数学三年级上册教案六年级上册数学培优试题含答案

2020年11月16日发(作者：萧殷)
六年级上册数学培优试题含答案

一、培优题易错题
1．有这样一个数字 游戏，将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字分别填在如图所示
的九个空格中，要求每一行 从左到右的数字逐渐增大，每一列从上到下的数字也逐渐增
大．当数字3和4固定在图中所示的位置时， x代表的数字是________，此时按游戏规则
填写空格，所有可能出现的结果共有_______ _种．


【答案】2；6

【解析】【解答】根据题意知，x<4且x≠3，则x=2或x=1，

∵x前面的数要比x小，∴x=2，

∵每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，

∴9只能填在右下角，5只能填 右上角或左下角，5之后与之相邻的空格可填6、7、8任意
一个，余下的两个数字按从小到大只有一种 方法，

∴共有2×3=6种结果，

故答案为：2，6

【分析】根据题意得到x=2或x=1，由每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，
得到x只能 =2，9只能填在右下角，5只能填右上角或左下角，得到结果.


2．一个自然数 若能表示为两个自然数的平方差，则这个自然数称为“智慧数”．比如：2
2
-
12
=3，则3就是智慧数；2
2
-0
2
=4，则4就是智慧数．

从0开始第7个智慧数是________ ；不大于200的智慧数共有________ ．

【答案】8；151

【解析】【解答】解：（1）首先应该先找到智慧数的分布规律．

①∵0
2
-0
2
=0，∴0是智慧，

②因为2n+1=（n+1）
2
-n
2
， 所以所有的奇数都是智慧数， ③因为（n+2）
2
-n
2
=4
（n +1），所以所有4的倍数也都是智慧数，而被4除余2的偶数，都不是智慧数．

由此可知，最小的智慧数是0，第2个智慧数是1，其次为3，4，

从5起，依次是5，7，8； 9，11，12； 13，15，16； 17，19，20…

即按2个奇数，一个4的倍数，三个一组地依次排列下去．

∴从0开始第7个智慧数是：8；

故答案为：8；

（ 2 ）∵200÷4=50，

∴不大于200的智慧数共有：50×3+1=151．

故答案为：151．

【分析】根据题意先找到智慧数的分布规律，由平方差公式(a +b)(a-b)=a
2
-b
2
， 因为2n+1=
（n+1）
2
-n
2
， 所以所有的奇数都是智 慧数，所有4的倍数也都是智慧数，而被4除余2
的偶数，都不是智慧数；由此可知，最小的智慧数是0 ，第2个智慧数是1，其次为3，
4，得到从0开始第7个智慧数是8.


3．如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去
看望B、C 、D处的其它甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负．如果从A到
B记为：A→B（+1， +4），从B到A记为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方
向，第二个数表示上下方向．


（1）图中A→C（________，________），B→C（____ ____，________），C→________
（+1，﹣2）；

（2）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣
2，+3 ），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置；

（3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程．

（4）若图中另有两个格点M、N，且M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2），则
N →A应记为什么？

【答案】（1）+3；+4；+2；0；D

（2）解：P点位置如图1所示；



（3）解：如图2，根据已知条件可知：


A→B表示为：（1，4），B→C记为（2，0）C→D记为（1，﹣2）；

则该甲虫走过的路线长为：1+4+2+1+2=10


（4）解：由M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2），

所以，5﹣a﹣（3﹣a）=2，b﹣2﹣（b﹣4）=2，

所以，点A向右走2个格点，向上走2个格点到点N，

所以，N→A应记为（﹣2，﹣2）

【解析】【解答】解：（1）图中A→C（+3 ，+4），B→C（+2，0），C→D（+1，﹣2）；

故答案为：（+3，+4），（+2，0），D；

【分析】（1）根据向上向右走均为正，向下向左走均为负确定数据即可；

（2）根据所给的路线确定点的位置即可；

（3）根据表示的路线确定长度相加可得结果；

（4）观察点的变化情况，根据（1）即可确定点走了格数，从而确定结论.


4．十字交叉法的证明过程：设甲、乙两瓶溶液的质量分别为 和 ，浓度分别为
（ ），将两瓶溶液混合后所得的溶液浓度为 ，求证：
和
．

【答案】 证明： 甲溶液中溶质的质量为
液中的溶质质量为
以
见


， 即
。

， 乙溶液中的溶质质量为 ， 则混和溶
， 所
， 可
， 所以混合溶液的浓度为
，
【解析】【分析】溶液的浓度=溶质的质量÷溶液的质量 ，溶质的质量=溶液质量×浓度。根
据计算方法分别表示出两个容器中溶质的质量和混合后的浓度，得到 等式后用十字交叉法
证明这个等式即可。


5．在甲、乙、丙三缸酒精溶液中，纯酒精的含量分别占
溶液总量是
混合后，所含纯酒精的百分数将达
酒精的量可列方程：

、 和 ，已知三缸酒精
千克，其中甲缸酒精溶液的量等于乙、丙两缸酒精溶液的总量．三缸溶液
．那么，丙缸中纯酒精的量是多少千克？

千克。根据纯【答案】 解：设丙缸酒精溶液的重量为 千克，则乙缸为










所以丙缸中纯酒精的量是：
答：丙缸中纯酒精的量是12千克。

（千克）。

【解析】【分 析】根据三缸酒精溶液的容量和与倍数关系可知，甲缸共有50千克，乙和丙
共有50千克。等量关系： 甲缸纯酒精量+乙缸纯酒精量+丙缸纯酒精量=混合后纯酒精量，
先设出未知数，再根据等量关系列出方 程，解方程求出丙缸酒精溶液的量，进而求出丙缸
中纯酒精的量。


6．有两种溶液，甲溶液的酒精浓度为
的溶液的酒精浓度是盐浓度的3倍？

【答案】 解：假设把水都蒸发掉，则甲溶液盐占盐和酒精的：10%÷（15%+10%）=40%，
乙溶液中盐占盐和酒精的：5%÷（45%+5%）=10%；

需要配的溶液盐占盐和酒精的：1÷（1+3）=25%；

则：（0.25-0.1）：（0.4-0.25）=0.15：0.15=1：1，

1千克甲溶液中盐和酒精：1×（15%+10%）=0.25（千克），1千克乙溶液中盐和酒精：1×（5+45%）=0.5（千克）。

答：需要0.5千克乙溶液， 将它与甲溶液混和后所得的溶液的酒精浓度是盐浓度的3倍。



【解析】【分析】 可以这样来看，将溶液中的水剔出或者说蒸发掉，那么所得到的溶液就
是盐 溶在酒精中。（事实上这种情况不符合物理规律，但这只是假设）。这样就能分别求
出甲、乙溶液中盐占 盐和酒精的百分之几。根据配制成溶液中酒精是盐的3倍先计算出配
制后盐占盐和酒精的百分之几。分别 求出1千克甲、乙溶液中盐和酒精的质量，然后确定
需要加入的乙溶液的重量即可。

，盐浓度为 ，乙溶液中的酒精浓度为 ，
盐浓度为 ．现在有甲溶液 千克，那么需要多少千克乙溶液，将它与甲溶液混和后所得

7．抄一份书稿，甲每天的工作效 率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相
当甲、乙每天工作效率和的 ．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要
多少天才能完成？

【答案】 解：甲的工作效率：
丙的工作效率： ，

，

乙的工作效率： ，

乙独做的时间：1÷=24（天）。

答：乙一人单独抄需要24天才能完成。

【解析】【分析】 已知甲、乙、丙合抄一天完成书稿的 ， 又已知甲每天抄写量等于
乙、丙两人每天抄写量之和，因此甲两天抄写书稿的 ， 即甲每天抄写书稿的 ；由于
丙抄写5天相当于甲乙合抄一天，从而丙6天抄写书稿的 ， 即丙每天抄写书稿的 ，
这样用三人的工作效率和减去甲、丙的工作效率即可求出乙的工作效率，进而 求出乙单独
完成需要的时间。


8．甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划 按甲、乙、丙顺序每人轮流工作一天，正好整数
天完成，若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，则比 原计划多用 天；若按丙、甲、
乙的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用 天．已知甲单独完成这件工作需
天．问：甲、乙、丙一起做这件工作，完成工作要用多少天？

【答案】 解：甲的工作效率：1÷10.75=
率： ，

（天）。

， 乙的工作效率： ， 丙的工作效

答：完成工作需要天。



【解析】【分析】 以甲、乙、丙 各工作一天为一个周期，即3天一个周期。容易知道，第
一种情况下一定不是完整周期内完成，但是在本 题中，有两种可能，第一种可能是完整周
期
有
天，第二种可能是完整周期
， 得
天。如果是第一种可能，
。然而此时甲、乙、丙的效率和
为 ， 经过4个周期后完成 ， 还剩
下 ， 而甲每天完成 ， 所以剩下的 不可能由甲1天
完成，即所得到的结果与假设不符，所以假设不成立。

第二种可能：


第一
完整周期

不完整周期

甲1天，乙1天

完成总工程量

“1”

种情n个周期

况

第二
种情n个周期

况

第三
种情n个周期

况



可得
乙1天，丙1天，甲天

“1”

丙1天，甲1天，乙天

“1”

， 所以 ， 。因为甲单
独做需
率为
天，所以工作效率为 ， 于是乙的工作效率为
。

， 丙的工作效
于是，一个周期内他们完成的工程量为
需 个完整周期，剩下
。则
的工程量；正好甲、乙各一天
完成．所以第二种可能是符合题意的。这样用总工作量除以 三人的工作效率和即可求出合
作完成的时间。


9．甲、乙两人同时加工同样多的零件，甲每小时加工40个，当甲完成任务的 时，乙完
成了任务的 还差40个．这时乙开始提高工作效率，又用了
【答案】 解：40+（40+20）÷7.5

=40+60÷7.5

=40+8

小时完成了全部加工任
务．这时甲还剩下20个零件没完成．求乙提高工效后每小时加工零件多少个？

=48（个）

答：乙提高工效后每小时加工48个零件。

【解析】【分析】 当甲完成任务的时，乙完成了任务的还差40个，这时乙比甲少完成
40个 ；当乙完成全部任务时，甲还剩下20个零件没完成，这时乙比甲多完成20个；所以
在后来的7.5小 时内，乙比甲多完成了（40+20）个，那么乙比甲每小时多完成（40+20）
÷7.5个，然后求 出乙提高工效后每小时完成的个数即可。


10．一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的
倍．上午去甲工地的人数是去乙工地人数的 倍，下午这批工人中有
天，那么这批工人有多少人？

【答案】 解：设这批工人有12x人。

上午去甲工地的人数：12x÷（3+1）×3=9x（人）， 去乙工地的人数：12x-9x=3x（人）；

下午去甲工地的人数：12x×=7x（人），去乙工地的人数：12x-7x=5x（人）；

甲工地：（9x+7x）÷2=8x（人），乙工地：（3x+5x）÷2=4x（人）；

假设甲工地的工作量是3份，那么乙工地的工作量是2份，

8x人一整天完成3份，4x人一整天完成份，

乙工地还剩下：（份），

（人），即8x=24，x=3，

12×3=36（人）。

答：这批工人有36人。



【解析】【分析】“ 下午这批工人中有 的人去甲工地”，所以这批工人的人数一定是12
的倍数，所以设这批工人有12 x人。根据人员分配确定上午去两个工地的人数和下午去两
个工地的人数，这样就可以求出甲工地相当于 8x人做一整天，乙工地相当于4x人做一整
天；根据甲乙两个工地工作量的倍数关系假设甲工地有3份 ，乙工地的工作量是2份。然
后求出乙工地还剩下的工作量，求出甲工地做一整天需要的人数，然后求出 x的值，就可
以求出工人的总人数。


的人去甲工地．其
他工人到乙工地．到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需 名工人再做