初一数学动点问题何天成：从高联到IMO金牌,超详细数学竞赛学习方法(三)

2020年11月17日发(作者：强建华)
何天成：从高联到IMO金牌，超详细数学竞赛学习方法（三）

本文作者 何天成，第58届国际数学奥林匹克（IMO）
金牌获得者，华南师大附中2017届毕业生，北京大学 数学
科学学院2017级新生。作者非常详细地阐述了从高联一试
二试，到参加CMO，国家集 训队，走向IMO，各级竞赛的
心路历程和学习方法，对于参加竞赛的同学具有非常大的指
导意 义，因为篇幅较长，故分为三篇分享给大家，这是第三
篇。请看过的同学温故知新，没看过的同学一定要 认真做好
笔记，满满的干货~正文如下：下面这些内容主要针对自学，
如果你有一个会精心安排 你的备考计划的竞赛教练，下面的
这些内容仅供参考，主要还是要跟着教练的思路走。
关于培 训，在这里我不作推荐，但是个人觉得最好还是要参
加一些培训，了解一下最新的题目和方法。具体的备 考建议
一推荐的书和题
以下讲的这些都是我自己听过或者做过的书和题目，应该大
部分都可以在网上找到 pdf 版本，没有提到的书和题很可能
是没有做过的。不敢枉加评价。
一般来说，刚刚接触竞赛的新人都需要一套系统全面的入门
书籍，比如：《 奥赛经典》、《 奥数教程 》 、《 小丛书 》
等。对于这些书，如果可以的话当然是选一套书慢慢啃，但
其实几乎没有人能够有毅力地踏踏实实做完一套这样的“大
部头”...... 所以你可以先了解一下做题的方法，然后做一些
题，不一定要做完所有习题。
在刚开始接触新 的领域的时候可以直接看例题的答案，但是
最好每个题都要经过一段时间的思考，至少也应该知道自己< br>没有突破的地方在哪 —— 那就是你能学到的新东西。要学
会举一反三，这样很快就能掌握很多方法。
关于联赛的模拟题，除了学校教练的题目，我只做过 《 中
等数学 》 的模拟题（包括增刊 和非增刊）。模拟题的难度
总归与真正联赛有差距，所以如果有些套题做下来一点思路
都没有， 很可能是题目确实难，不必太在意；但是如果是自
己算错的很多，就要找原因了。事实上，我自己的体会 是，
增刊模拟题一试平均分与真实联赛的成绩差距不会很大。可
能模拟会稍难一些，但是真正考 联赛的时候会比较紧张，也
有可能会出现低级失误。
在稍稍进步一些之后，实际上你己经可以 做出一部分联赛二
试难度的题目了，但是稳定性却不能保证。这个时候，比较
重要的是补充短板 。可以看之后的具体分支中的书。
关于备战二试较难的题目和 CMO 以上级别的考试，我强烈
推荐单蹲的 《 数学竞赛研究教程 》。尽管这本书不厚，但
其中很 多章节里的思想很关键。尽管现在新的方法很多，很
多很难的题目却恰恰用的是老的方法。我觉得这本书 是值得
从头到尾扎实地把所有题做一遍的。
《 命题人讲座 》 系列是一套补短板的好书，但也有不足
一一 部分书的部分章节太偏太难，更像是科普而非针对竞赛。我自己看过的书大概在之后写了，其他的书就没怎么看
过了。
一些流行的期刊，比如 《 中等数学 》 等，可能会载有一
些最新的题目和方法。我推荐大家在看书了解传统的方法的
同时，最好也要了解最新的题目与新兴的方法。
之前说到过两套所有人都要做的题目：《 走向 IMO 》和
IMO 预选题。这两套题目都非常好，在准备 CMO 和 TST
时都可以做。 IMO 预选题大致按照难度排序，并且题目本
身大都很优美。（当然，其中有 些题目可能作为竞赛题确实
过难了一些......）
题目看似虽少，如果给足时间做这些题目，实际上也需要不
少时间。从 IMO官网（ ）的problems
里可以找到近年的 IMO 预选题（ IMO shortlist ）与多种
语言的 IMO 真题。当然，你也可以从官网里找到历年考试
的成绩与选手的资料（包括照片哦），在做 IMO 题目的时候
可以以此为参考。
数学新星网里有一些不错的文章，新星征解的难度也不错
（难度不太均匀，建议以题为单位单独做，不要计时），对
数学竞赛可能会有帮助。
很多人都会逛 AOPS论坛
( ) ,进入 community，
contest 就可以找到很多其他国家的题目了，也可以在论坛
上与世界各地的数学爱好者 讨论。我自己做过近年美国的
USAMO , USATST , USATSTST 试题，确实也不错。
另外， AOPS 上的方法一般是网友自己做出来的，可能有
很多方法 与官方答案不同。有很多非常优美的方法值得学习
一一有些题目官方答案很复杂，但在 AOPS 上却有短而精
辟的解答。
Aigner 与 Ziegler 的《Proofs from THE BOOK 》是一本
拓宽视野的好书。平时没事可以翻翻，里面的很多证明有推
广价值 。（不过有的章节需要用到高等数学的知识，看不懂
就留给以后再看吧）
二专题强化
下面按照代数、几何、数论、组合的顺序给出一些具体的建
议。
1
代数
代数，主要的题型有多项式，复数，数列，不等式，函数方
程。
关于代数，个人认为 学一些数学分析和高等代数对代数感会
有提高——有些题目会用到分析或者代数的思想，未来的题
目也很有可能朝这个方向发展，所以有时间的话推荐大家学
一些。
系统讲多项式和复数的书其实不多，《 数学竞赛研究教程 》
里有讲到一些。但我对复数和多项式的了解主要还是来自于
题目。有一些特殊的多项式，比如 Chebyshev 多项式，还
是要了解的。多项式另一个考点是多项式的数论性质，比如
Hensel 引理等，也要了解。
数列，要熟悉各种各样的换元法和求通项公式的方法，能 求
出通项公式的数列往往可以通过通项公式大幅简化问题。数
列的另一种考法是与数论结合。比 如像 Fibonacci 数列这样
的二阶线性递推数列有很好的数论性质，要专门研究。
不等式是一个大坑 ，种类繁多，套路复杂。拿到一个不等
式，第一件事一定是猜取等，通过取 等确定最基础的方向一
般来说，取等都是比较容易猜出的。比如若干取0若干相同；
但是也有例 外，比如不对称的不等式和一些算常数的不等式。
遇到不确定取等条件的不等式，最好先观察有没有简化 的方
法：比如可以通过调整，让最小者是0；对局部求导，得到
一些要满足的性质等等。
三元对称不等式有一个很厉害的方法，就是配齐次、通分、
展开，然后利用 Schur 不等式和 Murihead 定理一点一点
消去一些项（当然还有直接把一些平方展开可以得到的“自 制”
不等式），最后把它拆成若干个非负的东西之和就可以了。
（一般来说，不等式都不会太强 ，一点一点来总能可以做出
来的）当然，现在考的三元对称不等式越来越少了，一般也
不会让你 可以这么暴力的解出，比如给一个很不友善的条件
之类的（ 如a2+b2+c2=1 让你配不了齐次）遇到这种情况
还是老老实实用传统的不等式方法（均值，柯西等）做吧。
切 割线法和局部不等式是解决问题的独门秘籍。如果遇到简
单放缩无法奏效的情况，可以试着自己构造一个 这样的局部。
如果不等式中变元是分离的，可以考虑用 karamata 不等式
和Jensen 不等式，验证一下凸性，说不定就做完了或者大
幅简化问题。
调整法很笨，但是有的时候却能奏效。但是调整法要注意：
如果要使用无限次的平均调整，一定要说明 调整是作用在紧
集上的，从而最小值点存在。另外，不是所有题都可以轻易
地调整出来。如果调 整法计算量不小的话，试试其他方法吧。
函数方程，是一个中国考察得比较少的方向，但是在 IMO 预
选题代数里往往占据半壁江山。个人觉得函数方程是代数里
很难提高的部分，不同题目的处理 方法也不太有共通性。虽
说本质上就是不断代入，但也有一些技巧，比如寻找函数方
程的单调、 单射满射等性质；考察函数的值域，或者取函数
的等于目标函数的点的集合，刻画集合的性质以证明是全 集：
适当给出变元间的关系使得等号两边部分项相等而消去；把
较复杂的复合函数带入，结合之 前的结论变形消元等等。
代数历来是中国的传统强项与国内竞赛中的一大考察重点。
不过相对 而言，代数对基本功要求较高，通过训练会有较大
提高。
2
几 何
几何与其他方向不同，有多种本质不同的处理手段，最关键
的是掌握多种手段解题 —— 纯几何（包括几何变换），三
角，复数，重心坐标系，解析几何。
这里我不讨论比较“奇怪” 的几何题，比如几何不等式或者立
体几何。当然主要原因是考得不多，我自己也没有学过......
纯几何法，简单来说就是几何的传统方法。一般标准答案一
定会至少给出一个这样的纯几何法， 所以普适性最强。
关于纯几何，最权威的书或许是 《 近代欧氏几何学 》。这
本书里记录 了很多很有趣的性质，但是对具体处理几何题似
乎帮助不大......不过有向角和有向线段的书写在 这本书里有，
可以练习一下；另外，这本书里面讲了很多关于反演的性质，
如果你不熟悉反演变 换，把这本书里面的性质证一遍会熟悉
很多。
反演是处理几何题的常用手段，一般来说，在拿 到题目之后
都要检测一下能不能通过反演大幅简化问题。这是一个处理
很多几何问题的捷径，必 须要学会，也不算很难。
调和点列的性质很多，也有很多很“套路”的题目可以用调和
和配极做。关于这个，我印象里《 中等数学 》有一篇关于
调和的文章讲的比较详细。
几何的定理和构型要熟悉。比如伪内切圆，三角形五心的关
系， Miquel 点，帕斯卡定理、笛沙格定理等等。很多几何
题是基于这些构型的，如果不熟悉的话非常吃亏。
纯几何大概能讲的就这么多，最后要记住：如果做不出来，
请画一个标准图，找相似、共线、共圆，大 智若愚，往往做
不出题的原因是你对这个图形的结构了解的还不够深，只需
猜到一些结论或许很 快就能得到突破。
三角，是简单几何构图中计算起来最快的方法，也是覆盖面
最广的方法，所 以联赛几何经常可以用三角做。三角法的技
术含量其实不算很高，大概就是把角写出来（这里可能要用< br>角元梅、赛），然后用正弦、余弦定理表示边，最后算出对
应的性质。需要注意的是：和差化积、 积化和差等三角变形
公式必须非常熟悉。并且在处理具体问题的时候，一般来说
乘比加的形式更 漂亮，因为更容易消掉一些东西 ， 所以在
表示边的时候尽可能少用余弦定理，余弦定理一般是最后带
入算。
另外，三角 法有时要配合同一法。有时候一个角看似不好求，
实际上就是已有角的线性表示，带入之后一下就做出来 了。
所以在三角法陷入僵局的时候可以考虑带入特殊角。
复数法。复数法其实适用范围并不广泛，但是有的题目用复
数会远简单 —— 复数是做几何题的独门兵器。复数法一般
来说只能适用于圆比较少的情况：因为给定 3 点求圆心坐< br>标很困难。一般来说，原点取一个圆的圆心，并把这个圆取
成单位圆，这样可以认为圆上的点有
相似三角形用复数比较容易表示，但解两条直线的交点比较
困难。在计算的过程中，尽量把所有 点都用单位圆上的复数
表示，这样取共扼只需要把里面所有单位圆上的复数z分别
换成1 z 即可。
在用复数法解题之前要先判断一下计算的复杂度。一般来说，
表示起来复杂的点不能太 多，否则计算量会指数级增加。
重心坐标系我不会，但似乎也有其用武之地，有兴趣的同学
可以自己了解。
解析几何 法。这是一种很暴力的方法，适用范围最差，计算
量最大。我几乎没见过有人可以用解析几何做出 CMO 以上
难度的题，就算有，用三角也可以比较快的做出来。当然，
有的题目用曲线系等“ 高级”解析几何方法可以迅速做出，可
以参考单墫《 解析几何的技巧 》。
处理一道几何题 ，一般要先画一个比较标准的图，然后观察
是否有好的性质，估测各种计算法的复杂度，然后选择一种< br>方法做下去。特别要注意的是，在 CMO 与之后的考试中，
如果点线之问的位置关系不确定。 最好使用有向角与有向线
段或者分情况讨论（尽管一般是本质相同的）；特别的，在
每个交点取 出之前，一定要先询问自己“是否有交点”，避免
因为这样的平凡情况被扣分。
中国国内的考 试对几何的要求不算高，并且很多几何题可以
用“算”的方法解出，所以高手做几何题往往更偏重计算法 。
（有一定原因是中国选手代数基本功较好）计算法的优势在
于熟练之后所需时间比较稳定，不 容易卡壳。不过， IMO 中
较难的几何题中有不少通过计算法很难解出，中国队就普遍
做的 不好。所以我更推荐大家在学习几何的时候计算、纯几
何方法都要熟练，运用“综合法”解题，这样才更 容易稳定发
挥。
3
数 论
数论题目主要分成 3 类：传统型数论、估计型数论、结合
型数论。
传统类的数论主要用同余，阶与原根， Pell 方程，二次剩
余来处理。我自己看的是潘承彪和潘承洞的《 初等数论 》
的前面 一部分章节，其实己经足够了。稍高级的技巧，比如
关于素数分布、连分数的结论，其实也可以学学，在 有些题
目里会有帮助。
传统类的数论中国人比较擅长。这一类的数论套路有限，多
做 一些题就可以了。另外，命题人讲座里的《 初等数论 》
也不错，题目难度适中。不过这一类题目出现的频率与难度
目前在逐渐下降。
LTE 引理很有用，算是一个“黑科技”，一定要熟练掌握。关
于n!里素数的指数以及组合数里的数论性质也 要熟。
估计型数论是最近出现的比较新颖的题目，一般是对一些量
算两次，比如：Bertrand- Chebyshev定理和有关素数分布的
结论的证明。在我的印象里，估计方法在处理 square-free
的时候很好用，但很多估计类题目其实并不算明显——很多
题目使用 估计的想法出其不意，要是没有往这方面想，就很
难做出了。同时需要记住一些关于素数的结论，比如素 数倒
数和发散等等。
结合型数论，其实近年考的也不少，主要是与组合或者代数
结合。( IMO 2016 T3 连几何都结合了起来，很有趣）
与代数结合的数论有整值数列，数论函数方程，整系数、整
值多项式等。这一类题目有自己独特的处理方法，要专门寻
找并练习。
与组合结合的数论题不 少。这一类题目实际是“披着数论皮的
组合”，在处理中常使用抽屉原理、构造法等方法来解决。中国剩余定理往往在其中扮演了重要角色。
另外，还有一种整体思考类型的数论题目，最典型的题目是：
“在 2n -1 个整数中总可以取出其中 n 个数，其和为 n 的
倍数” ( Erdos- Ginzburg - Ziv 定理）。第一次见到这种方法
肯定会觉得不可思议，但这种方法其实是证明存在性的一种< br>较常见的手段。
综合型数论近年来在数论题目中出现的比例越来越高。事实
上，跨分支 出题是近年来的命题趋势。所以要提升自己的知
识的综合运用能力。
4
组 合
组合，大概就是前面三个分支的补集吧。做过 IMO 预选题
的同学都知道组合的厉害 —— 组合是四个分支中平均难
度最高的分支，方法纷繁复杂，不易分专题训练：有人笑称
一些组合题 是“小学奥数”，其实有一定道理 ——很多组合题
并不需要很多前置知识，答案也只有寥寥数行，却有 很高的
本质难度。所以组合题的训练是四个分支中最困难的，做组
合题很依赖大脑中的“灵光一 现”。当然，也正因为做组合题
的方法较多，如果尝试某种方法久而未果，最好尝试新的方
法， 很可能会有收获。
关于组合，我大概能想到的专题有图论，集合，组合几何，
组合恒等式，母函数以及其他杂题。
图论，个人觉得 Bondy ，和murty的 《 Graph Theory with
Applications 》 是不错的教材，这里面己经有足够应付竞赛
的性质和定理了：命题人里的 《 图论 》 也不错。当然 ，
只看这样的书并不能熟悉真正的题目，我强烈推荐大家找本
俄罗斯数学奥林匹克（ RMO ）的书来，找到里面所有的图
论题来做。
关于集合的问题出现的很多，但是方法其实与其他组 合题差
不多，有一些可以用图论里的方法。如 Hall 定理：另外一
些题目可以用归纳法或者极端原理。集合里也有一些值得注
意的定理，比如 Sperner 定理，有很多不同的证明，最好
都要了解（因为有很多题目可以用类似定理某种证明的 方法
做出） 。
组合几何，命题人讲座的那本还不错，但我也只是翻过。组
合几何类 型也很多，包括棋盘问题和格点问题，主要还是需
要做大量的题目来熟悉竞赛题在考什么。
组 合恒等式其实更多的时候主要采用代数或者数论的方法
解决，只有少数组合恒等式可以用“组合”来解决 。推荐《研
究教程 》 里组合恒等式和母函数的章节。
母函数，有一本很不错的讲母函数的书，是 Graham ，Knuth，
Patashnik 写的 《 Concrete Mathematics 》 。 其中讲特
殊数列，母函数和母函数的应用的部分非常详细，但缺点是
比较长。当然如果没有这么 多时问，单蹲的 《 母函数 》 也
不错。
其他题就归结为杂题了，杂题类型很多，没有什么固定的方
法，只能多做题寻找其中的规律。
特别的，我要提一下代数方法（比如线性代数法，组合零点
定理等）以及概率方法。这些“新颖 ”的方法容易被忽视，但
却有其用武之地，有兴趣的同学可以自己研究一下。 ( tips ：
在 AOPS 上找 IMO 2012 T3 和 IMO 2014 T6 ，有惊喜）
关于组合题，我强烈推荐 RMO 的题目。 RMO 里的组合
题都非常好，不算很难，但是用到了很多方法。RMO 的题
目一般偏重几何和组合，代数和数论会相对简单一些。除了
RMO ，莫斯科数学竞赛， 圣彼得堡数学竞赛，全苏奥林匹
克竞赛等竞赛题目风格类似，也非常优秀。总结与感谢如果
大家 认真地看完了之前写的一切，可能会有些迷茫，也可能
有点晕。不过没事，其中的很多东西可能暂时不会 用到，可
以之后再看。
由于笔者水平有限，文章的逻辑有些混乱。内容也只是“填鸭
式”地把我能想到的东西都写了出来：但其中，每一行字都是
笔者的经验之谈。很多简短的话语中饱含了 血的教训！希望
大家能尽可能地理解我想表达的意思，在竞赛路上找到属于
自己的天空。
最后，感谢一路陪伴的同学、老师一是你们的存在让我的竞
赛之路如此丰富多彩；特别感谢 2017 年中国国家队教练组
老师们的辛勤付出，老师们辛苦了！