2010江苏数学2019年全国大学生数学建模竞赛试题共46页word资料

2020年11月17日发(作者：蒋筑英)
2002年全国大学生数学建模竞赛题目
A
题 车灯线光源的优化设计

安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方,
其开口半径 36毫米，深度21.6毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方
向，对称地放置一定长度的 均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光
源的长度。

该设计 规范在简化后可描述如下。在焦点F正前方25米处的A点放置一测试
屏，屏与FA垂直，用以测试车灯 的反射光。在屏上过A点引出一条与地面相平行的直
线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2 AB=2.6米。要求C点的光强度不小于
某一额定值（可取为1个单位），B点的光强度不小于该额定 值的两倍（只须考虑一
次反射）。

请解决下列问题：

（1）在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。

（2）对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。

（3）讨论该设计规范的合理性。

B
题 彩票中的数学

近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的
行列，目前流行的彩票 主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。

“传统型”采用“10选6+1”方案：先从6组
0~9
号球中摇出6个基本号码，每
组摇出一个，然后从
0~4
号球 中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从
0~9
十
个号码中任选6个基本号码（ 可重复），从
0~4
中选一个特别号码，构成一注，根据
单注号码与中奖号码相符的个 数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“abcdef+g”
第 1 页

为例说明中奖等级，如表一（
X
表示未选中的号码）。

表一

中 奖

10 选 6+1（6+110）

等 级

基 本 号 码 特别号码

一等奖

abcdef
二等奖

abcdef

三等奖

abcdeX Xbcdef

四等奖

abcdXX XbcdeX Xxcdef

五等奖

abcXXX XbcdXX XXcdeX XXXdef

六等奖

abXXXX XbcXXX XXcdXX XXXdeX XXXXef

“乐透型”有多种不同的形式，比如“33选7”的方案：先从
0 1~33
个号码球中
一个一个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码 。投注者从
01~33
个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符 的个
数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。又如“36选6+1”的方案，先从
01~ 36
个号码球中一个一个地摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。
从
01~36
个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的
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个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。这两种方案的中奖等级如表二。

表二

中 奖

33 选 7（733）

等 级

基 本 号 码 特别号说 明

码

36 选 6+1（6+136）

基 本 号 码 特别号说 明

码

●●●●选7中（6+1）

一等奖

●●●●●●选7中（7）

●
●

● ★

选7中（6）

二等奖

●●●●●●选7中（6+1）

●●●●●●

○ ★

三等奖

●●●●●●○

选7中（6）

●●●●●选7中（5+1）

○ ★

四等奖

●●●●●○选7中（5+1）

●●●●●○

选7中（5）

○ ★

五等奖

●●●●●○○

选7中（5）

●●●●○选7中（4+1）

○ ★

六等奖

●●●●○○选7中（4+1）

●●●●○○

选7中（4）

○ ★

七等奖

●●●●○○○

选7中（4）

●●●○○选7中（3+1）

○ ★

注：●为选中的基本号码；★ 为选中的特别号码；○ 为未选中的号码。

以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，
单注若已得到高级别的奖 就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金
第 3 页

设置方案如表 三，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，
高项奖按比例分配，但一等奖单 注保底金额60万元，封顶金额500万元，各高项奖额
的计算方法为：

[(当期销售总额

×总奖金比例)

-低项奖总额

]×单项奖比例


（1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现 的可能性、奖项和奖金额的设
置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。

（2）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。

（3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。

表三

序

号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

奖项

一等奖

二等奖

三等奖

四等奖

五等奖

六等奖

七等奖

备 注

方案

比 例

比 例

比 例

金 额

金 额

金 额

金 额

6+110

6+110

6+110

6+110

729

6+129

730

730

730

731

731

50%

60%

65%

70%

60%

60%

65%

70%

75%

60%

75%

20%

20%

15%

15%

20%

25%

15%

10%

10%

15%

10%

30%

20%

20%

15%

20%

15%

20%

20%

15%

25%

15%

50

300

300

300

300

200

500

200

200

500

320







按序

按序

按序

按序








20

20

20

30

20

50

50

30

50

30

5

5

5

5

5

15

10

10

20

5

5

5

5

10


第 4 页

12

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732

732

732

733

733

734

734

735

735

735

735

735

6+136

6+136

736

737

640

560

65%

70%

75%

70%

75%

65%

68%

70%

70%

75%

80%

100%

75%

80%

70%

70%

82%

60%

15%

10%

10%

10%

10%

15%

12%

15%

10%

10%

10%

2000

10%

10%

10%

15%

10%

20%

20%

20%

15%

20%

15%

20%

20%

15%

20%

15%

10%

20

15%

10%

20%

15%

8%

20%

500

500

500

600

500

500

500

300

500

1000

200

4

500

500

500

1500

200

300

50

50

50

60

50

30

50

50

100

100

50

2

100

100

50

100

10

30

10

10

10

6

10

6

10

5

30

50

20

















5


2


5

5

5


无特别号







10

10

10

50

1


5


5




2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

A题 SARS的传播
第 5 页

SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：
非典型肺炎）是21世 纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我
国的经济发展和人民生活带来了很大影 响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，
认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病 蔓延创造条件的重要性。
请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：
（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。
（2）建立你们自己的模型 ，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样
才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供 可靠、足够的信息的模型，这样
做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后 5天采取严
格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。
（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。
附件3提供的数据供 参考。
（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。

附件1：
SARS疫情分析及对北京疫情走势的预测
2003年5月8日
在病例数比较多的地区，用数理模型作分析有一定意义。前几天，XXX老 师用解
析公式分析了北京SARS疫情前期的走势。在此基础上，我们加入了每个病人可以传染
他人的期限（由于被严格隔离、治愈、死亡等），并考虑在不同阶段社会条件下传染
概率的变化，然后先 分析香港和广东的情况以获得比较合理的参数，最后初步预测北
京的疫情走势。希望这种分析能对认识疫 情，安排后续的工作生活有帮助。
1 模型与参数
第 6 页

假定初始时刻的病例数为N0，平均每病人每天可传染K个人（K一般为小数），
平均每个病人可以直接 感染他人的时间为L天。则在L天之内，病例数目的增长随时
间t(单位天)的关系是：
N（t）= N0 (1+K)t
如果不考虑对传染期的限制，则病例数将按照指数规律增长 。考虑传染期限L
的作用后，变化将显著偏离指数律，增长速度会放慢。我们采用半模拟循环计算的办< br>法，把到达L天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉。
参数K和L具有比较明显的实 际意义。L可理解为平均每个病人在被发现前后可
以造成直接传染的期限，在此期限后他失去传染作用， 可能的原因是被严格隔离、病
愈不再传染或死去等等。从原理上讲，这个参数主要与医疗机构隔离病人的 时机和隔
离的严格程度有关，只有医疗机构能有效缩短这个参数。但我们分析广东、香港、北
京 现有的数据后发现，不论对于疫情的爆发阶段，还是疫情的控制阶段，这个参数都
不能用得太小，否则无 法描写好各阶段的数据。该参数放在15-25之间比较好，为了
简单我们把它固定在20（天）上这个 值有一定统计上的意义，至于有没有医学上的解
释，需要其他专家分析。
参数K显然代 表某种社会环境下一个病人传染他人的平均概率，与全社会的警觉
程度、政府和公众采取的各种措施有关 。在疾病初发期，社会来不及防备，此时K值
比较大。为了简单起见，我们从开始至到高峰期间均采用同 样的K值（从拟合这一阶
段的数据定出），即假定这阶段社会的防范程度都比较低，感染率比较高。到达 高峰
期后，我们在10天的范围内逐步调整K值到比较小，然后保持不变，拟合其后在控制
阶段 的全部数据，即认为社会在经过短期的剧烈调整之后，进入一个对疫情控制较好
的常态。显然，如果疫情 出现失控或反复的状态，则K值需要做更多的调整。
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2 计算结果
2.1 对香港疫情的计算和分析。香港的数据相对比较完整准确。但在初期，由于
诊断标准等不确切，在3月17日之前，没有找到严格公布的数据。我们以报道的2
月15日作 为发现第一例病人的起点，2月27日从报道推断为7例。3月17日后则都
是正式公布的数据。累积病 例数在图1中用三角形表示。我们然后用上述方法计算。4
月1日前后（从起点起45天左右）是疫情高 峰时期，在此之前我们取K=0.16204。此
后的10天，根据数据的变化将K逐步调到0.027 3，然后保持0.0273算出后面控制期
的结果。短期内K调整的幅度很大，反映社会的变化比较大。 图中实心方黑点是计算
的累积病例数。从计算累积病例数，很容易算出每天新增病例数（当然只反映走向 ，
实际状况有很大涨落）。可以看出，香港疫情从起始到高峰大约45天，从高峰回落到
110 以下（每天几个病例）大约40天（5月上中旬），到基本没有病例还要再经过近
一个月（到6月上中旬 ）。
2.2 对广东疫情的计算和分析。广东的起点是02年11月16日，到今年2月下旬达到高峰，经过了约100天。在今年2月10日以前的数据查不到，分析比较困难。
总体上看， 广东持续的时间比香港长得多，但累积的总病例数却少一些，这反映出广
东的爆发和高峰都不强烈。但广 东的回落也比较慢。从2月下旬高峰期到现在经过了
约70天，还维持着每天10来个新增病例，而同样 过程香港只用了约40天。这种缓慢
上升和下降的过程也反映到K值上。比较好的拟合结果是，在高峰期 之前（t < 101
天），K=0.0892；在随后的10天逐步调整到0.031。用这组参数算 出的后期日增病例
数比实际公布的偏小，说明实际上降低得更慢。这种情况与疫情的社会控制状况有没< br>有什么关系，需要更仔细的分析。
2.3 对北京疫情的分析与预测。北京的病例起点定在3月1日，经过大约59天
第 8 页

在4月29日左右达到高峰。我们通过拟合起点和4月20日以后的数据定出高峰期以
前的K=0.1 3913。这个值比香港的0.16204来得低，说明北京初期的爆发程度不如香
港，但遗憾的是上升 时间持续了近60天，而香港是45天，这就造成了累积病例数大
大超过香港。从图2中还看出4月20 日以前公布的数据大大低于计算值。而我们从对
香港、广东情况的计算中，知道疫情前期我们的计算还是 比较可行的。从而可以大致
判断出北京前期实际的病例数。图中的公布数据截止到5月7日（从起点起6 7天），
其后的计算采用的是香港情况下获得的参数。按这种估算，北京最终累积病例数将达
到 3100多。




图1 对香港疫情的拟合

第 9 页




图2 对北京疫情的分析
图3是计算的日增病例数。后期下降得较快的实心方黑点是采用香港参数获得
的。这就是 说，如果北京的疫情控制与香港相当或更好的话，就可以在高峰期后的40
天（从起点起100天）左右 ，即6月上中旬下降到日增几例。然后再经过约一个月，
即7月上中旬达到日增0病例。但如果北京的新 病例下降速度与广东类似的话，则要
再多花至少一个月，才能达到上述的效果，且累积总病例数会到38 00左右。至于什么
原因造成香港下降速度快而广东下降速度慢，需要有关方面作具体分析。

第 10 页




3 结论
每个病人可以造成直接感染他人的期限平均在20天左右，这个值在不同地区和
不同疫情阶段似乎变化不 大。病人的平均每天感染率与社会状况有关，在疫情爆发期
较大，在疫情控制期要小很多。香港的初期爆 发情况比广东和北京都剧烈，但控制效
果明显比较好。北京后期如果控制在香港后期的感染率水平上，则 有望在6月上中旬
下降到日增几例。然后再经过约一个月，即7月上中旬达到日增0病例。而累积总病< br>例数将达到3100多。但如果北京的新病例下降速度与广东类似的话，则要再多花至少
一个月， 才能达到上述的效果，且累积总病例数会到3800左右。

附件：北京市疫情的数据下载
B题 露天矿生产的车辆安排

钢铁工业是国家工业的基础之一，铁矿是钢铁工业的主要原料基地。许多现代化
铁矿是露天开采的，它的生产主要是由电动铲车（以下简称电铲）装车、电动轮自卸
第 11 页

卡车（以下简称卡车）运输来完成。提高这些大型设备的利用率是增加露天矿经济效
益的首要任务。
露天矿里有若干个爆破生成的石料堆，每堆称为一个铲位，每个铲位已预先根 据
铁含量将石料分成矿石和岩石。一般来说，平均铁含量不低于25%的为矿石，否则为
岩石。 每个铲位的矿石、岩石数量，以及矿石的平均铁含量（称为品位）都是已知的。
每个铲位至多能安置一台 电铲，电铲的平均装车时间为5分钟。
卸货地点（以下简称卸点）有卸矿石的矿石漏、2个铁路 倒装场（以下简称倒装
场）和卸岩石的岩石漏、岩场等，每个卸点都有各自的产量要求。从保护国家资源 的
角度及矿山的经济效益考虑，应该尽量把矿石按矿石卸点需要的铁含量（假设要求都
为29. 5% 1%，称为品位限制）搭配起来送到卸点，搭配的量在一个班次（8小时）内
满足品位限制即可。 从长远看，卸点可以移动，但一个班次内不变。卡车的平均卸车
时间为3分钟。
所用卡车载重量为154吨，平均时速28 。卡车的耗油量很大，每个班次每台车消耗
近1吨 柴油。发动机点火时需要消耗相当多的电瓶能量，故一个班次中只在开始工作
时点火一次。卡车在等待时 所耗费的能量也是相当可观的，原则上在安排时不应发生
卡车等待的情况。电铲和卸点都不能同时为两辆 及两辆以上卡车服务。卡车每次都是
满载运输。
每个铲位到每个卸点的道路都是专用的宽60 的双向车道，不会出现堵车现象，每段
道路的里程都是已知的。
一个班次的生产计划应 该包含以下内容：出动几台电铲，分别在哪些铲位上；出
动几辆卡车，分别在哪些路线上各运输多少次（ 因为随机因素影响，装卸时间与运输
时间都不精确，所以排时计划无效，只求出各条路线上的卡车数及安 排即可）。一个
第 12 页

合格的计划要在卡车不等待条件下满足产量和质量（品 位）要求，而一个好的计划还
应该考虑下面两条原则之一：
1.总运量（吨公里）最小，同时出动最少的卡车，从而运输成本最小；
2.利用现有车辆运输，获得最大的产量（岩石产量优先；在产量相同的情况下，
取总运量最小的解）。
请你就两条原则分别建立数学模型，并给出一个班次生产计划的快速算法。针对
下面的实 例，给出具体的生产计划、相应的总运量及岩石和矿石产量。
某露天矿有铲位10个，卸点5个 ，现有铲车7台，卡车20辆。各卸点一个班次
的产量要求：矿石漏1.2万吨、倒装场Ⅰ1.3万吨、 倒装场Ⅱ1.3万吨、岩石漏1.9
万吨、岩场1.3万吨。
铲位和卸点位置的二维示意图如下，各铲位和各卸点之间的距离（公里）如下表：

第 13 页




2004高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

（请先阅读 “对论文格式的统一要求”）

A题 奥运会临时超市网点设计

第 14 页

2008年北京奥运会的建设工作 已经进入全面设计和实施阶段。奥运会期间，在比
赛主场馆的周边地区需要建设由小型商亭构建的临时商 业网点，称为迷你超市（Mini
Supermarket, 以下记做MS）网，以满足观众、游客 、工作人员等在奥运会期间的购
物需求，主要经营食品、奥运纪念品、旅游用品、文体用品和小日用品等 。在比赛主
场馆周边地区设置的这种MS，在地点、大小类型和总量方面有三个基本要求：满足奥
运会期间的购物需求、分布基本均衡和商业上赢利。

图1给出了比赛主场馆的规划图。作为 真实地图的简化，在图2中仅保留了与本
问题有关的地区及相关部分：道路（白色为人行道）、公交车站 、地铁站、出租车站、
私车停车场、餐饮部门等,其中标有A1-A10、B1-B6、C1-C4的黄 色区域是规定的设计
MS网点的20个商区。

为了得到人流量的规律，一个可供选择 的方法，是在已经建设好的某运动场（图
3）通过对预演的运动会的问卷调查，了解观众（购物主体）的 出行和用餐的需求方式
和购物欲望。假设我们在某运动场举办了三次运动会，并通过对观众的问卷调查采 集
了相关数据，在附录中给出。

请你按以下步骤对图2的20个商区设计MS网点：

1．
根据附录中给出的问卷调查数据，找出观众在出行、用餐和购物等方面所反映
的规律。

2．
假定奥运会期间（指某一天）每位观众平均出行两次，一次为进出场馆，一次
为餐饮，并且出行均采取最短路径。依据1的结果，测算图2中20个商区的人
流量分布（用百 分比表示）。

3．
如果有两种大小不同规模的MS类型供选择，给出图2中20个 商区内MS网点的
设计方案（即每个商区内不同类型MS的个数），以满足上述三个基本要求。

第 15 页

4．
阐明你的方法的科学性，并说明你的结果是贴近实际的。

说明

1 ．商业上用“商圈”来描述商店的覆盖范围。影响商店选址的主要因素是商圈内
的人流量及购物欲望。< br>
2．为简化起见，假定国家体育场（鸟巢）容量为10万人，国家体育馆容量为6
万人 ，国家游泳中心（水立方）容量为4万人。三个场馆的每个看台容量均为1
万人，出口对准一个商区，各 商区面积相同。

附录

对观众发放的问卷调 查，收回率为33%，三次共收回10000多份。具体数据请在
access数据库中索取，其中年龄 分4档：1）20岁以下，2）20—30岁，3）30—50
岁，4）50岁以上；出行方式分4种： 出租、公交、地铁、私车；餐饮方式分3种：
中餐、西餐、商场(餐饮)；消费额（非餐饮）分6档：1 ）0—100，2）100—200，3）
200—300，4）300—400，5）400—500 ，6）500以上（元）。

第 16 页

C

B

A



图1 （A：国家体育场（鸟巢）， B:国家体育馆，C: 国家游泳中心（水立方））

第 17 页


图2



图3

B题 电力市场的输电阻塞管理

我国电力系统的市场化改革正在积极、稳步地进行。2003年3月国家电力监管委员会
第 18 页

成立，2003年6月该委员会发文列出了组建东北区域电力市场和进行华东区域电 力市
场试点的时间表，标志着电力市场化改革已经进入实质性阶段。可以预计，随着我国
用电紧 张的缓解，电力市场化将进入新一轮的发展，这给有关产业和研究部门带来了
可预期的机遇和挑战。
电力从生产到使用的四大环节——发电、输电、配电和用电是瞬间完成的。我国电力
市场 初期是发电侧电力市场，采取交易与调度一体化的模式。电网公司在组织交易、
调度和配送时，必须遵循 电网“安全第一”的原则，同时要制订一个电力市场交易规
则，按照购电费用最小的经济目标来运作。市 场交易-调度中心根据负荷预报和交易规
则制订满足电网安全运行的调度计划――各发电机组的出力（发 电功率）分配方案；
在执行调度计划的过程中，还需实时调度承担AGC（自动发电控制）辅助服务的机 组
出力，以跟踪电网中实时变化的负荷。

设某电网有若干台发电机组和若干条主要线 路，每条线路上的有功潮流（输电功率和
方向）取决于电网结构和各发电机组的出力。电网每条线路上的 有功潮流的绝对值有
一安全限值，限值还具有一定的相对安全裕度（即在应急情况下潮流绝对值可以超过
限值的百分比的上限）。如果各机组出力分配方案使某条线路上的有功潮流的绝对值超
出限值， 称为输电阻塞。当发生输电阻塞时，需要研究如何制订既安全又经济的调度
计划。

l 电力市场交易规则：

1. 以15分钟为一个时段组织交易，每台机组在当前时段开始时刻前 给出下一个时段
的报价。各机组将可用出力由低到高分成至多10段报价，每个段的长度称为段容量，< br>每个段容量报一个价（称为段价），段价按段序数单调不减。在最低技术出力以下的报
价一般为负 值，表示愿意付费维持发电以避免停机带来更大的损失。

第 19 页

2. 在当前时段内，市场交易-调度中心根据下一个时段的负荷预报,每台机组的报价、
当前 出力和出力改变速率，按段价从低到高选取各机组的段容量或其部分（见下面注
释），直到它们之和等于 预报的负荷，这时每个机组被选入的段容量或其部分之和形成
该时段该机组的出力分配预案（初始交易结 果）。最后一个被选入的段价（最高段价）
称为该时段的清算价，该时段全部机组的所有出力均按清算价 结算。

注释：

（a） 每个时段的负荷预报和机组出力分配计划的参照时刻均为该时段
结束时刻。

（b） 机组当前出力是对机组在当前时段结束时刻实际出力的预测值。

（c） 假设每 台机组单位时间内能增加或减少的出力相同，该出力值称
为该机组的爬坡速率。由于机组爬坡速率的约束 ，可能导致选取它的某个段容量的部
分。

（d） 为了使得各机组计划出力之和等于预报的负荷需求，清算价对应
的段容量可能只选取部分。

市场交易-调度中心在当前时段内要完成的具体操作过程如下：

1、 监控当前时 段各机组出力分配方案的执行，调度AGC辅助服务，在此基础上给
出各机组的当前出力值。

2、 作出下一个时段的负荷需求预报。

3、 根据电力市场交易规则得到下一个时段各机组出力分配预案。

4、 计算当执行各机组出力 分配预案时电网各主要线路上的有功潮流，判断是否会
出现输电阻塞。如果不出现，接受各机组出力分配 预案；否则，按照如下原则实施阻
塞管理：

第 20 页

l 输电阻塞管理原则：

（1） 调整各机组出力分配方案使得输电阻塞消除。

（2） 如果（1）做不到，还可 以使用线路的安全裕度输电，以避免拉闸
限电（强制减少负荷需求），但要使每条线路上潮流的绝对值超 过限值的百分比尽量小。

（3） 如果无论怎样分配机组出力都无法使每条线路 上的潮流绝对值超
过限值的百分比小于相对安全裕度，则必须在用电侧拉闸限电。

（4） 当改变根据电力市场交易规则得到的各机组出力分配预案时，一
些通过竞 价取得发电权的发电容量（称序内容量）不能出力；而一些在竞价中未取得
发电权的发电容量（称序外容 量）要在低于对应报价的清算价上出力。因此，发电商
和网方将产生经济利益冲突。网方应该为因输电阻 塞而不能执行初始交易结果付出代
价，网方在结算时应该适当地给发电商以经济补偿，由此引起的费用称 之为阻塞费用。
网方在电网安全运行的保证下应当同时考虑尽量减少阻塞费用。

你需要做的工作如下：

1. 某电网有8台发电机组，6条主要线路， 表1和表2中的方案0给出
了各机组的当前出力和各线路上对应的有功潮流值，方案1~32给出了围绕 方案0的一
些实验数据，试用这些数据确定各线路上有功潮流关于各发电机组出力的近似表达式。

2. 设计一种简明、合理的阻塞费用计算规则，除考虑上述电力市场规则
外 ，还需注意：在输电阻塞发生时公平地对待序内容量不能出力的部分和报价高于清
算价的序外容量出力的 部分。

3. 假设下一个时段预报的负荷需求是982.4MW，表3、表4 和表5分别
给出了各机组的段容量、段价和爬坡速率的数据，试按照电力市场规则给出下一个时
段各机组的出力分配预案。

第 21 页

4. 按照表6给 出的潮流限值，检查得到的出力分配预案是否会引起输电
阻塞，并在发生输电阻塞时，根据安全且经济的 原则，调整各机组出力分配方案，并
给出与该方案相应的阻塞费用。

5. 假设下一个时段预报的负荷需求是1052.8MW，重复3~4的工作。

表1 各机组出力方案 （单位：兆瓦，记作MW）

方案机组

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

120

2

73

3

180

180

180

180

180

4

80

80

80

80

80

80

80

80

80

5

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

6

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

7

8

81.1

90

81.1

90

81.1

90

81.1

90

81.1

90

81.1

90

81.1

90

81.1

90

81.1

90

81.1

90

81.1

90

81.1

90

81.1

90

81.1

90

81.1

90

133.02

73

129.63

73

158.77

73

145.32

73

120

120

120

120

120

120

120

120

120

120

78.596

180

75.45

180

90.487

180

83.848

180

73

73

73

73

73

73

231.39

80

198.48

80

212.64

80

190.55

80

180

180

75.857

125

65.958

125

第 22 页

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

120

120

120

120

120

120

120

120

120

120

120

120

120

120

120

120

120

120

73

73

73

73

73

73

73

73

73

73

73

73

73

73

73

73

73

73

180

180

180

180

180

180

180

180

180

180

180

180

180

180

180

180

180

180

87.258

125

97.824

125

80

80

80

80

80

80

80

80

80

80

80

80

80

80

80

80

125

125

81.1

90

81.1

90

81.1

90

81.1

90

81.1

90

81.1

90

150.71

125

141.58

125

132.37

125

156.93

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

125

138.88

81.1

90

131.21

81.1

90

141.71

81.1

90

149.29

81.1

90

125

125

125

125

125

125

125

125

60.582

90

70.962

90

64.854

90

75.529

90

81.1

104.84

81.1

111.22

81.1

98.092

81.1

120.44

表2 各线路的潮流值（各方案与表1相对应，单位：MW）

方案线路

1

0

2

3

4

5

6

164.78

140.87

-144.25

119.09

135.44

157.69

第 23 页

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

165.81

140.13

-145.14

118.63

135.37

160.76

165.51

140.25

-144.92

118.7

135.33

159.98

167.93

138.71

-146.91

117.72

135.41

166.81

166.79

139.45

-145.92

118.13

135.41

163.64

164.94

141.5

-143.84

118.43

136.72

157.22

164.8

141.13

-144.07

118.82

136.02

157.5

165.59

143.03

-143.16

117.24

139.66

156.59

165.21

142.28

-143.49

117.96

137.98

156.96

167.43

140.82

-152.26

129.58

132.04

153.6

165.71

140.82

-147.08

122.85

134.21

156.23

166.45

140.82

-149.33

125.75

133.28

155.09

165.23

140.85

-145.82

121.16

134.75

156.77

164.23

140.73

-144.18

119.12

135.57

157.2

163.04

140.34

-144.03

119.31

135.97

156.31

165.54

141.1

-144.32

118.84

135.06

158.26

166.88

141.4

-144.34

118.67

134.67

159.28

164.07

143.03

-140.97

118.75

133.75

158.83

164.27

142.29

-142.15

118.85

134.27

158.37

164.57

141.44

-143.3

119

134.88

158.01

163.89

143.61

-140.25

118.64

133.28

159.12

166.35

139.29

-144.2

119.1

136.33

157.59

第 24 页

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

165.54

140.14

-144.19

119.09

135.81

157.67

166.75

138.95

-144.17

119.15

136.55

157.59

167.69

138.07

-144.14

119.19

137.11

157.65

162.21

141.21

-144.13

116.03

135.5

154.26

163.54

141

-144.16

117.56

135.44

155.93

162.7

141.14

-144.21

116.74

135.4

154.88

164.06

140.94

-144.18

118.24

135.4

156.68

164.66

142.27

-147.2

120.21

135.28

157.65

164.7

142.94

-148.45

120.68

135.16

157.63

164.67

141.56

-145.88

119.68

135.29

157.61

164.69

143.84

-150.34

121.34

135.12

157.64

表3 各机组的段容量 （单位：MW）

机组段

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

70

0

50

0

0

30

0

0

0

40

30

0

20

8

15

6

2

0

0

8

110

0

40

0

30

0

20

40

0

40

55

5

10

10

10

10

15

0

0

1

75

5

15

0

15

15

0

10

10

10

95

0

10

20

0

15

10

20

0

10

50

15

5

15

10

10

5

10

3

2

70

0

20

0

20

0

20

10

15

5

第 25 页

表4 各机组的段价（单位：元兆瓦小时，记作元MWh）

机组段

1

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-505

0

124

168

210

252

312

330

363

489

-560

0

182

203

245

300

320

360

410

495

-610

0

152

189

233

258

308

356

415

500

-500

150

170

200

255

302

325

380

435

800

-590

0

116

146

188

215

250

310

396

510

-607

0

159

173

205

252

305

380

405

520

-500

120

180

251

260

306

315

335

348

548

-800

153

183

233

253

283

303

318

400

800

表5 各机组的爬坡速率 （单位：MW分钟）

机组

速率

1

2

3

4

5

6

7

8

2.2

1

3.2

1.3

1.8

2

1.4

1.8

表6 各线路的潮流限值（单位：MW）和相对安全裕度

线路

限值

1

165

2

150

18%

3

160

9%

4

155

11%

5

132

15%

6

162

14%

安全裕度

13%

2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

（请先阅读 “对论文格式的统一要求”）

A题: 长江水质的评价和预测

水是人类赖 以生存的资源，保护水资源就是保护我们自己，对于我国大江大河水
资源的保护和治理应是重中之重。专 家们呼吁：“以人为本，建设文明和谐社会，改善
第 26 页

人与自然的环境，减少污染。”

长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污 染程度日趋严重，已引起了相
关政府部门和专家们的高度重视。2004年10月，由全国政协与中国发 展研究院联合
组成“保护长江万里行”考察团，从长江上游宜宾到下游上海，对沿线21个重点城市做了实地考察，揭示了一幅长江污染的真实画面，其污染程度让人触目惊心。为此，
专家们提出“若 不及时拯救，长江生态10年内将濒临崩溃”（附件１），并发出了“拿
什么拯救癌变长江”的呼唤（附 件2）。

附件3给出了长江沿线17个观测站（地区）近两年多主要水质指标的检测数据，< br>以及干流上７个观测站近一年多的基本数据（站点距离、水流量和水流速）。通常认为
一个观测站 （地区）的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水。一般说来，
江河自身对污染物都有一定的自 然净化能力，即污染物在水环境中通过物理降解、化
学降解和生物降解等使水中污染物的浓度降低。反映 江河自然净化能力的指标称为降
解系数。事实上，长江干流的自然净化能力可以认为是近似均匀的，根据 检测可知，
主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的降解系数通常介于0.1~0.5之间，比如可以考虑取< br>0.2

(单位：1天)。附件4是“1995~2004年长江流域水质报告”给出的 主要统计数
据。下面的附表是国标(GB3838-2002) 给出的《地表水环境质量标准》中4个主要项
目标准限值，其中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类为可饮用水。

请你们研究下列问题：

（1）对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分 析各地区水质的污染
状况。

（2）研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐 指数和氨氮的污染源主要
在哪些地区?

（3）假如不采取更有效的治理措施，依照过 去10年的主要统计数据，对长江未
来水质污染的发展趋势做出预测分析，比如研究未来10年的情况。

（4）根据你的预测分析，如果未来10年内每年都要求长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水
的 比例控制在20%以内，且没有劣Ⅴ类水,那么每年需要处理多少污水？

（5）你对解决长江水质污染问题有什么切实可行的建议和意见。

附表: 《地表水环境质量标准》（GB3838—2002）中4个主要项目标准限
第 27 页

值 单位：mgL


分 类

标劣Ⅴ
Ⅰ类

准值

项 目

7.5

溶解氧（或饱
6

(DO) ≥

和率
90%）

5

3

2

0

Ⅱ类

Ⅲ类

Ⅳ类

Ⅴ类

类

序

号

1

2

3

4

高锰酸盐指数(CODMn) ≤

氨
PH值（无量纲）

氮
2

0.15

4

0.5

6

1.0

10

1.5

15

2.0

∞

∞


6---9

位于压缩文件（注：附件１~4中, 可从
http:下载）

2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

（请先阅读 “对论文格式的统一要求”）

B题： DVD在线租赁

随着信息时代的到 来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网
站利用其强大的资源和知名度，面向其会员 群提供日益专业化和便捷化的服务。例如，
音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥 了网络的诸多优势，包
括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等， 为
顾客提供更为周到的服务。

考虑如下的在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的 月费成为会员，订购DVD租
赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递 的方式尽可
第 28 页

能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD 是基于其偏爱程度排序的。网
站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租 赁次数不得
超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供< br>的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题：

1） < br>网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些
DVD的人 数（表1给出了其中5种DVD的数据）。此外，历史数据显示，60%的会员
每月租赁DVD两次，而 另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1
中的每种DVD来说，应该至少准备多少张 ，才能保证希望看到该DVD的会员中至少
50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月 内至少95%的会员能够看
到该DVD呢？

2）
表2中列出了网站手上1 00种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在
线订单（表2的数据格式示例如下表2， 具体数据请从
http:下载），如何对这些DVD进行分配，才
能使会员获得最大的满意度？ 请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获
得哪些DVD。

3）
继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。如果你是网站经营管理人
员，你如何 决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月
内95%的会员得到他想看的 DVD，并且满意度最大？

4）
如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需 求预测、购买和分配中还有哪些重
要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。

表1 对1000个会员调查的部分结果

DVD名称

DVD1

DVD2

DVD3

第 29 页

DVD4

DVD5

愿意观看的200

人数

100

50

25

10

表2 现有DVD张数和当前需要处理的会员的在线订单（表格格式示例）

DVD编号

DVD现有数量


D001

10

6

0

0

0

…

D002

40

0

0

0

0

…

D003

15

0

0

0

0

…

D004

20

0

0

3

0

…

…

…

…

…

…

…

…

C0001

C0002

会员
在线
C0003

订单


C0004

…

注：D001~D100表示100种DVD, C0001~C1000表示1000个会员, 会员的在线订单用
数字1,2,…表示，数字越小表示 会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD当前不
在会员的在线订单中。

（注：表2数据位于文件中, 可从
http:下载）

2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

（请先阅读 “对论文格式的统一要求”）

A题:出版社的资源配置

出版社的资源主要 包括人力资源、生产资源、资金和管理资源等，它们都捆绑
在书号上，经过各个部门的运作，形成成本（ 策划成本、编辑成本、生产成本、库存
成本、销售成本、财务与管理成本等）和利润。

某个以教材类出版物为主的出版社，总社领导每年需要针对分社提交的生产计
划申请书、人力资源情况 以及市场信息分析，将总量一定的书号数合理地分配给各个
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分社，使出 版的教材产生最好的经济效益。事实上，由于各个分社提交的需求书号总
量远大于总社的书号总量，因此 总社一般以增加强势产品支持力度的原则优化资源配
置。资源配置完成后，各个分社（分社以学科划分） 根据分配到的书号数量，再重新
对学科所属每个课程作出出版计划，付诸实施。

资源 配置是总社每年进行的重要决策，直接关系到出版社的当年经济效益和长
远发展战略。由于市场信息（主 要是需求与竞争力）通常是不完全的，企业自身的数
据收集和积累也不足，这种情况下的决策问题在我国 企业中是普遍存在的。

本题附录中给出了该出版社所掌握的一些数据资料，请你们根据这些数 据资料，
利用数学建模的方法，在信息不足的条件下，提出以量化分析为基础的资源（书号）
配 置方法，给出一个明确的分配方案，向出版社提供有益的建议。

[附录]

附件1：问卷调查表；

附件2：问卷调查数据（五年）；

附件3：各课程计划及实际销售数据表（5年）；

附件4：各课程计划申请或实际获得的书号数列表（6年）；

附件5：9个分社人力资源细目。

2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

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B题: 艾滋病疗法的评价及疗效的预测

艾 滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的20多年间，它
已经吞噬了近3000 万人的生命。

艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾 滋病
毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”, 英文简称HIV）引起的。这种病毒破坏人的
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免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。人类免疫系统
的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量
会 急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作。

艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体 内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要
有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。

迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS疗法不仅对人体
有副作用，而且成本也很高。许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS
疗法。

现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据。 ACTG320（见附件1）
是同时服用zidovudine（齐多夫定），lamivudine（拉美夫定）和indinavir（茚 地那
韦）3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度（每毫升血液里的数
量）。193A（见附件2）是将1300多名病人随机地分为4组，每组按下述4种疗法中
的一种服药 ，大约每隔8周测试的CD4浓度（这组数据缺HIV浓度，它的测试成本很
高）。4种疗法的日用药分 别为：600mg zidovudine或400mg didanosine（去羟基苷），
这两种药按月轮换使用；600 mg zidovudine加2.25 mg zalcitabine（扎西他滨）；
600 mg zidovudine加400 mg didanosine；600 mg zidovudine加400 mg didanosine，
再加400 mg nevirapine（奈韦拉平）。

请你完成以下问题：

（1）利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳 治疗终止时间（继
续治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治< br>疗）。

（2）利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的
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疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。

(3) 艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下：600mg
zidovudine 1.60美元，400mg didanosine 0.85美元，2.25 mg zalcitabine 1.85
美元，400 mg nevirapine 1.20美元。如果病人需要考虑4种疗法的费 用，对（2）
中的评价和预测（或者提前终止）有什么改变。

2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

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A题：中国人口增长预测

中国是一个人口大 国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有
数据，运用数学建模的方法，对中国人口做 出分析和预测是一个重要问题。

近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进 程加速、出生人口
性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。200 7
年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1) 还做出了进一步的分析。

关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从《中
国人口统计年鉴》上收 集到的部分数据。

试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据 （也
可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人
口增 长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。

附录1 《国家人口发展战略研究报告》

附录2 人口数据（《中国人口统计年鉴》中的部分数据）及其说明

2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

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B题：乘公交，看奥运

我国人民翘首企盼的第29届奥运会明年8月将在北京举行，届时有大量观众到现
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场观看奥运比赛，其中大部分人将会乘坐公共交通工具（简称公交，包括公汽、地铁
等）出行。 这些年来，城市的公交系统有了很大发展，北京市的公交线路已达800条
以上，使得公众的出行更加通 畅、便利，但同时也面临多条线路的选择问题。针对市
场需求，某公司准备研制开发一个解决公交线路选 择问题的自主查询计算机系统。

为了设计这样一个系统，其核心是线路选择的模型与算法，应 该从实际情况出发
考虑，满足查询者的各种不同需求。请你们解决如下问题：

1、仅 考虑公汽线路，给出任意两公汽站点之间线路选择问题的一般数学模型与算法。
并根据附录数据，利用你 们的模型与算法，求出以下6对起始站→终到站之间的最佳
路线（要有清晰的评价说明）。

(1)、S3359→S1828 (2)、S1557→S0481 (3)、S0971→S0485

(4)、S0008→S0073 (5)、S0148→S0485 (6)、S0087→S3676

2、同时考虑公汽与地铁线路，解决以上问题。

3、假设又知道所有站点之间的步行 时间，请你给出任意两站点之间线路选择问题的数
学模型。

【附录1】基本参数设定

相邻公汽站平均行驶时间(包括停站时间)： 3分钟

相邻地铁站平均行驶时间(包括停站时间)： 2.5分钟

公汽换乘公汽平均耗时： 5分钟(其中步行时间2分钟)

地铁换乘地铁平均耗时： 4分钟(其中步行时间2分钟)

地铁换乘公汽平均耗时： 7分钟(其中步行时间4分钟)

公汽换乘地铁平均耗时： 6分钟(其中步行时间4分钟)

公汽票价 ：分为单一票价与分段计价两种，标记于线路后；其中分段计价的票价为：0～
20站：1元；21～4 0站：2元；40站以上：3元

地铁票价：3元（无论地铁线路间是否换乘）

注：以上参数均为简化问题而作的假设，未必与实际数据完全吻合。

【附录2】公交线路及相关信息 （见数据文件）

2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

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A题 数码相机定位

数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。所谓数码相机定位 是指
用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双
目定位 ，即用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机
摄得物体的像，分别获得该 点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的
相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固 定一部相机的坐标系中的坐标，即确
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定了特征点的位置。于是对双目定 位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这
一过程称为系统标定。

标定的一种做法是：在一块平板上画
点， 同时用这两部相机照相，分别得到
它们像平 面上的像点，利用这两组像点
系就可以得到这两部相机的相对位置。
论在物平面或像平面上我们 都无法直接
几何尺寸的“点”。实际的做法是在物平
若干个
这些点在
的几何关
然而，无
得到没有
面上画若
干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点了 。而它们的像一般会变形，如图1
所示，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定 就可实现。
图 1 靶标上圆的像

有人设计靶标如下，取1个边 长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、
D、E）为圆心，12mm为半径作圆。以 AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半
径作圆，如图2所示。

图 2 靶标示意图

用一位置固定的数码相机摄得其像，如图3所示。

图3 靶标的像

请你们：

（1）
建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐
标系原点取在该相机的光学中心，x-y平面平行于像平面；

（2）
对由图2、图3分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐
标, 该相机的像距（即光学中心到像平面的距离）是1577个像素单位(1毫米约
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为3.78个像素单位)，相机分辨率为1024×768；

（3）
设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；

（4）
建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。

2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

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B题 高等教育学费标准探讨

高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大 局，因此
受到党和政府及社会各方面的高度重视和广泛关注。培养质量是高等教育的一个核心
指 标，不同的学科、专业在设定不同的培养目标后，其质量需要有相应的经费保障。
高等教育属于非义务教 育，其经费在世界各国都由政府财政拨款、学校自筹、社会捐
赠和学费收入等几部分组成。对适合接受高 等教育的经济困难的学生，一般可通过贷
款和学费减、免、补等方式获得资助，品学兼优者还能享受政府 、学校、企业等给予
的奖学金。

学费问题涉及到每一个大学生及其家庭，是一个敏感 而又复杂的问题：过高的学
费会使很多学生无力支付，过低的学费又使学校财力不足而无法保证质量。学 费问题
近来在各种媒体上引起了热烈的讨论。

请你们根据中国国情，收集诸如国家生 均拨款、培养费用、家庭收入等相关数据，
并据此通过数学建模的方法，就几类学校或专业的学费标准进 行定量分析，得出明确、
有说服力的结论。数据的收集和分析是你们建模分析的基础和重要组成部分。你 们的
论文必须观点鲜明、分析有据、结论明确。

最后，根据你们建模分析的结果，给有关部门写一份报告，提出具体建议。

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

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A题 制动器试验台的控制方法分析

汽车的行车制动器（以下简称制动器）联接在车轮上，它的作用 是在行驶时使车
辆减速或者停止。制动器的设计是车辆设计中最重要的环节之一，直接影响着人身和车辆的安全。为了检验设计的优劣，必须进行相应的测试。在道路上测试实际车辆制
动器的过程称为 路试，其方法为：车辆在指定路面上加速到指定的速度；断开发动机
的输出，让车辆依惯性继续运动；以 恒定的力踏下制动踏板，使车辆完全停止下来或
车速降到某数值以下；在这一过程中，检测制动减速度等 指标。假设路试时轮胎与地
面的摩擦力为无穷大，因此轮胎与地面无滑动。

为了检测 制动器的综合性能，需要在各种不同情况下进行大量路试。但是，车辆
设计阶段无法路试，只能在专门的 制动器试验台上对所设计的路试进行模拟试验。模
拟试验的原则是试验台上制动器的制动过程与路试车辆 上制动器的制动过程尽可能一
致。通常试验台仅安装、试验单轮制动器，而不是同时试验全车所有车轮的 制动器。
制动器试验台一般由安装了飞轮组的主轴、驱动主轴旋转的电动机、底座、施加制动
的 辅助装置以及测量和控制系统等组成。被试验的制动器安装在主轴的一端，当制动
器工作时会使主轴减速 。试验台工作时，电动机拖动主轴和飞轮旋转，达到与设定的
车速相当的转速(模拟实验中，可认为主轴 的角速度与车轮的角速度始终一致)后电动
机断电同时施加制动，当满足设定的结束条件时就称为完成一 次制动。

路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷。将这个载荷在车辆平动时具有的能量（忽< br>略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的
能量，与此能 量相应的转动惯量(以下转动惯量简称为惯量)在本题中称为等效的转动
惯量。试验台上的主轴等不可拆 卸机构的惯量称为基础惯量。飞轮组由若干个飞轮组
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成，使用时根据需 要选择几个飞轮固定到主轴上，这些飞轮的惯量之和再加上基础惯
量称为机械惯量。例如，假设有4个飞 轮，其单个惯量分别是：10、20、40、80 kg·m，
基础惯量为10 kg·m，则可以组成10，20，30，…，160 kg·m的16种数值的机械
惯量。但对于等效的转动惯量为45.7 kg·m
2
的 情况，就不能精确地用机械惯量模拟
试验。这个问题的一种解决方法是：把机械惯量设定为40 kg· m
2
，然后在制动过程中，
让电动机在一定规律的电流控制下参与工作，补偿由于机械 惯量不足而缺少的能量，
从而满足模拟试验的原则。

一般假设试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比（本题中比例系
数取为1.5 AN·m）；且试验台工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量。

由于制动器性能 的复杂性，电动机驱动电流与时间之间的精确关系是很难得到的。
工程实际中常用的计算机控制方法是： 把整个制动时间离散化为许多小的时间段，比
如10 ms为一段，然后根据前面时间段观测到的瞬时转 速与或瞬时扭矩，设计出本时
段驱动电流的值，这个过程逐次进行，直至完成制动。

评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，本题中的能量误差是
指所设计的路试时的制动 器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之
差。通常不考虑观测误差、随机误差和连续问题 离散化所产生的误差。

现在要求你们解答以下问题：

1. 设车辆单个前轮的滚动半径为0.286 m，制动时承受的载荷为6230 N，求等效的
转动惯量。

2. 飞轮组由3个外直径1 m、内直径0.2 m的环形钢制飞轮组成，厚度分别为0.0392
m、0.0784 m、0.1568 m，钢材密度为7810 kgm
3
，基础惯量为10 kg·m
2
，问可以
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22
2
组成哪些机械惯量？设电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为 [-30, 30]
kg·m，对于问题1中得到的等效的转动惯量，需要用电动机补偿多大的惯量？

3. 建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。

在问题1和问题2的条件下，假设制动减速度为常数，初始速度为50 kmh，制动
5.0秒后车速为零，计算驱动电流。

4. 对于与所设计的路试等效的转动惯量为48 kg·m，机械惯量为35 kg·m，主轴
初转速为514转分钟，末转速为257转分钟，时间步长为10 ms的情况，用某
种控制方法试验得到的数据见附表。请对该方法执行的结果进行评价。

5. 按照第3问导出的数学模型，给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与或瞬时
扭矩， 设计本时间段电流值的计算机控制方法，并对该方法进行评价。

6. 第5问给出的控制方 法是否有不足之处？如果有，请重新设计一个尽量完善的计
算机控制方法，并作评价。

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

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B题 眼科病床的合理安排

医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我 们面前，
例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，
往 往需要排队等待接受某种服务。

我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。

该医院眼科门诊每天开放，住 院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：
白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出 了2008年7月13日至2008年9
第 39 页

22
2
月11日这段时间里各类病人的情况。

白内障手术较简单， 而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类
病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼 的病人比做一只眼的要多一些，大约占到
60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。
外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。
其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受
手术，主要是术后 的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排
在周一、周三。由于急症数量较少，建 模时这些眼科疾病可不考虑急症。

该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑 手术条件的限制，但
考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不
安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First
serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数
学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。

问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优
劣。

问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第
二天拟出院病人 数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一
中的指标体系作出评价。

问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院
病人及等待住院 病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。

问题四：若该住院部周六、周 日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手
术时间安排是否应作出相应调整?

第 40 页

问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安 排可采取
使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统
内 的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

2011 全国 数学建模 大学生

随着题荒的到来，很多数学建模题目的直接来源于众多老师的科研课题，至少华中数
学建模竞赛的题目由我们这边命题时直接为正在研究且没有解决的科研问题，看来一
方面锻炼学 生建模能力的同时，又可以为“焦头难额”的老师们来自点新鲜的ideas，
这些题目确实蛮好玩的。

A题 城市表层土壤重金属污染分析

随着城市经济的快速发展和城市人 口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影
响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应 用查证获得的海量数据资
料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益 成为
人们关注的焦点。

按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干 道路区及公园绿地
区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程
度不同。

现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距 1公
里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取
样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所
含的多种化学元素 的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业
活动的自然区取样，将其作为该城区表 层土壤中元素的背景值。

附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件 2列出了8
种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。

现要求你们通过数学建模来完成以下任务：

(1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重
金属的污染程度。

(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。

第 41 页

(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。

(4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应
收集什么信息？有了这些信息 ，如何建立模型解决问题？

B题 交巡警服务平台的设置与调度

“有困 难找警察”，是家喻户晓的一句流行语。警察肩负着刑事执法、治安管理、
交通管理、服务群众四大职能 。为了更有效地贯彻实施这些职能，需要在市区的一些
交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。每个交 巡警服务平台的职能和警力配备基
本相同。由于警务资源是有限的，如何根据城市的实际情况与需求合理 地设置交巡警
服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的一个实际课题。

试就某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数学模型分析研究下面的问题：

（1）附件1中的附图1给出了该市中心城区A的交通网络和现有的20个交巡警
服务平台的设置情况示 意图，相关的数据信息见附件2。请为各交巡警服务平台分配
管辖范围，使其在所管辖的范围内出现突发 事件时，尽量能在3分钟内有交巡警（警
车的时速为60kmh）到达事发地。

对于 重大突发事件，需要调度全区20个交巡警服务平台的警力资源，对进出该区
的13条交通要道实现快速 全封锁。实际中一个平台的警力最多封锁一个路口，请给出
该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。< br>
根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况，
拟在该 区内再增加2至5个平台，请确定需要增加平台的具体个数和位置。

（2）针对全市（主城六 区A，B，C，D，E，F）的具体情况，按照设置交巡警服务
平台的原则和任务，分析研究该市现有交 巡警服务平台设置方案（参见附件）的合理
性。如果有明显不合理，请给出解决方案。

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如果该市地点P（第32个节点）处发生了重大刑事案件，在案发3分 钟后接到报
警，犯罪嫌疑人已驾车逃跑。为了快速搜捕嫌疑犯，请给出调度全市交巡警服务平台
警力资源的最佳围堵方案。

附图1：A区的交通网络与平台设置的示意图

附图2：全市六区交通网络与平台设置的示意图

希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：

1、理想的路总是为有信心的人预备着。

2、最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。——罗曼·罗兰

3、人生就像爬坡，要一步一步来。——丁玲





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