数学初二上数学模型姜启源第四版答案

2020年11月16日发(作者：田间)
数学模型姜启源第四版答案


【篇一：姜启源数学模型课后答案(3版)】

t>第二章(1)（2008年9月16日）

1． 学校共1000名学生，2 35人住在a宿舍，333人住在b宿舍，
432人住在c宿舍.学生们

要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：

（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分
较大者; （2）. 1中的q值方法；

（3）.d’hondt方法：将a、b、c各宿舍的人数用正整数n= 1,2,3,??
相除，其商数如下表：

将所得商数从大到小取前10个（10为 席位数），在数字下标以横
线，表中a、b、c行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍
分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？

如果委员会从10个人增至15人，用以上3 种方法再分配名额，将
3种方法两次分配的结果列表比较.

解：先考虑n=10的分配方案，

3

p1?235,p2?333,p3?432, ?pi?1000.

i?1

方法一（按比例分配）

q1?

p1n

3

?2.35,q2?

p2n

3

?3.33, q3?

p3n

3

?4.32

?

i?1

pi

?

i?1

pi

?

i?1

pi

分配结果为： n1?3, n2?3, n3?4 方法二（q值方法）

9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：

n1?2,n2?3, n3?4

第10个席位：计算q值为 q1?

235

2

2?3

?9204.17, q2?

333

2

3?4

?9240.75, q3?

432

2

4?5

?9331.2

q3最大，第10个席位应给c.分配结果为 n1?2,n2?3,n3?5

方法三（d’hondt方法）

此方法的分配结果为：n1?2,n2?3,n3?5

此方法的道理是：记pi和ni为各 宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表
a、b、c宿舍）.

pini

pini

pini

是

每席位代表的人数，取ni?1,2,?,从而得到的近.

中选较大者，可使对所有的i,尽量接

再考虑n?15的分配方案，类似地可得名额分配结 果.现将3种方法
两次分配的结果列表如下：

2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学
模型. 解： 设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型
的假设见课本.

考虑t 到t??t时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得
vdt?(r?wkn)2?kdn,两边积分， 得 ?vdt?2?k?(r?wkn)dn

t

n

n

2

2

) ?t?

2?rkv

n?

?wkv

2

n.

2

第二章(2)（2008年10月9日）

15．速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上，空气密度是? ，用
量纲分析方法确定风车

获得的功率p与v、s、?的关系.

解: 设p、v、s、?的关系为f(p,v,s,?)?0， 其量纲表达式为:
[p]=ml2t?3, [v]=lt

量纲矩阵为：

?2?1????3(p)

10?1(v)

200(s)

?3?(l)

?

1(m)? ?0?(t)(?

?1

,[s]=l2,[?]=ml?3,这里l,m,t是基本量纲.

a=

齐次线性方程组为：

?2y1?y2?2y3?3y4?0?

?0 ?y1?y4

??3y?y?012?

它的基本解为y?(?1,3,1,1)

由量纲pi定理得 ??p?1v3s1?1，?p??v3s1?1 ， 其中?是无量纲
常数. 1 6．雨滴的速度v与空气密度?、粘滞系数?和重力加速度g
有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在 流体中受的摩擦力与速
度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系

数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.

解：设v,?,?,g 的关系为f(v,?, ?,g)=0.其量纲表达式为[v]=lm0t-1，
[?]=l-3mt0，[?]=mlt-2（ lt-1l-1）-1l-2=mll-2t-2t=l-1mt-1，
[g]=lm0t-2,其中l ，m，t是基本量纲.

量纲矩阵为

?1

?0?a=???1

(v)

?310(?)

?11?1(?)

1?(l)

?

0(m)? ?2?(t)?(g)

齐次线性方程组ay=0 ，即

? y1-3y2-y3?y4?0

?

?0 ?y2?y3

?-y-y-2y?0

34?1

的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1) 由量纲pi定理 得 ??v?

*

?3

?1

?g. ?v???g?

，其中?是无量纲常数.

16．雨滴的速度v与空气密度?、粘滞系数?、特征尺寸?和重力加
速度g有关，其中粘
< br>滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触
面积的乘积成正比，比例系数为 粘滞系数，用量纲分析方法给出速
度v的表达式.

解：设v,?,?,?，g 的关系为f(v,?,?,?,g)?0.其量纲表达式为

[v]=lmt，[?]=lmt，[?]=mlt（ltl）l=mlltt=lmt，[?]=lmt ，[g]=lmt
其中l，m，t是基本量纲. 量纲矩阵为

?1

?0a=?

???1

(v)

100(?)

?310(?)

?11?1(?)

1?(l)

?

0(m)? ?2?(t)?(g)

-1

-3

-2

-1-1

-1

-2

-2-2

-1

-1

00

0-2

齐次线性方程组ay=0 即

?y1?y2?3y3?y4?y5?0

?

y3?y4?0 ?

??y1?y4?2y5?0?

的基本解为

?

?y1?(1,??

?y2?(0,??

)2 1

,?1,1,?)22231,0,0,?

1

得到两个相互独立的无量纲量

??1?v??12g?12

??32?1?12

??g??2??

即 v?

?g?1,

?

32

?g

12

?

?1

??2. 由?(?1,?2)?0 , 得 ?1??(?2)

32

?1

?1

? ??g?(?

?g

12

?

?1

) , 其中?是未定函数.

20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的
速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即
怎样由模型摆的周期计算原 型摆的周期. 解：设阻尼摆周期t,摆长l,
质量m,重力加速度g，阻力系数k的关系为

f(t,l,m,g,k)?0

其量纲表达式为：

[t]?lmt,[l]?lmt,[m]?lmt,[g]?lmt

?2

,[k]?[f][v]

?1

?mlt

?2

(lt

?1

)

?1

?lmt

0?1

， 其中l，m，t是基本量纲.

量纲矩阵为

?0?0a=?

??1

100

010

10?2

0?(l)

?

1(m)? ??1?(t)

(t)(l)(m)(g)(k)

齐次线性方程组

y2?y4?0?

?

y3?y5?0 ?

?y?2y?y?0

45?1

的基本解为

11?

y?(1,?,0,,0)?1

22 ?

11

?y2?(0,,?1,?,1)

22?

得到两个相互独立的无量纲量

?tl?12g12??1

?12?1?12

k??2

?lmg

∴t?

lg

?1, ?1??(?2), ?2?

klmg

1212

klmg

1212

∴t?

lg

() ，其中?是未定函数 .

考虑物理模拟的比例模型，设g和k不变，记模型和原型摆的周期、
摆长、质量分别为

l?g

kl?

1212

t,t

；l,l;m,m. 又t??


(

m?g

)

当无量纲量

m?m

?

l?l

时， 就有

t?t

?

l?g

?

gl

?

l?l

.

《数学模型》作业解答

第三章1（2008年10月14日）

1. 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定
最优订货周期和订货

批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货
模型中最优订货周期和订货 批量都比原来结果减少．

【篇二：数学建模陈东彦版课后答案】


t>2.9-3.7 3.6-5.144.1-7.14.4-7.35.9-11.1 5.1-9.1 6.5-4.7 6.10-4.14

第1章 建立数学模型

1.1 在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？（稳定的椅子问题见姜启源《数学模型》第6页）

1.2 在商人们安全过河问题 中，若商人和随从各四人，怎样才能安全
过河呢？一般地，有n名商人带n名随从过河，船每次能渡k人 过
河，试讨论商人们能安全过河时，n与k应满足什么关系。（商人们
安全过河问题见姜启源《 数学模型》第7页）

1.3 人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物 ，
而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。问人、狗、鸡、米怎样过河？

1.4 有 3对夫妻过河，船至多载两人，条件是任一女子不能在其丈
夫不在的情况下与其他的男子在一起。问怎样 过河？

1.5 如果银行存款年利率为5.5%，问如果要求到2010年本利积累
为100000元，那么在1990年应在银行存入多少元？而到2000年
的本利积累为多少元？< br>
1.6 某城市的logistic模型为

dndt?125n?1

25?10

6n2，如果不考虑该市的流动人口的影响以及非正常死亡。设该市
1990

年人口总数为8000000人，试求该市在未来的人口总数。当t??时
发生什么情况。

1.7 假设人口增长服从这样规律：时刻t的人口为x(t)，最大允许人
口为xm，t到 t??t时间内人口数量与xm?x(t)成正

比。试建立模型并求解，作出解的图形并与指数增长模型和阻滞增
长模型的结果进行比较。

1.8 一昼夜有多少时刻互换长短针后仍表示一个时间？如何求出这些
时间？

1.9 你在十层楼上欲乘电梯下楼，如果你想知道需要等待的时间，请
问你需要有哪些信息 ？如果你不愿久等，则需要爬上或爬下几个楼
层？

1.10 居民的用水来自一个 由远处水库供水的水塔，水库的水来自降
雨和流入的河流。水库的水可以通过河床的渗透和水面的蒸发流 失。
如果要你建立一个数学模型来预测任何时刻水塔的水位，你需要哪
些信息？

第2章 初等模型

2.1 学校共1000名学生，235人住在a宿舍 ，333人住在b宿舍，
432人住在c宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办
法分配各宿舍的委员数：

（1）按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分
较大者.

（2）2.1节中的q值方法.

（3）d’hondt方法： 将各宿舍的人数用正整数n?1,2,

3,?相除，其商数如下表：

将所得商数从大到小取前10个(10为席位数),在数字下标以横线，
表中a，b，c行有横线的数分 别为2，3，5，这就是3个宿舍分配
席位.你能解释这种方法的道理吗。

如果委 员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额.将3种
方法两次分配的结果列表比较.

（4）你能提出其他的方法吗.用你的方法分配上面的名额. 2.2 在超
市购物时你注意 到大包装商品比小包装商品便宜这种想象了吗.比如
洁银牙膏50克装的每支1.50元,120克装的 每支3.00元,二者单位的
重量的价格比是1.2:1,试用比例方法构造模型解释这个现象.

（1）分析商品的价格c与商品重量w的关系.价格由生产成

本、包装成本 和其它成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，
有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
(2)给出单位重量价格c与w的关系。画出它的简图，说明w越大c
越小，但是随着 w的增加c减小的程度变小。解释实际意义是什么。

2.3 一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓 上的鱼放生，打算按照放生的鱼的
重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用与测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假设鱼池中只有一种鲈鱼，并且
得到了8条鱼的如下数据（胸围指 鱼身的最大周长）：

先用机理分析建立模型，再用数据确定参数。 2.4用已知尺寸的 矩
形板材加工一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法使加工出
尽可能多的圆盘。

2.5雨滴匀速下降，空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比，
试确定雨速与雨滴质 量的关系。

2.6生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维
持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身
体表面散失，建立一个动物体重与心率 之间关系的模型，并用下面
的数据加以检验。

2.7 举重比赛按照运动员的体重分 组,你能在一些合理、简化的假设下
建立比赛成绩与体重之间的关系吗。下面是一界奥运会竞赛的成绩，
可供检验你的模型。

2.8 速度为v的风吹在迎风面积s为的风车上，空气密度是

?。用量纲分析方法确定风车获得的功率p与v，s，?的关系。

2.9 雨速的速度v与 空气密度?、粘滞系数?和重力加速度g有关，
其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩力与< br>
速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数。用量纲
分析方法给出速度 v的表达式。

2.10 原子弹爆炸时巨大的能量从爆炸点以冲击波形式向四周传播。据分析在时刻t冲击波达到的半径r与释放能量e，大气密度?，大
气压强p有关（设t?0时r? 0）。用量纲分析方法

?et2

证明，r?????

?????p5t6?????e2?3???

，?是未定函数。 2.11 用量纲分析方法研究人体浸在匀速流动的水
里时损失

的热量。记水的流速v，密度 ?，比热c，粘性系数?，热传导系数k，
人体尺寸d。证明人体与水的热交换系数h与上述各物理量的 关系可
表为h?

kd????v?d??,?c?

k???

，?是未定函数，h定义为单位时间内人体的单位面积在人体与水的
温差为1?

c时的热量交换。

2.12 在小说《格里佛游记》中,小说国中的人们决定给格里佛相当 与
一个小人食量1728倍的食物.他们是这样推理的,因格里佛身高是小
人的12倍.他的体 格是小人的123?1728倍.所以他需要的食物是一
个小人的食量的1728倍.为什么他们的推理 是错误的?正确的答案是
什么?

2.13 战后olympic运动会女子铅球记录如下:

你是否可以从这些数据中预测2000年的奥运会女子铅球的最佳

成绩.

第3章 简单的优化模型

3.1 在存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用。重 新确定最
优订货周期和订货批量。证明在不允许缺货模型中结果与原来的一
样。而在允许缺货模 型中最优订货周期和定货批量都比原来结果减
少。

3.2 建立不允许缺货的生产 销售存贮模型。设生产速率为常数k，销
售速率为常数r，k?r在每个生产周期t内，开始的一段时间 (0?t?t0)
一边生产一边销售，后来的一段时间(t0?t?t)只销售不生产，画出贮
存量q(t)的图形。设每次生产准备费为c1，单位时间每件产品贮存
费为c2，以总费用最小为目标 确定最优生产周期。讨论k??r和k?r
的情况。

3.3 在3.3节森林救火 模型中，如果考虑消防队员的灭火速度?与开
始救火时的火势b有关，试假设一个合理的函数关系，重新 求解模
型。

3.4 在雨中从一处沿直线跑道另一处，若雨速为常数且方向不变。 试
建立数学模型讨论是否跑的越快，淋雨量越少。将人体简化成一个
长方体，高a?1.5m（ 颈部以下），宽b?0.5m，厚

c?0.2m，设跑步距离d?1000m，跑步最大速度vm?5ms，

雨速u?4ms，降雨量w?2cmh，记跑步速度为v。按以下

步骤进行讨论：

（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑
完全程的总淋雨量。

（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，

且与人体的夹角为?，如图1，建立总淋雨量与速度v及参数a，

b，c，d，u，w，?之间的关系，问速度v多大，总淋雨量

最少。计算??0?，??30?

时的总淋雨量。

（3）雨从背后吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且

与人体的夹角为?，如图2。建立总淋雨量与速度v及参数a，

b，c，d，u，w，?之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。
计算??30?

时总淋雨量。

（4）以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对(3)作图（考 虑?的影
响），并解释结果的实际意义。

（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什 么变化。

图1

图2

3.5 甲乙两公司通过广告来竞争销售商品的数量，广告费分别是x
和y。设甲乙公司商品的售量在两公司总售量中占的份额，是它们的
广告费在总广告中所占份的函数f (

xx?y)和f(yx?y

)。又设公司的收入与售量成正比，从收入中扣除广告费即为公司的

利润。试构造模型的图形，并讨论甲公司怎样确定广告费才能使

利润最大。

（1）令t?x

x?y

，则f(t)?f(1?t)?1。画出f(t)的示意图。

（2）写出甲公司利润的表达 式p(x)。对于一定的y，使p(x)最大的
x的最优值应满足什么关系。用图解法确定这个最优值。 3.6 人行走
时作的功是抬高人体重心所需势能与两腿运动所需动能之和。试建
立模型讨论在 作功最小的准则下每秒走几步最合适（匀速行走）。

（1）设腿长l，步长s，证明人体重心在行走时升高

??s2l(s?l)

（2）将腿看作均匀直杆，行走看作腿绕腰部的转动。设腿的质量
m，行走速度v，证明单位 时间所需动能为mv2s。

（3）设人体质量m，证明在速度v一定时每秒行走 n?

3mg

4ml

步作功最小。mm?4,l?1m分析这个结果合理吗。

（4）将（2）的假设修改为：腿 的质量集中在脚部，行走看作脚的
直线运动。证明结果应为n?

mg

4ml

步。分析这个结果合理。

3.7 驶于河中的渡轮 ，它的行驶方向要受水流的影响。船在河的位置
不同，所受到水流的影响也不同。试设计一条使渡轮到达 对岸时间
最短的航线。

3.8 发电站的设计者们在堰坝上安装水轮机，当潮水通过堰

3.9 别为p，q室（如图所示）少应宽多少？

3.10 程中鱼类选择的消耗能量最小的运动方式。

（1）设鱼总是以常速v运动，鱼在水中净重w ，向下滑行时的阻力
是w在运动方向的分力；向上游动时所需的力是w在运动方向分力
与游动所 受阻力之和，而游动的阻力是滑行阻力的k倍，水平方向
游动时阻力也是滑行阻力的k倍，写出这些力。

（2）证明当鱼要从a点到达处于同一水平线上的b点时（见下
图），沿折线ac b运动消耗的能量与沿水平线ab运动消耗的能量之
比为（向下滑行不消耗能量）ksin??sin?

ksin(???)

。

（3）根据实际观察 c tan??0.2，试对不同

的k值（1.5，2，3）， 根据消耗能量最小的准则 估计最佳的?值。

b

【篇三：作业1数学建模,姜启源版】


、实验目的与要求

掌握运用软件求解动态系统模型，通过研究散点图得 到动态系统的
内在性质和长期趋势。通过对数据进行处理，归纳出动态系统模型。
1、 用excel对数据进行处理，建立动态系统模型并且进行验证； 2、
用excel画散点图，对动态系统模型解的长期趋势进行分析； 3、
用excel求解动态系统模型并估计均衡点； 4、 用excel分析多元
动态系统模型。 二、实验内容

example 1.1 p9 研究课题第一题

随 着汽油价格的上涨，今年你希望买一辆新的（混合动力）汽车。
你把选择范围缩小到以下几种车型：20 07toyota camry混合动力汽
车 2007saturn混合动力汽车 2007honda civic混合动力汽车
2007nissan altima 混合动力汽车2007mercury mariner混合动力
汽车。每年公司都向你提供如下的“优 惠价”。你有能力支付多达60
个月的大约500美元的月还款。采用动力系统的方法来确定你可以买那种新的混合动力系统汽车。

bn+1= bn+0.0595bn-6000

b0=21045

bn+1= bn+0.055bn-6000 b0=22850

bn+1= bn+0.0625bn-6000 b0=25450

bn+1= bn+0.06bn-6000 b0=26015

bn+1= bn+0.059bn-6000 b0=23900

excel操作步骤：

1．打开excel表格，输入如下表格:：

2．用智能标识把月份从0拉到5：

3.在b5 输入= b4+0.0595b4-6000，回车后下拉即可可到序列
b=(16297.18, 11266.86, 5937.238,?)。同理在d,f,h,j行输入，得到
如下表格：

（2）选中c1到d9的数据，建立散点图，得到honda civic表：

（3）选中e1到f9的数据，建立散点图，得到toyota camry表

（4）选中g1到h9的数据，建立散点图，得到mariner表

（5）选中i1到j9的数据，建立散点图，得到altima表

由图可知：saturn表的线最早与x轴相交，故我们可以得出应当购
买saturn公司的汽车。 example 1.2p16 习题第二题

下列数据表示从1790到2000年的美国人口数据

来测试你的模型。 解答如下：

首先均差计算公式可得下列差分表