别两种情况进行
研究。
定理1 （余数自变定理）余数方程ax≡c（m odbm）周期表
首项余数C0经过n个自变环节的模运算转化得到归零还原的子
余数Cn|C 0，由Cn组建的余数子方程是：
定理2（余数自变定理2） 余数方程ax≡C(modm) 周期表首
项余数C0经过n个自变环节的模运算转化得到归零还原的子余
数Cn除不尽C0，C n要转换C0为模，组建的不定子方程是：
（B）的两个整数解可用余数自变定理1解出。此时 ，（B）
与原方程同时有解或无解，且有解时解数相同，若M、N是（B）
一组特解，P1P2 …Pn是模运算由C0转化到Cn的n个自变环节
的n个商，则原方程的整数解可由下式表出：
X≡P1P2…PnM±N(modm)
（±号与（B）±号相对应，切记：Cn、C0同号相减，异号
相加）。
证明：因为Cn除不尽C0，此时（Cn m）≠（Cn C0）≠（a
m）≠Cn 此时，（a m）=（Cn C0）如果（B）有整数解，必有（Cn
C0）|C[3]，也就是（a m）|C，这正是原方程有整数解的充分必
要条件，且（B）和原方程的解数都是（a m）=（Cn C0），如果
（B）无整数解，必有（Cn C0）除不尽C，也就是（a m）除不
尽C，因此原方程也无整数解。
若M、N是（B）的一组特解，则（B）表明 ：Cn连续自变M
次后的余数为CnM，再以C0为标准它变（递增或递减）N欠产生
指定余数 C。因为Cn在P1P2…Pn项（前证），连续自变M次后
应落在P1P2……PnM项，又以C0为 标准它变（递增或递减）N
次，应加上（或减去）C0的变化项1•N=N项。故指定余< br>数C在周期表中的项数是：P1P2…PnM±N项，故原方程的整数
解是：
2、自变余数的模运算应用技巧
模运算再转化的解题方法，无须事先判断方程有无整数解和存解时的解数，也不用考虑用最大公约数去化简方程，也不用考
虑a m是否互质，余数方程的全部 问题都转化到归零子余数组合
的余数子方程（或不定方程）去解决，整个计算过程紧凑严密，
环 环相扣，一气呵成。
模运算再转化的方法同样适用于大模数方程的求解，但用公
式计算 苦干个商的连乘积时，因商值过大，普通计算器不能一次
计算绝对值最小整数解，要分成若干次模运算转 化，才得到绝对
值最小整数解。
注：大模数方程可以采用模运算转化二次求解的方法简化计
算工作量。（本文略）
当模 运算转化到归零子余数Cn除不尽C0时，Cn要选择C0
为模，组合不定子方程，用定理1继续对Cn 转化，求出不定方
程的一组特解，用定理2计算原方程的整数解。
例8是古历会积中一 道著名题目，在《吴文俊论数学机械化》
一书中提及，在求解这道题时，美国史丹福大学著名教学及电脑
科学家在其名著中引述的欧拉（Euier）函数法，即使使用一台
现代化电脑也很难快速完成 任务，因为要涉及9253Φ225600的
计算。本文运用模运算转化法，却能用普通计算器在15分 钟左
右轻松快速地获取方程最佳结果，余数自变定理解题的简捷程度
可见一斑。
模运算转化法的除法运算比较辗转相除法来说，要方便快捷
得多，算式也简明直接，余数的本质属性（正 负、大小、变化质）
表达含义准确、严密，因为模运算直接对自变余数进行转化，省
略了转化过 程中不必要的数据，换模变号和多元未知数的假等；
其二是选择了一个变化质为零的不变模数进行转化， 能够推导出
公式一次求解，避免了辗转相除法反向推导的复杂代入程序，是
值得总结和推广的好 方法。