数学研讨华东第四版数学分析答案

2020年11月16日发(作者：尹俊)
华东第四版数学分析答案


【篇一：数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编】

部分习题参考解答

p.4 习题

1．设a为有理数，x为无理数，证明：

（1）a + x是无理数； （2）当a?0时，ax 是无理数。 证明 （1）
（反证）假设a + x是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x =
a +x – a 是有理数。这与题设“x为无理数”矛盾，故a + x是无理数。

（2）假设ax 是有理数，于是x?ax是无理数。

5．证明：对任何x?r有

（1）|x?1|?|x?2|?1； （2）|x?1|?|x?2|?|x?3|?2 证明 （1）
1?|(x?1)?(x?2)|?|x?1|?|x?2|

（2）因为2?|x?3|?|2?(x?3)|?|x?1|?|x?1|?|x?2|，

所以|x?1|?|x?2|?|x?3|?2 6．设a,b,c?r证明|

?

axa

是有理数，这与题设“x为无理数”矛盾，故

a?b

22

?a?c

22

|?|b?c|

证明 建立坐标系如图，在三角形oac中，oa 的长度是a?b，oc的
长度是a?c， ac的长度为|b?c|。因为三角形两边的差 大于第三边，
所以有

2

2

2

2

|a?b

22

?a?c

22

|?|b?c|

7．设 x?0,b?0,a?b，证明

a?xb?x

a?bb?x

a?xb?x

介于1与

ab

ab

之间。

证明 因为

?1??

|a?b|b

?

?1，

a?xb?x

a?xb?x

?

abab

?

(b?a)xb(b?x)

?

|a?b|b

?

ab

?1

所以介于1与之间。

p是无理数。

p?

nm

8．设 p 为正整数，证明：若 p 不是完全平方数，则证明 （反证）
假设

p为有理数，则存在正整数 m、n使得，其中m、n

互素。于是m2p?n2，因为 p 不是完全平方数，所以 p 能整除 n ，
即存在整数 k ，使得n?kp。于是m2p?k2p2，m2?k2p，从而 p 是
m 的约数，故m、n有公约数 p 。这与“m、n互素”矛盾。所以

p.9 习题

2．设s为非空数集，试对下列概念给出定义： （1）s无上界；

若?m，?x0?s，使得x0?m，则称s无上界。

（请与s有上界的定义相比较：若?m，使得?x?s，有x?m，则称
s有上界） （2）s无界。

若?m?0，?x0?s，使得|x0|?m，则称s无界。

（请与s有界的定义相比较：若?m?0，使得?x?s，有|x|?m，则称
s有界） 3．试证明数集s?{y|y?2?x,x?r}有上界而无下界。

2

证明 ?x?s，有y?2?x?2，故2是s的一个上界。

2

p是无理数。

1

而对?m?0，取x0?集s无下界。

2

3?m，y0?2?x0??1?m?s，但y0??m。故数

4．求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证： （1）
s?{x|x2?2,x?r} 解 sups?类似进行）。

?x?s，有?

下面依定义加以验证sups?2，infs??2。2（infs??2可

2?x?2，即2是s的一个上界，?2是s的一个下界。 2???

2，则由实

???

2，若???2，则?x0?s，都有x0??；若?

2???r?

数的稠密性，必有实数 r ，使得?

sups?

2。

2，即r?s，?不是上界，所以

（2）s?{x|x?n!,n?n?}

解 s无上界，故无上确界，非正常上确界为sups??? 。 infs?1。

?x?s，有x?n!?1，即 1 是s的一个下界；

???1，因为 1?1!?s，即?不是s的下界。所以 infs?1。

(3)s?{x|x为(0,1)内的无理数}

解 仿照教材p.6例2的方法，可以验证：sups?1 。 infs?0

7．设a、b皆为非空有界数集，定义数集a?b?{z|z?x?y,x?a,y?b}
证明：（1）sup(a?b)?supa?supb； （2）inf(a?b)?infa?infb 证
明 （1）因为a、b皆为非空有界数集，所以supa和supb都存在。

?z?a?b，由定义分别存在x?a,y?b，使得z?x?y。由于x?supa，

y ?supb，故z?x?y?supa?supb，即supa?supb是数集a?b的一
个上界。< br>
2

（要证?不是数集a?b的上界），??p???supa?supb，us

b?pus

a，由上

z0?a?b。因此supa?supb是数集 a?b的上确界，即
sup(a?b)?supa?supb

另证 ?z?a?b，由定义分别存在x?a,y?b，使得z?x?y。由于
x?supa，

y?supb，故z?x?y?supa?supb，于是

sup(a?b)?supa?supb。①

由上确界的定义，???0，?x0?a，使得x0?supa?

y0?supb?

?

2

，?y0?b，使得

?

2

，从而sup(a?b)?x0?y0?supa?supb??，由教材p.3 例2，可

得

sup(a?b)?supa?supb ②

由①、②，可得 sup(a?b)?supa?supb 类似地可证明：
inf(a?b)?infa?infb

p.15 习题

?

2,

?

2

]

的分段线性函数，其图象如图。 11．试问y?|x|是初等函数吗？ 解
因为y?|x|?

y?|x|是初等函数。

3

x

2

，可看成是两个初等函数y?u与u?x的复合，所以

2

12．证明关于函数y??x?的如下不等式：

（1）当x?0时，1?x?x （2）当x?0时，1?x

?x??1?x??1?x????证明 （1）因为

?1?1?1??1??1?

，所以当x?0时，有x???1?1?x?x，?x???????x???x??x??x?

?1?

?1?

从而有1?x?x。

?x??1??

（2）当x?0时，在不等式

?1?1?1?

???1中同时乘以x，可得?x???x???x?

?1?

?1??1??1?

x???x?1?x??，从而得到所需要的不等式
1?x???1?x。 ?x??x??x?

p.20 习题 1．证明f(x)?

xx?1

2

是r上的有界函数。

xx?1

2

证明 因为对r 中的任何实数x 有 所以 f 在r上有界。

2．（1）叙述无界函数的定义； （2）证明f(x)?

1x

2

?

x2x

?

12

(?x2?1?2|x|)

为（0，1）上的无界函数；

（3）举出函数 f 的例子，使 f 为闭区间 [0，1] 上的无界函数。
（1）设函数f(x)

若对任何m?0，都存在x0?d，使得|f(x0)|?m，x?d，

则称 f 是d 上的无界函数。

（2）分析：?m?0，要找x0?(0,1)，使得

1x0

2

?m。为此只需x0?

解
1m

。

证明 ?m?0，取x0?区间（0，1）上的无界函数。

1m?1

，则x0?(0,1)，且

1x

2

?m?1?m，所以f 为

4

【篇二：数学分析教案 (华东师大版)第十四章幂级数】


目的：1.理解幂级数的有关概念，掌握其收敛 性的有关问题；2.理解
幂级数的运算，掌握函数的幂级数展开式并认识余项在确定函数能
否展 为幂级数时的重要性。

教学重点难点：本章的重点是幂级数的收敛区间、收敛半径、展开< br>式；难点是收敛区间端点处敛散性的判别。 教学时数：12学时

1 幂级数（ 4 时 ）

幂级数的一般概念. 型如

由系数数列

和

的幂级数 . 幂级数

唯一确定. 幂级数至少有一个收敛点. 以下只讨论型如

的幂级数.幂级数是最简单的函数项级数之一.

一.幂级数的收敛域:

1. 收敛半径 、收敛区间和收敛域： th 1 （ abel ） 若幂级数

式

的任何 ，幂级数

在点

收敛 ， 则对满足不等

发散 ，

收敛而且绝对收敛 ；若在点

发散.

则对满足不等式

证

的任何 ，幂级数

收敛,{

}有界.设|

|

, 有

|

, 其中

.

.

定理的第二部分系第一部分的逆否命题.

幂级数

和

的收敛域的结构.

定义幂级数的收敛半径 r. 收敛半径 r的求法. th 2对于幂级数

, 若

, 则

ⅰ

时

,

ⅱ

时; ⅲ

时

.

证

致的).

……

, ( 强调开方次数与 的次数是一

由于

, 因此亦可用比值法求收敛半径.

幂级数

的收敛区间: .

幂级数

的收敛域: 一般来说 , 收敛区间

、

、

收敛域. 幂级数

或

的收敛域是区间

之一.

例1 求幂级数

的收敛域

.

例2 求幂级数

的收敛域

.

例3 求下列幂级数的收敛域:

⑴

2. 复合幂级数

; ⑵

: 令

，则级数

.

, 则化为幂级数

.设

该幂级数的收敛区间为

的收敛区间由不等式

确定.可相应考虑收敛域.

特称幂级数

为第级数中,

为正整数)为缺项幂级数 .其中

. 应注意

项的系数 . 并应注意缺项幂级数

为第

项的系数 .

并不是复合幂级数 , 该

例4 求幂级数

解

的收敛域 .

是缺项幂级数

.

. 收敛区间为

. 时,

通项

. 因此 , 该幂级数的收敛域为

.

例5 求级数

的收敛域 .

解令

, 所论级数成为幂级数

时级数

.由几何级数的敛

散性结果, 当且仅当

收敛. 因此当且仅当

, 即

域为

例6求幂级数

.

时级数

收敛. 所以所论级数的收敛

的收敛半径 .

解

.

二． 幂级数的一致收敛性：

th 3 若幂级数

的收敛半径为

，则该幂级数在区间

内闭一致收敛 .

证

, 设

, 级数

, 则对

, 有

绝对收敛, 由优级数判别法,

在区间

幂级数

在

闭一致收敛.

上一致收敛. 因此 , 幂级数

内

th 4 设幂级数

的收敛半径为

在区间

,且在点

( 或

( 或

)收敛,则幂级数

)上一致收敛 .

证

. 收敛 , 函数列

在区间

在区间

上一致收敛 .

上递减且一致有界,由abel判别法,幂级数

易见 , 当幂级数

在区间

的收敛域为

(

时 , 该幂级数即

上一致收敛 .

三. 幂级数的性质:

1. 逐项求导和积分后的级数:

设

,

*) 和 **)仍为幂级数. 我们有

命题1*) 和 **)与

值得注意的是，*) 和 **)与

有相同的收敛半径 . ( 简证 )

虽有相同的收敛半径（ 因而有相同的

.

收敛区间），但未必有相同的收敛域 ， 例如级数

2.幂级数的运算性质:

定义两个幂级数

和

在点

的某邻域内相等是指：它

们在该邻域内收敛且有相同的和函数.

命题

2,.(由以下命题4系2)

命题3 设幂级数

, 则

和

的收敛半径分别为

和

,

ⅰ

, — const ，

.

ⅱ

+

, .

【篇三：华东师大数学分析习题解答1】


xt>第 一 章实 数 理 论

１．把1.3例4改为关于下确界的相应命题，并加以证明．

证 设数集s有下确界，且??infs?s，试证：

（１）存在数列{an}?s,使liman??； n??

（２）存在严格递减数列{an}?s,使liman??．

n??

证明如下：

（１） 据假设，?a?s,有a??；且???0,?a??s,使得??a?????．现
依 次取?n?1,n?1,2,?,相应地?an?s,使得 ??an????n,n?1,2,?．

因?n?0(n??)，由迫敛性易知liman??. n??

（２） 为使上面得到的{an}是严格递减的，只要从n?2起，改取

?1??n?min?,??an?1?,n?2,3,?，

?n?

就能保证

an?1???(an?1??)????n?an,n?2,3,?．□２．证 明1.3例６的
（ⅱ）．

证 设a,b为非空有界数集，s?a?b，试证：

infs?min?infa,infb?．

现证明如下．

由假设， s?a?b显然也是非空有界数集，因而它的下确界存在．故
对任何x?s,有x?a或x?b，由此推 知x?infa或x?infb，从而又有

x?min?infa,infb??infs?min?infa,infb?．

另一方面，对任何x?a, 有x?s，于是有

x?infs?infa?infs；

同理又有infb?infs．由此推得

infs?min?infa,infb?．

综上，证得结论 infs?min?infa,infb?成立．□

３．设a,b为有界数集，且a?b??．证明：

（１）sup(a?b)?min?supa,supb?；

（２）inf(a?b)?max?infa,infb?．

并举出等号不成立的例子．

证 这里只证（２），类似地可证（１）．

设??infa,??infb．则应满足：

?x?a,y?b,有x??,y??．

于是，?z?a?b，必有

z?????z?max??,??， z???

这说明max??,??是a?b的一个 下界．由于a?b亦为有界数集，故
其下确界存在，且因下确界为其最大下界，从而证得结论
i nf?a?b??max?infa,infb?成立．

上式中等号不成立的例子确实是存在的．例如：设

a?(2,4),b?(0,1)?(3,5),则a?b?(3,4)，

这时infa?2,infb?0,而inf(a?b)?3，故得

in?fa?b??ma?xinaf,inbf?． □

４．设a,b为非空有界数集．定义数集

a?b??c?a?ba?a,b?b?，

证明：

（１）sup(a?b)?supa?supb；

（２）inf(a?b)?infa?infb．

证 这里只证（２），类似地可证（１）．

由假设，??infa,??infb都存在，现欲 证inf(a?b)????．依据下确
界定义，分两步证明如下：

１）因为?x?a,y?b,有x??,y??,所以?z?a?b，必有

z?x?y????．

这说明???是a?b的一个下界．

２）???0,?x0?a,y0?b，使得

x0????

2,y0????． 2

从而?z0?x0?y0?a?b,使得z0?(???)??， 故???是a?b的最大下
界．于是结论 inf(a?b)?infa?infb 得证．□

５．设a,b为非空有界数集，且它们所含元素皆非负．定义数集

ab??c?aba?a,b?b?，

证明：

（１）sup(ab)?supa?supb；

（２）inf(ab)?infa?infb．

证 这里只证（１），类似地可证（２）．

a?supa,??由于?c?(ab),?a?a ,b?b(a?0,b?0),使c?ab,且?b?supb,

?c?supa?supb,?

因此supa?supb是ab的一个上界．

另一方面，???0,?a0?a,b0?b，满足

a0?supa??,b0?supb??，

故?c0?a0b0?(ab)，使得

c0?supa?supb?[(supa?supb)??]?．

由条件，不妨设supa?supb?0，故当?足够小
时，???[(supa?supb)??]? 仍为

一任意小正数．这就证得supa?supb是ab的最小上界，即
inf(ab)?infa?infb 得证． □?６．证明：一个有序域如果具有完备性，
则必定具有阿基米德性．

证 用反证法．倘若有某个完备有序域f不具有阿基米德性，则必存
在两个正元素

，从而?,??f，使序列{n?}中没有一项大于?．于是，{n?}有上界（?
就是一个）

由完备性假设，存在上确界sup{n?}??．由上确界定义，对一切正
整数n，有??n ?；同时存在某个正整数n0，使n0?????．由此得
出

(n0?2)????(n0?1)?，

这导致与??0相矛盾．所以，具有完备性的有序域必定具有阿基米
德性．□

７．试用确界原理证明区间套定理．

证 设?[an,bn]?为一区间套，即满足：

a1?a2???an???bn???b2?b1,

n??lim(bn?an)?0．

由于?an?有上界bk，?bn?有下界ak（k?n?），因此根据确界原
理，存在

??sup?an?,??inf?bn?,且??? ．

倘若???，则有

bn?an???????0,n?1,2,?，

而这与lim(bn?an)?0相矛盾，故?????．又因
an?????bn,n?1,2,?，

n??

所以?是一切[an,bn]的公共点．

对于其他任一公共点??[an,bn],n?1,2,?，由于

????bn?an?0,n?? ，

因此只能是???，这就证得区间套?[an,bn]?存在惟一公共点． □

８．试用区间套定理证明确界原理．

证 设 s 为一非空有上界的数集，欲证s 存在上确界．为此构造区
间套如下：令

[a1,b1]?[x0,m]，其中x0?s(?s??),m为s的上界．记c1?a1?b1

2，

若c1是s的上界，则令[a2,b2]?[a1,c1]；否则，若c1不 是s的上
界，则令

[a2,b2]?[c1,b1]．一般地，若记cn?an?bn

2，则令

?[an,cn],cn当是s的上界,[an?1,bn?1]???[cn,bn],cn不是s 的上
界,,n?1,2,?．

如此得到的?[an,bn]?显然为一区间套，接 下来证明这个区间套的惟
一公共点?即为s的上确界．

n??

界；又因liman??，故???0,?an????，由于an不是s的上界，因
此???更n??

加不是s的上界．根据上确界的定义，证得??sups．

同理可证，若s为非空有下界的数集，则s必有下确界． □ ９．试
用区间套定理证明单调有界定理．

证 设?xn?为递增且有上界m的数列，欲证?xn?收敛．为此构造区
间套如下：令

[a1,b1]?[x1,m]；类似于上题那样，采用逐次二等分法构造区间
套?[an,bn]?， 使an不是?xn?的上界，bn恒为?xn?的上界．由区
间套定理，???[an,

n??n??bn]，且使 n??liman?limbn??．下面进一步证明 limxn??．

一方面，由xn?bk,取k??的极限，得到

xn?limbk??,n?1,2,?．

k??

n?n， ????ak?xn?xn??,

这就证得limxn??． n??

同理可证?xn?为递减而有下界的情形．
明聚点定理．

□?10．试用区间套定理证