数学单位符号高等代数学习报告

2020年11月16日发(作者：何国钟)


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高等代数学习报告



篇一：高等代数期末论文学习总结
高等代数学习总结
摘要:两学期的高等代数已经接近尾声了，高等代数作
为数学专业的基础学科之
一。本文主要讲述本人两学期下来学习高等代数的一些
知识总结和学习体会。关键词:
行列式矩阵二次型
正文:
《高等代数》是数学学科的一门传统课程。在当今世界< br>的数学内部学科趋于统一性和数学在其他学科的广泛应用
性的今天，《高等代数》以其追求内容结 构的清晰刻画和作
为数学应用的基础，是大学数学各个专业的主干基础课程。
它是数学在其它学 科应用的必需基础课程，又是数学修养的
核心课程。
高等代数是代数学发展到高级阶段的 总称，它包括许多
分支。它是在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引


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进了许多新的概念以及与通常很不相同的 量，比如最基本的
有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算
的特点，不过研究 的方法和运算的方法都更加繁复。通过学
习后，我们知道，不仅是数，还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法
或乘法，但是关于数的基本运算定律，有 时不再保持有效。
因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数
学中把这样的一些 集合，叫做代数系统。
在学习之前，我一直认为高等代数就是把线性代数重学
一遍，因为 大一的时候线性代数学得不深，而且也没有学完。
经过两学期的学习后，我发现，这两者之间区别还是挺 大的。
高等代数数学专业开设的专业课，更注重理论的分析，需要
搞懂许多概念是怎么来的，而 线性代数，只是一种运算工具，
是供工科和部分医科专业开设的课程，只注重应用。
经过 两学期的学习，我对高等代数里面的知识有了个初
步的认识和接触，特别是代数的一些思想，也从中收获 不少。
下面就对两学期的学习做一个回顾和总结。行列式
行列式是代数学中的一个基本概 念，它不仅是讨论线性
方程组理论的有力工具，而且还广泛的应用于数学及其他科
学技术领域
定义：设A=（??????）为数域F上的n×n矩阵，规定
A的行列式为


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??=(?1)??(??1??2?????)??1??1??2??2?????????
??1??2…????
其中，??1??2?????为1,2，…，n的一个排列。
从定义，我们可以看出，行列式是????×??到F的一个
映射。通过这个定义，我们可 以推断出行列式的诸多性质：
1.行列式与它的转置相等；
2.互换行列式的两行（列），行列式变号；
3.若一个行列式中有两行（列）元素对应相等，则这个
行列式为零；
4.行列式的某行（列）中的公因子可以提出去，或者以
一数乘行列式等于这个数乘行列式；
5.如果行列式中两行成比例，那么行列式为零；
6.帮行列式的一行乘以某个数加到另一行，行列式不变；
e展开定理：任取A的k行，可构成A的一切
可能的k阶子式为
??（t=????）个 ，设为m1，…，????,其相应的代数余
子式为??1，??2，…，????，
则??=??1??1+??2??2+?+????????。
其中，第七条性质的特殊情形就 是我们平时常用的展开
定理。这7条性质的应用是行列式应用于其他地方的基本保
障。在此基础 上，我们可以得出更多的性质和推论。通过学
习，我们知道，行列式其实是一种工具，是将多种情况下转


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换为行列式，通过 计算行列式的值来得到想要的结果。在上
面7条性质的基础上，我们可以得到计算一般阶的主要方法与技巧：定义法、化三角形法、Vandermonde（范德蒙）行
列式法、分列式行列式法、加 边法、降阶法、递推法、数学
归纳法、做辅助行列式法。这里就不一一分析了，比较常用
的就是 化三角法，一般有上三角和下三角。
在学行列式时，没觉得有什么困难，知识本身也比较简
单，除了弄懂那些定理是怎么来的，剩下来的就是计算了，
一般情况下，只要细心点，就不会错了。行 列式还是比较好
学的。
矩阵
矩阵，matrix。在数学上，矩阵是指纵 横排列的二维数
据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这
一概念由19世纪英 国数学家cayley于1858
年首先提出。自此，矩阵理论便迅速的建立起来。矩阵
论是数学中内容最为丰富、应用最广泛的部分。
定义：称数域F中m×n个数a_ij
（i=I,2,…,m;j=1,2,…,n）排成 的m行n列的矩形表格
?a11??a21????a?m1a12?a1n??a22?a2n?????am2?amn??
??×??为数域F上的一个m×n矩阵，简记为??????，
其中??????称为矩 阵的第i行第j
列交叉点上的元素（简称元）。其中，若对于矩阵A，如


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果存在矩阵b，是的Ab=e,则称b为A的逆矩阵。
在我们的学习中，矩阵的秩和初等 矩阵是在矩阵应用中
两个比较重要的概念。矩阵的秩：设A=????????
×??,??1 ,…,????是A的行向量，??1,…,????为A的列向
量，称r矩阵的秩，若r为A行（列） 向量组的极大无关组
的个数。
用通俗的话讲就是若A中存在一个r阶子式不等于0，而一切r+1阶子式都等于0，则称r为A的秩，并记为rankA=r；
特别的，当A=0时，规 定rankA=0.我们常用到的有关矩阵的
秩的等式和不等式有：
1.设A为s×n矩阵，p,Q分别为s阶和n阶可逆矩阵，
则
r(A)=r(pA)=r(AQ)=r(pAQ).
2.设A为n阶矩阵，则rankA=n?A可逆.
=rank??′=rank(kA),其中k≠0.
4.r??00=r(A)+r(b)??
??00是m×n矩阵，则??5.秩的第一降阶定理：设A可
逆，
r??00=r(A)+r(D-c???1b)??
6.秩的第二降阶定理：设A，D分别是r阶与s阶可逆
矩阵，b，c
分别是r×s和s×r矩阵，则


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