六年级的数学日记考研数学一真题及答案

2020年11月16日发(作者：岑仲勉)
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2008年考研数学一真题
一、选择题（18小题，每小题4分，共32 分。下列每题给出的四
个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）
(1)设函数,则的零点个数为
(A)0 (B)1
(C)2 (D)3
【答案】B。
【解析】
且
唯一的零点
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—一元函数积分学—积分上限的函数及其导数
(2)函数
(A)
(C)
在点处的梯度等于


，则是
(B)
(D)
【答案】A。
【解析】

.
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所以
综上所述，本题正确答案是A。
【考点】高等数学—多元函数微分学—方向导数和梯度
(3)在下列微分方程中，以
为通解的是
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】D。
【解析】
由通解表达式
可知其特征根为
可见其对应特征方程为

故对应微分方程为
.








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综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—常微分方程—高于二阶的某些常系数齐次线
性微分方程
(4)设函数
确的是
(A)若
(B)若
(C)若
(D)若
【答案】B。
【解析】
【方法一】
由于单调，单调有界，则数列
收敛。
单调有界，
收敛，则
单调，则
收敛，则
单调，则
收敛
收敛
收敛
收敛
在内单调有界，为数列，下列命题正
根据单调有界准则知数列
【方法二】
排除法：若取,,则显然
单调，
.
收敛，但，显然
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不收敛，排除A。
若取,显然
不收敛，排除C和D。
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数的有界性、单调 性、
周期性和奇偶性，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准
则
(5)设为阶 非零矩阵，为阶单位矩阵，若
(A)
(B)
(C)
(D)
不可逆，< br>不可逆，
可逆，
可逆，
不可逆
可逆
可逆
不可逆
,则
收敛且单调，但
【答案】C。
【解析】
因为

所以可知可逆，可逆


综上所述，本题正确答案是C。
.
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【考点】线性代数—矩阵—矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分
必要条件
(6)设为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程

在正交变换下的标准方程的图形如右图所示，
则
(A)
的正特征值的个数为
(B)1
(C)2 (D)3
【答案】B。
【解析】
所给图形为双叶双曲线，标准方程为

二次型正交变换化为标准形时，其平方项的系数就是
值，可知的正特征值的个数为1
的特征
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】线性代数—二次型—次型的标准形和规范形
(7)设随机变量独立同分布，且的分布函数为
的分布函数为
.
,则
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(A)
(C)
(B)
(D)


【答案】A。
【解析】


综上所述，本题正确答案是A。

【考点】 概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—随机变量
的独立性和不相关性，两个及两个以上随机变量简 单函数的分布
(8)设随机变量
(A)
(C)
【答案】D。
【解析】
由相关系数的性质可知：
如果
可得
已知
.
,且相关系数
(B)
(D)
,则


则必有

,所以

,得
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又

而
所以
即



综上所述，本题正确答案是D。
【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量函
数的数学期望 矩、协方差、相关系数及其性质
二、填空题（914小题，每小题4分，共24分。）
(9)微分方程
【答案】
【解析】
分离变量 得,l两边积分有

利用条件，，解得
。

。
满足条件的解是 。
综上所述，本题正确答案是
【考点】高等数学—常微分方程—变量可分离的微分方程
.
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(10)曲线
【答案】
【解析】
先求曲线在点
等式

在点处的切线方程是 。
处的斜率
两端对求导得

在上式中，将代入可得
即
。

所以曲线在该点处的切线方程为
综上所述，本题正确答案是
【考点】高等数学—一元函数微 分学—导数的几何意义和物理意
义
(11)已知幂级数
则幂级数
【答案】
【解析】
由题设可知，幂级数
.
在处收敛，在处发散，
的收敛域为 。
。
在处收敛，在
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处发散,即
对于幂级数

又幂级数
发散，
所以对于幂级数
综上所述，本题正确答案是
收敛域为
。
在
时，幂级数收敛。
，则收敛区间为
处收敛，在处
。
【考点】高等数学—无穷级数—幂级数及其收敛半径、收敛区间
(指开区间)和收敛域
(12)设曲面是的上侧，则
。
【答案】
【解析】
补曲面
则

,取下侧，记
。
.
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综上所述，本题正确答案是。
【考点】 高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概
念、性质、计算和应用，两类曲面积分的概念、性 质及计算
(13)设为2阶矩阵，为线性无关的2维列向量，，
，则的非零特征值为 。
【答案】1。
【解析】
【方法一】
定义法：由

可得矩阵
。
【方法二】
矩阵相似：
.
的特征值为，因此的非零特征值为
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可知
矩阵
，
的特征值为
的特征值易得为
，因此
。
，所以可得
。 的非零特征值为
综上所述，本题正确答案是
【考点】线性代数 —矩阵的特征值和特征向量—矩阵的特征值和
特征向量的概念、性质，相似变换、相似矩阵的概念及性质

(14)设随机变量服从参数为1的泊松分布，则
。
【答案】
,所以【解析】由已知，有

所以
综上所述，本题正确答案是。

【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—一维随机变
量及函数的数字特征
三、解答题：
程或演算步骤。
.
小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过
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(15)（本题满分9分）
求极限
【解析】
【方法一】
（等价无穷小代换）


（洛必达法则）
（）


换)

【方法二】


(等价无穷小代
（等价无穷小代换）
（变量代换
（洛必达法则）
）
（等价无穷小代换）
【方法三】
.
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由泰勒公式,可得

则，上式

【方法四】




【方法五】
由于当时,

所以
,则
（拉格朗日中值定理）


【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷
小量的比较，极限的四则运算
高等数学—一元函数微分学—微分中值定理，洛必达(L'Hospital)
法则
(16)（本题满分9分）
.
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计算曲线积分
上从点
【解析】
【方法一】

到点
,其中
的一段。
是曲线



【方法二】
添加
与
轴上从点到点的直线段，为
围成的封闭区域，则





【考点】高等数学—多元函数积 分学—二重积分与三重积分的概
念、性质、计算和应用，两类曲线积分的概念、性质及计算，格
.
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林(Green)公式
(17)（本题满分11分）
已知曲线
最近的点。
【解析】
设
离为
为曲线
求 曲线距面最远和
上任意一点，则点
在条件
到面的距
，即原题化为求
下 的最值点，构造拉格朗日
函数

解方程组
得，从而

得可能极值点：
有
根据几何意义，曲线
.


上存在距面最远和最近的点，故
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所求点依次为。
【考点】高等数学—多元函数微分学—多元函数的极值和条件极
值
(18)（本题满分10分）
设函数连续，
可导，且(I)利用定义证明函数
；
(II)当是以2为周期的周期函数时，证明函数
也是以2为周期的周期函数。
【解析】
(I)对于任意的,由于函数连续，所以



其中
又
介于和
,可知
（积分中值定理）

之间。
可导，且
.
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(II)【方法一】
对于任意的，有





所以，
从而有
又
则，

（常数）

，即也是以2为周
期的周期函数。
【方法二】
对于任意的，有





.


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则
故


也是以2为周期的周期函数。
【方法三】
对于任意的，有



由于
所以

故也是以2为周期的周期函数。
以2为周期，则
【方法四】
对于任意的，有



则


.
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故也是以2为周期的周期函数。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数的有界性、单调性、
周期性和奇偶性
高等数学—一元函数积分学—积分上限的函数及其导数
(19)（本题满分11分）
将函数
的和。
【解析】
因为是偶函数，于是
有





所以
令
.
展开成余弦级数，并求
,对



,
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故
【考点】高等数学—无穷级数—函数的傅里叶(Fourier)系数与傅
里叶级 数，函数在
(20)（本题满分10分）
设
别是
的转置。证明：
(I)秩
(II)若
【解析】
(I)因为
且秩
那么
(II)
于是，

【考点】线性代数—矩阵—矩阵的秩
.
上的正弦级数和余弦级数
为3维列向量，矩阵,其中分
；
线性相关，则秩。
为3维列向量，所以

都是3阶矩阵，

线性相关，则设
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(21)（本题满分12分）
设元线性方程组，其中

(I)证明行列式
(II)当
(III)当
【解析】
(I)数学归纳法：
记
当
当
设
当
阶行列式
时
时，
时，命题
时，按第一列展开，则有
的值为
,命题

正确；
,命题正确
正确
；
； 为何值时，该方程组有唯一解，并求
为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。
.
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命题正确，所以
(II)由克拉默法则，
。
方程组有唯一解，故时方
程组有唯一解，且用克拉默法则，有

(III) 当
由
时，方程组为
,方程组有无穷多解，其通解为
,其中为任意常数。

(22)（本题满分11分）
.
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设二维随机变量相互独立，
，的概率为
的概率密度为

记
(Ⅰ)求
(Ⅱ)求
【解析】
概率密度
。
；
。
(Ⅰ)

(Ⅱ)

所以
.

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【考点】概率论与数理统计—多维随机变量的分布—二维随机变
量函数的分布
(23)（本题满分11分）
设为来自的简单随机样本，记

（Ⅰ）证明
（Ⅱ）当
【解析】
(Ⅰ)因为
是的无偏估计量；
时，求。

所以是的无偏估计量。
时，
，
D[
所

以
从而
，，
，
（Ⅱ）当
.
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【考点】概率论与数理统计—数理统计的基本概念—统计量的数字
特征
.